精品解析：河北保定市莲池区河北保定师范附属学校2026-2027学年上学期九年级第一次月考学情自测数学试卷

保师附校2026--2027年度第一学期阶段反馈 九年级数学试卷 注意事项：1．答卷前，考生将密封线左侧的项目填写清楚． 2．答卷时，将答案用黑色水笔直接写在答题卡相应位置上． 3．本试卷共8页，满分为120分，考试时间为120分钟． 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 在复习特殊的平行四边形时．某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①，有一个角是直角 B. ③，对角线相等 C. ②，对角线互相垂直 D. ④，有一个角是直角 4. 如图，O是矩形的对角线的中点，M是边的中点，若，则四边形的周长为（ ） A. 20 B. 34 C. 17 D. 22 5. 关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 已知下列选项中图形均为菱形，所标数据有误的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某小区有一块长，宽的矩形花园，现要修三条入口宽度相等的小路，每条小路的两边是互相平行的．若使剩余面积为．求小路的入口宽度．若设小路的入口宽度为，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若α，β是方程2x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则（α﹣3）（β﹣3）的值为（　　） A. 6 B. C. D. 9. 如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 8 10. 关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（ ） A. x1=-6，x2=-1 B. x1=0，x2=5 C. x1=-3，x2=5 D. x1=-6，x2=2 11. 如图，正方形的边长为4，菱形的边长为3，则菱形的面积为（　　） A. B. 8 C. D. 12. 正方形边上有一动点E，以为边作矩形且边过点D，在点E从点A移动到点B的过程中，矩形的面积（　　） A. 保持不变 B. 一直变小 C. 先变小后变大 D. 先变大后变小 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. 根据下列表格对应值：可求得关于的方程的解是__________． x 0 0.5 1 2 1 2 14. 已知是关于的方程的一个根，则________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，，以为边在第一象限作正方形，则点的坐标为________． 16. 如图，在菱形中，，，点、分别在边、上（均可与端点重合），连接、，若，则的最小值为_________ ． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 用合适的方法解下列方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 如图，在中，，分别延长，至点，，且，，连接，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，四边形的周长为，求四边形的面积． 19. 某水果店经销一种进口水果，其进价为每千克40元，按每千克60元的价格出售，每天可售出400千克，市场调查发现，当售价每千克降低1元时，则每天销量可增加50千克． （1）当售价为50元时，每天销售这种水果__________千克，每天获得利润_________元． （2）若要使每天的利润为9750元，同时又要尽快减少库存，则每千克这种水果应降价多少元？ 20. 配方法是数学中重要的一种方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们规定：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，10是“和谐数”，理由：因为，所以10是“和谐数” 【解决问题】 （1）判断40是否为“和谐数”_____．（填“是”或“否”） 【综合运用】 （2）若可配方成（m，n为常数），则的值_____； （3）已知（a，b是整数，k是常数），要使M为“和谐数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 21. 阅读题目：如图，已知平行四边形，求作：菱形（要求：尺规作图． 下面是两位同学设计的“尺规作菱形”的作图过程： 甲同学作法如图： ①以点A为圆心，长为半径画弧，与交于点F，②以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点E，③连接，则四边形为菱形． 乙同学作法如图： ①以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，②分别以A，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点F，③连接，则四边形为菱形． （1）依据甲同学的作法，得到菱形的依据是：________； （2）请依据乙同学的作法，说明四边形是________； （3）在图1中，作菱形，使E在上，并且菱形与平行四边形面积相等．（不写做法，保留作图痕迹） 22. 定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． （2）若是“邻根方程”，求的值． （3）若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 23. 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得原方程的正数解为． 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程，解法的正确构图是______（从序号①②③中选择）． （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程的正数解（写出必要的思考过程，图2中的网格不要求全部使用） （3）一般地对于形如的一元二次方程可以构造图3来解，已知图3由个相同矩形构成，这个矩形的总面积为，中间围成的正方形边长为．那么______，______． 24. 综合与实践 折叠问题是初中数学中的一个几何题型.折叠前后图形的大小和形状不发生改变，对应边相等，对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线，我们可以用一张纸演示折叠辅助解决问题. 问题情境 如图1，在长方形纸片中，，，，点是线段上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形. （1）如图2，连接，当点落在上时，的长为________________. 深入探究 （2）如图3，点是的中点，连接.当点落在上时，求的长. 拓展应用 （3）如图4，点是的中点，连接，. ①的最小值为________________； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保师附校2026--2027年度第一学期阶段反馈 九年级数学试卷 注意事项：1．答卷前，考生将密封线左侧的项目填写清楚． 2．答卷时，将答案用黑色水笔直接写在答题卡相应位置上． 3．本试卷共8页，满分为120分，考试时间为120分钟． 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，解决本题的关键是知道一元二次方程的概念． 根据一元二次方程的概念：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）进行判断即可． 【详解】解：A．最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B．是分式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C．是一元二次方程，故此选项符合题意； D．含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的配方法，把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断． 【详解】 移项得：， 配方得：， 整理得：， 故选：D． 3. 在复习特殊的平行四边形时．某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①，有一个角是直角 B. ③，对角线相等 C. ②，对角线互相垂直 D. ④，有一个角是直角 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定等知识点，熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定定理是解本题的关键． 根据平行四边形的性质和矩形、菱形、正方形的判定定理，对它们之间转换的条件逐步分析判断即可． 【详解】解：A、①有一个角是直角的平行四边形一定是矩形，故该转换条件填写正确，不符合题意； B、③对角线相等的矩形不一定是正方形，故该转换条件填写错误，符合题意； C、②，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意； D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意． 故选：B． 4. 如图，O是矩形的对角线的中点，M是边的中点，若，则四边形的周长为（ ） A. 20 B. 34 C. 17 D. 22 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形可求得，，然后由勾股定理求得，再由三角形中位线的性质求得的长，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得的长，继而求得四边形的周长． 【详解】解：∵O是矩形的对角线的中点，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵M是边的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴四边形的周长为：． 5. 关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】因为未说明关于x的方程是一元几次方程，因此先根据k是否等于0进行分类，若k为0，则原方程为一元一次方程，若k不为0，则原方程为一元二次方程，用根的判别式确定范围即可，最后综合起来得到最终的范围． 【详解】解：若，则原方程为， 解得，有实数根； 若，则原方程为， 其中，，， ∵方程有实数根， ∴， 解得，且此时， 综上，k的取值范围为． 6. 已知下列选项中图形均为菱形，所标数据有误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图， A．菱形的四边相等，故本选项中数据正确，不符合题意； B．∵菱形的四边相等， ∴， ∴，故本选项数据正确，不符合题意； C．∵菱形， ∴， ∴，即，故本选项数据正确，不符合题意； D．∵菱形， ∴，故本选项数据有误，符合题意， 故选：D． 7. 如图，某小区有一块长，宽的矩形花园，现要修三条入口宽度相等的小路，每条小路的两边是互相平行的．若使剩余面积为．求小路的入口宽度．若设小路的入口宽度为，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设小路宽为米，根据矩形的面积公式结合剩余的面积为，即可得出关于的一元二次方程，即可得出结论． 【详解】解：设小路的入口宽度为， 由题意可得：， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8. 若α，β是方程2x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则（α﹣3）（β﹣3）的值为（　　） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到．把代数式变形得到αβ-3（α+β）+9，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据题意得． 则， 故选 B 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 9. 如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中点四边形，根据三角形中位线定理得，，证明四边形是矩形，进而得菱形的面积．四边形面积是故可得结论． 【详解】解：连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点E、F、G、H分别是边和的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴菱形的面积， ∴， ∴， ∴四边形的面积为5， 故选：B． 10. 关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（ ） A. x1=-6，x2=-1 B. x1=0，x2=5 C. x1=-3，x2=5 D. x1=-6，x2=2 【答案】B 【解析】 【详解】解：解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）得x=-h±， 而关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2， 所以-h-=-3，-h+=2， 方程m（x+h-3）2+k=0的解为x=3-h±， 所以x1=3-3=0，x2=3+2=5． 故选：B． 【点睛】本题考查解一元二次方程-直接开平方法． 11. 如图，正方形的边长为4，菱形的边长为3，则菱形的面积为（　　） A. B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，连接、交于点O，根据正方形的性质利用勾股定理求出的长，根据菱形的性质求出的长，即可得出的长，最后根据菱形的面积等于对角线长的积的一半即可求解． 【详解】解：连接、交于点O， ∵四边形是正方形， ∴，， 由勾股定理得，， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴菱形的面积为， 故选：D． 12. 正方形边上有一动点E，以为边作矩形且边过点D，在点E从点A移动到点B的过程中，矩形的面积（　　） A. 保持不变 B. 一直变小 C. 先变小后变大 D. 先变大后变小 【答案】A 【解析】 【分析】连接，可得的面积是矩形的一半，也是正方形的一半，可得矩形与正方形面积相等． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∴矩形与正方形的面积相等． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质，连接由面积关系进行转化是解题的关键． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. 根据下列表格对应值：可求得关于的方程的解是__________． x 0 0.5 1 2 1 2 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的解，关键是观察表格，确定时x的值． 从表格中的数据可以看出，当时，；当时，，则关于x的方程的解是：或． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴关于x的方程的解是：或， 故答案为：或． 14. 已知是关于的方程的一个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程中求得的值，再将所求代数式变形并整体代入即可求解． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴，即， ∴． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，，以为边在第一象限作正方形，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，掌握辅助线的作法是解题的关键． 过点作轴于点，证出，即可求解． 【详解】解：过点作轴于点，则，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，，，点、分别在边、上（均可与端点重合），连接、，若，则的最小值为_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的性质、轴对称的性质，作点关于的对称点，连接、、、、，可知是等边三角形，四边形是平行四边形，根据等边三角形的性质和平行四边形的性质可知，根据两点之间线段最短，可知当点、、三点共线时最短，最小值为． 【详解】解：如下图所示，作点关于的对称点，连接、、、、， 在菱形中，，， ， 是等边三角形， ，， 则对称可知，，， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 由对称可知， ， 两点之间线段最短， 当点、、三点共线时最短， 的最小值为． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 用合适的方法解下列方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解： 解得：， 【小问2详解】 解： 解得：， 【小问3详解】 解： 或 解得：， 【小问4详解】 解： 或 解得：， 18. 如图，在中，，分别延长，至点，，且，，连接，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，四边形的周长为，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：，， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，， 是矩形， ， ， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，是矩形，进而得到，得到，即可得证； （2）根据菱形的周长求出菱形的边长，根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理，求出的长，再利用矩形的面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知四边形为菱形，且， ，， ∵在中，， ， ， ， ， ． 19. 某水果店经销一种进口水果，其进价为每千克40元，按每千克60元的价格出售，每天可售出400千克，市场调查发现，当售价每千克降低1元时，则每天销量可增加50千克． （1）当售价为50元时，每天销售这种水果__________千克，每天获得利润_________元． （2）若要使每天的利润为9750元，同时又要尽快减少库存，则每千克这种水果应降价多少元？ 【答案】（1）， （2）每千克这种水果应降价7元 【解析】 【分析】（1）售价为50元时先求出销量，再求出利润即可； （2）根据“总利润=每千克利润×销售量”列方程求解可得． 【小问1详解】 解：当售价为50元时，销量（千克），每天获得利润（元）， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设降价元，则销量为千克 由题意得： 整理得 解得： ∵要尽快减少库存 ∴， 即每千克这种水果应降价7元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到相等关系，并据此列出方程是解题的关键． 20. 配方法是数学中重要的一种方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们规定：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，10是“和谐数”，理由：因为，所以10是“和谐数” 【解决问题】 （1）判断40是否为“和谐数”_____．（填“是”或“否”） 【综合运用】 （2）若可配方成（m，n为常数），则的值_____； （3）已知（a，b是整数，k是常数），要使M为“和谐数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【答案】（1）是 （2） （3）符合条件的一个k值为9，理由如下： 对M配方：      ， 当时，， ∴， ∵，是整数， ∴和都是整数， ∴M是两个整数的平方和，即M为“和谐数”． 【解析】 【分析】（1）根据“和谐数”的定义，判断40能否写成两个整数的平方和即可； （2）利用配方法对代数式变形，对比得到，的值，即可计算； （3）对M进行配方，将其整理为两个平方和的形式，即可得到符合条件的k值． 【小问1详解】 解：∵，且6，2都是整数， ∴40是“和谐数”； 【小问2详解】 解：， 对比得，， ∴； 【小问3详解】 略 21. 阅读题目：如图，已知平行四边形，求作：菱形（要求：尺规作图． 下面是两位同学设计的“尺规作菱形”的作图过程： 甲同学作法如图： ①以点A为圆心，长为半径画弧，与交于点F，②以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点E，③连接，则四边形为菱形． 乙同学作法如图： ①以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，②分别以A，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点F，③连接，则四边形为菱形． （1）依据甲同学的作法，得到菱形的依据是：________； （2）请依据乙同学的作法，说明四边形是________； （3）在图1中，作菱形，使E在上，并且菱形与平行四边形面积相等．（不写做法，保留作图痕迹） 【答案】（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形 （2）菱形 （3）如图：即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据作图以及菱形的判定方法即可解答； （2）如图：由作图过程可知：平分，先说明四边形是平行四边形，进而判断其为菱形； （3）根据菱形的判定与性质、垂直平分线的性质作图即可。 【小问1详解】 解：∵平行四边形， ∴，即， 由作图过程可知：， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵ ∴四边形为菱形， ∴甲同学的作法，得到菱形的依据是：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 【小问2详解】 解：如图：由作图过程可知：平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． 【小问3详解】 解：如图：即为所求． 由作图过程可知：和垂直平分，即四边形是菱形； 由菱形对角线是平行四边形边上的高的2倍，即菱形与平行四边形面积相等．所以四边形即为所求． 22. 定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． （2）若是“邻根方程”，求的值． （3）若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 【答案】（1）①③ （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根为、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系，结合完全平方公式即可得到，，的数量关系． 【小问1详解】 解：①解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 综上可知，“邻根方程”为：①③． 【小问2详解】 解：解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． 【小问3详解】 解：一元二次方程为“邻根方程”， ∴， 设方程的两个根为、，则，，， ∴， ∴， ∴． 23. 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得原方程的正数解为． 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程，解法的正确构图是______（从序号①②③中选择）． （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程的正数解（写出必要的思考过程，图2中的网格不要求全部使用） （3）一般地对于形如的一元二次方程可以构造图3来解，已知图3由个相同矩形构成，这个矩形的总面积为，中间围成的正方形边长为．那么______，______． 【答案】（1）② （2）如图： （3）； 【解析】 【分析】本题考查构造图形解一元二次方程，解题的关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程，运用了数形结合的思想． （1）仿照阅读材料构造图形，即可判断出构图方法； （2）仿照阅读材料构造大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，即可解决问题； （3）根据个矩形的总面积为，知，即；而中间围成的正方形边长为，可得解． 【小问1详解】 解：∵应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， ∴大正方形的面积又可表示为， ∴大正方形的边长为， ∴， ∴， ∴解法正确的构图是②， 故答案为：②； 【小问2详解】 首先构造了如图2所示的图形， 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， ∴大正方形的面积又可表示为， ∴大正方形的边长为， ∴， 解得：， ∴方程的正数解是； 【小问3详解】 如图：∵， ∴， ∵个矩形的总面积为， ∴， ∴， 解得：， ∵中间围成的正方形边长为， ∴， ∵，表示边长， ∴， 解得：， 故答案为：；． 24. 综合与实践 折叠问题是初中数学中的一个几何题型.折叠前后图形的大小和形状不发生改变，对应边相等，对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线，我们可以用一张纸演示折叠辅助解决问题. 问题情境 如图1，在长方形纸片中，，，，点是线段上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形. （1）如图2，连接，当点落在上时，的长为________________. 深入探究 （2）如图3，点是的中点，连接.当点落在上时，求的长. 拓展应用 （3）如图4，点是的中点，连接，. ①的最小值为________________； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长. 【答案】（1）4；（2）；（3）①；②或6 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质得到，再根据勾股定理求出，即可求出答案； （2）连接，设，根据折叠的性质得到，，由勾股定理得到，再利用勾股定理得到，即可求出答案； （3）①根据两点之间，线段最短，当点落在上时，的值最小，根据折叠的性质得到，，由勾股定理得到，即可得到答案； ②分当时，当时，两种情况进行讨论． 【详解】解：（1）是由沿翻折所得到的图形， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）连接，设， 是由沿翻折所得到的图形， ， ，， ， ， 点是的中点，， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 解得， ； （3）①根据两点之间，线段最短，当点落在上时，的值最小， 设， 是由沿翻折所得到的图形， ， ，， ， ， 点是的中点，， ， ， ， ； ②当时， 是由沿翻折所得到的图形， ， ， 设， ， ， 在中，， ， 解得， ； 当时，点在上时， ， ，， ， ， ， ， ； 综上所述，的长为或6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $