河北辛集中学2026-2027学年高三年级上学期9月阶段一考试数学 试题

河北辛集中学2026-2027学年度第一学期阶段一考试 高三数学试题 一、单选题（本题共8题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．设全集，集合，，则（ ） A． B．或 C． D． 3．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 4．，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 5．函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象（如图所示），直线平行于轴，且，则，的值分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 6．已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 7．若函数（且）是奇函数，则的值为（ ） A． B． C．2 D．4 8．设，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9．已知，则可以是（ ） A． B． C． D． 10．已知函数，的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 11．若存在实数使得函数有四个零点，，，，且，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D．的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，15分） 12．在的展开式中，的系数为________． 13．已知，则等于________． 14．现有4种颜色，给3张不同的卡片正反面涂色，要求三张正面颜色各不相同、三张反面颜色各不相同，且每张卡片正反两面颜色不同，则不同的涂色方法共有种________． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15．（13分）某市为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共有10000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： （1）求的值和上四分位数； （2）现从成绩位于的样本中，按分层随机抽样的方法选取8人，再从这8人中随机选取2人，设这2人中成绩落在内的人数为，求的分布列和期望． 16．（15分）已知，，分别为的三个内角，，的对边，且，的面积． （1）求证：； （2）求的最大值． 17．（15分）已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，函数与关于直线对称，证明：当时，． 18．（17分）如图，设，是平面内相交成角的两条射线，，分别为与，同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系．在仿射坐标系中，若，则记． （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，，分别在轴、轴的正半轴上，，，，分别为，的中点，求的最大值． 19．（17分）一名老师与名学生玩抽卡片游戏，将这名学生依次编号为1，2，…，，规则如下：①游戏开始时，所有学生手上均为红卡、黑卡各一张；②老师先给1号学生发放一张红卡；③从2号学生开始，号学生从号学生手中的三张卡片中随机抽取一张放入手中，直至号学生抽取完成后结束；④老师从号学生手中的三张卡片中随机抽走一张卡片，游戏结束． （1）若，求游戏结束后，2号学生手中拥有两张同色卡片的概率； （2）求游戏结束后，号学生手中至少有一张红卡的概率； （3）若游戏结束后，手上没有红卡的学生被淘汰，求被淘汰的学生人数的期望值． 附：若，，…，为随机变量，则． 学科网（北京）股份有限公司 $