精品解析：福建省仙游第一中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

2026-2027学年仙游一中高一数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题　共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的运算求解. 【详解】因为, 所以. 故选：C 2. 子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断. 【详解】由题意“工欲善其事，必先利其器.”指工匠要想要做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精良. 从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具，即必要性成立； 反过来如果有锐利精良的工具，不能得出一定能做好活儿，即充分性不成立； 所以“利其器”是“善其事”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 对于任意实数，以下四个命题中的真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】对A、B、C，通过取特殊值，即可判断正误；对D，根据选项条件可得，再由作差法，即可求解. 【详解】对于A，取，显然满足，此时，，所以A错误， 对于B，取，显然，此时，，所以B错误， 对于C，取，显然满足，此时，，所以C错误， 对于D，因为，得，显然不成立，所以，则， 又， 若，则，不满足，所以， 所以，即，所以D正确， 故选：D. 4. 已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】转化为根据集合的包含关系求参数的取值范围问题求解. 【详解】设集合，，由题意可知， ∴，∴. 故选：D 5. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集与对应方程的根的关系可得b＝3a，c＝－4a，再由基本不等式计算即可得出结论． 【详解】由的解集为可知， 1和是方程的两个实数根，且a＜0， 由根与系数的关系可得，即可得，， 所以 ，当且仅当，即时等号成立； 因此． 故选：D． 6. 若命题“”为假命题，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知“”为真命题，结合基本不等式可求得a的取值范围，结合选项，即可得答案. 【详解】由于命题“”为假命题， 故命题“”为真命题， 因为，当且仅当，即时等号成立， 故，结合选项可知a的值可能为4. 故选：D 7. 若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意讨论的符号，结合整数解个数构造不等式，解不等式求a的取值范围． 【详解】若时，不等式，解集为，有无数个整数解，不符合题意； 若时，开口向下， 的解集为两侧无限区间，有无穷多个整数解，不符合题意； 故，开口向上， ，对应方程两根为： ， 由得，故不等式解集为：， 则4个整数解为，故，解得， 故a的取值范围为． 8. 已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当其中且，或其中且.现有如下两个命题: ①；②集合.则下列选项中正确的是（ ） A. ①是真命题， ②是真命题； B. ①是真命题， ②是假命题 C. ①是假命题， ②是真命题； D. ①是假命题， ②是假命题. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的定义即可判断①是假命题，根据集合的定义先判断，，再由，有，，且，所以，可判断 ②是真命题. 【详解】因为若，则当且仅当其中且，或其中且， 且集合是由某些正整数组成的集合， 所以，， 因为，满足其中且，所以， 因为，且，，所以，故①是假命题； 记， 当时，，因为，，，所以； 下面讨论元素与集合的关系， 当时，，当时，，，，所以， 当时，，，，所以， 当时，，，，所以，依次类推， 当时，，，，所以， 下面讨论时，集合中元素与集合的关系， 因为，有，，且，所以， 综上所述，，有， 即，故②是真命题. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断，，，，再根据集合的定义求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系逐一判断即可. 【详解】对于A，因为空集是任何集合的子集， 即，故A正确； 对于B，因为，而是集合中的一个元素， 所以，故B正确； 对于C，因为，而是集合中的一个元素， 所以,故C错误； 对于D，因为集合是由集合中的元素组成的， 所以，故D正确. 10. 对任意，记，并称为集合的对称差．下列命题中，是真命题的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若且，则 D. 若且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据定义可得，对于A，B，结合集合运算法则求，，再求即可判断，对于C，由可得，，由此可得，，由此证明，即可判断，对于D，由可得，，结合集合关系推出即可判断. 【详解】根据定义， 对于A，因为，， 所以，， 所以，A正确， 对于B，因为，， 所以，， 所以，B错误， 对于C，若，则，， ， ， ∴，C正确； 对于D，若，则，， 由可得，由可得， 所以，D正确； 故选：ACD. 11. 已知，，，下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为2 C. ab的最大值为 D. 的最小值为2 【答案】BD 【解析】 【分析】A直接利用基本不等式；B利用基本不等式求的最值；C对利用基本不等式；D利用消元法求解. 【详解】对于A，因为，，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 此时是最小值不是最大值，故A不正确； 对于B，， 当且仅当，即，时，等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以， 因为，，所以，所以， 令，所以，即，所以， 所以，所以， 当且仅当，即，时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为，所以， 所以， 令，所以， 所以， 当且仅当，即，所以时，等号成立，故D正确. 第二部分（非选择题　共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式性质求出目标式的范围. 【详解】依题意，， 由，得，而， 因此，即， 所以的取值范围是. 故答案为： 13. 满足的集合A共有______个 【答案】63 【解析】 【详解】问题等价于求集合的真子集个数，故所求为． 14. 已知，，…，是8个正整数，记，若，则这8个正整数中的最大数与最小数的和为_________． 【答案】23 【解析】 【分析】从8个数中挑7个数相加，共8个结果，但是集合只有7个不同值，说明有一组和重复，设重复的和为，设8个数的总和为，任取7个数所得的和为，相加得，因为为整数，所以是7的倍数，求解，，然后求解最大数和最小数. 【详解】由题意可知，从8个数中任取7个数的和共有种不同的值， 但是82，83，84，85，86，87，89只有7个数，可知必有两种7个数的和相等， 设这个和为，令， 那么任取7个数所得的和为， 这8个取值和的集合为，， 则， 因为为整数，所以是7的倍数，由可知，是7的倍数， 又因为，所以，可知， 因此中的最大数为，最小数为，所以它们的和为23. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，. （1）若，求和； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】（1）；或 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，写出集合，再根据集合运算计算即可； （2）由题意知，集合是集合的真子集，分和两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，求解即可. 【小问1详解】 当时，集合， 因为， 所以，或，或； 【小问2详解】 若“”是“”的必要不充分条件，则集合是集合的真子集， 当时，，此不等式无解； 当时，，解得； 综上所述：若“”是“”的必要不充分条件，实数的取值范围为. 16. 已知二次函数. （1）若关于x的不等式的解集为，求a和b的值； （2）若不等式对一切实数x都成立，求a的取值范围； （3）解关于x的不等式. 【答案】（1）； （2）； （3） 时，不等式的解集为；时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为；时，不等式的解集为{或}； 时，不等式的解集为{或}. 【解析】 【分析】（1）利用三个二次关系结合韦达定理计算参数即可； （2）利用二次函数的性质计算即可; （3）含着参数分类讨论计算即可. 【小问1详解】 由题意可知的两个解为， 所以，所以； 【小问2详解】 因为恒成立，则， 即，解之得； 【小问3详解】 原不等式等价于， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则或； 若，则或； 综上所述：时，不等式的解集为；时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为；时，不等式的解集为{或}； 时，不等式的解集为{或}. 17. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． （1）若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ （3）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 【答案】（1）长为，宽为时，所用篱笆总长最小． （2）菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． （3）． 【解析】 【分析】（1）明确，在此条件下求的最小值，并明确等号成立的条件即可. （2）明确，在此条件下，求的最大值，并明确等号成立的条件即可. （3）结合，求的最小值. 【小问1详解】 由题意得，，所用篱笆总长为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小． 【小问2详解】 由题意得，，菜园面积为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． 【小问3详解】 由题意得，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 18. 柯西不等式在数学中有广泛应用，其二阶形式如下：对任意实数，有 当时，等号成立．柯西不等式的三阶形式为对任意实数，有当时，等号成立. （1）证明二阶柯西不等式： （2）若 求的最小值； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1）证明如下： ， 当且仅当，即时等号成立， ． （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）利用作差法，将展开化简，再根据完全平方非负的性质证明结论； （2）利用柯西不等式推出，结合已知条件求出的最小值； （3）利用柯西不等式求出的最大值，再根据的取值范围求出最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， ，即，当且仅当时等号成立，结合解得， 的最小值为3． 【小问3详解】 根据柯西不等式①， ①式可化为， 即， ， ，当且仅当，即时取等号， ， ， 在上单调递增，， ，时取最小值，此时 ， 的取值范围为：． 19. 对于给定的非空数集，定义集合，当时，称具有孪生性质. （1）若集合，求集合和并判断是否具有孪生性质； （2）若集合，且，求证：； （3）若集合，且集合具有孪生性质，记为集合中元素的个数，求的最大值. 【答案】（1），，具有孪生性质. （2） 由集合， 得集合的元素在中产生， 且， 而，则中最大元素属于， 而为4个元素中的最大者，于是，即， 则构成的元素为，且与0或或重复， 又，所以，即. （3）1350. 【解析】 【分析】（1）根据集合定义计算即可. （2）根据集合定义计算结合集合相等即可得出得证. （3）根据集合定义先求出的最大值，再根据孪生性质证明即可. 【小问1详解】 由集合，得，因此， 又，所以. 因为，所以具有孪生性质. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意，， 设满足题意，其中， 由， 得：， 由，得：， 由，得， 而中最小的元素为0，最大的元素为， 因此，即，解得， . 则，满足， 所以具有孪生性质. 所以集合中元素的个数的最大值是1350. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年仙游一中高一数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题　共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 对于任意实数，以下四个命题中的真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若命题“”为假命题，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当其中且，或其中且.现有如下两个命题: ①；②集合.则下列选项中正确的是（ ） A. ①是真命题， ②是真命题； B. ①是真命题， ②是假命题 C. ①是假命题， ②是真命题； D. ①是假命题， ②是假命题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 10. 对任意，记，并称为集合的对称差．下列命题中，是真命题的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若且，则 D. 若且，则 11. 已知，，，下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为2 C. ab的最大值为 D. 的最小值为2 第二部分（非选择题　共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的取值范围为______. 13. 满足的集合A共有______个 14. 已知，，…，是8个正整数，记，若，则这8个正整数中的最大数与最小数的和为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，. （1）若，求和； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 16. 已知二次函数. （1）若关于x的不等式的解集为，求a和b的值； （2）若不等式对一切实数x都成立，求a的取值范围； （3）解关于x的不等式. 17. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． （1）若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ （3）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 18. 柯西不等式在数学中有广泛应用，其二阶形式如下：对任意实数，有 当时，等号成立．柯西不等式的三阶形式为对任意实数，有当时，等号成立. （1）证明二阶柯西不等式： （2）若 求的最小值； （3）若，求的取值范围． 19. 对于给定的非空数集，定义集合，当时，称具有孪生性质. （1）若集合，求集合和并判断是否具有孪生性质； （2）若集合，且，求证：； （3）若集合，且集合具有孪生性质，记为集合中元素的个数，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $