精品解析：山西晋城市2026-2027学年高二上学期10月过程性素质评价数学试题

高二年级过程性素质评价 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第二章第2节，复数，概率． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 3. 在四面体中，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列四个结论： ①方程与方程可表示同一条直线； ②直线l过点，倾斜角为,则其方程为； ③直线l过点，斜率为0,则其方程为； ④所有直线都有点斜式和斜截式方程. 其中正确结论的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 空间向量，平面的一个法向量，则直线与平面所成角为（ ） A. B. C. D. 6. 若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（ ） A. B. C. D. 0 7. 已知空间向量满足，则与的夹角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 8. 已知点.若直线与线段相交，则的范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，则下列说法错误的是（ ） A. z的虚部为 B. C. D. 10. 已知，且直线的方向向量为，则平面的法向量的坐标可以是（　　） A. B. C. D. 11. 已知空间向量，，，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 向量在上的投影向量的模长为 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线的方程为，那么此直线在轴上的截距为____________． 13. 若空间向量不共面，且，其中，为实数，则______． 14. 已知，若过定点A的动直线：和过定点B的动直线：交于点P（P与A，B不重合），则的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为. （1）求直线的方程； （2）若边上的中线所在的直线方程为，求的值. 16. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，上的动点，且，其中，以为原点建立空间直角坐标系. （1）写出点，的坐标； （2）求证：. 17. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为上靠近点的三等分点.设，，，，. （1）用，，表示向量； （2）若，，求. 18. 某公司举办乒乓球比赛，比赛采取5局3胜制（先赢3局者获胜），已知在甲、乙两人的比赛中，每局比赛甲获胜的概率都为，每局比赛结果相互独立． （1）求前2局中，甲、乙各获胜1局的概率； （2）求第1局甲获胜且第4局乙获胜的概率； （3）求甲、乙比赛结束时所用局数不大于4的概率． 19. 如图，在四棱锥中，底面，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若点N为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若点在棱上，且平面与平面夹角的余弦值为，请确定点的位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级过程性素质评价 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第二章第2节，复数，概率． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算即可. 【详解】由题意可得. 故选：D. 2. 已知直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的方程得出斜率，根据斜率和倾斜角的关系可得答案. 【详解】因为直线的方程为，故直线的斜率为， 设的倾斜角为，则，又，即. 3. 在四面体中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法及数乘运算化简即可逐项判断得解. 【详解】 在中，，在中，， 故 . 故选：A. 4. 下列四个结论： ①方程与方程可表示同一条直线； ②直线l过点，倾斜角为,则其方程为； ③直线l过点，斜率为0,则其方程为； ④所有直线都有点斜式和斜截式方程. 其中正确结论的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】方程k＝，表示不过的直线，故与方程y－2＝k(x＋1)表示不同直线． 直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为，则其斜率不存在，是垂直于x轴的直线． 显然正确的．④所有直线都有点斜式和斜截式方程，是不对的，比如斜率不存在的直线就没有点斜式方程．故①④不正确，②③正确． 故答案选B． 点睛：这个题目考查了直线的点斜式方程的写法，点斜式方程的限制条件．方程的写法有点斜式方程，要求直线斜率存在才能写；截距式方程，要求直线的截距都不为0，一般式适用于各种直线，没有限制条件． 5. 空间向量，平面的一个法向量，则直线与平面所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面角公式即可直接求出答案. 【详解】设直线与平面所成角为，则， 又因为，所以. 故选：A. 6. 若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】由基底概念可知，不共线，再由不能构成基底可得，，共面，由共面向量基本定理待定系数求解t. 【详解】由题意，是空间的一个基底，设，， 所以，不共线， 因为，，不能构成空间的一个基底，则，，共面， 所以存在x，使得， 即， 所以，解得，，. 故选：A. 7. 已知空间向量满足，则与的夹角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知有，应用向量数量积的定义及运算律求夹角即可. 【详解】由题设，则，故， 所以，，可得. 故选：C 8. 已知点.若直线与线段相交，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求直线恒过的定点，再应用两点式求斜率，根据斜率范围求参即可. 【详解】直线恒过定点，又， 直线的斜率为，要使直线与线段有公共点，，解得. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，则下列说法错误的是（ ） A. z的虚部为 B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】对A：z的虚部为，故A错误； 对B：，故B正确； 对C：，故C正确； 对D：，故D错误. 10. 已知，且直线的方向向量为，则平面的法向量的坐标可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据法向量的定义求解即可. 【详解】平面法向量为非零向量，故A错误. 设平面的法向量为非零向量. 由题意知，则，且. 当时，，B正确；当时，，D正确； 不存在实数，使得，故C错误. 11. 已知空间向量，，，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 向量在上的投影向量的模长为 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用空间向量共线求参数，由于无解可判断A，利用空间向量积为0可判断B，利用投影向量的坐标运算可判断C，利用空间向量模的坐标运算可判断D． 【详解】对于A，空间向量，，由，可得， 即，显然和无解，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，向量在上的投影向量的模长是，故C正确； 对于D，，故D正确； 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线的方程为，那么此直线在轴上的截距为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由截距式定义即可得. 【详解】由直线的截距式方程可得直线在轴上的截距为. 故答案为：. 13. 若空间向量不共面，且，其中，为实数，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理求得，即可得解. 【详解】因为空间向量不共面，且， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知，若过定点A的动直线：和过定点B的动直线：交于点P（P与A，B不重合），则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出定点、坐标后，结合与的位置关系可得点轨迹，即可得，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】对，当时，，故， 对，当时，，故， 由，故， 故点在以为直径的圆上（不包括，两点）， 则，故, 则， 即，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为. （1）求直线的方程； （2）若边上的中线所在的直线方程为，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）设点，利用的中点在直线上，求出值，再由点在直线上求出值. 【小问1详解】 依题意，由边上的高所在的直线的斜率为，得直线的斜率为， 又，所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 由点在轴上，设，则线段的中点， 由点在直线上，得，得，即， 又点在直线上，因此，解得， 所以的值为. 16. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，上的动点，且，其中，以为原点建立空间直角坐标系. （1）写出点，的坐标； （2）求证：. 【答案】（1）， （2） ∵，， ∴，. 即， ∴， 故. 【解析】 【分析】（1）根据空间直角坐标系中，的位置写出坐标； （2）求出，证明出结论. 【小问1详解】 根据空间直角坐标系可得，. 【小问2详解】 略 17. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为上靠近点的三等分点.设，，，，. （1）用，，表示向量； （2）若，，求. 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）根据三棱柱的性质得到，再由向量加法的三角形法则即可求解； （2）利用（1）中结果，结合向量数量积的定义即可求解. 【小问1详解】 在三棱柱中,四边形为平行四边形， 所以 因为为的中点,为上靠近点的三等分点， 所以，， 所以； 【小问2详解】 因为,故， 又， 所以. 18. 某公司举办乒乓球比赛，比赛采取5局3胜制（先赢3局者获胜），已知在甲、乙两人的比赛中，每局比赛甲获胜的概率都为，每局比赛结果相互独立． （1）求前2局中，甲、乙各获胜1局的概率； （2）求第1局甲获胜且第4局乙获胜的概率； （3）求甲、乙比赛结束时所用局数不大于4的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知每局比赛乙获胜的概率为，记事件“第i局比赛甲获胜”，事件“第i局比赛乙获胜”，事件“前2局中，甲、乙各获胜1局”，由求解即可； （2）记事件“第1局甲获胜且第4局乙获胜”，则，由此求解即可； （3）记为甲、乙比赛结束时，只进行i（）局比赛的概率，分进行3局比赛和4局比赛两种情况求解即可. 【小问1详解】 由题意知：每局比赛乙获胜的概率为； 记事件“第i局比赛甲获胜”，事件“第i局比赛乙获胜”， 事件“前2局中，甲、乙各获胜1局”， 则， ． 【小问2详解】 记事件“第1局甲获胜且第4局乙获胜”， 则， ． 【小问3详解】 记为甲、乙比赛结束时，只进行i（）局比赛的概率， ∵只进行三局比赛的结果为，， ； ∵只进行四局比赛且甲获胜的结果为：，，， 只进行四局比赛且乙获胜的结果为：，，， ； ∴甲、乙比赛结束时所用局数不大于4的概率为． 19. 如图，在四棱锥中，底面，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若点N为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若点在棱上，且平面与平面夹角的余弦值为，请确定点的位置． 【答案】（1）证明：底面，底面， ， 又，且，，平面， 平面， 又平面， ∴平面平面． （2）． （3）点N为上靠近点C的三等分点． 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质定理可得，结合及线面垂直的判定定理可得平面，即可得证； （2）以A为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可； （3）结合（2）设（），分别求出平面与平面的法向量，，利用，求出的值，即可得点的位置. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知平面，平面，故， ∵，， 又底面，底面， 所以， 故以A为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设，则，， ，， ，， 则，，， 所以, N为中点，故． 向量， 设平面的法向量， 由，即， 令，得． 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 由（2）知，，， 设（），， 则，， 设平面的一个法向量为，， 则， 令，则， 设平面的一个法向量为，， 则， 令，则， ∵平面与平面夹角的余弦值为， ， 整理得：， 解得或（舍去）， 因此，点N为上靠近点的三等分点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $