广东高二数学上学期单元复习作业（人教A版选择性必修第一册第一章）

《空间向量与立体几何的综合应用》单元复习作业 一、作品基础信息 作品名称 空间向量与立体几何的综合应用——单元复习作业 学段学科 高中数学 适用年级 高二年级或高三一轮复习 教材版本 人教A版（2019） 对应内容 选择性必修第一册 第一章《空间向量与立体几何》 作业类型 单元复习作业 完成时长 总时长65-75分钟 设计者 张湖鑫 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 · 课标要求：本作业对应《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中“空间向量与立体几何”主题，核心素养指向直观想象、逻辑推理、数学运算。需达成学业质量水平三的要求：能利用空间向量解决立体几何中的距离、夹角等度量问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 · 教材地位：空间向量是解决立体几何问题的有力工具，本单元是必修阶段立体几何初步的延伸与深化。本章核心概念为空间向量及其运算、空间向量基本定理，核心方法为坐标法（向量法）解决立体几何问题。 · 教学重难点：本作业聚焦的重难点是——建系策略的选择、动点参数的引入、利用向量运算求解空间角与距离。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生已掌握空间向量的线性运算、数量积、坐标表示及空间向量基本定理；已初步会用向量法求空间角与距离；具备一定的平面几何与立体几何基础。 现有困惑 ①建系策略不清：面对非标准垂直关系的几何体时，难以准确找到三条两两垂直的直线作为坐标轴；②动点问题受阻：引入参数后，面对含有变量的向量运算与最值求解时，运算易出错或无法将几何条件准确代数化；③多解意识薄弱：习惯单一的坐标法，遇到坐标运算复杂时，不会灵活回归几何法（如余弦定理、外心性质）简化计算。 差异分析 ①层次差异：A层学生能熟练建系并完成综合运算，但处理动点最值问题时仍需强化；B层学生能完成基础建系与计算，但一题多解能力及对几何图形的直觉感知较弱；C层学生则在坐标运算的准确性与建系合理性上存在较大困难。②思维差异：部分学生擅长代数运算（坐标法），部分学生擅长几何推理（几何法），需在作业中引导他们取长补短，形成“代数与几何双重视角”。 3. 设计意图 本作业以“一题多问、一题多解”为主线，分层设计基础巩固、综合应用、拓展提升三个板块。基础题以四棱锥为载体，系统串联线面平行、线线垂直、异面直线夹角、线面角、二面角及点线、点面距离的向量求法，帮助学生构建完整的知识网络；综合题引入“四点共球”和“翻折”背景，体现空间向量与平面几何知识的结合，并通过一题多解（坐标法与几何法）拓展思维；拓展题引入动点参数，将静态几何问题转化为动态函数与方程问题，考查最值与存在性探究，全面提升学生的直观想象、逻辑推理与数学运算素养。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 识记空间向量基本定理与坐标表示，复述空间角与距离的向量公式 数学抽象、 直观想象 概念复述、基础题正确率 能力运用 B 运用向量法（坐标法）解决线面平行、垂直的证明及空间角、距离的计算问题 数学运算、 逻辑推理 过程记录、建系策略、方法选用 思维发展 C 比较坐标法与几何法的优劣，概括“四点共球”问题的解决策略，评价动点参数对结果的影响 逻辑推理、 数学建模 一题多解体现、论证思路、创新解法 情感态度 D 体验“几何问题代数化”的思想，形成主动反思与严谨求实的数学学习习惯 数学运算、 数学建模 反思总结、自我评价 4、 作业内容与答案解析 单元作业：空间向量的综合应用 作业预估总时长 65-75分钟 命题人 张湖鑫 【基础巩固】 1、如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是PD的中点． (1)求证：PB∥平面MAC； (2)设平面MAB与平面MCD的交线为l, 求证：AB∥l； (3)求证：平面； (4)求异面直线与所成角的正切值； (5)求直线CM与平面所成的夹角的正弦值； (6)求平面与平面所成的夹角的大小； (7)求点A到平面的距离； (8)求点A到直线的距离．O x y z 【答案】（1）连结交于点,连结, ∵ （2） ∵，且，∴， 又，，∴ （3） 又 ∴，又， ∴，又，. （4）法1: ∵异面直线与所成角，在中, 法2：以为原点， 所在直线分别为  轴， 轴，  轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设异面直线与所成角为，，所以，所以. （5）平面的一个法向量为 设直线与平面所成角为，则 （6）平面的一个法向量为, 平面的一个法向量为, 设平面与平面所成的夹角为，则，. （7）平面的一个法向量为, , 则点到平面的距离. （8），则点到直线的距离. （备用题）如图，正三棱柱 ABC-A1B1C1的所有棱长为3，点P为A1B1的三等分点(靠近点A1)，x z O y （1）求直线A1B与直线B1C所成角的余弦值； （2）求直线B1C与面PAC所成角的余弦值； （3）求平面PAC和平面ABC夹角的余弦值； （4）求点B到面PAC的距离； （5）求点B到直线AP的距离. 【答案】（1）取BC点O，B1C1中点H，连结AO、OH，∴OH//BB1， ∵在正三棱柱中，BB1⊥平面ABC，∴OH⊥平面ABC， 又在正三角形ABC中，OA⊥BC， ∴以O为原点，OB,OH,OA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系Oxyz， A(0,0,)，B(,0,0)，C(,0,0)，A1(0,3,)，B1(,3,0)，C1(,3,0)， ∴，，设A1B与B1C所成角为θ， ∴，∴A1B与B1C所成角的余弦值为. （2） ∵点P为AB1的三等分点， ∴，∴P， 设面PAC的法向量，，， ∴，设BC与面PAC所成角为θ，∴， ，∴BC与面PAC所成角余弦值为. （3） ∵y轴⊥面ABC，∴平面ABC的法向量， 设面PAC和面ABC夹角为θ，， ∴面PAC和面ABC夹角余弦值为 （4） ，面PAC的法向量， ∴点B到平面PAC的距离； （5） ，， ∴点B到直线AP的距离. 【设计意图】本题改编自教材P39例10，以四棱锥为载体，旨在通过“一题多问”系统串联立体几何核心考点。第(1)-(3)问侧重线面平行、线线平行的判定及线面垂直的证明，强化几何逻辑推理；第(4)-(8)问全面覆盖异面直线夹角、线面角、二面角及点线、点面距离的向量求让学生熟练掌握建系与坐标运算的通法，构建完整的空间向量知识网络，全面提升直观想象与数学运算核心素养。并准备了备用题，方便教师针对学生的实际掌握情况看是否需要加以巩固。 作业对象 预计时长 预估难度 对应作业目标编号 全体学生 25分钟 0.8 A, B, C 【综合应用】 2、如图所示的四棱锥中，平面，． （1）证明：平面平面； （2），，，， 在同一个球面上，设该球面的球心为． （i）证明：在平面上； （ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：在四棱锥中，⊥平面，， 平面，平面，∴，， ∵平面，平面，，∴平面， ∵平面，∴平面平面. （2）（i）证明：[法一] 在四棱锥中，，，，∥， ，，建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， 若，，，在同一个球面上，则， 在平面中， ∴，∴线段中点坐标， 直线的斜率：，直线的垂直平分线斜率：， ∴直线的方程：，即， 当时，，解得：，∴ 在立体几何中，，∵， 解得：， ∴点在平面上. [法二] ∵，，，在同一个球面上，∴球心到四个点的距离相等 在中，到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心， 作出和的垂直平分线，如右图所示， 由几何知识得，，， ，∴， ∴点是的外心， 在Rt中，，，由勾股定理得， ∴，∴点即为点，，，所在球的球心， 此时点在线段上，平面，∴点在平面上. （ii）[法1]由题意， 设直线与直线所成角为， ∴. [法2]由几何知识得，，，∥，∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 过点作的平行线，交的延长线为，连接，， 则，直线与直线所成角即为中或其补角. ∵平面，平面，，∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 在Rt中，，由勾股定理得，， 在中，由余弦定理得，， 即：解得： ∴直线与直线所成角的余弦值为：. 【设计意图】第2题选择2025年新高考1卷，综合考查面面垂直的判定及球内接多面体问题。特别体现了空间向量与平面几何知识的深度结合。第(1)问利用线面垂直的性质与判定证明面面垂直，夯实基础。第(2)问以“四点共球”为背景，将立体几何问题转化为平面几何问题——球心即为 △BCD，△BCD 的外心，需利用线段垂直平分线的交点这一平面几何知识来确定球心位置，再通过勾股定理验证。同时，本题答案提供了一题多解：第(i)问既有坐标法（代数运算），也有几何法（外心与垂直平分线）；第(ii)问既有空间向量的坐标运算，也有将异面直线平移后利用余弦定理的几何解法。旨在提升学生综合运用平面几何与空间向量解决复杂立体几何问题的能力，培养发散思维。 作业对象 预计时长 预估难度 对应作业目标编号 中上层 学生 20分钟 0.6 A, B, C 【拓展提升】 3、如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝2，BC＝2，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在线段A1B1上，且＝λ，λ∈[0，1]． (1)证明：AM⊥PN； (2)当λ取何值时，直线PN与平面AMN所成角θ最小？ (3)是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角的正弦值为？ 若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：因为AB＝AC＝2，BC＝2，所以AB2＋AC2＝BC2，即AB⊥AC． 如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系， 则A1(0，0，2)，B1(2，0，2)，M(0，2，1)，N(1，1，0)， 可得＝λ＝(2λ，0，0)， ＝＝(0，0，2)＋(2λ，0，0)＝(2λ，0，2)， 即P(2λ，0，2)，＝(1－2λ，1，－2)， 又因为＝(0，2，1)，可得＝0，所以无论λ取何值，AM⊥PN． (2)由(1)可知，＝(0，2，1)，＝(1，1，0)， 设平面AMN的法向量为m＝(x，y，z)，则 取y＝1，则x＝－1，z＝－2，可得m＝(－1，1，－2)是平面AMN的一个法向量， 可得sin θ＝＝＝， 令t＝λ＋2，因为λ∈[0，1]，所以t∈，则sin θ＝＝， 所以当t＝2，即λ＝0时，θ取得最小值，此时sin θ＝． (3)假设存在，易知平面ABC的一个法向量为u＝(0，0，1)． 因为＝(1，－1，－1)，＝(1－2λ，1，－2)，设n＝是平面PMN的法向量， 则 令a＝3，可得c＝2－2λ，b＝1＋2λ，可得n＝， 则＝＝＝， 化简得8λ2－22λ＋5＝0，解得λ＝或λ＝，因为λ∈，可得λ＝， 所以存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成二面角正弦值为， 点P为线段A1B1上靠近A1的四等分点． 【设计意图】第3题难度在于引入动点参数 P，将静态几何问题转化为动态代数问题。第(1)问利用向量数量积证明线线垂直，体现向量法的优势；第(2)问将线面角的最值转化为关于参数 λ 的函数最值问题，需结合二次函数或换元法求最值；第(3)问则逆向设问，通过二面角条件建立方程反求点 P 位置，考查存在性问题的探究。通过建系，促使学生利用函数与方程思想解决问题，深度强化综合运算与逻辑推理素养。 作业对象 预计时长 预估难度 对应作业目标编号 尖子 培优生 25分钟 0.4 B, C 五、作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 基础题全对，概念精确 少量细节错误 较多基础错误 20% 能力运用 方法恰当，过程清晰，理由充分 方法基本正确 方法不当或缺失 30% 思维发展 观点明确，论证充分，有独创性 表达清楚，欠缺深度 思路混乱，缺乏证据 30% 情感态度 主动投入，积极交流，乐于协作；学习目标明确，能主动反思改进 态度端正，能按要求完成任务；基本参与合作 学习态度消极，被动完成任务，合作意识弱 20% 学科网（北京）股份有限公司 $