第14讲 按比分配问题及其变式（奥数培优讲义）-2026-2027学年六年级上册数学（苏教版）

奥数培优讲义 第14讲 按比分配问题及其变式 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 亲爱的同学们： 欢迎进入苏教版六年级上册奥数培优的核心领域——《按比分配问题及其变式》。编写这份讲义，不仅是为了让大家掌握“总量÷总份数=1份量”这一基础模型，更是为了帮助你们构建应对复杂情境的思维框架。 按比分配的本质，是将抽象的“比”转化为具体的“份数”。在基础题中，这看似简单；但在奥数变式中，陷阱无处不在。请务必警惕：题目给出的未必是总和，可能是“差量”，也可能是需要除以2或4的“周长与棱长和”。从已知部分求整体，到连比中的中间量统一，再到最难的“总量不变、内部比例变化”的抓不变量题型，每一步都是对逻辑严密性的考验。 希望你们在练习中，养成“先审题定类型，再找对应关系，最后检验还原”的习惯。不要满足于算出答案，更要理解为何要这样转化。愿你们以份数为尺，理清数量脉络，在数学思维的进阶之路上从容自信，游刃有余！ 考点梳理 1. 按比分配的意义 把一个总量，按照一定的比分成若干部分，这类问题叫做按比分配。 按比分配本质：把比转化为份数，先求出1份的数量，再分别求出各部分对应的数量；也可以转化成分数，用分数乘法求解。 例：总量100，甲:乙。一共 份，1份是 ；甲占总量 ，乙占总量 。 2. 基础解题两种方法 方法一：份数法（推荐奥数使用） (1) 求出总份数：把比各项相加； (2) 求1份是多少：； (3) 各部分量 = 1份量 × 各自份数。 方法二：分数法 (1) 求总份数； (2) 求出每一部分占总量的几分之几； (3) 各部分量 = 总量 × 对应分率。 3. 基础题型前提（关键点） 总量必须是各部分的和。 易错：题目给出的量不一定是总和，有可能是某一份、差量、部分量，这就是奥数变式题的核心。 4. 常见奥数变式分类 变式1：已知部分量，求总量或其它部分量 已知其中一份对应的实际数量，先求1份量，再求整体。 例：甲:乙，甲是24，求乙。3份对应24，1份=8，乙。 变式2：已知两个量的差，求各部分量（差量分配，高频考点） 甲:乙，乙比甲多16。份数差 份，2份对应16，求出1份量。 变式3：连比分配（三个及以上量分配） 先统一连比，求出总份数，再用份数法分配。 重点：和《比的性质》知识点联动，需要先统一中间量份数。 变式4：隐含总量（周长、棱长和等几何按比分配） 长方形周长、长方体棱长总和这类题：周长是2条长+2条宽，棱长总和是4组长宽高，不能直接把周长/棱长和当作总份数对应的总量，要先除以2或除以4，得到长+宽、长+宽+高的和，再分配。 例：长方形周长40cm，长:宽，不能直接用40分配，先算长+宽 cm，再分配。 变式5：总量不变，量之间比发生变化（抓不变量，奥数难点） 总量不变，内部两个量份数改变。统一总份数，对比前后份数变化，求出1份量。 变式6：已知部分之间比，剩余数量，求总量 总量分成几部分，一部分、二部分按比分配，还有剩余。先用总量减去剩余，得到参与分配的量，再按比分配。 5. 检验方法 算出各部分量之后： (1) 各部分相加，核对是否等于参与分配的总量； (2) 把算出的各数量化成最简整数比，看是否等于题目给的比。 例题讲解 【典型例题1】 学校把70本课外书，按3:4分给一班和二班。一班、二班各分到多少本书？ 【跟踪训练1】 有一块地面积120平方米，按照2:3种白菜和萝卜。白菜、萝卜的种植面积各多少平方米？ 【典型例题2】 甲、乙两数的比是 ，乙数比甲数多24。甲、乙两数分别是多少？ 【跟踪训练2】 A、B两数之比 ，B比A大28，A、B各是多少？ 【典型例题3】 一个长方形周长60厘米，长与宽的比是 ，求长方形的面积。 【跟踪训练3】 长方形周长80分米，长:宽，求长方形面积。 【典型例题4】 甲:乙，乙:丙，三个数总和140，求甲、乙、丙。 【跟踪训练4】 ，，A、B、C三数总和124，求A、B、C。 【典型例题5】 一堆水泥共190吨，先运走10吨，剩下的按4:5分给甲乙两队，甲乙各分得多少吨？ 【跟踪训练5】 果园一共有果树220棵，砍掉20棵老树，剩下的果树按3:7种桃树和梨树。桃树、梨树各多少棵？ 【典型例题6】 长方体的棱长总和是120厘米，长:宽:高，求长方体体积。 【跟踪训练6】 长方体棱长总和96分米，长:宽:高，求长方体体积。 提升练习 第1题 学校把 120 本故事书按 2∶3 分给四、五年级，四、五年级各分得多少本？ 第2题 一块菜地总面积 180 平方米，按 4∶5 种植青菜和菠菜，青菜和菠菜的面积各是多少平方米？ 第3题 甲、乙两个数的比是 5∶6，甲数是 40，求乙数。 第4题 男生与女生人数比为 7∶4，女生有 20 人，男生有多少人？ 第5题 A、B 两数比是 6∶11，B 比 A 大 40，A、B 分别是多少？ 第6题 苹果和梨质量比 9∶5，苹果比梨多 28 千克，苹果和梨各多少千克？ 第7题 一个长方形周长 140 厘米，长∶宽＝4∶3，求长方形面积。 第8题 长方形周长 90 米，长∶宽＝5∶4，这个长方形面积是多少平方米？ 第9题 长方体棱长总和 180 厘米，长∶宽∶高＝2∶3∶4，求长方体体积。 第10题 长方体棱长总和 108 分米，长∶宽∶高＝6∶3∶2，求体积。 第11题 已知甲∶乙＝3∶2，乙∶丙＝3∶4，甲、乙、丙三数总和 87，求甲、乙、丙。 第12题 X∶Y＝5∶4，Y∶Z＝6∶7，三数之和为 149，求 X、Y、Z。 第13题 仓库一共有粮食 260 吨，先运走 20 吨，余下粮食按 5∶8 分给甲、乙两个粮店，两个粮店各分得多少吨？ 第14题 林场共有树苗 310 棵，移走 40 棵弱苗，剩下树苗按 2∶5 分给 A、B 两个造林小组，两组各分得树苗多少棵？ 第15题 一种盐水，盐和水质量比是 1∶9，现有盐 12 克，需要加水多少克？盐水一共多少克？ 第16题 三筐水果质量比 2∶4∶5，已知第二筐重 36 千克，第一筐、第三筐各重多少千克？ 第17题 把一批零件按 3∶5 分配给甲、乙工人加工，已知乙比甲多加工 36 个，这批零件一共有多少个？ 模拟赛场 【奥数题1】甲、乙两人存款钱数之比是 4∶7，乙拿出 120 元给甲之后，两人存款之比变成 8∶9，求原来甲、乙各有多少元？ 【奥数题2】书架上故事书与科技书本数比 5∶3，拿走 24 本故事书之后，故事书与科技书比变为 3∶4，科技书数量不变，求原来两种书各多少本？ 【奥数题3】甲、乙两个仓库货物质量之比为 2∶3，从甲仓库运出 60 吨货物放到乙仓库，甲、乙质量比变成 1∶5，求甲、乙仓库货物原来一共有多少吨？ 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $奥数培优讲义 第14讲 按比分配问题及其变式 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 亲爱的同学们： 欢迎进入苏教版六年级上册奥数培优的核心领域——《按比分配问题及其变式》。编写这份讲义，不仅是为了让大家掌握“总量÷总份数=1份量”这一基础模型，更是为了帮助你们构建应对复杂情境的思维框架。 按比分配的本质，是将抽象的“比”转化为具体的“份数”。在基础题中，这看似简单；但在奥数变式中，陷阱无处不在。请务必警惕：题目给出的未必是总和，可能是“差量”，也可能是需要除以2或4的“周长与棱长和”。从已知部分求整体，到连比中的中间量统一，再到最难的“总量不变、内部比例变化”的抓不变量题型，每一步都是对逻辑严密性的考验。 希望你们在练习中，养成“先审题定类型，再找对应关系，最后检验还原”的习惯。不要满足于算出答案，更要理解为何要这样转化。愿你们以份数为尺，理清数量脉络，在数学思维的进阶之路上从容自信，游刃有余！ 考点梳理 1. 按比分配的意义 把一个总量，按照一定的比分成若干部分，这类问题叫做按比分配。 按比分配本质：把比转化为份数，先求出1份的数量，再分别求出各部分对应的数量；也可以转化成分数，用分数乘法求解。 例：总量100，甲:乙。一共 份，1份是 ；甲占总量 ，乙占总量 。 2. 基础解题两种方法 方法一：份数法（推荐奥数使用） (1) 求出总份数：把比各项相加； (2) 求1份是多少：； (3) 各部分量 = 1份量 × 各自份数。 方法二：分数法 (1) 求总份数； (2) 求出每一部分占总量的几分之几； (3) 各部分量 = 总量 × 对应分率。 3. 基础题型前提（关键点） 总量必须是各部分的和。 易错：题目给出的量不一定是总和，有可能是某一份、差量、部分量，这就是奥数变式题的核心。 4. 常见奥数变式分类 变式1：已知部分量，求总量或其它部分量 已知其中一份对应的实际数量，先求1份量，再求整体。 例：甲:乙，甲是24，求乙。3份对应24，1份=8，乙。 变式2：已知两个量的差，求各部分量（差量分配，高频考点） 甲:乙，乙比甲多16。份数差 份，2份对应16，求出1份量。 变式3：连比分配（三个及以上量分配） 先统一连比，求出总份数，再用份数法分配。 重点：和《比的性质》知识点联动，需要先统一中间量份数。 变式4：隐含总量（周长、棱长和等几何按比分配） 长方形周长、长方体棱长总和这类题：周长是2条长+2条宽，棱长总和是4组长宽高，不能直接把周长/棱长和当作总份数对应的总量，要先除以2或除以4，得到长+宽、长+宽+高的和，再分配。 例：长方形周长40cm，长:宽，不能直接用40分配，先算长+宽 cm，再分配。 变式5：总量不变，量之间比发生变化（抓不变量，奥数难点） 总量不变，内部两个量份数改变。统一总份数，对比前后份数变化，求出1份量。 变式6：已知部分之间比，剩余数量，求总量 总量分成几部分，一部分、二部分按比分配，还有剩余。先用总量减去剩余，得到参与分配的量，再按比分配。 5. 检验方法 算出各部分量之后： (1) 各部分相加，核对是否等于参与分配的总量； (2) 把算出的各数量化成最简整数比，看是否等于题目给的比。 例题讲解 【典型例题1】 学校把70本课外书，按3:4分给一班和二班。一班、二班各分到多少本书？ 【详解】 方法：份数法。 总份数：（份） 1份量：（本） 一班：（本） 二班：（本） 检验：；，符合题意。 【答案】一班30本，二班40本。 【跟踪训练1】 有一块地面积120平方米，按照2:3种白菜和萝卜。白菜、萝卜的种植面积各多少平方米？ 【详解】 总份数： 1份量： 白菜：（平方米） 萝卜：（平方米） 检验：； 【答案】白菜48平方米，萝卜72平方米。 【典型例题2】 甲、乙两数的比是 ，乙数比甲数多24。甲、乙两数分别是多少？ 【详解】 份数差： 份，3份对应24。 1份量： 甲数： 乙数： 检验：； 【答案】甲数32，乙数56。 【跟踪训练2】 A、B两数之比 ，B比A大28，A、B各是多少？ 【详解】 份数差： 份，对应28。 1份： A： B： 检验：； 【答案】A=35，B=63。 【典型例题3】 一个长方形周长60厘米，长与宽的比是 ，求长方形的面积。 【详解】 周长包含2组长和宽，先求长+宽的和： 长+宽：（cm） 总份数： 份 1份：（cm） 长： cm，宽： cm 面积：（平方厘米） 检验：周长 ；长:宽 【答案】面积216平方厘米。 【跟踪训练3】 长方形周长80分米，长:宽，求长方形面积。 【详解】 长+宽： 分米 总份数： 1份： 分米 长： 分米，宽： 分米 面积： 平方分米 【答案】面积375平方分米。 【典型例题4】 甲:乙，乙:丙，三个数总和140，求甲、乙、丙。 【详解】 统一连比，乙的份数统一为12： 甲:乙 乙:丙 连比：甲:乙:丙 总份数： 1份量： 甲： 乙： 丙： 检验：；甲:乙，乙:丙 【答案】甲32，乙48，丙60。 【跟踪训练4】 ，，A、B、C三数总和124，求A、B、C。 【详解】 中间量B，4和6最小公倍数12。 连比 总份数： 1份量： A： B： C： 检验：；， 【答案】A=36，B=48，C=40。 【典型例题5】 一堆水泥共190吨，先运走10吨，剩下的按4:5分给甲乙两队，甲乙各分得多少吨？ 【详解】 参与分配总量： 吨 总份数： 1份量： 甲： 吨 乙： 吨 检验：；， 【答案】甲80吨，乙100吨。 【跟踪训练5】 果园一共有果树220棵，砍掉20棵老树，剩下的果树按3:7种桃树和梨树。桃树、梨树各多少棵？ 【详解】 参与分配总量： 棵 总份数： 1份： 桃树： 棵 梨树： 棵 检验：； 【答案】桃树60棵，梨树140棵。 【典型例题6】 长方体的棱长总和是120厘米，长:宽:高，求长方体体积。 【详解】 长方体有4组长、宽、高。 一组长+宽+高： 厘米 总份数： 1份： 厘米 长： cm，宽： cm，高： cm 体积= 立方厘米 检验：棱长总和 ，比 【答案】体积750立方厘米。 【跟踪训练6】 长方体棱长总和96分米，长:宽:高，求长方体体积。 【详解】 一组长宽高之和： 分米 总份数： 1份： 分米 长： 分米，宽： 分米，高： 分米 体积： 立方分米 【答案】体积480立方分米。 提升练习 第1题 学校把 120 本故事书按 2∶3 分给四、五年级，四、五年级各分得多少本？ 【详解】 总份数：2＋3＝5 1 份量：120÷5＝24（本） 四年级：24×2＝48（本） 五年级：24×3＝72（本） 检验：48＋72＝120，48∶72＝2∶3。 【答案】四年级 48 本，五年级 72 本。 第2题 一块菜地总面积 180 平方米，按 4∶5 种植青菜和菠菜，青菜和菠菜的面积各是多少平方米？ 【详解】 总份数：4＋5＝9 1 份量：180÷9＝20（平方米） 青菜：20×4＝80（平方米） 菠菜：20×5＝100（平方米） 检验：80＋100＝180，80∶100＝4∶5。 【答案】青菜 80 平方米，菠菜 100 平方米。 第3题 甲、乙两个数的比是 5∶6，甲数是 40，求乙数。 【详解】 5 份对应 40，1 份量：40÷5＝8 乙数：8×6＝48 检验：40∶48＝5∶6。 【答案】乙数是 48。 第4题 男生与女生人数比为 7∶4，女生有 20 人，男生有多少人？ 【详解】 4 份对应 20 人，1 份量：20÷4＝5（人） 男生：5×7＝35（人） 检验：35∶20＝7∶4。 【答案】男生 35 人。 第5题 A、B 两数比是 6∶11，B 比 A 大 40，A、B 分别是多少？ 【详解】 份数差：11－6＝5（份），5 份对应 40 1 份量：40÷5＝8 A：8×6＝48 B：8×11＝88 检验：88－48＝40，48∶88＝6∶11。 【答案】A＝48，B＝88。 第6题 苹果和梨质量比 9∶5，苹果比梨多 28 千克，苹果和梨各多少千克？ 【详解】 份数差：9－5＝4（份），4 份对应 28 千克 1 份量：28÷4＝7（千克） 苹果：7×9＝63（千克） 梨：7×5＝35（千克） 检验：63－35＝28，63∶35＝9∶5。 【答案】苹果 63 千克，梨 35 千克。 第7题 一个长方形周长 140 厘米，长∶宽＝4∶3，求长方形面积。 【详解】 长＋宽：140÷2＝70（厘米） 总份数：4＋3＝7 1 份量：70÷7＝10（厘米） 长：10×4＝40（厘米），宽：10×3＝30（厘米） 面积：40×30＝1200（平方厘米） 检验：(40＋30)×2＝140，40∶30＝4∶3。 【答案】面积 1200 平方厘米。 第8题 长方形周长 90 米，长∶宽＝5∶4，这个长方形面积是多少平方米？ 【详解】 长＋宽：90÷2＝45（米） 总份数：5＋4＝9 1 份量：45÷9＝5（米） 长：5×5＝25（米），宽：5×4＝20（米） 面积：25×20＝500（平方米） 检验：(25＋20)×2＝90，25∶20＝5∶4。 【答案】面积 500 平方米。 第9题 长方体棱长总和 180 厘米，长∶宽∶高＝2∶3∶4，求长方体体积。 【详解】 一组长宽高之和：180÷4＝45（厘米） 总份数：2＋3＋4＝9 1 份量：45÷9＝5（厘米） 长：5×2＝10（cm），宽：5×3＝15（cm），高：5×4＝20（cm） 体积：10×15×20＝3000（立方厘米） 检验：(10＋15＋20)×4＝180，10∶15∶20＝2∶3∶4。 【答案】体积 3000 立方厘米。 第10题 长方体棱长总和 108 分米，长∶宽∶高＝6∶3∶2，求体积。 【详解】 一组长宽高和：108÷4＝27（分米） 总份数：6＋3＋2＝11 1 份量：（分米） 长：（dm）；宽：（dm）；高：（dm） 体积：（立方分米） 检验：。 【答案】体积 立方分米。 第11题 已知甲∶乙＝3∶2，乙∶丙＝3∶4，甲、乙、丙三数总和 87，求甲、乙、丙。 【详解】 统一乙的份数，2 和 3 的最小公倍数是 6。 甲∶乙＝3∶2＝9∶6 乙∶丙＝3∶4＝6∶8 连比：甲∶乙∶丙＝9∶6∶8 总份数：9＋6＋8＝23 1 份量：87÷23＝3 甲：9×3＝27；乙：6×3＝18；丙：8×3＝24 检验：27＋18＋24＝87，27∶18＝3∶2，18∶24＝3∶4。 【答案】甲＝27，乙＝18，丙＝24。 第12题 X∶Y＝5∶4，Y∶Z＝6∶7，三数之和为 149，求 X、Y、Z。 【详解】 统一中间量 Y，4 和 6 的最小公倍数是 12。 X∶Y＝5∶4＝15∶12 Y∶Z＝6∶7＝12∶14 连比 X∶Y∶Z＝15∶12∶14 总份数：15＋12＋14＝41 1 份量： X：；Y：；Z： 检验：。 【答案】，，。 第13题 仓库一共有粮食 260 吨，先运走 20 吨，余下粮食按 5∶8 分给甲、乙两个粮店，两个粮店各分得多少吨？ 【详解】 参与分配总量：260－20＝240（吨） 总份数：5＋8＝13 1 份量：（吨） 甲：（吨）；乙：（吨） 检验：；240＋20＝260。 【答案】甲粮店 吨，乙粮店 吨。 第14题 林场共有树苗 310 棵，移走 40 棵弱苗，剩下树苗按 2∶5 分给 A、B 两个造林小组，两组各分得树苗多少棵？ 【详解】 参与分配总量：310－40＝270（棵） 总份数：2＋5＝7 1 份量：（棵） A 组：（棵）；B 组：（棵） 检验：，270＋40＝310。 【答案】A 组 棵，B 组 棵。 第15题 一种盐水，盐和水质量比是 1∶9，现有盐 12 克，需要加水多少克？盐水一共多少克？ 【详解】 1 份盐对应 9 份水，1 份＝12 克。 水：12×9＝108（克） 盐水：12＋108＝120（克） 检验：12∶108＝1∶9。 【答案】加水 108 克；盐水一共 120 克。 第16题 三筐水果质量比 2∶4∶5，已知第二筐重 36 千克，第一筐、第三筐各重多少千克？ 【详解】 4 份对应 36 千克，1 份量：36÷4＝9（千克） 第一筐：9×2＝18（千克） 第三筐：9×5＝45（千克） 检验：18∶36∶45＝2∶4∶5。 【答案】第一筐 18 千克，第三筐 45 千克。 第17题 把一批零件按 3∶5 分配给甲、乙工人加工，已知乙比甲多加工 36 个，这批零件一共有多少个？ 【详解】 份数差：5－3＝2 份，2 份对应 36 个 1 份量：36÷2＝18（个） 总份数：3＋5＝8 总量：18×8＝144（个） 检验：甲 18×3＝54，乙 18×5＝90；90－54＝36，54＋90＝144。 【答案】这批零件一共 144 个。 模拟赛场 【奥数题1】甲、乙两人存款钱数之比是 4∶7，乙拿出 120 元给甲之后，两人存款之比变成 8∶9，求原来甲、乙各有多少元？ 【详解】 总存款不变。 原来：甲∶乙＝4∶7，总份数 4＋7＝11，甲占全部 。 后来：甲∶乙＝8∶9，总份数 8＋9＝17，甲占全部 。 甲增加 120 元，对应分率差：。 总钱数：（元）。 原来甲：（元）。 原来乙：（元）。 验算：甲得到 120 元后 408＋120＝528；乙 714－120＝594；528∶594＝8∶9，正确。 【答案】原来甲 408 元，乙 714 元。 【奥数题2】书架上故事书与科技书本数比 5∶3，拿走 24 本故事书之后，故事书与科技书比变为 3∶4，科技书数量不变，求原来两种书各多少本？ 【详解】 科技书是不变量。 原来故事书∶科技书＝5∶3＝20∶12 后来故事书∶科技书＝3∶4＝9∶12 科技书份数统一为 12 份；故事书由 20 份变成 9 份，减少 20－9＝11 份，对应拿走 24 本。 1 份量：（本）。 科技书：（本）。 原来故事书：（本）。 验算：拿走 24 本故事书，；，符合条件。 【答案】原来故事书 本，科技书 本。 【奥数题3】甲、乙两个仓库货物质量之比为 2∶3，从甲仓库运出 60 吨货物放到乙仓库，甲、乙质量比变成 1∶5，求甲、乙仓库货物原来一共有多少吨？ 【详解】 货物总质量不变。 原来甲∶乙＝2∶3，总份数 5，甲占总量 。 后来甲∶乙＝1∶5，总份数 6，甲占总量 。 甲减少 60 吨，分率差：。 总吨数：（吨）。 验算：原来甲 吨；乙 吨。 甲运出 60 吨：。 乙接收后：。 ，符合题意。 【答案】原来货物一共 吨。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $