精品解析：河南周口市西华县中都高级中学2026-2027学年高二上学期九月阶段质量检测数学试题

西华县中都高级中学九月份质量检测 高二数学试卷 满分：150分 考试时间：110分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于空间向量的说法正确的是（ ） A. 空间中任意两个单位向量都相等 B. 空间中零向量的方向是确定的 C. 空间中相反向量的模长相等 D. 空间中方向相同的向量是相等向量 2. 下列向量中与共线的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知为坐标原点，点，点，则（ ） A. 13 B. 15 C. 17 D. 19 4. 点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，若，则实数x的值为（ ） A. B. 10 C. D. 2 6. 已知向量，，，平面的法向量为，则的值为（   ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 9 8. 如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 如图所示，在长方体中，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，且直线的方向向量为，则平面的法向量的坐标可以是（　　） A. B. C. D. 11. 已知空间四点， 则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 化简______． 13. 已知向量，，若，则______． 14. 在如图直三棱柱中，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，E，F分别是长方体ABCD-的棱AB，CD的中点，化简下列表达式： （1）; （2） （3） 16. 已知，，．求： （1）； （2）； （3）． 17. 已知向量，. （1）求； （2）求； （3）求. 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，边长为1，平面，，求： （1）点A，B，C，D，P的坐标； （2）平面的一个法向量． 19. 如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点，建立适当的空间直角坐标系. （1）求； （2）证明：平面． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西华县中都高级中学九月份质量检测 高二数学试卷 满分：150分 考试时间：110分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于空间向量的说法正确的是（ ） A. 空间中任意两个单位向量都相等 B. 空间中零向量的方向是确定的 C. 空间中相反向量的模长相等 D. 空间中方向相同的向量是相等向量 【答案】C 【解析】 【分析】根据单位向量，零向量，相反向量，共线向量的概念即可判断. 【详解】相等向量是指长度相等，方向相同的向量，单位向量只是说明了长度，并未指明方向，故A错误； 零向量的方向是任意的，故B错误； 相反向量是指方向相反，长度相等的向量，故C正确； 空间中方向相同的向量不一定是相等向量，因为长度也不一定相等，故D错误. 2. 下列向量中与共线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据（）可得，进行判断. 【详解】因为，所以C选项满足题意； 其他选项不存在，使写成该选项的形式，所以其他选项均不满足题意. 故选：C 3. 已知为坐标原点，点，点，则（ ） A. 13 B. 15 C. 17 D. 19 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算计算求值. 【详解】已知为坐标原点，点，点， 则，， 所以. 故选：B 4. 点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点关于平面对称的性质判断即可. 【详解】点关于平面对称时，坐标不变，坐标不变，坐标变为相反数， 所以点关于平面对称的点的坐标为点. 5. 已知向量，，若，则实数x的值为（ ） A. B. 10 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量的数量积的坐标运算计算即可. 【详解】由于，则， 即， 解得. 故选：A 6. 已知向量，，，平面的法向量为，则的值为（   ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】平面的法向量与平面内所有向量垂直，故， 解得，故． 7. 若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】A 【解析】 【详解】因为平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，所以， 所以，解得：,，所以 8. 如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】取AC的中点N，连接BN，MN，如图所示， ∵M为的中点，，， ， ． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 如图所示，在长方体中，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】建系，确定各个向量坐标，结合向量模长公式，相等向量和相反向量、向量坐标运算逐个判断即可. 【详解】  以为原点，分别以为轴建系，如图： 则， 对于A： ，模长，A正确. 对于B： ，是相等向量，B正确. 对于C： ， 而 ，C错误. 对于D： ，，因此， D正确. 10. 已知，且直线的方向向量为，则平面的法向量的坐标可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据法向量的定义求解即可. 【详解】平面法向量为非零向量，故A错误. 设平面的法向量为非零向量. 由题意知，则，且. 当时，，B正确；当时，，D正确； 不存在实数，使得，故C错误. 11. 已知空间四点， 则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】由题意知， ， ， ， . 所以与不共线，所以三点不共线. 所以，， 所以， 所以A正确，B错误. ， 即与夹角的余弦值为， 所以C错误，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 化简______． 【答案】 【解析】 【详解】由向量的加减法运算可知，. 13. 已知向量，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】因为，所以，解得. 14. 在如图直三棱柱中，，则______． 【答案】0 【解析】 【详解】由题可知，， 所以 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，E，F分别是长方体ABCD-的棱AB，CD的中点，化简下列表达式： （1）; （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 . 16. 已知，，．求： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量加法运算的坐标表示求解即可. （2）根据空间向量减法运算的坐标表示求解即可. （3）根据空间向量数乘运算及减法运算的坐标表示求解即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 . 17. 已知向量，. （1）求； （2）求； （3）求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用数量积公式计算得到答案； （2）计算出的坐标，进而得到模长； （3）利用空间向量夹角余弦公式求出答案. 【小问1详解】 由题意得，. 【小问2详解】 ，则. 【小问3详解】 ，则. 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，边长为1，平面，，求： （1）点A，B，C，D，P的坐标； （2）平面的一个法向量． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 在四棱锥中，底面为正方形， 平面， 则直线两两互相垂直， 以为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，  由，则. 【小问2详解】 ，设平面的一个法向量为， 则，令，则， 故平面的一个法向量为. 19. 如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点，建立适当的空间直角坐标系. （1）求； （2）证明：平面． 【答案】（1） （2） 设平面法向量为 则，取其中一组解， 所以为平面法向量. 所以平面. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系写出点的坐标，然后计算向量坐标即可； （2）利用平面法向量与平面垂直进行证明即可. 【小问1详解】 以为坐标原点，所在方向为正方向， 建立如图所示空间直角坐标系.则， 所以. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $