第4讲：等腰、等边三角形【八大模型+题型精讲+高分精练】-2026-2027 学年人教版八年级上册数学高分突破：考点精讲・题型专练・培优拓思

第4讲：等腰、等边三角形 题型归纳 题型一：等腰三角形的等边等角性质… ….2 题型二：等腰三角形的三线合一问题… 题型三：等腰三角形的判定与性质应用… 5 题型四：等边三角形的性质. .10 题型五：等边三角形的判定 13 题型六：等腰（边）三角形最短路径问题 .16 题型七：含30°的直角三角形.… 19 题型八：等腰（边）三角形的综合问题 20 知识梳理 对比项目 等腰三角形 等边三角形（正三角形） 有两条边相等的三角形。相等的两边称为 三条边全部相等的三角形，属于特殊的等腰 定义 腰，第三边为底边；两腰夹角是顶角，腰 三角形。 与底边夹角为底角。 边的性质 两腰长度相等 三条边长度都相等 等边对等角：两个底角相等内角关系：项 角的性质 三个内角相等，每个内角都等于60 角底角 顶角平分线、底边上的中线、底边上的 三线合一（核心 任意一角的平分线、对边中线、对边上的 高，三线重合仅适用于顶角与底边，腰上 考点) 高，都满足三线合一，共3组 的高/中线不满足！ 对称性 1条对称轴：底边的垂直平分线 3条对称轴：三条边各自的垂直平分线 ①定义法：两边相等→等腰三角形②等 ①定义：三边相等②三个内角都相等的三角 判定方法 角对等边：两角相等，则对应边相等→等 形③有一个角是60°的等腰三角形→等边 腰 (高频考点) 遇等腰，优先用等边对等角求角度☑看 ☑条件出现：等腰+60°，直接判定等边 到高/中线/角平分线，联想三线合 ☑作一条高，拆成两个含30°的直角三角 解题技巧 ☑分类讨论：边长、角度未明确时要分 形，利用“30°对直角边=斜边一半” 情况，最后检验三边关系☑角度计算常 解题 设未知数，列方程求解 三线合一不能随便用，只针对底边、顶角 漏分类，不验证三边关系，产生错误答案 误区：只要有60°角就是等边，前提必须 易错警示 等腰三角形不一定是锐角三角形（可钝 是等腰三角形X记错对称轴数量 角、等腰直角) 题型精讲 题型一：等腰三角形的等边等角性质 【例1】.(26-27八年级上吉林长春开学考试)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以点A为圆心，AB长为 半径作弧，与AC交于点D,以C为圆心，BC长为半径作弧，与AC交于点E,连结BD,BE,则∠DBE的度数 为() E D A.30° B.45° C.60° D.与∠A的大小有关 【答案】B 【详解】解：设∠A=a,∠C=B,则在Rt△ABC中，∠A+∠C=a+B=90°， 由题意可知AB=AD,CB=CE、 :△ABD和△CBE是等腰三角形， 则<AD8-0s0-0=0-0,∠0B=080-∠C=0-P, 在△BDE中，由∠DBE+∠BDE+∠BED=18O°可得 ∠DE=18w-(0-2090-Pja+)=45 【变式1】.(25-26七年级下内蒙古包头期末)如图，在△ABC中，AB=AC,AE平分∠BAC,DE垂直平分 AB,垂足为点D,连接CE,∠B=50°，则∠BCE的度数为() E A.10° B.15° C.20° D.25° 【答案】A 【详解】解：连接BE, 3 C.AB=AC∠ABC=50° ∴∠ACB=∠ABC=50°，∠BAC=180°-50°-50°=80°， :AE平分∠BAC, ∠BAE7∠BAC=409 DE垂直平分AB, ∴EA=EB, ∴.∠ABE=∠BAE=40° :AB=AC,AE平分∠BAC, ∴.AE垂直平分BC, .EB=EC, ∴.∠BCE=∠CBE :∠CBE=∠ABC-∠ABE=50°-40°=10° .∠BCE=10° 【变式2】.(25-26七年级下广东深圳期末)如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，BD=4CD=4,以AB 为腰在AB的左侧作等腰Rt△ABE,∠ABE=90°，连接EC,则△EBC的面积为() D A.8 B.10 C.12 D.14 【答案】B 【详解】解：如图所示，过点E作EF⊥BC,交CD的延长线于点F, D .∠EFB=90°， 又，∠ABE=90°， ∴.∠FEB+∠EBF=∠EBF+∠ABD=90°， ∴.∠FEB=∠ABD, ,AD为BC边上的高，Rt△ABE是等腰三角形，.∠ADB=9O°，BE=AB,在△BEF和△ABD中， I∠FEB=∠ABD ∠EFB=∠ADB=90° BE=AB ABEF≌aABD(AAS)' ∴.EF=BD,.BD=4CD=4, .EF =4,CD=1,BC=BD+CD=5. S.= 2×5x4=10 题型二：等腰三角形的三线合一问题 【例2】.(26-27八年级上内蒙古单元测试)如图，E为△ABC的边AC上一点，且CE=CB,CD平分∠ACB, 与BE相交于点D,∠A=∠ABE.若AC=5,BC=3,则BD的长为 B A 【答案】1 【详解】解：CD平分∠ACB,CE=CB, ∠BD=∠ECD:BD=DE-E, ∠A=∠ABE, ∴AE=BE, DC-CE)(C-BC). :0=5-3)=2x2=1, 【变式1】.(25-26七年级下上海期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC<BC.分别以点A,B为圆心， 1 大于2MB的长为半径画弧，两弧交于D'E两点，直线DE交BC于点F,连接AF:以点A为圆心，AF为半径 画弧，交BC延长线于点H,连接AH.若BC=3,则△AFH的周长为一 4 ND 【答案】6 【详解】解：由基本作图方法得出：DE垂直平分AB,则AF=BF, ∴.AF+FC=BF+FC=BC=3, AF=AH,AC⊥FH, ∴.FC=CH. .AF+FC=AH+HC=BC=3」 :△AFH的周长为：AF+FC+CH+AH=2BC=6, 【变式2】.(25-26八年级下陕西咸阳阶段检测)如图，在△ABC中，AB=BC=12,BD⊥AC于点D,点F 在BC上，且BF=5,连接AF,E为AF的中点，连接DE,则DE的长为 E 【答案】2 【详解】解：，AB=BC,BD⊥AC, ∴D为AC的中点， ,E为AF的中点， DE是△AFC的中位线， DE=2FC,:8C=12,BF=5 .FC=BC-BF=12-5=7. 6 .DE= 1 7 7 2 题型三：等腰三角形的判定与性质应用 【例3】.(26-27八年级上天津南开阶段检测)己知，△ABC中，∠BAC=a,∠B=∠C,点D,E分别在BC, AC边上，∠BAD=∠CDE. E B D B D 图1 图2 图3 (I)如图1，若a=40°，且AD恰好平分∠BAC,则∠ADE的度数为_°. 类比思考： (2)如图2，若α=50°，且点D是BC边上的任意一点，小颖发现∠ADE的度数为定值.求∠ADE的度数： 联系拓广： (3)如图3，将问题情境中的“点D,E分别在BC,AC边上”改为“点D,E分别在BC、AC的延长线上”， 其余条件不变.直接写出∠ADE的度数（用含a的式子表示）， 【答案】(1)70(2)650(3)90°+2a 【详解】(1)解：∠B=∠C, .△ABC是等腰三角形， AD平分∠BAC,∠BAC=a=40°. ∠BD-B4C=2,AD LBC,即UADC=0 ∠BAD=∠CDE, .∠CDE=20°， ∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=90°-20°=70°： (2)解：·∠BAC=a=50°，∠B=∠C, ∠B=180°-∠BAC_180°-50 2 =65° ∠ADC=∠BAD+∠B.∠ADC=∠ADE+∠CDE,∠BAD=∠CDE .∠ADE=∠B=65° > 则∠ADE的度数为65°； (3)解：∠BAC=a,∠B=∠C, ∠B=180°-∠B1C_180°-&-90- 2 2 2, ∠BAD=∠CDE, =180°-∠B=180°- .∠ADE=∠ADB+∠CDE=180°-∠B-∠BAD+∠CDE 则∠ADE的度数为90°+)a 2· 【变式1】，(25-26八年级下陕西咸阳期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，边BC的垂直平分 线与边AB交于点M,点E在线段AM上，连接CE,CM,且∠ACE=30° B (1)求∠ECM的度数： (2)求证：△ECM是等腰三角形. 【详解】(1)解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°， .∠B=90°-∠A=90°-50°=40°， :点M在边BC的垂直平分线上， ∴.MB=MC .∠MCB=∠B=40° ∴∠ACM=90°-∠MCB=50°， ∠ACE=30° .∠ECM=∠ACM-∠ACE=50°-30°=20°， 则∠ECM的度数为20° (2)证明：∠A=50°，∠ACE=30°， ∴：.∠CEM=∠A+∠ACE=80°， ∠MCB=∠B=40°， ∴.∠CME=∠MCB+∠B=80°， ∴.∠CEM=∠CME P ..CE=CM :.△ECM是等腰三角形. 【变式2】，(25-26七年级下·山西运城期末)在数学综合实践课上，同学们开展对三角形折叠问题的探究活动 如图1，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，点E是AC边上一点，点D是BC边上一点，将△CDE沿着DE 折叠，点C的对应点是点F. E B(D) B 图1 图2 备用图 (I)奋进小组按图1的方式折叠，点D与B重合，将△CDE折叠后，点F落在BA的延长线上，求∠AEF的度数， (2)如图2，善思小组沿DE折叠后点F落在CA的延长线上，此时AC=CD, ①试说明ACDF兰ACAB: ②试探究线段CE,AE和BD的数量关系，并说明理由， (3)创新小组提出新的问题，折痕DE经过AC的中点时，即点E是AC中点，当△DEF是等腰三角形时，请直接写 出∠AFE的度数. 【详解】(1)解：，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°， C&ABC=∠C180~-∠BAC30P由折叠的性质可得ZE=C=30e,8ZBE=80e-BMC60 2 ∠AEF=180°-∠EAF-∠F=90°： (2)①：在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°， ∠B=∠C=180°-∠BAC 2 =30° 由折叠的性质可得∠C=∠F=30°，CD=DF, .AC=CD,AB=AC, ∴.AB=AC=DF=CD. .∠CDF=180°-∠C-∠F=120°=∠CAB. 在△CDF和aCAB中， CD=CA ∠CDF=∠CAB DF=AB 9 ACDF≌ACAB(SAS) ②CE=AE+BD,理由如下： 由O可得CDF≌CAB(SAS) .CF=CB CF=CA+AF,CB=CD+BD,CA=CD, ∴.AF=BD, 由折叠的性质可得CE=EF, EF AE+AF, .CE=EF=AE+AF=AE+BD, (3)解：，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°， ∠B=∠C=180°-∠BAC 2 =30° ,E是AC中点， .AE=CE, 由折叠的性质可得CE=EF,∠DFE=∠C=30°，∠DEF=∠DEC, .AE=EF=CE, ,△DEF是等腰三角形， ∴.当DE=DF时，∠DEF=∠DFE=30°， A B C ∠DEF=∠DEC=30° .∠AEF=180°-∠DEF-∠DEC=120°. “MB=EF,∴∠AFE=∠FAE=180-∠AE 2 =30°； A 当 时， ∠EDF=∠DFE=30B< C DE=EF ∠DEF=180°-∠EDF-∠DFE=120° 10 .∠DEF=∠DEC=120° .∠AEF=∠DEF+∠DEC-180°=60°， AE=EF, E4FE=fAE180-4BF60P:当pE=EE时，DF=180,DE=7S9 2 2 C .∠DEF=∠DEC=75° .∠AEF=180°-∠DEF-∠DEC=30°， AE=EF, ÷∠AFE=∠FAc-180P-,∠AEF=75、 2 综上所述，∠AFE的度数为30°或60°或75°， 题型四：等边三角形的性质 【例4】.(25-26八年级下辽宁丹东期末)如图，等边△MABC,BG=CF,AG与BF交于点D,AE⊥BF于点 E,若AD=9,则DE的长为() D E B G 9 9 A.4 B. C.3 D. 【答案】B 【详解】解：·△ABC是等边三角形， (AB=BC ∠ABG=∠BCF MB=BC’∠ABC=∠C=60'在 和 中， AABG ABCF BG=CF △ABG≌△BCF(SAS) 11 .∠BAG=∠CBF, ,∠ADE是△ABD的一个外角， ∴.∠ADE=∠DBA+∠BAG=∠DBA+∠CBF=∠ABC=6O°， AE⊥BF, .∠AED=90°， .∠EAD=90°-∠ADE=30° 六在R△ABD中，E=号HD=9 2 2· 【变式1】，(2026河北张家口·二模)如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，将aBCD绕点B逆时针旋转 60°得到△BAE,若∠DBC=a,则下列结论一定正确的是() D A.∠1=60°-a B.1=60+20 C.∠2=a D.∠2=60°-a 【答案】D 【详解】解：：将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE, .△BCD≌ABAE ∴.BE=BD,∠CBD=∠ABE=a,∠C=∠BAE=60° :∠DBE=60° ∴，△BDE是等边三角形， .∠BDE=∠BED=60° ∴.∠BDA=∠C+∠DBC=60°+a,∠BDA=∠ADE+∠BDE=60°+∠I .∠1=a ∴.∠BEA=∠BDC, .∠BEA=∠BED+∠2=60°+∠2，∠BDC=180°-60°-∠1=120°-a, .60°+∠2=120°-a, .∠2=60°-a 【变式2】，(25-26七年级下广东佛山期中)如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别在边AC、AB、 12 BC上，且CD-C能-写，r-写C,连接DE E DF AF BD CE:AF和n交于点G 3 以下结论错误的是() B A.△DEF是等边三角形 B.∠AGB=120° D. 【答案】C 【详解】解：△ABC是等边三角形， .AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60° :CD=号AC,AE=号AB,BF=号BC 3 3 ∴AE=BF=CD,AD=BE=CF 在△ADE,aCFD中， AE=CD ∠DAE=∠FCD AD=CF △ADE≌aCFD(SAS) 同理可证△1DE≌ABEP≌ACFD(SAS).&ABF≌BCD(SAS) ∴DE=EF=FD, △DEF是等边三角形，故A正确： :△ABF≌ABCD, .∠BAF=∠CBD, 3 ∴.∠AGB=180°-（∠BAG+∠ABG)=180°-（∠CBD+∠ABG)=180°-∠ABC=120° ,故B正确： ,△ABF与△ABC同顶点A,底边都在BC上，高相等，根据三角形面积公式，面积比等于底长之比， BF-3BC. 3c, 同理可知S-E 2 S,Dr=Se-3S,r=SAc-3×号SAc= 故，D正 题型五：等边三角形的判定 【例5】.(25-26七年级下·山东济南期末)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC于点G, 且AD=AB,E,F分别是边AB,AC上的点，且∠BDE=∠ADF. A G D (I)求证：△ABD是等边三角形： (2)若AB=AC=11,CF=8,求BE的长. 【答案】(I)证明：在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC于点G, ∠BAD=∠DAF=)∠BAC=60°， AD=AB, .△ABD是等边三角形， (2)BE的长为3 14 【详解】(1)略： (2)解：AB=AC=11,CF=8, ∴AF=AC-CF=3 由(1)可知：△ABD是等边三角形，∠DAF=60°， BD=AD,∠DBE=60°， .∠DBE=∠DAF, 在△BDE和△ADF中， T∠DBE=∠DAF BD=AD ∠BDE=∠ADF' .△BDE≌△ADF(ASA) ∴BE=AF=3 即BE的长为3. 【变式1】.(22-23八年级下山东枣庄期中)在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC,垂足为G,且 AD=AB∠EDF=60 AB AC 其两边分别交边，于点卫，F. A D (I)求证：△ABD是等边三角形： (2)求证：AE=CF 【详解】(1)证明：在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC, ∴.BG=CG, ∠BAG=∠C4G=1∠BAC=600 2 AD=AB. .△ABD是等边三角形： (2)证明：由(1)知。MBD是等边三角形，∠BAG=∠CAG=)∠BAC=60°。 2 15 .AD=BD,∠ABD=∠ADB=60°， ∠DAF=∠DBE, :∠EDF=60° .∠BDE=∠ADF=60°-∠ADE, :∴△BDE≌aADF(ASA) :BE=AF, AB=AC. :AB-BE=AC-AF, ∴AE=CF 【变式2】，(25-26八年级下·四川达州阶段检测)如图1，△ABD中，AD=2,BD⊥AD于点D,BD平分 ∠ABC,∠ABC=60°，BD与AC相交于点E. B B (图1) (图2) (图3) (1)求AB的长； (2)延长AD与BC相交于一点P,如图2，求证：△ABP是等边三角形； ③)如图3，点M是MB中点，点N是BD上一动点，连接MW,4N.当BD=25 ，求4BM 面积的最大值， 【详解】(1)解：：BD平分∠ABC,∠ABC=60°， :∠ABD=)∠ABC=)x60°=30°， 2 BD⊥AD, ∴.∠D=90°， 在RtAABD中，∠ABD=30°， .AB=2AD=2×2=4. (2)证明：：BD平分∠ABC,∠ABC=60°， ∴.∠ABD=∠CBD=30° .BD⊥AD, .∠BDA=90°， 16 .∠BAD=60° .∠P=180°-∠ABC-∠BAD=180°-60°-60°=60°， ∴.∠ABC=∠BAD=∠P, ∴，△ABP是等边三角形： (3)解：过点M作aBMN边BN上的高MH,如图， 的 D 则ABN的面积SaN=)BN.MH 2 ,点M是AB中点， 点M是定点， .MH为定值， ∴，当BN的值最大时，△BMN的面积最大， ,点N是线段BD上一动点， 当点N与点D重合时，BN的值最大， 如图，当点N与点D重合时，过点D作DG⊥AB于点G, B D(N) AD=2.BD=2√5BD⊥AD Sm分DxD-x2x25=25, ,点M是AB中点， AM =BM, 片Sm-方MxDG,o方-RMxDG, 1 SAAMD =SABMD-2AD 2*26=5 17 △BMN 3 ∴.当点N与点D重合时， 面积的最大值为 题型六：等腰（边）三角形最短路径问题 【例6】.(25-26八年级上·陕西西安阶段检测)在△ABC中，∠BAC=40°，AB=AC,BD⊥AC于点D,点M N分别是线段BD,BC上的动点，且BM=CN.当AM+AW的值最小时，∠MAD的度数为 D M B N C 【答案】10°10度 【详解】解：在BC下方作aCNA',使aCNA'≌aBMA,连接AM, M D B iN A 则∠A=∠BAM,∠NCA'=∠MBA,AM=A'N,AB=AC, .AM+AN=A'N+AN≥AA', 即AM+AN的最小值为AA,此时A,N,A三点在同一直线上， :∠BAC=40°，AB=AC :∠4Bc=4CB-080-∠BMC)-080-40)=70. ,BD⊥AC, ∴.∠ABD=90°-∠BAC=50°， 18 .∠NCA=∠MBA=50° .∠ACA=∠ACB+∠NCA'=70°+50°=120°， .AB=AC=A'C. :∠A=∠C1-080-∠4c0=30. .∠BAM=∠A=30° ∴.∠MAD=∠BAC-∠BAM=40°-30°=10°， 故答案为：10° 【变式1】.(25-26八年级上湖北恩施期末)如图，在等腰△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,两动点E, F分别在线段AD、AB上运动，若∠BAC=48°，则当BE+EF取得最小值时，∠EBF的度数为°. E 【答案】42 【详解】解：过C作CF'⊥AB于P,交AD于E',连接BE,CE, C E八D B :AB=AC,AD⊥BC, .BD=CD. ·AD垂直平分BC, ∠ABc=∠4cB=5080-48)=66. .CE'=BE,∠BCF'=90°-∠ABC=24°， .∠E'CB=∠E'BC=24,BE+EF=CE+EF≥CE'+E'F'=CF', 即当点C,E',F'三点共线，且CF'⊥AB时，BE+EF的最小值为CF'的长， 19 .∠E'BF'=∠ABC-∠E'BC=66°-24°=42°」 即当BE+EF取得最小值时，∠EBF=42°. 故答案为：42 【变式2】.(25-26八年级上黑龙江牡丹江期末)如图，△ABC的面积为6，∠B=30°，AC=3,点D、E、 F分别是AC、AB、BC边上的动点，则△DEF周长的最小值为一· B 【答案】4 【详解】解：如图，作点D关于AB、BC的对称点M、N,连接BM,BN,MN,EM,FN,BD, M 由轴对称可得，BM=BD=BN,EM=ED,FD=FN,∠MBA=∠DBA,∠NBC=∠DBC, 当M,E,F,N在一条直线上时，△DEF的周长=DE+EF+FD=EM+EF+FN=MN最小，即△DEF周长 的最小值为MW .·∠ABC=∠DBA+∠DBC=30°， ∠MBN=∠MBA+∠DBA+∠DBC+∠NBC=2(∠DBA+∠DBC)=6O° .△BMN是等边三角形， .MN=BM=BN BD. “.△DEF周长的最小值为BD的长， 根据垂线段最短，可知BD⊥AC时，BD最小，即△DEF周长最小， :AC的面积为6，MC-3,即8m方4C-m-3xB0=6 .BD=4,即△DEF周长最小值为4. 故答案为：4. 20 题型七：含30°的直角三角形 【例7】.(22-23八年级下·河南郑州阶段检测)如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA,PD⊥OA.若PC=10, 则PD=一 【答案】5 【详解】解：过点P作PE⊥OB于点E,如图， E B 一A D :∠AOP=∠BOP=15° .OP平分∠A0B,∠A0B=30°， 而PD⊥OA,PE⊥OB. ∴PE=PD, .PC∥OA」 ∠PCE=∠AOB=30°， .PD=5」 【变式1】.(2026四川攀枝花中考真题)在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB=2,BC=6,∠B=30°，则 △ABD的面积为 A 30 D 3 【答案】 【详解】解：，AD是BC边上的中线，BC=6, .BD= BC=3 21 过点A作AH⊥BD于H, 30° B H D C .∠AHB=90°， ∠B=30°，AB=2, H-4B=1 2 9m-分x0x4加-x31 1 2 【变式2】，(25-26八年级下·陕西咸阳期中)如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC上的一点，连接AD,点 O在AD上，连接BO、CO,OB=OC,若OD=1,∠OBD=30°，则OC的长是一· B 【答案】2 AB=AC A0=A0 【详解】解：在 和 中， AOB'△AOC OB=0C,△A0B≌△M0C(SSS) ∴.∠BAO=∠CA0. .AB=AC, .AD⊥BC, .OD=1,∠OBD=30°， ..OB=OC=2 题型八：等腰（边）三角形的综合问题 【例8】.(26-27八年级上：四川达州开学考试)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,边CA沿着过点A 的某条直线对折得到DA,连接CD，,以CD为边在左侧作△CDE,其中∠CDE=9O°，CD=DE,AD与CE交于 点F,连接BD. 22 (图1) (图2) (图3) (I)如图1，连接AE,当点D在△ABC外部时，试说明△ADE≌aBCD: (2)如图2，连接AE,当点D在△ABC的斜边AB上时，试判断△AEF的形状并说明理由； (3)如图3，当点D在△ABC的内部时，若点F为AD的中点，且EF=2,求BD的长 【答案】(1)证明：如图， D :AC=AD」 .∠ACD=∠ADC, .∠ACB=∠CDE=90° .∠BCD+∠ACD=90°，∠ADC+∠ADE=90°， .∠BCD=∠ADE. .CA=CB,AC=AD. .DA=CB 在△ADE和△BCD中， DA=CB ∠ADE=∠BCD DE=CD △ADE≌ABCD(SAS) (2)解：结论：△AEF是等腰三角形， 理由：如图， 23 ,CA=CB,∠ACB=90」 .∠CAB=∠B=45°， AC=AD ∠ACD=∠ADC=67.50, :据(1)可知△ADE≌aBCD, .∠DAE=∠B=45°， ∴.∠EAF=∠DCF, .∠AFE=∠CFD, .∠AEF=∠CDF=67.5°， .∠AFE=180°-45°-67.5°=67.5°， .∠AFE=∠AEF=67.5°. ∴△AEF是等腰三角形. (3)解：如图，延长CF到T,使得FT=CF,连接AT,DT, .AF=DF,CF=FT. ∴.四边形ATDC是平行四边形， .AC=DT,AC∥DT, .∠CAD=∠ADT, .AC=AD. .DA=DT, .∠ACD+∠DCB=90°，∠CAD+2∠ACD=180°. 24 2<CAD+∠ACD=90 .DCB=∠CAD .∠CAD=∠ADT=2∠DCB、 ,据(1)可知△ADE2ABCD」 .∠DCB=∠ADE, ∴.∠ADE=∠TDE, DA=DT, .DE⊥AT, ∴.DE平分AT, AF FD, .ET=2EF=4, ,DE垂直平分线段AT, ∴.EA=ET=4, .△ADE≌△BCD, ∴.BD=AE=4, 【变式1】.(25-26七年级下四川成都期末)如图，△ABC与△AED为等腰三角形，AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC,D为线段BC上一个动点，AC与DE相交于点G. G B D D B D 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：CA平分∠BCE: (2)如图2，在ED延长线上取一点F,当DF=EG时，线段AC与BF有什么位置关系？并说明理由； 25 (3)如图3，若AE⊥AB,且∠CAD=2LCDE,ACDE的面积为4，求CD的长. 【答案】(I)证明：，∠DAE=∠BAC, .∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC,即∠CAE=∠BAD 25 AB=AC ∠BAD=∠CAE 在 和 中， ABD△ACE AD=AE ，·AABD2aACE(SMS)' .∠B=∠ACE,AB=AC,∴.∠B=∠ACB,∴.∠ACE=∠ACB,即CA平分∠BCE. (2)解：ACIBF,理由如下： 如图所示，在AB上截取AM,使得AM=AG,连接DM,在AB上取点H,连接DH,使得DH=DB, H G .·AD=AE .∴.∠ADE=∠AED, AM=AG ∠BAD=∠CAE 在 和 中， △ADM△AEG AD=AE △ADM≌△AEG(SAS) DM=EG,LAMD=∠AGE,∠ADM=∠AED. .∠ABC=∠DHB,∠ADM=∠ADE, :∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE,∠ADM=∠AED】 ∴.∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED=∠ADM=∠DHB, 又：∠BDF=I8O°-∠ADE-∠ADM-∠BDM, ∠MDH=180°-∠ABC-∠DHB-∠BDM, ∴.∠BDF=∠MDH, .DF=EG,DM=EG .DF=DM, 26 DH=DB ∠MDH=∠BDF 在 和中， △DMH△DFB DM=DF △DMIH≌ADFB(SAS) ∴.∠AMD=∠F, 又，∠AMD=∠AGE=∠CGD. ∴.∠F=∠CGD. .ACI∥BF (3)解：由(1)知，∠ACB=∠ACE,∠BAD=∠CAE :∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE, ∴.∠ABC=∠ADE=∠ACB. :∠ABC+∠BAD+∠ADB=∠ADB+∠ADE+∠CDE=180°， .∠BAD=∠CDE, ∠CAD=2∠CDE. .设LCDE=a,则∠BAD=∠CDE=a,∠CAD=2a, ,AB⊥AE, ∠BAE=∠BAD+∠CAD+∠CAE=4a=90°，解得a=22.5°， .∠CAD=45°，∠CDE=22.5°. 在△ADG和△CEG中，∠ADE=∠ABC=∠ACE,∠AGD=∠CGE .∠CEG=∠CAD=45°，∠DAE=∠BAC=∠DAC+∠BAD=67.5, 如图所示，取线段AD,CD垂直平分线的交点M,连接AM,DM,EM,CM,过点M作MN⊥BC交BC于点N, E. G 27 ∴.AM=DM=CM, :∠MAD=∠MDA,∠MAC=∠MCA,∠MDC=∠MCD, .∠CAD=∠DAM+∠MAC=45°， ∴.∠DAM+∠MAC=∠MDA+∠MCA=45°. 在△ADC中，∠DAC+∠ADC+∠ACD=∠DAC+∠MDA+∠MDC+∠MCD+MCA=180°， ∴.∠MDC+∠MCD=90°，则∠DMC=90°， 又，DM=CM, .ACDM是等腰直角三角形， :.∠MDC=∠MCD=45°， 又MN⊥BC, .△DNM,aCNM是等腰直角三角形， .DN =MN,CN =MN. CD=CN+DN, MN=号CD 2 :∠DAE=67.5°，AD=AE. A∠ADE=∠ABD=180°-，∠DME=56250 2 又.∠CDE=22.5°， .∠ADC=∠ADE+∠CDE=78.75 .∠ADM=∠ADC-∠MDC=33.75°， AM=DM, ∴.∠MAD=∠ADM=33.75°， .∠DAE=67.5°， ∴.∠MAE=∠DAE-∠MAD=33.75°， ∴.∠MAE=∠MAD, AD=AE ∠MAD=∠MAE 在 和 中， AMD△AME AM=AM 28 △AMD≌△AME(SAS) ∴.∠AEM=∠ADM=∠MAD=33.75°， ∴.∠MEG=∠AED-∠AEM=22.5°， ∠CDE=22.5°， ∴.∠CDE=∠MEG. .ME∥DC, S.CDM=S.CDE S.cDM -CD-MN-1CD.S.ow-25 4, cD=25 .4 .CD2=25, 又32=25(-5}=25 ∴.CD=5或CD=-5, 线段的长度为非负数， .CD=5」 【变式2】.(25-26七年级下·辽宁沈阳期末)等边三角形ABC中，CN为AB边上的高，点D,E分别为线段 CN,CB上一点（点D不与点C,N重合，点E不与点B,C重合），DE所在直线交AC于点F,将图形沿EF 翻折，得到点C的对应点C”: A NA B .C B 图1 图2 图3 备用图 (I)如图1，若点C落在AC上，则∠FEC的度数为 如图2，若点C'落在CV上，则∠FEC的度数为一： (2如图3，若DC'‖AB,求∠FEC的度数： (3)若点C落在WB延长线上时，请直接写出∠NDC',∠BEC'和∠NCB之间的等量关系. 29 【答案】(1)30°，60°(2)15°(3)∠NDC'=2LBCN+∠BEC 【详解】(1)解：△ABC是等边三角形， .∠ACB=60° 当点C落在AC上时， 由折叠可知∠CC"E=∠ACB=60°，∠FEC=∠FEC, ∠C"EC=180°-∠ACB-LCCE=60°， ÷∠FEC=∠FEC=∠C'EC=300, 2 :△ABC是等边三角形， .∠ACB=60°， :CN⊥AB ∠BCN=号∠ACB=30】 2 由折叠可知，∠ECD=∠BCN=30°，∠FEC=∠FEC', ∠CEC'=180°-∠BCN-∠EC'C=120°， ∠FEC=∠FEC=)∠CEC'=60°y (2)解：△ABC是等边三角形， .∠ACB=60°， CN⊥AB, ∠ACN=∠BCN=2ACB=30°，4NC=90P, DC"Il AB ∴.∠CDC=∠ANC=90°」 由折叠可知∠CDF=∠CDF=)∠CDC=45°， 21 ∴.∠FEC=∠FDC-∠BCN=45°-30°=15°. (3)解：如下图所示，延长CE交CN于点H, 30 NAD :△ABC是等边三角形， .∠ACB=60°、 CN⊥AB :∠ACN=∠BCN=1∠ACB=30 由折叠可知∠DCE=∠BCN=30°， :∠DHE是△HEC的外角， .∠DHE=∠BCN+∠HEC, :∠BEC'=∠HEC ∴.∠DHE=∠BCN+∠BEC', :∠NDC'是△DCH的外角， ∴.∠NDC'=∠DC'E+∠DHE=∠BCN+∠BCN+∠BEC'=2∠BCN+∠BEC' 高分精练 一、单选题 1.(26-27八年级上·云南期中)如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，工人师傅在焊接立柱时，只 需找到BC的中点D,就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是() B D A,等边对等角 B.等角对等边 C.垂直平分线的性质 D.等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【详解】解：：AB=AC, .△ABC是等腰三角形， 31 :点D是BC的中点， .AD⊥BC ∴.工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一” 2.(25-26八年级下·陕西汉中·期末)如图，在△ABC中，点D在边AC上，连接BD,∠A=∠ABD,若BD=9, CD=7,则AC的长为() A.13 B.14 C.15 D.16 【答案】D 【详解】解：：∠A=∠ABD, .AD=BD=9, .AC=AD+CD=9+7=16 3.(25-26八年级下陕西汉中·期末)如图，等边△ABC的边长为8，点D在边AC上，AD=2,过点D作 DEIAB交BC于点E,连接AE,点F在EC上，连接AF,AF=AE,则EF的长为() A 4 B 3 C2 D.⑤ 【答案】A 【详解】解：，等边△ABC的边长为8， 32 .AB=AC=BC=8,∠C=∠B=60°， 点D在边AC上，AD=2, .CD=AC-AD=8-2=6, DEI∥AB .∠DEC=∠B=60°， ∴.∠DEC=∠C=60°， ∴△DEC是等边三角形， .'..CE=CD=6, .BE=BC-CE=8-6=2, AF=AE, .∠AEF=∠AFE, :∠AFC+∠AFE=180°，∠AEB+∠AEF=180°， ∴∠AFC=∠AEB」 在△ACF和△ABE中， ∠AFC=∠AEB ∠C=∠B AF=AE △ACF≌AABE(AAS) .CF=BE=2. ∴.EF=CE-CF=6-2=4 4.(26-27八年级上：广东汕头阶段检测)如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE, C,D,E三点在同一条直线上，连接BD,则下列结论错误的是() A.△ABD≌AACE B.BD=CE C.BD⊥CE D.∠BAE+∠CAD=200° 【答案】D 33 【分析】根据全等三角形的判定和性质进行解答即可. 【详解】解：，∠BAC=∠DAE=90° .∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC, ∠BAD=∠CAE, .AB=AC,AD=AE △ABD≌△ACE(SAS) .BD=CE,∠ABD=∠ACE, ∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC, :∠ABC=∠ACB=080°-90)=45°. ∴.∠ACD+∠ACB+∠CBD=∠ABD+∠ACB+∠CBD=90° ∴.∠BDC=90° 即BD⊥CE. 无法证明∠BAE+∠CAD=200°，故D错误. 5.(25-26八年级上辽宁铁岭期末)如图，在等腰△ABC中，AB=AC=8,∠ACB=75°，AD⊥BC于点D, M、N两点分别是线段ACAD上的动点，则MN+CN的最小值是() A.3.5 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【详解】解：如下图，连接BN, 34 A M B DC ·AB=AC,AD⊥BC ∴AD垂直平分BC, .CN=BN, ∴.MN+CN=MN+BN, 当B,N,M三点共线且BM⊥AC时，MN+BN取得最小值，最小值为点B到AC的距离，如下图， N M B :AB=AC=8,∠ACB=75°， .∠ABC=∠ACB=75°， ∠BAC=180°-（∠ABC+∠ACB)=30° 在AM6M中，BMB=4 6.(26-27八年级上四川眉山开学考试)如图，在△ABC中，点D是边AB上一点，点E是线段CD上一点，且 △BDE≌aCDA,其中点B与点C、点D与点D、点E与点A分别是对应顶点，下列结论中正确的是() 35 D ①∠CBE=∠CAE:②∠AED=45°：③BE⊥AC:④AE⊥BC. A.①②③④ B.①②③ C.①③④ D.②③④ 【答案】A 【详解】解：，△BDE≌aCDA, ∴AD=ED,CD=BD,∠ADC=∠BDE,∠CAD=∠DEB,∠ACD=∠DBE, ,∠ADC+∠BDE=180°， .∠ADC=∠BDE=90°， ∠DAE=∠AED=45°，∠DCB=∠DBC=45°，故②正确： .∠CAD=∠CAE+∠DAE=∠CAE+45°， ∠DEB=∠CBE+∠BCD=∠CBE+45°， ∴.∠CAE+45°=∠CBE+45°， ∴.∠CAE=∠CBE,故①正确： 延长BE交AC于点F,如图所示： .∠ECF=∠DBE,∠CEF=∠BED 又：∠CEF+∠ECF+∠EFC=∠DEB+∠DBE+∠BDE=I8O°， ∴∠EFC=∠BDC=90°. .BE⊥AC,故③正确： 延长AE交BC于点G,如图所示： 36 :∠BAE=∠CBD=45°， .∠AGB=180°-45°-45°=90°， .AG⊥BC,故④正确： 综上，正确的有①②③④， 7.(26-27八年级上陕西西安开学考试)如图，在△ABC中，AB=AC=12cm,∠B=∠C,BC=8cm.点D为 AB的中点，点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时点O在线段CA上.由C点向A点运动. 若点O的运动速度为cm/s,则当△BPD与△CgP全等时，v的值为() B A.2 B.3 C.2或3 D.3或4 【答案】C 【分析】设运动时间为s,根据线段的中点可得：AD=BD=6cm再根据题意可得：CQ=Wcm,BP=21cm,从 CP=(8-2t)cm 而可得 然后分两种情况：当△BPD2aCQ时，当△BPD≌△CP巴时，从而分别进行计算即可解 答 【详解】解：设运动时间为s, :D是AB中点，AB=AC=12cm, 40=D=号4=6em.B=∠C 由题意得：CQ=vtcm,BP-2tcm, .BC=8cm, 37 CP=(8-2t)cm .∠B=∠C, 分两种情况： 当△BPD≌aCOP时， ..BP=CQ,BD=CP .2t=t,6=8-2t, 解得：v=2,1=1: △BPD≌△CPO 当 时， .BP=CP,BD=CO. 21=8-2,6=W, 解得：t=2,v=3: 综上所述：为使△BPD与aCQP在两点运动过程中全等，点Q的速度应为2cm/s或3cm/s. 8.(25-26八年级上辽宁铁岭期末)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的 中点，两边PE,PF分别交AB,AC于点E,F,连接EF交AP于点G,给出以下五个结论： ①LB=∠C=45°： ②AE=CF; ③AP=EF; ④△EPF是等腰直角三角形： ⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的一半， 其中正确的结论是() A G B A.①②③④ B.①②③⑤ C.①②④⑤ D.①②③④⑤ 【答案】C 38 【详解】解：：AB=AC,∠BAC=90°， 、∠B=∠C=2×(180°-90）=45°，故①正确； :直角∠EPF的顶点P是BC的中点， ·AP⊥BC,MP=2BC=PC,∠BAP=∠CAP=45°=∠C .∠APF+∠FPC=90°，∠APF+∠APE=90°， ∴.∠FPC=∠EPA. △APE≌ACPF(ASA) .AE=CF:EP=PF ∴.△EPF是等腰直角三角形；故②④正确： .'△APE≌ACPF, S.AEP =S.CFP 1 SAOAF=S.u+S.-S.c+S.r=S.aPC-7.c 即四边形AEPF的面积是△ABC面积的一半，故⑤正确； :APBC,E的长度选么、F的位置变化，只有只、P为中点时才相等， 2 ∴.一般情况下EF≠AP,故③错误； 故正确的有①②④⑤，共4个. 二、填空题 9.(24-25八年级上·安徽毫州阶段检测)如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D,垂足为E,若 ∠BAC=110°，∠B=35°，则∠DAC的度数是 【答案】75175度 【详解】解：AB的垂直平分线交BC于点D,垂足为E, .BD=AD. .∠BAD=∠B=35°、 ∠BAC=110° 39 .∠DAC=∠BAC-∠BAD=110°-35°=75° 34.(26-27八年级上辽宁鞍山开学考试)如图，已知△4BC≌△DBE,若点C,D,E在同一条直线上，且 CB⊥BE,∠ABC=25°，则∠BDE的度数为 E D 【答案】110 【详解】解：：△ABC≌△DBE, ∴.BC=BE,∠DBE=∠ABC=25°， ∠BCE=∠E, ,CB⊥BE ∠CBE=90°， 六∠B=180°-∠CBE=45 2 ∴.∠BDE=180°-∠E-∠DBE=110° 10.(26-27八年级上江苏常州阶段检测)如图，在△ABC中，AB=AC=9,点E在边AC上，点D在BC上， AD=DE,若∠ADE=∠B=∠C,CD=3BD,则CE等于 B 【答案】3 【详解】解：，AB=AC=9, .∠B=LC, :∠ADE=∠B,∠BAD=180°-∠B-∠ADB,∠CDE=180°-∠ADE-∠ADB. .LBAD=∠CDE, 在△ABD与△DCE中， 40 ∠BAD=∠CDE ∠B=∠C AD=DE △ABD≌ADCE(AAS) .CD=AB=9,BD=CE, CD=3BD .CE=BD=3 11,(26-27八年级上：湖南湘潭开学考试)如图，已知∠A0B=55°，点P是∠AOB内一定点，将军牵马从军营P 出发，先到河流OA边上一点C饮马，再到草地OB边上一点D吃草，最后回到军营P.当将军走过的路程 PC+CD+DP最短时，则∠CPD= 4 p B 【答案】70 【详解】解：作点P关于OA的对称点P',作点P关于OB的对称点P”,连接P'P",分别交OA、OB于点C、D, 连接OP,OP,OP,如下图： 此时PC+CD+DP=P'C+CD+DP"=P'P,路程最短， 由对称性质可知OP=OP'=OP",∠POA=∠POA,∠P"OB=∠POB .∠P'OP"=∠P'OA+∠AOB+∠BOP"=2∠AOB, ∠A0B=55°， ∠POP"=110°， ..OP'=Op" 又 20rp=20Pr-080-10）=35. 由对称性质可知∠OPC=∠OP'C,∠OPD=∠OP"D, .∠OPC=35°，∠OPD=35°. ∴.∠CPD=∠OPC+∠OPD=35°+35°=70° 12.(2026八年级上全国专题练习)如图，四边形ABCD中，ADI‖BC,AB=CD,AD=BC,CE⊥AD于E, 点F为6中点，D-D,2CF:,则∠AFE. A ED 【答案】30° 【详解】解：延长EF、CB交于点G,连接FC, ED B :四边形ABCD中，ADI‖BC,AB=CD,AD=BC, ∠A=LGBF,∠AFE=∠BFG,∠GCE=CED=90°， ∴.∠G=90°-∠CEF=50°， ,点F为边AB中点， :AF=BF=1AB .aAFE≌△BFG(ASA) .FE=FG, ∴.FC=FE=FG, 42 .∠FCG=∠G=50° .∠GFC=180°-∠FCG-∠G=80°， BF-AB.AD-TCD.4R-CD:4D-RC: 2 .BF=BC, ∴.∠BFC=∠FCG=50° ∴.∠BFG=∠GFC-∠BFC=30° .∠AFE=∠BFG=30° 三、解答题 13.(2026四川乐山二模)如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC,垂足为C.EF是由CD沿 CE方向平移得到的，已知EF过点A,连接BE交CD于点G. G (1)求∠DCE的大小： (2)求证：BE⊥AC 【详解】(1)解：△ABC是等边三角形， ∠ACB=60°， D是AB的中点 .∠BCD=∠ACD=30°. 又CE⊥BC, ∴.∠BCE=90°， .∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°-30°=60° (2)证明：EF是由CD沿CE方向平移得到的， .CD∥EF, ∴.∠EAC=∠ACD 由(1)可知∠ACD=30°， .∠EAC=∠ACD=30° :△ABC为等边三角形， .∠ACB=60°，AB=CB 43 ∴.∠ECA=∠BCE-∠ACB=30° .∠EAC=∠ECA, ..AE=CE 又AB=CB, ∴.BE是AC的垂直平分线， ∴.BE⊥AC 14.(25-26七年级下·上海浦东新期末)如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，连接CD,过点C作 CE⊥BC,过点A作EF∥CD,CE、EF交于点E,连接DF、BE,BE交CD于点G. (1)求∠DCE的大小： (2)求证：aCEG是等边三角形. 【详解】(I)解：：△ABC是等边三角形，D为AB中点， .CD⊥AB, ∠BCD=)∠ACB,∠ACB=60 2 ∠BCD=30° CE⊥BC, .∴∠BCE=90° ∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°-30°=60°. (2)证明：：△ABC是等边三角形，D为AB中点， &CD1AB,ZBCD=∠ACD=ZACB,∠ACB=∠ABc=6OP,AB=BC 2 ∠BCD=∠ACD=30°， :CE⊥BC, ∴.∠BCE=90° ∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°-30°=60°，∠ACE=∠BCE-∠ACB=90°-60°=30°， :EF∥CD,∠ACD=30°， .∠CAE=∠ACD=30°=∠ACE, .AE=CE 44 在△BAE和△BCE中， BA=BC BE=BE AE=CE' △BAE≌ABCE(SSS) ∠CBE=∠ABE、 :∠ABC=60°， .∠CBE=30° :∠BCD=30° ∴.∠BGC=180°-∠CBE-∠BCD=120°， ∠CGE+∠BGC=180°， ∠CGE=60°， :∠DCE=60°， ∴△CEG中，∠CGE=∠DCE=60°， ∴EG=CE. .∠DCE=60°， :△CEG是等边三角形。 15.(25-26七年级下·辽宁丹东期末)已知：△ABC是等边三角形. B B 图1 图2 图3 (I)如图1，点D是边BC上一动点，连接AD,以AD为边作等边三角形ADF,点F在AD的右侧，连接CF,求 证：△ABD≌△ACF: (2)如图2，在(1)的条件下，点E在边AC上且△CDE是等边三角形，DF与边AC交于点M,BC=8,CF=4 ，求CM的长度： 45 (3)如图3，当点D是△ABC内任意一点，连接AD,以AD为边作等边△ADF,点F在AD的右侧，连接BD并延长 交射线CF于点E(点E与点F不重合)，请直接写出∠AFE与∠ADE之间的数量关系. 【答案】(I)证明：△ABC与△ADF是等边三角形 ∴AB=AC,AD=AF,∠BAC=∠DAF .∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC ∴.∠BAD=∠CAF ∴.△ABD≌△ACF (2)CM=2 (3)∠AFE=∠ADE或∠AFE+∠ADE=180 (2)解：由(1)知△ABD≌△ACF, .BD=CF=4. .CD=BC-BD=4. .CD=CF 又AD=AF, .AC垂直平分DF, ,△CDE是等边三角形， .CE=CD=4. DF⊥AC, CM-2CE-2 (3)解：同(1)法可得△ABD≌△ACF: .∠ADB=∠AFC, ①当点E在线段CF上时，如图， △ADF为等边三角形， .∠ADF=60° .∠ADB+∠FDE=180°-∠ADF=120°. 46 .∠AFE+∠FDE=120° .∠AFE+∠ADE=∠AFE+∠FDE+∠ADF=120°+60°=180°： ②当点E在线段CF的延长线上时，如图： B :∠ADB=∠AFC. .180-∠ADB=180-∠AFC, ∴.∠ADE=∠AFE 16.(25-26八年级下·贵州毕节期末)根据题意解答下列问题. E B 图1 图2 (I)【问题发现】如图1，△ABC和△AEF均为等边三角形，连接BE,CF,延长BE,交CF于点D,则BE与CF 之间的数量关系是一，∠BDC的度数是°： (2)【拓展探究】如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE,点A,D, M,E在同一直线上，CM为△DCE的中线，连接BE,若AE=BE+2CM,求∠AEB的度数. 【详解】(1)解：如图，AC与BD相交于点O, A E 和 均为等边三角形， B C:△ABC△AEF ∴.AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=60°， ∴.∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE, 47 .∠BAE=∠CAF .△ABE≌aCAF(SAS) .BE=CF,∠ABE=∠ACF :∠BDC+∠ACF=∠BAC+∠ABE=∠AOD. LBDC=∠BAC=60°： (2)解：如图，AE与BC相交于点P, M D B·∠ACB=∠DCE ∴.∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD .∠ACD=∠BCE, 在△ACD和△BCE中， AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE :.△ACD≌aBCE(SAS) .AD=BE,∠CAD=∠CBE. :点A,D,M,E在同一直线上， ∴.∠AEB+∠CBE=∠ACB+∠CAD=∠CPE, .∠AEB=∠ACB AE=BE+2CM,AE=AD+DE, .DE=2CM, :CM为△DCE的中线， ∴.DE=2DM=2ME, .CM DM=ME, .∠MCD=∠CDM,∠MCE=∠CEM, ∠MCD+∠CDM+∠MCE+∠CEM=180°， ∴.2∠MCD+2∠MCE=180°，即∠MCD+∠MCE=90°， .∠DCE=90°. 48 ∴∠ACB=∠DCE=90°， .∠AEB=∠ACB=90°， 则∠AEB的度数为90° 17.(25-26七年级下·广东茂名·期末)【模型构建】 如图O,两个等腰△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,点A为公共顶点，连接BD,CE 可探究BD和CE的数量关系. B D 图① 图② 图③ (I)求证：△ABD≌AACE 【深入探究】 (2)如图②，△ABC和△ADE为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，判断BD、EC的数量关系并证明： 【拓展应用】 (3)如图③，在△ABC中，∠BAC=60°，点M为BC的中点，以BC为边在下方构造等边△BCD,连接AM、AD、 MD.己知点M到AD的距离为1，△AMD的面积为3.6，求AM的值. 【答案】(I)证明：：∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC, 即∠BAD=∠CAE, 在△ABD与△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE △ABD≌△ACE(SAS) (2)BD=CE 证明：~△ABC和△ADE为等腰直角三角形， ∴.AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ACB=45°， ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC. % 即∠BAD=∠CAE △ABD≌AACE(SAS) ..BD=CE (3)解：以AB为边向左上方作等边三角形ABE,延长AM,EB交于点F,连接CE, E 点M到 的距离为1， 的面积为3.6， D AD △AMD 1 AD×1=3.6 2 AD=7.2, :△ABE和△BCD都是等边三角形 BE=BA,BC=BD,∠EBA=∠CBD=6O°， ∴.∠EBC=∠ABD .△EBC≌△ABD」 ∴.EC=AD ∠ABE=∠BAC=60°， AC∥BF, .∠ACM=∠FBM,∠CAM=∠F, “点M为BC的中点，CM=BM,△ACM≌AFBM(AAS) AM=FM AC=BF.AM=IAF 2 F，∠ABE=∠BAC=LBAE=60, ∠EAC=∠FBA=120°，：EA=AB.AC=BF,△EAC≌△MBF(SAS）,∴CE=AF, .'AF AD, w-号4-0=36 50 第4讲：等腰、等边三角形 题型一：等腰三角形的等边等角性质 2 题型二：等腰三角形的三线合一问题 3 题型三：等腰三角形的判定与性质应用 4 题型四：等边三角形的性质 5 题型五：等边三角形的判定 6 题型六：等腰（边）三角形最短路径问题 7 题型七：含30°的直角三角形 8 题型八：等腰（边）三角形的综合问题 9 对比项目 等腰三角形 等边三角形（正三角形） 定义 有两条边相等的三角形。相等的两边称为腰，第三边为底边；两腰夹角是顶角，腰与底边夹角为底角。 三条边全部相等的三角形，属于特殊的等腰三角形。 边的性质 两腰长度相等 三条边长度都相等 角的性质 等边对等角：两个底角相等内角关系：顶角底角 三个内角相等，每个内角都等于60∘ 三线合一（核心考点） 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，三线重合仅适用于顶角与底边，腰上的高 / 中线不满足！ 任意一角的平分线、对边中线、对边上的高，都满足三线合一，共 3 组 对称性 1 条对称轴：底边的垂直平分线 3 条对称轴：三条边各自的垂直平分线 判定方法 ①定义法：两边相等 ⇒ 等腰三角形②等角对等边：两角相等，则对应边相等⇒等腰 ①定义：三边相等②三个内角都相等的三角形③有一个角是 60° 的等腰三角形 ⇒ 等边（高频考点） 解题技巧 遇等腰，优先用等边对等角求角度✅看到高 / 中线 / 角平分线，联想三线合一✅分类讨论：边长、角度未明确时要分情况，最后检验三边关系✅角度计算常设未知数，列方程求解 ✅条件出现：等腰 + 60°，直接判定等边✅作一条高，拆成两个含 30° 的直角三角形，利用 “30° 对直角边 = 斜边一半” 解题 易错警示 三线合一不能随便用，只针对底边、顶角漏分类，不验证三边关系，产生错误答案等腰三角形不一定是锐角三角形（可钝角、等腰直角） 误区：只要有 60° 角就是等边，前提必须是等腰三角形❌记错对称轴数量 题型一：等腰三角形的等边等角性质 【例1】．（26-27八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，与交于点，以为圆心，长为半径作弧，与交于点，连结，，则的度数为（     ） A． B． C． D．与的大小有关 【变式1】．（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为（） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，为边上的高，，以为腰在的左侧作等腰，，连接，则的面积为（     ） A．8 B．10 C．12 D．14 题型二：等腰三角形的三线合一问题 【例2】．（26-27八年级上·内蒙古·单元测试）如图，为的边上一点，且，平分，与相交于点，．若，，则的长为_________________． 【变式1】．（25-26七年级下·上海·期末）如图，在中，，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接．以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接．若，则的周长为_____． 【变式2】．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，于点，点在上，且，连接，为的中点，连接，则的长为_____________． 题型三：等腰三角形的判定与性质应用 【例3】．（26-27八年级上·天津南开·阶段检测）已知，中，，，点，分别在，边上， ． (1)如图1，若，且恰好平分，则的度数为 ． 类比思考： (2)如图2，若，且点是边上的任意一点，小颖发现的度数为定值．求的度数； 联系拓广： (3)如图3，将问题情境中的“点，分别在，边上”改为“点，分别在、的延长线上”，其余条件不变．直接写出的度数 （用含的式子表示）． 【变式1】．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线与边交于点M，点E在线段上，连接，，且． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形． 【变式2】．（25-26七年级下·山西运城·期末）在数学综合实践课上，同学们开展对三角形折叠问题的探究活动． 如图1，在中，，，点是边上一点，点是边上一点，将沿着折叠，点的对应点是点． (1)奋进小组按图1的方式折叠，点与重合，将折叠后，点落在的延长线上，求的度数． (2)如图2，善思小组沿折叠后点落在的延长线上，此时， ①试说明； ②试探究线段，和的数量关系，并说明理由． (3)创新小组提出新的问题，折痕经过的中点时，即点是中点，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 题型四：等边三角形的性质 【例4】．（25-26八年级下·辽宁丹东·期末）如图，等边，，与交于点D，于点E，若，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 【变式1】．（2026·河北张家口·二模）如图，在等边中，是边上一点，将绕点逆时针旋转得到，若，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图，是等边三角形，点D、E、F分别在边、、上，且，，连接、、、、、，和交于点．以下结论错误的是（    ） A．是等边三角形 B． C． D． 题型五：等边三角形的判定 【例5】．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【变式1】．（22-23八年级下·山东枣庄·期中）在中，，，，垂足为G，且．，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【变式2】．（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）如图1，中，，于点D，平分，，与相交于点E． (1)求的长； (2)延长与相交于一点P，如图2，求证：是等边三角形； (3)如图3，点M是中点，点N是上一动点，连接．当时，求面积的最大值． 题型六：等腰（边）三角形最短路径问题 【例6】．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）在中，于点D，点M、N分别是线段上的动点，且．当的值最小时，的度数为______． 【变式1】．（25-26八年级上·湖北恩施·期末）如图，在等腰中，，于点，两动点，分别在线段、上运动，若，则当取得最小值时，的度数为_____． 【变式2】．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，的面积为6，，，点、、分别是、、边上的动点，则周长的最小值为_____． 题型七：含30°的直角三角形 【例7】．（22-23八年级下·河南郑州·阶段检测）如图，，，．若，则______． 【变式1】．（2026·四川攀枝花·中考真题）在中，是边上的中线，，则的面积为_______． 【变式2】．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，是上的一点，连接，点在上，连接、，，若，，则的长是______． 题型八：等腰（边）三角形的综合问题 【例8】．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，，，边沿着过点的某条直线对折得到，连接，以为边在左侧作，其中，，与交于点，连接． (1)如图1，连接，当点在外部时，试说明； (2)如图2，连接，当点在的斜边上时，试判断的形状并说明理由； (3)如图3，当点在的内部时，若点为的中点，且，求的长． 【变式1】．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，与为等腰三角形，，，，为线段上一个动点，与相交于点． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，在延长线上取一点，当时，线段与有什么位置关系？并说明理由； (3)如图3，若，且的面积为，求的长． 【变式2】．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）等边三角形中，为边上的高，点，分别为线段，上一点（点不与点，重合，点不与点，重合），所在直线交于点，将图形沿翻折，得到点的对应点； (1)如图1，若点落在上，则的度数为______；如图2，若点落在上，则的度数为_____； (2)如图3，若，求的度数； (3)若点落在延长线上时，请直接写出，和之间的等量关系． 一、单选题 1．（26-27八年级上·云南·期中）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只需找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（     ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂直平分线的性质 D．等腰三角形的“三线合一” 2．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，点在边上，连接，，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，等边的边长为，点在边上，，过点作交于点，连接，点在上，连接，，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，在和中，，C，D，E三点在同一条直线上，连接，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，在等腰中，，，于点D，M、N两点分别是线段上的动点，则的最小值是（     ） A．3.5 B．4 C．5 D．6 6．（26-27八年级上·四川眉山·开学考试）如图，在中，点D是边上一点，点是线段上一点，且，其中点B与点、点D与点D、点与点A分别是对应顶点，下列结论中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 7．（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在中，，，．点D为的中点，点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上．由C点向A点运动．若点Q的运动速度为，则当与全等时，v的值为（     ） A．2 B．3 C．2或3 D．3或4 8．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，在中，，，直角的顶点P是的中点，两边，分别交于点E，F，连接交于点G，给出以下五个结论： ①； ②； ③； ④是等腰直角三角形； ⑤四边形的面积是面积的一半． 其中正确的结论是（     ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 二、填空题 9．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，中，的垂直平分线交于点，垂足为，若，，则的度数是______ ． 34．（26-27八年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，已知，若点，，在同一条直线上，且，，则的度数为________ °． 10．（26-27八年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在中，，点在边上，点在上，，若，，则等于__________． 11．（26-27八年级上·湖南湘潭·开学考试）如图，已知，点P是内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流边上一点C饮马，再到草地边上一点D吃草，最后回到军营P．当将军走过的路程最短时，则__________． 12．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，四边形中，，，，于，点为边中点，，，则_________ 三、解答题 13．（2026·四川乐山·二模）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为．是由沿方向平移得到的，已知过点，连接交于点． (1)求的大小； (2)求证：． 14．（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，是等边三角形，是的中点，连接，过点作，过点作，、交于点，连接、，交于点． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 15．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）已知：是等边三角形． (1)如图1，点D是边上一动点，连接，以为边作等边三角形，点F在的右侧，连接，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，点E在边上且是等边三角形，与边交于点M，，，求的长度； (3)如图3，当点D是内任意一点，连接，以为边作等边，点F在的右侧，连接并延长交射线于点E（点E与点F不重合），请直接写出与之间的数量关系． 16．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）根据题意解答下列问题． (1)【问题发现】如图1，和均为等边三角形，连接，，延长，交于点，则与之间的数量关系是_____，的度数是_____°； (2)【拓展探究】如图2，和均为等腰三角形，，，，点，，，在同一直线上，为的中线，连接，若，求的度数． 17．（25-26七年级下·广东茂名·期末）【模型构建】 如图①，两个等腰和中，，，，点A为公共顶点，连接，．可探究和的数量关系． (1)求证： 【深入探究】 (2)如图②，和为等腰直角三角形，，判断、的数量关系并证明； 【拓展应用】 (3)如图③，在中，，点M为的中点，以为边在下方构造等边，连接、、．已知点M到的距离为1，的面积为3.6，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $