第四章 相似三角形 单元测试 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

保密★启用前 2026—2027学年九年级数学上学期单元测试卷 第四章 相似三角形单元测试·培优卷 （ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．两个相似多边形的面积之比为，且它们的周长之差为20，则较大多边形的周长为（    ） A．60 B．40 C．36 D．16 2．如图，将沿边上的中线平移到的位置，如果点恰好是的重心，，分别与交于点，，那么的面积与的面积之比是（     ） A． B． C． D． 3．如图，，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．能判定的条件是（    ） A． B．， C．， D．， 5．在和中，，下列条件不能判定这两个三角形相似的是（   ） A．， B．，，， C．，，， D．，，， 6．如图，则下列式子中不成立的是（ ） A． B． C． D． 7．如图，已知直线，直线m交直线a、b、c于点A、B、C，直线n交直线a、b、c于点D、E、F，若，则（     ） A．2 B． C． D． 8．已知，则下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． 9．已知C是线段的黄金分割点，则 （     ） A． B． C． D． 10．在中，分别为边上的点，与相交于点D．若，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11．在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，以原点为位似中心，把按相似比为2放大得到，则的顶点的坐标为________． 12．如图，在矩形中，，，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形的相似矩形，再连接，以对角线为边作矩形的相似矩形，…，按此规律继续下去，则矩形的面积为______． 13．如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） 14．如图，，，，则的长为__________． 15．已知，则的值是____________． 16．如图，中，D为的中点，点E在上，且，要使以A、D、E为顶点的三角形与相似，则_____． 三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分） 17．已知：，且，求的值． 18．如图，在中，，垂足为． (1)这四条线段是否是成比例线段？请说明理由． (2)在图中还能找出成比例的其他四条线段吗（线段可以重复）？若有，请写出一种情况，并说明理由． 19．如图，在锐角三角形中，边，高，矩形的顶点，分别在，上，，在上，与交于点． (1)试说明：； (2)若矩形是正方形，求的长； 20．在中，，交于点，交于点．已知，，，．求 (1)的长； (2)与的相似比． 21．如图，在和中，． (1)求证：； (2)若，求的长． 22．如图，小岛位于小岛的南偏东方向，在的中点处建设了灯塔，一艘物资船位于小岛的正南方向、小岛的正西方向的处，它从处沿正北方向航行，到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上，这时，处距离小岛A有多远？（参考数据：，，） 23．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 24．根据以下材料，完成探究任务． 综合与实践：打卡“天齐之门”雕塑 问题背景 如图1，临淄北站站前广场矗立着标志性雕塑“天齐之门”．雕塑以古篆书“齐”字为设计原型，巧妙融合“门”的造型，四根立柱象征四方宾朋齐聚；顶端融入蹴鞠纹饰，呼应临淄作为世界足球起源地的深厚文化底蕴．雕塑整体寓意“海纳百川、开放包容、和合共生”的齐文化精神．站在雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． (1)如图2，小明在距离“天齐之门”雕塑底部的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点处，调整高度使眼睛恰好通过标杆顶端看到雕塑的顶部．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． (2)如图3，小明在点处为站在点处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点处为站在点处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B D C D A D A C 1．A 本题考查相似多边形的性质． 利用相似多边形面积比与相似比的关系求出周长比，再结合周长差列方程求解即可． 解：∵相似多边形的面积比等于相似比的平方，且两个相似多边形的面积之比为， ∴它们的相似比为． ∵相似多边形的周长比等于相似比， ∴它们的周长比为． 设较大多边形的周长为，较小多边形的周长为， ∵它们的周长之差为20， ∴， 解得， ∴较大多边形的周长为． 故选：A． 2．C 由重心的性质可得，由相似三角形的性质可得面积与的面积之比． 解：点恰好是的重心， ， 将沿边上的中线平移到的位置， ，， ， ， ，， ，， ， 面积与的面积之比． 3．B 根据得出相似比，进而求出与的面积比，利用面积差求出四边形的面积，最后计算比值即可； 解：，且， ， ， ， ， ， ． 4．D 本题考查相似三角形的判定，需熟练掌握相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似等是解题的关键．据此逐一分析选项即可求解． 解：A、三边对应成比例但对应边匹配错误，应为才能判定相似，故A错误． B、与、与不是对应角，不满足两角分别相等的判定条件，故B错误． C、，但与不是这两组边的夹角，不满足两边对应成比例且夹角相等的条件，故C错误． D、，且（是与的夹角，是与的夹角）， 满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定定理，则，故D正确． 故选：D． 5．C 根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断即可． 解：选项：，，， ， ， ； 选项：，， ； 选项：有一组角相等且两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似； 选项：，，， ， ，，， ， ， ， ． 6．D 本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质逐一分析并判断每个选项是否符合题意要求即可． 解：∵， ∴， ∴，故A，B，C正确，D错误． 故选：D． 7．A 根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，据此列出比例式求解即可． 解：∵， ∴，即． 8．D 可根据已知条件得到a和b的关系，再通过代入或比例变形判断各选项是否成立． 解：∵，， ∴， 选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：代入得左边，仅当时等式成立，不是恒成立，C错误； 选项D：将等式交叉相乘得 ， 展开得， 化简得，与已知条件一致，等式恒成立，D正确． 9．A 利用黄金分割的性质可直接得到对应比值． ∵ 点是线段的黄金分割点，且， 根据黄金分割的定义可得 ， ∴ ． 10．C 如图：连接，先证得到相似比为，，即，再证可得，求得，则，进而求得． 解：如图：连接， ∵，， ， ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ， ； ∵， ∴的面积为20， ∵， ∴，即， ∴的值为． 11．或 以原点为位似中心，相似比为时，位似图形对应点的坐标为原对应点坐标乘以或． 解：以原点为位似中心，把按相似比为放大得到，点的坐标为， 的坐标为或， 即或． 12． 本题考查了相似多边形的性质，图形的变化规律，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解本题的关键． 根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质求出矩形的面积，总结规律，根据规律解答． 解：矩形的面积， 由勾股定理得：， 则矩形和矩形的相似比为， 矩形矩形， 矩形的面积； 同理，矩形的面积， 矩形的面积， 则的面积为； ∴矩形的面积为． 故答案为：． 13．①②或①③ 由可得．只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得． 解：∵， ∴，即． 当或时，．即①②或①③符合题意． 14．6 本题考查了平行线分线段成比例定理，正确计算是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理直接求出即可． 解：，，， ，即， ， 故答案为：． 15． 解：∵， ∴， ， ， ∴． 16． 或 本题主要考查相似三角形的判定与性质. 根据题意可知为公共角，要使以、、为顶点的三角形与相似，需分两种情况进行讨论：一是，二是. 利用线段中点的定义求出的长，再根据相似三角形对应边成比例列出方程求解即可． 解：点为的中点，， ， ， 要使以、、为顶点的三角形与相似， 分两种情况讨论： 当时， ， 即， 解得； 当时， ， 即， 解得， 综上所述，的长为或 ． 17．，， 本题考查了比例的性质，解一元一次方程，由已知可设，，，进而可得关于的一元一次方程，解方程即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 解：∵， ∴可设，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，． 18．(1)这四条线段是成比例线段 (2) 有，这四条线段是成比例线段． 理由：在Rt中，， 由勾股定理，得， 由（1）可知， ． 在Rt中，， 由勾股定理，得， ， ， 即这四条线段是成比例线段． 根据可得，根据比例线段的概念即可判断； 类似上述同样的方法判断与是否成比例即可. 解：这四条线段是成比例线段． 在Rt中，， 即这四条线段是成比例线段． 略 本题考查了比例线段，解题的关键是掌握直角三角形面积的不同表达式及比例线段的概念. 19．(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴； (2)的长为 本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，关键是利用平行线判定三角形相似，再结合相似三角形的对应高的比等于相似比建立方程求解． （1）根据矩形对边平行的性质得到同位角相等，再依据两角分别相等的两个三角形相似，证明； （2）设正方形边长为未知数，结合正方形性质表示出相似三角形的对应高，利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程，求解得到正方形的边长即的长． （1）略 （2）解：设正方形的边长为，则，． ∵， ∴，即，解得， ∴的长为． 20．(1)； (2)与的相似比为． 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例． （1）利用平行线分线段成比例列式计算即可求解； （2）由，证明，利用相似三角形的性质即可求解． （1）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴与的相似比为． 21．(1)见详解； (2)6 （1）先根据角的和差可得，再根据相似三角形的判定定理即可得证； （2）根据相似三角形的性质即可得． （1）证明：， ，即， 又， ； （2）解：由（1）已证：， ， ，， ， 解得或（不符题意，舍去）， 则的长为6． 22． 本题考查解直角三角形的应用，平行线分线段成比例性质，熟练掌握方位角和利用数形结合思想是解题的关键． 作于．设，根据三角函数，易求 ，，再证明，从而，进而得到，则，求出x的值，即可求解． 解：由题可得，，，，， 如图，作于， 设， 在中，，则， ， 在中，， ， ，， ， ， ， ， ，解得， ， ， 处距离小岛A约有． 23．(1)或 (2) (3)存在， （1）根据矩形的性质，求出的长，根据题意求出，推出，再根据相似的判定推出或，运用相似的性质求解即可； （2）过点作，，垂足分别为，，结合矩形的性质分别证明、，再运用相似的性质结合（1）中，，求出，，最后根据代入求解即可； （3）过点作，，垂足分别为，，根据矩形的性质，证明四边形为矩形，运用矩形的性质结合题意，推出，再结合（1）、（2）已求线段的值，代入求解即可． （1）解：∵矩形， ∴， ，， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得，， ∵由题意可得，， ∴， ∵以，，为顶点的三角形与相似， 又∵， ∴或， ∴或 ∴或， 解方程，得， 解方程，得，（舍去）， 综合上述，当以，，为顶点的三角形与相似时，的值为或； （2）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， ∵矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴， ∵， ∴，则， 整理得， 解得，（舍去）， ∴时，四边形的面积等于； （3）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， 由（2）得，， ∵矩形， ∴，，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵，则， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得． 24．(1)雕塑顶部距离地面的高度为； (2)此时相机镜头距离地面的高度约为． （1）延长，交于M，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到结论； （2）延长，交于T，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到，设，则，，求得，，过Q作于S交于R，根据相似三角形的性质即可得到结论． （1）解：如图，延长，交于M， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：雕塑顶部距离地面的高度为； （2）解：延长，交于T， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， 过Q作于S交于R， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：此时相机镜头距离地面的高度约为． 学科网（北京）股份有限公司 $