第二章 有理数的运算--有理数运算的规律问题 重点题型归纳 专项练（1） 2026-2027学年人教版数学七年级上册

第2章 有理数的运算--有理数运算的规律问题 重点题型归纳 专项练（1） 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）七年级上册 一、拆项法 1．阅读下面文字： 对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 2．（1）阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 __________________； ____________________________________． 上面这种方法叫拆项法：请补全以上计算过程． （2）类比上面的方法计算：． 3．先阅读理解例题的计算方法，再完成相应的题： 例：计算 解：原式 上面的计算方法叫做拆项法． 请用上面的方法计算： (1) (2) 4．阅读（1）中的方法，计算第（2）小题． （1）． 解：原式 ． （2）上述这种方法叫做拆项法，依照上述方法计算：用上面的方法完成下列计算： ①； ②． 二、绝对值方程 5．阅读材料： 点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，在数轴上，，两点之间的距离．也就是说，表示4与之差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义为在数轴上表示数的点与表示数1的点的距离等于1，这样的数可以是0或2． 解决问题： (1)计算：_______． (2)若，则_______；若，则_______． (3)请直接写出的最小值，并写出此时可取哪些整数值． 6．数形结合思想 【阅读】 我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离；又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离．因此，在如下图所示的数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，那么，两点间的距离就可记作． 【思考】 (1)数轴上表示3和6的两点之间的距离是多少？数轴上表示4和的两点之间的距离是多少？ 【探索】 (2)数轴上表示和的两点之间的距离是多少（用含的式子表示）？ (3)试用数轴探究：当时，求的值． 【拓展】 (4)利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究：的最小值为__________，此时可取的整数值为__________． 三、倒数法 7．计算：． 8．请你认真阅读下列材料： 计算： 解法一：因为原式的倒数 ． 所以原式， 解法二：原式 ． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误解法，错误的解法是解法________． (2)根据你对所提供材料的理解，按照材料内的正确解法，计算下面的题目： ． 9．阅读下列材料： 计算：． 解法一： 原式 ． 解法二： 原式 ． 解法三： 原式的倒数 ． 所以原式． 上述解法得到的结果不同，你认为解法________是错误的； 请你选择合适的解法计算：． 10．阅读下题解答： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解： ． 所以，原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算： ． 四、利用绝对值的性质进行计算 11．对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如：；；；；观察式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）：①______；②______； (2)当时，______；当时，______； (3)计算： 12．【信息提取】学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：；；，． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①________；②________． (2)【拓广应用】用合适的方法计算：________．（直接写出计算结果） (3)请利用你探究的结论计算：． 13．【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉． 例如：，，，． 【初步体验】 (1)根据上面规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①________；②________； ③________；④________． 【拓广应用】 (2)用合适的方法计算：________； (3)用简便的方法计算：． 14．我们知道，当时，；当时，． (1)计算：______． (2)计算：． (3)计算：． 五、裂项相消法 15．【阅读理解】观察下列各式：；；； 我们把这一类恒等变形的过程叫作裂项．类似地，对于，可以用裂项的方法变形为． 【初步应用】 类比上述方法，解答下列各题： (1)计算：； (2)计算： (3)直接写出结果：= 16．【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； （2）我们知道：，那么： 用含有n的式子表示你发现的规律_________ 【方法属示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： 【问题解决】 （4）容器里有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，……，第n次倒出的水量是升水的．按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？说明理由； 17．请你观察： ；；… 以上方法称为“裂项相消求和法” 仿照上面的方法，请你计算：的值． 18．请你观察： ；；；…… ； ；…… 以上方法称为“裂项相消求和法”．请类比上面的方法，完成下列各题． (1)计算：______． (2)计算： (3)计算： 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1． 本题主要考查了有理数的加法，正确理解拆项法，把带分数拆成整数与分数两个部分是解题的关键． 根据拆项法的定义，先把带分数拆成整数与分数两个部分，然后分别进行计算即可． 解　原式 2．（1），，（2） 本题主要考查了有理数的加法计算： （1）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后再求和即可得到答案； （2）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后再求和即可得到答案． 解：（1）原式 ． （2） 3．(1) (2) 本题主要考查的知识点是：有理数的加减法．根据例题中“拆项法”，将带小数或带分数拆分为整数部分和分数(小数)部分，再分别对整数部分和分数(小数)部分进行计算． （）根据示例的解法可知，计算时只需将小数的整数部分与小数部分拆分，然后再进行求解； （）根据示例的解法可知，计算时只需将带分数的整数部分与分数部分拆分，然后再进行求解． （1）解： ． （2） ． 4．①；② 本题考查了有理数的加法运算，仿照题目提供的解题方法计算即可．熟练掌握加法的交换律和结合律是解答本题的关键． 解：① ； ② 5．(1)6 (2)4或； (3)的最小值为7，此时可取的整数值为，，，0，1，2，3，4 （1）根据数轴上表示的点与表示的点之间的距离为，即可得到结论； （2）根据数轴上与表示的点相距个单位的点表示的数为或，数轴上与表示的点和表示的点距离相等的点所表示的数为，即可得到结论； （3）推导出表示x到的距离与x到4的距离之和，分类讨论：①当x在点B的左侧时，②当x在线段（包括点B，C）上时，③当x在点C的右侧时，逐个分析求解，可得当x在线段（包括点B，C）上时，取得最小值，为7， 则此时可取的整数值为，，，0，1，2，3，4，即可解答． （1）解：数轴上表示的点与表示的点之间的距离为， ． （2）解：∵ ∴， 即表示x到的距离为7， ∴，或； ∵， ∴， 即表示x到的距离等于x到1的距离， ∴x在数与1的中点处， ∴． （3）解：， ∴表示x到的距离与x到4的距离之和， 如图 ①当x在点B的左侧时，可以表示为，且有， ②当x在线段（包括点B，C）上时，可以表示为，且有， ③当x在点C的右侧时，可以表示为，且有， ∴当x在线段（包括点B，C）上时，取得最小值，为， 则此时可取的整数值为，，，0，1，2，3，4． 6．(1)3，5 (2) (3)或6 (4)3；1，2，3，4 （1）根据数轴上两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据定义用代数式表示； （3）根据绝对值的几何意义进行求解即可； （4）根据绝对值的几何意义进行求解即可． （1）解：数轴上表示3和6的两点之间的距离是， 数轴上表示4和的两点之间的距离是； （2）解：数轴上表示和的两点之间的距离是； （3）解：的几何意义是数轴上表示m和2的两点之间的距离为4， 当表示数m的点在2的左侧时，则， 当表示数m的点在2的右侧时，则， ∴m的值为或6； （4）解：表示数轴上到1和4的距离之和， ∴的最小值表示数轴上到1和4的距离之和最小， ∴的最小值为，此时x可取的整数有1，2，3，4． 7． 解：原式的倒数 ． 所以原式． 8．(1)错误的解法是解法二 (2) （1）根据除法没有分配律即可判定解法二错误； （2）先求原数的倒数，再利用乘法分配律简便运算求出结果，然后求出其倒数求出原数即可． （1）解：因为除法没有分配律，他利用了除法分配律进行计算肯定出现错误，故解法二错误． （2）解：原式的倒数 ， 原式． 9．一； 由于除法没有分配律，故解法一是错误的，仿照解法二把括号内的式子通分并计算，再把除法变成乘法计算即可． 解：由题意得，解法一是错误的，错误原因是除法没有分配律； 原式 ． 10． 解： ； ∴原式. 11．(1)①；② (2)； (3) （1）结合有理数加法减法运算法则以及绝对值的意义进行化简； （2）根据绝对值的意义进行化简； （3）根据有理数减法运算法则结合绝对值的意义先化简绝对值，然后根据数字的变化规律进行分析计算． （1）解：①∵， ∴； ②∵， ∴； （2）解：当时，；当时，； （3）解：原式 . 12．(1)①；② (2) (3) 先判断绝对值内大小的情况，再进行化简即可． （1）解：①由题意得，∵， ∴； ②∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）解：对于正整数n，， ∴， ∴， ∴ ． 13．(1)；；；； (2) (3) （1）根据绝对值的性质化简； （2）首先化简绝对值，然后计算加减即可； （3）首先化简绝对值，然后计算加减即可． （1）解：①；②； ③；④． （2）解： ； （3）解： ． 14．(1) (2) (3) （1）先判断绝对值内两数的大小关系，根据绝对值性质变形后求解； （2）先判断每个绝对值内两数的大小关系，根据绝对值性质变形后求解； （3）先根据绝对值性质去掉绝对值符号，再利用中间项抵消简化运算． （1）解：∵， ∴； （2）解：∵ ，，，， ∴原式 ； （3）解：∵，，， ∴原式 ． 15．(1) (2) (3) （1）根据题意将每一项进行裂项变形，通过中间项抵消简化计算； （2）将每一项裂项为两个分数的差并提取公因数，中间项抵消后计算剩余项； （3）先将各分数的分母改写为两个相差2的偶数的乘积，再用裂项相消法计算． （1）解：原式 ； （2）解： 原式 ； （3）解：∵，，，…，， ∴原式 ． 16．（1），11； （2）； （3）； （4）永远不可能倒完，理由如下： ．永远不可能倒完． 本题考查了数字类问题的探索，理解题意掌握对分数的处理方法是解题的关键． （1）观察式子左右两边的数字，即可求解； （2）观察式子左右两边的数字，即可求解； （3）根据（1）中的规律， 依次化简每个式子，然后求解即可． （4根据题意第次后剩余的水量为，根据（1）化简式子即可求解； （1）第6等式：； 故答案为：，11； （2）观察所给式子的等号左右两边的数字，可得到如下规律： ． （3）原式= = ． （4）略． 17． 题目主要考查有理数的加减混合运算及乘法运算，找出相应规律进行计算求解是解题关键． 根据题意，对式子中的每一项进行裂项，然后求解即可． 解： ． 18．(1) (2) (3) 本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解答的关键是对裂项相消求和法的理解与应用． （1）参照所给的方法进行求解即可； （2）参照所给的方法进行求解即可； （3）根据所给的式子，由，据此把其余各项进行转化即可求解． （1）解： ； （2） ； （3）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $