精品解析：江苏省苏州市苏州中学校2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027年苏州中学高二上10月考试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列满足，，则（ ） A. 1 B. 0 C. -1 D. 2 2. 若数列是单调递减数列，则的通项公式可以是（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列的前项积，则（ ） A. B. C. D. 4. 等差数列满足，则该数列的前13项的和为（ ） A. 45 B. 55 C. 78 D. 110 5. 已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（    ） A. B. C. D. 6. 设为数列的前项和，“是递增数列”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知等差数列的前项和为，，，若，则（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 8. 已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则（ ） A. B. 0 C. D. 二、多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分）在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分. 9. 下列叙述正确的是（ ） A. 与是不同的数列 B. 是常数列 C. 数列的通项公式为 D. 数列是递增数列 10. 已知数列满足，，记，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是等比数列，公比为3 B. 数列的通项公式为 C. 数列的前项和为 D. 数列的前项和大于 11. 设，数列中，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 等比数列的前项和为，则的值为_____． 13. 等差数列的前项和为，，且数列是公差为2的等差数列，则_______. 14. 1678年德国著名数学家莱布尼兹为了满足计算需要发明了二进制，与二进制不同的是六进制对于数论研究有较大帮助.例如在六进制下等于十进制的.若数列在十进制下满足，，，，则六进制数转换成十进制后的个位数为_____． 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的通项公式为. （1）试写出该数列的第3项和第8项； （2）20是不是该数列的项？如果是，是第几项？若不是，说明理由. 16. 已知数列，满足，，. （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的前项和； （3）求满足中的最小值. 17. 下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．图①是一个边长为1的实心正三角形，分别连接这个正三角形三边的中点，并去掉中间的小正三角形得到图②，对图②中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图③，再对图③中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图④，…，依此类推得到个图形. （1）在第个图形中，记实心小正三角形的个数为，每个实心小正三角形的边长为.补全下列表格，并直接写出数列和的通项公式（不需证明）； 1 2 3 4 1 3 27 1 （2）若记为第个图形中所有实心小正三角形的周长之和. （i）证明：当时，； （ii）求数列的前项和. 18. 将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成下表： 已知表中的第一列数，，，构成一个等差数列，记为，且，.表中每一行正中间的一个数，，，构成数列，其前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，. （i）求的表达式； （ii）记集合中有且仅有三个元素，求实数的取值范围. 19. 已知数列满足，且，，记数列的前项和为. （1）求与的值并证明，； （2）试比较与的大小关系并说明理由； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年苏州中学高二上10月考试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列满足，，则（ ） A. 1 B. 0 C. -1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得， 又，所以，解得. 2. 若数列是单调递减数列，则的通项公式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于A，，正确； 对于B，，错误； 对于C，，错误； 对于D，，错误. 3. 已知数列的前项积，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】数列的前项积，所以， 因为，，所以. 4. 等差数列满足，则该数列的前13项的和为（ ） A. 45 B. 55 C. 78 D. 110 【答案】C 【解析】 【分析】先化简条件，结合等差数列求和公式可得答案. 【详解】设等差数列的公差为，前项和为， 因为，所以； 所以. 故选：C. 5. 已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由累积法可得，根据与的关系计算即可求解. 【详解】因为，则， 所以， 当时，， 当时，满足， 所以数列的通项公式为. 故选：C 6. 设为数列的前项和，“是递增数列”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】要判断是递增数列与是递增数列的条件关系，需分别验证充分性和必要性． 【详解】解：数列，，，0，1，2，3，…是递增数列， 但不是递增数列，故不充分； 数列1，1，1，1，…的前项和为是递增数列， 但该数列不是递增数列，故不必要． 故选：D． 7. 已知等差数列的前项和为，，，若，则（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】A 【解析】 【详解】因为，即，即， 则， 又因为，所以， 所以， 所以，即. 8. 已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设等差数列的公差为． 由，得①， 由得，得②， 联立①②，，解得， 所以． 则， 则，所以 ． 二、多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分）在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分. 9. 下列叙述正确的是（ ） A. 与是不同的数列 B. 是常数列 C. 数列的通项公式为 D. 数列是递增数列 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，数列与是不同的数列，故A正确； 对于B，数列是摆动数列，故B错误； 对于C，数列的通项公式为，故C错误； 对于D，数列是递增数列，故D正确． 10. 已知数列满足，，记，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是等比数列，公比为3 B. 数列的通项公式为 C. 数列的前项和为 D. 数列的前项和大于 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意构造可得，即，据此可判断A；由等比数列的通项公式可得B；由B可得，然后求和即可判断C；由，结合等比数列求和公式即可判断D． 【详解】因为，所以， 令，则， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以，故A正确； 由A可知，所以，所以，故B正确； 由B可知，所以， 所以数列的前项和为，故C错误； 因为， 所以数列的前项和为 ，故D正确． 11. 设，数列中，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】AD 【解析】 【分析】结合题意得到数列是单调递增数列，再结合放缩法判断A，结合题意与归纳判断B，C，利用归纳法结合数列的单调性求解D即可. 【详解】对于A，当时，结合题意可得， 而，可得，，，即， 而，同理可得， 得到，则， 可得， 因为，所以， 可得数列是单调递增数列，故，故A正确， 对于B，当时，结合题意可得，且， 则证明当时，即可， 当时，符合题意，假定当时，成立， 则当时，满足，而恒成立， 而，可得，故， 得到，即， 则当时，得证，此时，故B错误， 对于C，当时，结合题意可得， 因为，所以，， 则证明当时，即可， 当时，符合题意，假定当时，成立， 当时，可得， 故当时，成立，此时，故C错误， 对于D，当时，结合题意可得， 而，可得，，，后面证明当时，， 当时，符合题意，假定当时，成立， 当时，可得， 故当时，得证，而， 令，，由二次函数性质得在上单调递增， 而，则在上恒成立， 即当时，恒成立，此时数列是单调递增数列， 可得，故D正确. 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 等比数列的前项和为，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列前项和公式的特点列方程，解方程求得的值. 【详解】由于等比数列前项和，本题中，故. 故填：. 【点睛】本小题主要考查等比数列前项和公式的特点，考查观察与思考的能力，属于基础题. 13. 等差数列的前项和为，，且数列是公差为2的等差数列，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意数列为等差数列，可求得其通项，从而可得，根据与的关系利用相减法求解即可. 【详解】数列是公差为2的等差数列，且其首项为， 所以，则①， 当时，则②， ①②可得：，即，， 当时，符合上式， 故. 故答案为：. 14. 1678年德国著名数学家莱布尼兹为了满足计算需要发明了二进制，与二进制不同的是六进制对于数论研究有较大帮助.例如在六进制下等于十进制的.若数列在十进制下满足，，，，则六进制数转换成十进制后的个位数为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意可得数列的周期为6，且，所以可得数列的周期为，且，，，则六进制转换成十进制的，进而计算即可求解. 【详解】由题意可知，，， 则，，，，，， 所以6是数列的一个周期，又， 则3是数列的一个周期，且，，， 则六进制转换成十进制如下， 为， 若求的个位数， 则将每一项的个位数相加，得到和的个位数即可，而的个位数为， 而共2025项， 且，可以划分为组周期， 而，个位数相加为， 该组相加后，整体的个位为6，而， 则前2025项相加后，整体的个位为0， 故的个位数为1. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的通项公式为. （1）试写出该数列的第3项和第8项； （2）20是不是该数列的项？如果是，是第几项？若不是，说明理由. 【答案】（1）第3项为，第8项为. （2）20是数列的项，是第10项，理由如下. 令，即，解得或， 因为是正整数，所以，所以20是数列的项，是第10项. 【解析】 【分析】（1）求指定项，只需把项数代入通项公式直接计算； （2）判断一个数是不是数列的项，令解方程，看有没有正整数解. 【小问1详解】 由，得 ，， 所以第3项为，第8项为. 【小问2详解】 略 16. 已知数列，满足，，. （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的前项和； （3）求满足中的最小值. 【答案】（1）由， 因为，所以， 则，又， 所以数列是以2为首项，以1为公差的等差数列. （2） （3）2025 【解析】 【分析】（1）根据题中等式因式分解后化简，根据等差数列定义证明即可； （2）根据（1）中证明过程得到数列通项公式，得到数列通项公式，再裂项相消求和即可. （3）解不等式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 则. 【小问3详解】 由（2）知，， 由，得，即， 则满足中的最小值为2025. 17. 下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．图①是一个边长为1的实心正三角形，分别连接这个正三角形三边的中点，并去掉中间的小正三角形得到图②，对图②中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图③，再对图③中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图④，…，依此类推得到个图形. （1）在第个图形中，记实心小正三角形的个数为，每个实心小正三角形的边长为.补全下列表格，并直接写出数列和的通项公式（不需证明）； 1 2 3 4 1 3 27 1 （2）若记为第个图形中所有实心小正三角形的周长之和. （i）证明：当时，； （ii）求数列的前项和. 【答案】（1） 分析图案易知， 1 2 3 4 1 3 9 27 1 则 （2） （i）由题意得， 因为， 所以为以3为首项，为公比的等比数列，且该数列为正项递增数列， 又因为， 所以，当时，. （ii） 【解析】 【分析】（1）根据规律填写表格以及通项公式； （2）（i）求出，根据增减性求证； （ii）求出等比数列的前项和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）因为为等比数列，所以. 18. 将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成下表： 已知表中的第一列数，，，构成一个等差数列，记为，且，.表中每一行正中间的一个数，，，构成数列，其前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，. （i）求的表达式； （ii）记集合中有且仅有三个元素，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）设的公差为，由题设结合等差数列的基本量计算求解即可； （2）（i）分析可得，进而得到，进而利用错位相减法求和即可； （ii）由不等式，可化为，设，分析其取值情况，进而求解. 【小问1详解】 （1）设的公差为，则，解得， 则. 【小问2详解】 （i）由于前行共有个数，且， 所以在第4行，且，所以，则， 所以， 则， 即， 两式相减得，， 则. （ii）由（i）知，， 则不等式，可化为， 设，则， 当时，，即， 又， 因为集合中有且仅有三个元素， 所以，则实数的取值范围为. 19. 已知数列满足，且，，记数列的前项和为. （1）求与的值并证明，； （2）试比较与的大小关系并说明理由； （3）证明：. 【答案】（1），且，令，得，令，得， 用数学归纳法证明， 当时，，命题成立； 假设当时，则时，， 结合，得，则当时，命题也成立， 所以，对所有成立. （2），理由如下. ， 由(1)知，故，结合，得，即，因此是严格递减数列，故. （3）由，得，令，则， 先证明：，. 当时，，成立， 假设当时，则，于是所以当时， 故，即当时也成立， 由数学归纳法得，，（等号仅在时成立）. 接着证明：，. 当时，，，不等式成立， 假设当时，因为，所以当时， 即当时，不等式也成立， 由数学归纳法得，，（等号仅在时成立）， 所以（等号仅在时成立）. 再证明：时，，. 由，得当时， 即，，. 所以，， ， 所以. 【解析】 【分析】（1）代入递推式求解与的值，用数学归纳法证明； （2）对递推式两边平方，通过作差法推导数列的单调性，得到与的大小关系； （3）用数学归纳法证明对所有，，.，将通项放缩为可裂项的分式形式，对放缩后的通项执行裂项相消求和，直接得到的目标上界. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $