精品解析：山东淄博市张店区第七中学（五四制）2026-2027学年八年级上学期10月学情自测数学试题

【2026.10.10】初三上月考数学试卷-张店七中 一．选择题（共10小题，每题4分） 1. 下列变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列多项式能用平方差公式分解的因式有（ ） （1）a2+b2 (2) x2－y2 (3)－m2+n2 (4) －b2－a2 (5)－a6+4 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 根据分式的基本性质，下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 把分式中的和都扩大2倍，分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 缩小为原来的 D. 扩大4倍 6. 因式分解，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（ ） A. B. C. D. 7. 化简的结果为，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少（　　） A. B. C. D. 9. 已知a、b、c是正整数，且，，则等于（ ） A. 1 B. 1或7 C. －1 D. －1或－7 10. 已知,且，则为（　　） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，每题4分） 11. 分解因式：___________． 12. 若是关于是关于的某个整式的平方，则常数的值为___________． 13. 已知非零实数，满足，则的值等于__________． 14. 若，则的值是___________． 15. 对于实数，定义一种新运算“”，，这里等式的右边是实数运算，按此规定，则方程的解是___________． 三．解答题（共9小题） 16. 因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 计算： （1）先化简，再求值：，再从0，1，2中选择一个合适的值代入求值； （2）先化简，再求值：，其中与2，3构成的三边，且为整数． 19. 如图①，六个小图形拼成一个大长方形，大长方形面积长宽，六个小图形面积之和：，可得等式：． （1）仿照上面的方法，由图②可得等式_______________； （2）通过以上探究，我们发现可以利用长方形的面积求因式分解，那么因式分解：_____________； （3）利用（1）所得的等式，解决以下问题：已知，，求的值． 20. 阅读下面的材料并解答后面的问题： 【阅读】 小亮：你能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小华：能．求解过程如下： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题： （1）将变形为的形式________，则的最小值为________； （2）求多项式有最大值． 21. 阅读下面的解题过程: 已知,求的值. 解:由知 所以即 所以,所以的值为. 说明:该题的解法叫做“倒数法 请你利用“倒数法”解下面题目: 已知:求:(1) 的值；(2)的值． 22. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，则和都是“和谐分式”． （1）下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④ （2）将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． （3）应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数． 23. 【材料阅读】众所周知，在不饱和糖水中加糖，糖水会变得更甜．我们可以用分式的知识解释这一现象，设一杯糖水的总质量为克，其中糖的质量为克，则糖与糖水的质量之比为，若往杯里加糖克，此时糖水中糖的质量为克，糖水总质量为克，糖与糖水的质量之比为． 因为（其中）， 即，所以糖水的含糖量变大，糖水变得更甜． 【问题解决】某水果店免费提供大小重量相同的纸箱（每箱最多装10千克）装不同重量的水果进行销售． （1）小明买了连箱重5千克的苹果一箱，付了50元；小亮买了连箱重10千克的苹果一箱，付了100元．小明与小亮所买苹果的实际单价（指纯苹果的单价）哪个便宜？请类比【材料阅读】的方法解释； （2）小李买了每箱连箱重6千克的梨两箱付了元，又买了连箱重9千克的梨一箱付了元，若梨的实际单价是相同的，那么小李再买连箱重7千克的梨一箱需付___________元（用的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【2026.10.10】初三上月考数学试卷-张店七中 一．选择题（共10小题，每题4分） 1. 下列变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义及提公因式法分解因式，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键． 【详解】解：、，不属于因式分解，不符合题意； 、，是整式的乘法运算，不属于因式分解，不符合题意； 、，不属于因式分解，不符合题意； 、，属于因式分解，符合题意； 故选：． 2. 下列多项式能用平方差公式分解的因式有（ ） （1）a2+b2 (2) x2－y2 (3)－m2+n2 (4) －b2－a2 (5)－a6+4 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用平方差公式分解因式进而得出答案． 【详解】①a2+b2，无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误； ②x2-y2=（x+y）（x-y），能运用平方差公式分解因式，故此选项正确； ③-m2+n2=（m+n）（m-n），能运用平方差公式分解因式，故此选项正确； ④-a2-b2，无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误； ⑤-a6+4=（2+a3）（2-a3），能运用平方差公式分解因式，故此选项正确； 能用平方差公式分解的因式有3个． 故选B． 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键． 3. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查最简分式的概念，理解最简分式的概念是解题关键． 根据最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，逐一判断即可． 【详解】解：A. ，不是最简分式，不符合题意； B. ，不是最简分式，不符合题意； C. ，分子与分母没有公因式，是最简分式，符合题意； D. ，不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 4. 根据分式的基本性质，下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练理解分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键． 根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变进行逐项判断． 【详解】解：A、，原计算错误，该选项不符合题意； B、，原计算错误，该选项不符合题意； C、，原计算错误，该选项不符合题意； D、，正确，该选项符合题意； 故选；D． 5. 把分式中的和都扩大2倍，分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 缩小为原来的 D. 扩大4倍 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．把原分式中的和都扩大2倍得到，再根据分式的基本性质化简得到，即可得到答案． 【详解】解：分式中的和都扩大2倍， 原分式变形为：， 把分式中的和都扩大2倍，分式的值扩大2倍， 故选：B． 6. 因式分解，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据甲看错了a的值可以知道，甲的分解结果中b的值是正确的，根据乙看错了b的值可以知道，乙的分解结果中a的值是正确的，据此即可得到a、b的值，进而得到答案． 【详解】解：∵甲看错了a的值， ∴， ∴； ∵乙看错了b的值， ∴， ∴， ∴分解因式正确的结果为： ， 故选：D． 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是正确理解因式分解的定义． 7. 化简的结果为，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：依题意得： ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则． 8. 一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的实际应用，根据题意求出全程，及提速后行驶的速度，相除即可得到提速后行驶的时间，原来行驶时间减去提速后行驶的时间，即得比原来减少的时间． 【详解】A地到B地的路程：， 提速后的速度：， 提速后的时间：， ∴提速后从A地到B地比原来减少的时间：， 故选：C． 9. 已知a、b、c是正整数，且，，则等于（ ） A. 1 B. 1或7 C. －1 D. －1或－7 【答案】B 【解析】 【分析】此题先把a2−ab−ac+bc=7因式分解，再结合a、b、c都是正整数和a>b，探究它们的可能值，从而求解． 【详解】解：根据已知a2−ab−ac+bc=7， 即a(a−b)−c(a−b)=7， (a−b)(a−c)=7， ∵a>b， ∴a−b>0， ∴a−c>0， ∵a、b、c都是正整数， ∴a−c=1或a−c=7， 故选：B． 【点睛】此题考查了因式分解；能够借助因式分解分析字母的取值范围是解决问题的关键． 10. 已知,且，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了数字的变化规律与分式的混合运算，先根据分式的混合运算顺序和运算法则计算出，据此得出其循环规律，再进一步求解可得． 【详解】解：， ， ， ， 这列式子的结果以、、为周期，每3个数一循环， ， ． 故选C． 二．填空题（共5小题，每题4分） 11. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，然后利用公式法因式分解即可． 【详解】解：． 12. 若是关于是关于的某个整式的平方，则常数的值为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意设，结合完全平方公式即可求出常数的值． 【详解】解：设， 则：， 解得：或． ∴常数的值为或． 13. 已知非零实数，满足，则的值等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，根据得出，将其代入进行计算化简即可． 【详解】解：∵， ∴，则， ∴， 故答案为：． 14. 若，则的值是___________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意将等号右面通分得出方程组，然后求解计算即可． 【详解】解：， ， 即， 解得， ． 15. 对于实数，定义一种新运算“”，，这里等式的右边是实数运算，按此规定，则方程的解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义得出分式方程，然后求解即可． 【详解】解：， ， ， 去分母得：， 解得：， 经检验是方程的解， 原方程的解为． 三．解答题（共9小题） 16. 因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 原式 ； 【小问4详解】 ． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）无解 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 方程两边同时乘得： 解得：， 检验：当时，， 分式方程无解； 【小问2详解】 解：， 原方程化为：， 方程两边同时乘得：， 即， 解得：， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 18. 计算： （1）先化简，再求值：，再从0，1，2中选择一个合适的值代入求值； （2）先化简，再求值：，其中与2，3构成的三边，且为整数． 【答案】（1） （2），3 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ， ， ， 当时，原式． 【小问2详解】 解：原式 ， 与2，3构成的三边，且为整数， ，即， ， 当或时，原式没有意义，故． 当时，原式． 19. 如图①，六个小图形拼成一个大长方形，大长方形面积长宽，六个小图形面积之和：，可得等式：． （1）仿照上面的方法，由图②可得等式_______________； （2）通过以上探究，我们发现可以利用长方形的面积求因式分解，那么因式分解：_____________； （3）利用（1）所得的等式，解决以下问题：已知，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是多项式的乘法与几何图形面积的关系，完全平方公式的几何意义以及灵活应用，熟练的利用面积法得到代数恒等式是解本题的关键． （1）由图2的面积可表示为：或，再利用面积的不变性可得等式； （2）由等于成几个小图形的面积之和，进而得出答案； （3）把，代入，从而可得答案． 【小问1详解】 解：如图2，是几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为． 故答案为：． 【小问2详解】 ， 故答案为：． 【小问3详解】 ， ，， ， ， ． 20. 阅读下面的材料并解答后面的问题： 【阅读】 小亮：你能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小华：能．求解过程如下： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题： （1）将变形为的形式________，则的最小值为________； （2）求多项式有最大值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查配方法的应用，通过配方法将多项式变形，再根据完全平方式的非负性求解最值． （1）把变为，再写成完全平方式的形式即可； （2）先提系数，再配方，然后利用非负数的性质，结合不等式的性质求解即可； 【小问1详解】 将进行配方变形： 因为， 所以当，即时，的值最小，最小值是2． 故答案为：，2． 【小问2详解】 解：对进行配方： 因为， 所以， 当，即时，的值最大，最大值是11． 所以多项式的最大值为11． 21. 阅读下面的解题过程: 已知,求的值. 解:由知 所以即 所以,所以的值为. 说明:该题的解法叫做“倒数法 请你利用“倒数法”解下面题目: 已知:求:(1) 的值；(2)的值． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）将已知条件的两边式计算各自的倒数，约分后可得结论； （2）计算所求式子的倒数，再将代入可得结论． 【详解】解：（1） （2） . 【点睛】本题考查分式的求值问题，解题的关键是正确理解题目给出的解答思路，注意分式的变形，本题属于基础题型． 22. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，则和都是“和谐分式”． （1）下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④ （2）将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． （3）应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】（1）①③④ （2） （3）时，该式的值为整数 【解析】 【分析】此题考查分式的变形计算，同分母分式加法逆运算， （1）根据同分母分式加法将各分式变形，即可判断； （2）根据同分母分式加法将各分式变形； （3）将分式变形结果为，根据分式的性质得到x的值． 【小问1详解】 ①，②；③，④， 故答案为①③④； 【小问2详解】 ， 故答案为； 【小问3详解】 原式 当或时，分式的值为整数， 此时或或1或， 又分式有意义时， ． 23. 【材料阅读】众所周知，在不饱和糖水中加糖，糖水会变得更甜．我们可以用分式的知识解释这一现象，设一杯糖水的总质量为克，其中糖的质量为克，则糖与糖水的质量之比为，若往杯里加糖克，此时糖水中糖的质量为克，糖水总质量为克，糖与糖水的质量之比为． 因为（其中）， 即，所以糖水的含糖量变大，糖水变得更甜． 【问题解决】某水果店免费提供大小重量相同的纸箱（每箱最多装10千克）装不同重量的水果进行销售． （1）小明买了连箱重5千克的苹果一箱，付了50元；小亮买了连箱重10千克的苹果一箱，付了100元．小明与小亮所买苹果的实际单价（指纯苹果的单价）哪个便宜？请类比【材料阅读】的方法解释； （2）小李买了每箱连箱重6千克的梨两箱付了元，又买了连箱重9千克的梨一箱付了元，若梨的实际单价是相同的，那么小李再买连箱重7千克的梨一箱需付___________元（用的代数式表示）． 【答案】（1）小亮所买苹果的实际单价便宜；理由如下： 设箱重， 则小明买的苹果单价为：元/千克，小亮买的苹果单价为：元/千克， 比较：与的大小， ， ， 故比较与的大小， ， ， 故， ， 小亮所买苹果的实际单价便宜； （2） 【解析】 【分析】（1）设箱重，则小明买的苹果单价为：元/千克，小亮买的苹果单价为：元/千克，根据题干提供的方法比较与的大小即可； （2）设箱重，则小李第一次买梨单价为：元/千克，小李第二次买梨单价为：元/千克，设梨单价为元/千克，根据梨的单价不变，得出，求出，再用梨的单价乘梨的质量求出小李再买连箱重7千克的梨一箱需付的钱数即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设箱重，则小李第一次买梨单价为：元/千克，小李第二次买梨单价为：元/千克， 设梨单价为元/千克， 所以， 故， ， 即， 则小李再买连箱重7千克的梨一箱需付： （元）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $