精品解析：福建省厦门市厦门第六中学2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

福建省厦门第六中学2026级高一年段10月阶段检测 数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 考生注意： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 命题：的否定为（ ） A. ， B. C. D. 2. 集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 满足的集合的个数为（ ） A. 7 B. 8 C. D. 5. 某校利用课外活动时间开展了羽毛球、乒乓球、篮球培训课．甲班共52名学生，每人至少报了上述培训课中的一门．已知报羽毛球、乒乓球、篮球培训课的人数分别为30，25，20，其中既报了羽毛球培训课又报了乒乓球培训课的有13人，既报了羽毛球培训课又报了篮球培训课的有8人，既报了乒乓球培训课又报了篮球培训课的有5人，则同时报了羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生人数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. “成立”是“成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 7. 已知命题为真命题，则的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知正实数满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 11. 给定非空数集，设集合，，为中元素的个数．设集合，．若，则；若，则．下列结论正确的是（ ） A. B. 的值可能为 C. 的最大元素不大于 D. 的值可能为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 函数的定义域为_________ 13. 已知集合，若，则实数的取值是_________ 14. 设正数a，b满足， ，则的最大值是________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 如图，是两条长度均是的互相垂直的笔直小路，矩形的顶点，分别在上，且该矩形区域内种满了荷花.为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修一条小路，其中点在小路上，点在小路上，并在区域内种满荷花.已知.记的面积为. （1）设，试用表示，并写出的取值范围. （2）当的长度为多少时，取得最小值？的最小值是多少？ 17. 已知命题，命题：方程有两个正根. （1）若命题是假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围. 18. 已知. （1）若不等式的解集为,求关于的不等式的解集； （2）若且,求关于的不等式的解集；（结果用表示） （3）若对恒成立,求实数的取值范围. 19. 我们约定：在平面直角坐标系中，当点的坐标满足时，称点为“靓点”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）若点为“靓点”，则点是否为“靓点”？请作出你的判断并给出证明； （2）当时，求证：关于的函数（，为常数）的图象上总存在两个不同的“靓点”； （3）已知关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：，，，且满足，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省厦门第六中学2026级高一年段10月阶段检测 数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 考生注意： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 命题：的否定为（ ） A. ， B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由全称量词命题的否定可知，命题的否定为. 2. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由， 解不等式，得， ，， 又， . 3. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】对于选项A：函数的定义域为，函数的定义域为， 即两个函数的定义域不相同，所以函数不相等，故A错误； 对于选项B：函数的定义域为，函数的定义域为， 即两个函数的定义域不相同，所以函数不相等，故B错误； 对于选项C：函数的定义域为，函数的定义域为， 即两个函数的定义域不相同，所以函数不相等，故C错误； 对于选项D：函数，的定义域均为， 且两个函数的对应关系相同，所以两个函数相等，故D正确. 4. 满足的集合的个数为（ ） A. 7 B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知，则元素，元素可以选择性出现， 元素的任意子集都可以加入，共有种． 5. 某校利用课外活动时间开展了羽毛球、乒乓球、篮球培训课．甲班共52名学生，每人至少报了上述培训课中的一门．已知报羽毛球、乒乓球、篮球培训课的人数分别为30，25，20，其中既报了羽毛球培训课又报了乒乓球培训课的有13人，既报了羽毛球培训课又报了篮球培训课的有8人，既报了乒乓球培训课又报了篮球培训课的有5人，则同时报了羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生人数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用韦恩图来求解即可. 【详解】设同时报了羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生人数是．由图可知，解得． 故选：C. 6. “成立”是“成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由解得； 由可得，解得， 因为集合是集合的真子集， 所以“成立”是“成立”的必要不充分条件. 7. 已知命题为真命题，则的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分离参数结合基本不等式、充分条件、必要条件的定义计算参数范围即可. 【详解】因为真命题，所以在上恒成立， 即，因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，所以． 所以为集合是集合的真子集， 所以是成立的充分不必要条件， 是的充要条件， 是的一个必要不充分条件， 是的既不充分也不必要条件． 故选：A 8. 若关于的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出每一个不等式，然后由不等式组整数解只有，列出关于的不等式组，分三种情况讨论，从而可求出的取值范围. 【详解】解集为， 当时， 的解集为， 因为关于的不等式组的整数解只有， 所以，即， 当时，的解集为空集，不满足题意， 当时，的解集为，不满足题意， 综上，的取值范围. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例判断A；由不等式的性质判断B,C；利用作差法判断D. 【详解】对于A，当时，满足， 但，不满足，故A错误； 对于B，因为，所以， 由不等式的同向相加性质可知，故B正确； 对于C，因为， 所以， 由不等式的同向相加性质可知，故C正确； 对于D，因为， 所以， 所以，故D正确. 10. 已知正实数满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接利用基本不等式即可判断选项A；对B，将表示成，代入，利用二次函数即可求出的最小值；对C，根据条件得，再由基本不等式“1”的应用，求的最小值即可判断选项C；对于D，先求出的最大值，即可判断选项D. 【详解】对于A，因为正实数a、b满足，则， 所以，当且仅当，即时取等号，因此的最大值为，选项A正确； 对于B，由，得到，所以， 所以当时，取最小值为，选项B正确； 对于C，因为，则， 又， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，选项C错误； 对于D，因为，由A可知， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为，选项D正确. 11. 给定非空数集，设集合，，为中元素的个数．设集合，．若，则；若，则．下列结论正确的是（ ） A. B. 的值可能为 C. 的最大元素不大于 D. 的值可能为 【答案】AD 【解析】 【分析】首先根据集合的定义确定其元素范围，结合、的约束条件，推导的元素个数最值、的最大元素范围，逐一判断选项. 【详解】∵ 集合 ，且 ， 可得 ，中最大元素为. 对于选项A， 题设明确，根据子集定义，可得 ，故A正确. 设中最小元素为，最大元素为，. ∵ ，即. ∵ ，故的最小元素为. ∵ ，故的最大元素为. 要满足，需保证的最大元素小于的最小元素， 即 ①. 对于选项C：若，则，， 满足，且，故C错误. 对于选项B、D：要使最大，可取为连续自然数集合，此时. 代入①得 . 又 ，当时，， 因为，所以， 代入得，且， 满足①式，此时符合所有条件，故可能为，故D正确. 当时，，因为，所以， 代入得，超出的元素范围，不可能成立，故B错误. 【点睛】方法归纳：解决集合新定义问题，需先准确理解新集合的含义，将陌生条件转化为熟悉的集合运算、不等关系，涉及最值问题时优先考虑元素连续的集合构造. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 函数的定义域为_________ 【答案】 【解析】 【详解】函数的定义域满足，解得， 故的定义域为． 13. 已知集合，若，则实数的取值是_________ 【答案】或 【解析】 【分析】先由元素的互异性求出实数满足的条件，再根据集合的包含关系求解即可. 【详解】由题意可知，解得且且， 又因为， 所以或， 由，可得或（舍）； 由，可得或（舍）； 综上，或. 14. 设正数a，b满足， ，则的最大值是________. 【答案】18 【解析】 【分析】变形已知，利用基本不等式构造， 由化简可得解. 【详解】， ，， 当且仅当即 或时等号成立. 故答案为：18 【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值. 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键. (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形; (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据条件，得到，再利用集合的运算，即可求解； （2）根据条件得到，再由集合间的关系，即可求解. 【小问1详解】 当时，，又，所以， 又或，所以. 【小问2详解】 因为，则，又， 当，即时，，符合题意， 当时，，由，得到，解得， 所以实数的取值范围为或. 16. 如图，是两条长度均是的互相垂直的笔直小路，矩形的顶点，分别在上，且该矩形区域内种满了荷花.为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修一条小路，其中点在小路上，点在小路上，并在区域内种满荷花.已知.记的面积为. （1）设，试用表示，并写出的取值范围. （2）当的长度为多少时，取得最小值？的最小值是多少？ 【答案】（1）， （2）当的长度为时，取得最小值，且的最小值为 【解析】 【分析】（1）借助相似三角形性质可用表示，结合，可得的取值范围； （2）表示出面积后利用基本不等式计算即可得解. 【小问1详解】 由题意可得，即， 则，故， 又，故，解得； 【小问2详解】 ， 当且仅当时，等号成立， 故当的长度为时，取得最小值，且的最小值为. 17. 已知命题，命题：方程有两个正根. （1）若命题是假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次恒成立问题求命题是真命题时，实数的取值范围，即可得结果； （2）求命题是真命题时，实数的取值范围，再分类讨论命题和的真假性即可得结果. 【小问1详解】 若命题是真命题， 当时，原式变为，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：若命题是真命题，实数的取值范围为； 所以若命题是假命题，则实数的取值范围为. 【小问2详解】 由（1）可知：若命题是真命题，则；若命题是假命题，则或. 若命题：方程有两个正根为真命题， 则，解得； 即若命题为真命题，则；若命题为假命题，则或. 因为命题和中有且仅有一个是假命题， 当命题真且命题假时，则，可得或； 当命题假且命题真时，则，无解； 综上所述：实数实数的取值范围为. 18. 已知. （1）若不等式的解集为,求关于的不等式的解集； （2）若且,求关于的不等式的解集；（结果用表示） （3）若对恒成立,求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）,解集为； ,解集为； ,解集为； ,解集为； ,解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式解集，得到，利用韦达定理建立关系，代入目标不等式，解一元二次不等式. （2）利用可得，，把因式分解得到；进而对分类讨论，结合两根大小，分别写出解集. （3）代入，简化不等式；转化为二次函数在恒大于0；根据二次函数对称轴位置分两类讨论，求解范围. 【小问1详解】 已知的解集为,则, 且1和3是方程的两根,由韦达定理得： ,即,. 代入不等式,得：, 即,故解集为. 【小问2详解】 由,可得： 所以, 因式分解可得：. 不等式：, 当：两根为, 若,即,解集为, 若,即,则,故. 若,即,解集为 当,,解集为 当,,解集为, 所以,解集为； ,解集为； ,解集为； ,解集为； ,解集为. 【小问3详解】 将代入不等式：， 代入可得： 因为,不等式等价于：， 令. 是开口向上的二次函数,对称轴： 要保证在区间上恒大于0, ①若，即,此时函数在单调递增, 只需满足 即 恒成立, 所以当时, . ②若，即, 则 ， 故， 综上所述. 19. 我们约定：在平面直角坐标系中，当点的坐标满足时，称点为“靓点”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）若点为“靓点”，则点是否为“靓点”？请作出你的判断并给出证明； （2）当时，求证：关于的函数（，为常数）的图象上总存在两个不同的“靓点”； （3）已知关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：，，，且满足，求的值． 【答案】（1）点是“靓点”，证明如下： 点为“靓点”， ， ，， 将代入上式，得， ， 点是“靓点”． （2）证明：将代入，得， 整理得， ， 判别式 ， ，， ， 该一元二次方程有两个不相等的实数根， 将代入方程左边，得， 方程的两个根都不等于1，即对应的点均满足“靓点”定义， 又，两个不同的对应两个不同的， 函数的图象上总存在两个不同的“靓点”． （3） 【解析】 【分析】（1）根据“靓点”的定义，直接计算坐标的和与积，把代入并验证，满足定义证明结论； （2）把代入靓点公式，整理得出一元二次方程，计算判别式，得出方程有两个不等实根，补充验证进而证明结论； （3）把二次函数代入靓点公式，因式分解得出，利用靓点个数得出二次方程有两个不等实根，利用韦达定理结合靓点变形建立关于的方程，解方程求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 将代入得，， 整理得， 关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”， 令，则方程有两个不相等的实数根，， ， 或， 将代入得， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得， （不符合题意，舍去）或， 的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $