4.4 二次函数与一元二次方程的关系 同步练习 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

湘教版（2024）九年级上册 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 同步练习 一、选择题 1．若函数y=kx2-6x+3的图像与x轴有交点，则k的取值范围是 A．k<3 B．k<3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0 2．抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表. 从表中可知，下列说法正确的有 （      ）  ①抛物线与x轴的交点为(－2，0)，(2，0)；②抛物线与y轴的交点为(0，6)； ③抛物线的对称轴是直线x＝；④在对称轴右侧，y随x增大而减小. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图是二次函数y=-x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是（　　） A．-1≤x≤3 B．x≤-1 C．x≥1 D．x≤-1或x≥3 4．已知函数y=x2-2x-2的图象如图，根据其中提供的信息，可求得使x2-2x-2≥1成立的x的取值范围是（　　） A．-1≤x≤3 B．x≤-1或x≥3 C．x≥-3 D．-3≤x≤1 5．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围是（　　） A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4 6．如表是二次函数y＝x2+2x﹣10的自变量x与函数y的部分对应值，那么方程x2+2x﹣13＝0的一个近似根是（　　） A．﹣4.9 B．﹣4.8 C．﹣4.7 D．﹣4.6 7．已知：二次函数y=x2-4x+a，下列说法中错误的个数是（　　） ①当x＜1时，y随x的增大而减小 ②若图象与x轴有交点，则a≤4 ③当a=3时，不等式x2-4x+a＞0的解集是1＜x＜3 ④若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，-2），则a=-3． A．1 B．2 C．3 D．4 8．如表给出了二次函数y＝x2+2x﹣9中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣9＝0的一个近似解（精确到0.1）为（　　） A．2 B．2.1 C．2.2 D．2.3 9．若函数y＝x2﹣2x﹣m与x轴没有交点，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 10．已知二次函数图像的对称轴为直线，部分图像如图所示，下列结论中：①；②；③；④若t为任意实数，则有；⑤当图像经过点时，方程的两根为，则，其中正确的结论有（ ） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．②③④ 11．在平面直角坐标系中，二次函数y=（m为常数）的图象经过（0，6），且有最小值，则该二次函数的图象与x轴交点的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 12．在二次函数y＝ax2+bx+c，x与y的部分对应值如下表： 则下列说法：①图象经过原点；②图象开口向下；③当x＞1时，y随x的增大而增大；④图象经过点（﹣1，3）；⑤方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤ 二、填空题 13．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点A的坐标为，与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc>0；②5b＋2c<0；③若抛物线经过点(－6，y1)，(5，y2)，则y1>y2；④若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝4无实数根，则n<4.其中正确的是__________ （请填写序号）. 14．若二次函数y=x2-3x-4的图象如图所示，则方程x2-3x-4=0的解是__________；不等式x2-3x-4＞0的解集是__________；不等式x2-3x-4＜0的解集是__________． 15．若抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x=5，与x轴一交点为A（3，0）， 则不等式ax2+bx+c＞0的解集是__________． 16．二次函数y＝x2+bx+4的图象与坐标轴有2个交点，则b的值为 __________． 17．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的顶点是（﹣2，3），与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间．下列四个结论：①abc＜0；②一元二次方程ax2﹣bx+c＝0的一个根在0和1之间；③点P1（﹣7，y1），P2（π，y2）在抛物线上，则y1＜y2；④b2+2b＞4ac．其中正确的结论是__________（填写序号）． 三、解答题 18．利用图象解一元二次方程x2－2x－1＝0时，我们采用的一种方法是：在直角坐标系中画出抛物线y＝x2和直线y＝2x＋1，两图象交点的横坐标就是该方程的解. (1)请再给出一种利用图象求方程x2－2x－1＝0的解的方法； (2)已知函数y＝x3的图象（如图），求方程x3－x－2＝0的解.(结果保留2个有效数字) 19．已知函数y=2(x-m)(x-m-3)(m为常数). (1)求证：不论m取何值，该函数图像与x轴总有两个公共点； (2)若该函数图像与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若△ABC的面积为12，求m的值. 20．利用图象解一元二次方程x2＋x－3＝0时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线y＝x2和直线y＝－x＋3，两图象交点的横坐标就是该方程的解. (1)填空：利用图象解一元二次方程x2＋x－3＝0，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y＝　　　　和直线y＝－x，其交点的横坐标就是该方程的解； (2)已知函数y＝－的图象（如图所示），利用图象求方程－x＋3＝0的近似根（结果保留两位有效数字）. 21．如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（-1，0）及点B． (1) 求二次函数与一次函数的解析式； (2) 根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围． 22．如图二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过B，D． （1）求二次函数的解析式； （2）写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围； （3）若直线BD与y轴的交点为E点，连接AD，AE，求△ADE的面积． 湘教版（2024）九年级上册 4.4 二次函数与一元二次方程的关系 同步练习（参考答案） 一、选择题 1．若函数y=kx2-6x+3的图像与x轴有交点，则k的取值范围是 A．k<3 B．k<3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0 【答案】C 【解析】当k≠0时，由二次函数与x轴有交点，可得 kx2-6x+3=0有实根. 即b2-4ac=36-12k≥0， 解不等式得k≤3； 当k=0时，函数是一次函数，与x轴交于，符合题意. 所以k的取值范围为k≤3. 2．抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表. 从表中可知，下列说法正确的有 （      ）  ①抛物线与x轴的交点为(－2，0)，(2，0)；②抛物线与y轴的交点为(0，6)； ③抛物线的对称轴是直线x＝；④在对称轴右侧，y随x增大而减小. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】由表格可知，当x＝0时，y＝6，当x＝1时，y＝6， ∴抛物线与y轴的交点为(0，6)，抛物线的对称轴为直线x＝ 故②③说法正确； ∵x＝－2时，y＝0， ∴抛物线与x轴的一个交点坐标为(－2，0)， ∵对称轴为直线x＝ ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)，故①说法错误； 由表格可知，当x<时，y随x增大而增大， ∴当x>时，y随x增大而减小，故④说法正确. 3．如图是二次函数y=-x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是（　　） A．-1≤x≤3 B．x≤-1 C．x≥1 D．x≤-1或x≥3 【答案】D 【解析】解：由图可知，x≤-1或x≥3时，y≤1． 4．已知函数y=x2-2x-2的图象如图，根据其中提供的信息，可求得使x2-2x-2≥1成立的x的取值范围是（　　） A．-1≤x≤3 B．x≤-1或x≥3 C．x≥-3 D．-3≤x≤1 【答案】B 【解析】解：由图可知，x≤-1或x≥3时，x2-2x-2≥1． 5．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围是（　　） A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4 【答案】B 【解析】由表格数据可得，当x＝1.1时，y＝﹣0.49，当x＝1.2时，y＝0.04， 于是可得，当y＝0时，相应的自变量x的取值范围为1.1＜x＜1.2. 故选：B． 6．如表是二次函数y＝x2+2x﹣10的自变量x与函数y的部分对应值，那么方程x2+2x﹣13＝0的一个近似根是（　　） A．﹣4.9 B．﹣4.8 C．﹣4.7 D．﹣4.6 【答案】C 【解析】原函数可化为：y﹣3＝x2+2x﹣10﹣3＝x2+2x﹣13， 由表得： 当x＝﹣4.8时，y＝3.44，则y﹣3＝3.44﹣3＝0.44， 当x＝﹣4.7时，y＝2.69，则y﹣3＝2.67﹣3＝﹣0.33， ∵﹣0.33更接近于0， ∴方程x2+2x﹣13＝0的一个近似根是x＝﹣4.7. 故选：C． 7．已知：二次函数y=x2-4x+a，下列说法中错误的个数是（　　） ①当x＜1时，y随x的增大而减小 ②若图象与x轴有交点，则a≤4 ③当a=3时，不等式x2-4x+a＞0的解集是1＜x＜3 ④若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，-2），则a=-3． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】解：二次函数为y=x2-4x+a，对称轴为x=2，图象开口向上．则： ①当x＜1时，y随x的增大而减小，故说法正确； ②若图象与x轴有交点，即Δ=16-4a≥0，则a≤4，故说法正确； ③当a=3时，不等式x2-4x+3＜0的解集是x＜0或x＞3，故说法错误； ④原式可化为y=（x-2）2-4+a，将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后所得函数解析式是y=（x+1）2-3+a，函数过点（1，-2），代入解析式得到a=-3．故说法正确． 8．如表给出了二次函数y＝x2+2x﹣9中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣9＝0的一个近似解（精确到0.1）为（　　） A．2 B．2.1 C．2.2 D．2.3 【答案】C 【解析】当x＝2.1时，y＝﹣0.39；当x＝2.2时，y＝0.24， ∵0.24更接近于0， ∴方程的一个近似根为2.2． 故选：C． 9．若函数y＝x2﹣2x﹣m与x轴没有交点，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【解析】∵二次函数y＝x2﹣2x﹣m与x轴没有交点， ∴Δ＜0，即4+4m＜0， ∴m＜﹣1， ∴m+1＜0，m﹣1＜0， 一次函数经过二、三、四象限，不经过第一象限． 故选：A． 10．已知二次函数图像的对称轴为直线，部分图像如图所示，下列结论中：①；②；③；④若t为任意实数，则有；⑤当图像经过点时，方程的两根为，则，其中正确的结论有（ ） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．②③④ 【答案】C 【解析】由图像可知，抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ，， 即， ，故①错误； 由图像可知，抛物线与x轴有两个交点， ，故②正确； 由图像可知，当时，， ， 又， ， ，故③正确； 由图像可知，当时，y有最小值 （t为任意实数）， ，故④正确； 抛物线对称轴为直线，当图像经过点时， 由二次函数的对称性可得图像也经过点， 的图像与直线的交点为和， 即的两根为和， 又方程的两根为 ，， ，故⑤错误； 正确的结论②③④． 故选C． 11．在平面直角坐标系中，二次函数y=（m为常数）的图象经过（0，6），且有最小值，则该二次函数的图象与x轴交点的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】A 【解析】由二次函数y=（m为常数）的图象经过（0，6），且有最小值， 得m2﹣m＝6，即m＝3或﹣2（舍）， 当m＝3时，y＝x2+3x+6＝（x+1.5）2+3.75＞0， 故该二次函数的图象与x轴交点的个数为0. 故选：A． 12．在二次函数y＝ax2+bx+c，x与y的部分对应值如下表： 则下列说法：①图象经过原点；②图象开口向下；③当x＞1时，y随x的增大而增大；④图象经过点（﹣1，3）；⑤方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤ 【答案】D 【解析】∵由图表可以得出当x＝0或2时，y＝0，x＝3时，y＝3， ∴， 解得：， ∴y＝x2﹣2x， ∵c＝0， ∴图象经过原点，故①正确； ∵a＝1＞0， ∴抛物线开口向上，故②错误； ∵抛物线的对称轴是直线x＝1， ∴x＞1时，y随x的增大而增大，故③正确； 把x＝﹣1代入得，y＝3， ∴图象经过点（﹣1，3），故④正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点（0，0）、（2，0）， ∴ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，故⑤正确. 故选：D． 二、填空题 13．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点A的坐标为，与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc>0；②5b＋2c<0；③若抛物线经过点(－6，y1)，(5，y2)，则y1>y2；④若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝4无实数根，则n<4.其中正确的是__________ （请填写序号）. 【答案】①②④ 【解析】①∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点A的坐标为， ∴－＝－，∴a＝b. ∵抛物线开口方向向下，即a<0，∴b<0. 当x＝0时，y＝c>0，∴abc>0，故①正确； ②由图象可得，当x＝1时，y＝a＋b＋c<0， ∴5b＋2c<0，故②正确； ③∵直线x＝－是抛物线的对称轴， ∴点(－6，y1)到对称轴的距离大于点(5，y2)到对称轴的距离， ∴y1<y2，故③错误； ④∵关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝4无实数根， ∴顶点A在直线y＝4的下方， ∴n<4，故④正确. 故正确的有①②④. 14．若二次函数y=x2-3x-4的图象如图所示，则方程x2-3x-4=0的解是__________；不等式x2-3x-4＞0的解集是__________；不等式x2-3x-4＜0的解集是__________． 【答案】x1=4，x2=-1； x＞4或x＜-1； -1＜x＜4 【解析】解：方程x2-3x-4=0的解是x1=4，x2=-1； 不等式x2-3x-4＞0的解集是x＞4或x＜-1； 不等式x2-3x-4＜0的解集是-1＜x＜4． 15．若抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x=5，与x轴一交点为A（3，0）， 则不等式ax2+bx+c＞0的解集是__________． 【答案】3＜x＜7 【解析】解：如图所示： ∵抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x=5，与x轴一交点为A（3，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（7，0）， ∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是3＜x＜7． 16．二次函数y＝x2+bx+4的图象与坐标轴有2个交点，则b的值为 __________． 【答案】±4 【解析】令x＝0，则y＝4， ∴抛物线与y轴的交点为（0，4）， ∵二次函数y＝x2+bx+4的图象与坐标轴有2个交点， ∴二次函数y＝x2+bx+4的图象与x轴有一个交点， ∴Δ＝b2﹣4×1×4＝0， 解得b＝±4. 故答案为：±4． 17．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的顶点是（﹣2，3），与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间．下列四个结论：①abc＜0；②一元二次方程ax2﹣bx+c＝0的一个根在0和1之间；③点P1（﹣7，y1），P2（π，y2）在抛物线上，则y1＜y2；④b2+2b＞4ac．其中正确的结论是__________（填写序号）． 【答案】①②④ 【解析】由题意可知抛物线开口向下，交y轴的正半轴，则a＜0，c＜0， ∵顶点坐标是（﹣2，3）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2， ∴b＝4a＜0， ∴abc＜0，所以①正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的顶点坐标是（﹣2，3），与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间， ∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间， ∴一元二次方程ax2﹣bx+c＝0的一个根在0和1之间，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣2， ∴点P1（﹣7，y1）到对称轴的距离小于P2（π，y2）到对称轴的距离， ∴y1＞y2，故③错误； ∵a＜0，c＞0，b＜0， ∴b2＞0，﹣2b＞0，4ac＜0， ∴b2+2b＞4ac，故④正确. 故答案为：①②④． 三、解答题 18．利用图象解一元二次方程x2－2x－1＝0时，我们采用的一种方法是：在直角坐标系中画出抛物线y＝x2和直线y＝2x＋1，两图象交点的横坐标就是该方程的解. (1)请再给出一种利用图象求方程x2－2x－1＝0的解的方法； (2)已知函数y＝x3的图象（如图），求方程x3－x－2＝0的解.(结果保留2个有效数字) 【答案】解　(1)方法：在直角坐标系中画出抛物线y＝x2－1和直线y＝2x，其交点的横坐标就是方程的解. (2)如图，在图中画出直线y＝x＋2与函数y＝x3的图象交于点B，得点B的横坐标x约为1.5， ∴方程的近似解为x＝1.5. 19．已知函数y=2(x-m)(x-m-3)(m为常数). (1)求证：不论m取何值，该函数图像与x轴总有两个公共点； (2)若该函数图像与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若△ABC的面积为12，求m的值. 【答案】(1)证明　∵y=2(x-m)(x-m-3)，即y=2x2-2(2m+3)x+2m2+6m， ∴当y=0时，即2x2-2(2m+3)x+2m2+6m=0， ∴b2-4ac=[-2(2m+3)]2-4×2×(2m2+6m)=36>0， ∴该函数图像与x轴总有两个公共点. (2)解　∵y=2(x-m)(x-m-3)即y=2x2-2(2m+3)x+2m2+6m， ∴当y=0时，即2(x-m)(x-m-3)=0， ∴x=m或x=m+3， 当x=0时，y=2m2+6m， ∴设A(m，0)，B(m+3，0)，C(0，2m2+6m)， ∴AB=3， ∵△ABC的面积为12， ∴AB·|yC|=12，即×3×|2m2+6m|=12， ∴m2+3m=4，①或m2+3m=-4，② ∴解①得m=-4或m=1，方程②无解. 20．利用图象解一元二次方程x2＋x－3＝0时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线y＝x2和直线y＝－x＋3，两图象交点的横坐标就是该方程的解. (1)填空：利用图象解一元二次方程x2＋x－3＝0，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y＝　　　　和直线y＝－x，其交点的横坐标就是该方程的解； (2)已知函数y＝－的图象（如图所示），利用图象求方程－x＋3＝0的近似根（结果保留两位有效数字）. 【答案】解　(1)一元二次方程x2＋x－3＝0可以转化为x2－3＝－x， 所以一元二次方程x2＋x－3＝0的解可以看成抛物线y＝x2－3与直线y＝－x交点的横坐标. (2)图象如图所示， 由图象可得，方程－x＋3＝0的近似根为x1＝－1.4，x2＝4.4. 21．如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（-1，0）及点B． (1) 求二次函数与一次函数的解析式； (2) 根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围． 【答案】解： (1) ∵抛物线y=（x+2）2+m经过点A（-1，0）， ∴0=1+m，∴m=-1， ∴抛物线解析式为y=（x+2）2-1=x2+4x+3， ∴点C坐标（0，3）， ∵对称轴x=-2，B、C关于对称轴对称， ∴点B坐标（-4，3）， ∵y=kx+b经过点A，B， ∴，解得， ∴一次函数解析式为y=-x-1， (2) 由图象可知，满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围为x≤-4或x≥-1． 22．如图二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过B，D． （1）求二次函数的解析式； （2）写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围； （3）若直线BD与y轴的交点为E点，连接AD，AE，求△ADE的面积． 【答案】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1）， 把C（0，3）代入得a×3×（﹣1）＝3， 解得a＝﹣1， 所以抛物线解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1），即y＝﹣x2﹣2x+3. （2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴该函数的对称轴是直线x＝﹣1， ∵点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点， ∴点D（﹣2，3）， ∴一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1. （3）连接AE，如图： 设直线BD的解析式为y＝mx+n， 代入B（1，0），D（﹣2，3）得： ， 解得：， 故直线BD的解析式为y＝﹣x+1， 把x＝0代入y＝﹣x+1得，y＝1， ∴E（0，1）， ∴S△ADE＝S△ABD﹣S△ABE＝AB•yD﹣AB•yE＝×4×3﹣×4×1＝4． ∴△ADE的面积为4． 学科网（北京）股份有限公司 $