精品解析：四川达州市渠县涌兴中学2026-2027学年八年级上学期9月学情自测数学试题

四川省渠县涌兴中学2026-2027学年八年级上学期9月学情自测数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 在实数，，，，，中，无理数的个数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 无理数有：，，共个． 故选：A． 【点睛】此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1），等有这样规律的数． 2. 三边为，下列条件不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，能判断是直角三角形，不符合题意； B、，则：，故，故，能判断是直角三角形，不符合题意； C、，则：，能判断是直角三角形，不符合题意； D、，不能判断是直角三角形，符合题意； 故选D． 3. 下列选项中正确的是（ ） A. 81的立方根是3 B. 的平方根是 C. 立方根等于平方根的数是1 D. 4的算术平方根是2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了立方根、平方根和算术平方根，根据定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A．3是27的立方根，故A选项不符合题意； B．的平方根是，故B选项不符合题意； C．立方根等于平方根的数是0，故C选项不符合题意； D．4的算术平方根是2，正确，故D选项符合题意； 故选：D． 4. 在中，，且，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图，在中，， ， ， ，， 5. 下列各式计算正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则即可求解. 【详解】A. 不能计算，故错误； B. 不能计算，故错误； C. ，故错误； D. ，正确 故选D. 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的运算法则. 6. 如图，在边长为1的正方形网格中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 的面积为4 D. 点到的距离为2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离等知识点，利用勾股定理求出长可判定A，利用勾股定理及其逆定理判定B，利用网格图计算三角形的面积可判定C，利用面积公式求出边的高，即可利用点到直线的距离判定D，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】A．∵，∴，正确，不符合题意； B．∵，，， ∴，∴，正确，不符合题意； C．，原结论错误，符合题意； D．点A到的距离，正确，不符合题意； 故选：C． 7. 如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，，则点C所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用点A表示的数减去的长即可得到答案． 【详解】解：∵数轴上表示1，的对应点分别为A，B，， ∴， ∴点C表示的数为． 8. 已知，化简（ ） A. 2 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、绝对值的性质．解题的关键是要考虑开方出来的数必须是非负数，化简绝对值后的数也是非负数．根据，可知，，再根据二次根式的性质及绝对值的化简，然后合并同类项即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ， 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 比较大小：_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据无理数的大小比较方法解答. 【详解】解：； 故答案为 【点睛】此题重点考查学生对无理数大小比较的认识，将根号外的系数转入根号内是解题的关键. 10. 如果一个正数的平方根是和，则这个正数是______． 【答案】49 【解析】 【分析】本题考查了平方根的意义，根据正数有两个平方根，它们互为相反数，先求出a的值，再求出这个数的平方． 【详解】解：因为一个非负数的平方根互为相反数， 所以 解得 ∴ ． 即这个数是49． 故答案为：49． 11. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 【答案】5或 【解析】 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论． 【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边的长为：； ②长为3、4的边都是直角边时， 第三边的长为：； ∴第三边的长为：或5， 故答案为：或5． 12. 司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具，如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为，若介于两个连续整数n和之间，则n的值是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，先估算出，即可得到，即可解答． 【详解】解：， ，即， ， 无理数的值介于两个连续整数和之间， ， 故答案为4． 13. 如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”．当，时，则阴影部分的面积为______． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出，然后根据计算即可． 【详解】解：根据勾股定理可得， ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查二次根式的混合运算，先化简，再合并同类二次根式． （1）先化简二次根式，再计算括号，最后计算乘除即可； （2）先化简二次根式，计算零指数幂，化简绝对值，再计算加减即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 15. 已知某正数的平方根分别是和，的立方根为． （1）求a、b的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1）， （2）的算术平方根为3 【解析】 【分析】（1）根据平方根与立方根的定义列出方程进行解答即可； （2）根据算术平方根进行计算即可． 【小问1详解】 ∵某正数的平方根是和， ∴， 解得：， ∵的立方根为， ∴， ∴， 解得：， ∴，； 【小问2详解】 ∵， ∴的算术平方根为3． 【点睛】本题主要考查了平方根，算术平方根，立方根，注意：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么x叫做a的立方根．记作． 16. 如图所示，在中，点在边上，点在边上，沿将折叠，使点与点重合，折痕为．若，，．求： （1）的周长； （2）折痕的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）由折叠可得，根据勾股定理求出，进而得到，即可求解； （2）由折叠可得，，，设，则，在中，由勾股定理求出，即，再根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：由折叠可得， ，，， ， ， 的周长为； 【小问2详解】 解：由折叠可得，，， 设，则， 在中，由勾股定理可得，即， 解得， 即， ． 17. 如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． （1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？ （2）如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】（1）台风中心经过从B点移到D点 （2）A市受到台风影响的时间持续 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握此知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）先对运用勾股定理求出，即可求出时间； （2）在射线上取点E、F，使得，对运用勾股定理求得，则即可求出，那么时间即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，，，， 在中，， ∵， ∴台风中心经过从B点移到D点； 【小问2详解】 解：如图，在射线上取点E、F，使得， 由得， 在中，， ∴， ∴， ∴A市受到台风影响的时间持续． 18. 探究与解决：对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如： ， ． 观察上述式子的特征，解答下列问题： （1）把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ； ； （2）当时， ；当时， ； （3）计算：． 【答案】（1），； （2），； （3） 【解析】 【分析】（1）根据示例填写即可； （2）观察示例可知，当算术平方根符号内的式子为正时，去掉算术平方根符号的形式与原式相同；当算术平方根符号内的式子为负时，去掉算术平方根符号的形式与原式符号相反； （3）根据（2）所得规律分别表示出算式中的算术平方根，再运用有理数加法运算律计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小鸟至少要飞______米． 【答案】10 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AB的长即可． 本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作 ∵ ∴四边形矩形 ∴ ∴， 在中，由勾股定理得， ， 则小鸟至少要飞， 故答案为：10． 20. 对于两个实数，（其中），定义一种新运算：，如：，那么______________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数运算，结合已知条件列出正确的算式是解题关键． 根据题意列式后利用二次根式运算法则计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 21. 一圆柱形油罐如图所示，要从点环绕油罐建梯子，正好到点的正上方点，已知油罐底面周长为，高为，问所建的梯子最短需________米. 【答案】13 【解析】 【分析】把圆柱沿AB侧面展开，连接AB，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】如图所示： ∵AC=12m，BC=5m， ∴AB=m， ∴梯子最短需要13m． 故答案为：13． 【点睛】本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意画出图形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 22. 若实数a、b、c在数轴的位置如图所示，则化简________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据数轴上各点的位置判断出，的符号及与的符号，再进行计算． 【详解】解：由数轴可知，，， ，， 原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的化简、二次根式的化简、实数与数轴，解题的关键是正确地根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断． 23. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿射线以的速度移动，设运动的时间为，当为等腰三角形时，等于_______． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据为等腰三角形进行分类讨论，分别求出的长，即可求出t． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：（cm）， 由题意可知共三种情况，如下： ①时，，则， ∴，解得； ②当时，， 所以， ③当时，即， 所以， 综上所述，当t的值为或或； 故答案为：或或 【点睛】本题主要考查了直角三角形的勾股定理以及等腰三角形的分类讨论思想，能够正确地分类是解决本题的关键． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即ab×4＋（b－a）2，从而得到等式c2＝ab×4＋（b－a）2，化简便得结论a2＋b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题： （1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度． （2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值． 【答案】（1）CD＝ （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理先求出AB，再根据“双求法”求出CD的长度； （2）在Rt△ABD和Rt△ADC中，分别利用勾股定理表示出，然后得到关于x的方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：在Rt△ABC中，AB＝， 由面积的两种算法可得：， 解得：CD＝； 【小问2详解】 在Rt△ABD中，， 在Rt△ADC中，， 所以， 解得：． 【点睛】此题主要考查的是勾股定理的应用，熟知直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 25. 小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： 因为， 所以， 所以，即， 所以， 所以． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算： ； （2）计算：； （3）若，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化，平方差和完全平方公式，正确进行分母有理化是解题的关键． （）直接进行分母有理化即可得出答案； （）将要求的式子各项进行分母有理化，再进行二次根式加减即可得出答案； （）根据题意得出的值，再把要求的式子变形为，再代入计算得出答案． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：因为， 所以， 所以，即， 所以， 所以． 26. 已知：在中，，，点为上一动点，以为边，在的右侧作等边. （1）过作于，如图①，求证：为的中点； （2）若， ①当为的中点时，过作于，如图②，求的长； ②点从点运动到点，则点所经过路径长为___________（直接写出结果）. 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即为的中点； （2）①，② 【解析】 【分析】（1）根据是等边三角形，得到，，根据中，，，得到，推出，根据，得到，推出，得到，根据，得到，得到为的中点； （2）①过点作于点，连接，根据（1）问中为的中点，得到，根据，得到，根据中，，，，得到，当为的中点时，得到，得到，根据勾股定理，中，，得到，得到中，； ②根据EF=BD，当点D从点B运动到点C时，BD=BC=,得到EF=． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：①如解图①，过点作于点，连接， 由（1）知，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵中，，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，； ②∵EF=BD， ∴当点D从点B运动到点C时，BD=BC=, ∴EF=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了含30°的直角三角形，等边三角形，全等三角形，线段的垂直平分线，等腰三角形，勾股定理等，解决问题的关键是熟练掌握含30°的直角三角形的边的关系，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线判定和性质，三线合一，勾股定理解直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省渠县涌兴中学2026-2027学年八年级上学期9月学情自测数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 在实数，，，，，中，无理数的个数是（　　） A. B. C. D. 2. 三边为，下列条件不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列选项中正确的是（ ） A. 81的立方根是3 B. 的平方根是 C. 立方根等于平方根的数是1 D. 4的算术平方根是2 4. 在中，，且，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式计算正确的是 A. B. C. D. 6. 如图，在边长为1的正方形网格中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 的面积为4 D. 点到的距离为2 7. 如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，，则点C所表示的数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，化简（ ） A. 2 B. C. D. 6 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 比较大小：_____ 10. 如果一个正数的平方根是和，则这个正数是______． 11. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 12. 司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具，如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为，若介于两个连续整数n和之间，则n的值是_____． 13. 如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”．当，时，则阴影部分的面积为______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算： （1）； （2）． 15. 已知某正数的平方根分别是和，的立方根为． （1）求a、b的值； （2）求的算术平方根． 16. 如图所示，在中，点在边上，点在边上，沿将折叠，使点与点重合，折痕为．若，，．求： （1）的周长； （2）折痕的长． 17. 如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． （1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？ （2）如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 18. 探究与解决：对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如： ， ． 观察上述式子的特征，解答下列问题： （1）把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ； ； （2）当时， ；当时， ； （3）计算：． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小鸟至少要飞______米． 20. 对于两个实数，（其中），定义一种新运算：，如：，那么______________． 21. 一圆柱形油罐如图所示，要从点环绕油罐建梯子，正好到点的正上方点，已知油罐底面周长为，高为，问所建的梯子最短需________米. 22. 若实数a、b、c在数轴的位置如图所示，则化简________． 23. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿射线以的速度移动，设运动的时间为，当为等腰三角形时，等于_______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即ab×4＋（b－a）2，从而得到等式c2＝ab×4＋（b－a）2，化简便得结论a2＋b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题： （1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度． （2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值． 25. 小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： 因为， 所以， 所以，即， 所以， 所以． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算： ； （2）计算：； （3）若，求的值． 26. 已知：在中，，，点为上一动点，以为边，在的右侧作等边. （1）过作于，如图①，求证：为的中点； （2）若， ①当为的中点时，过作于，如图②，求的长； ②点从点运动到点，则点所经过路径长为___________（直接写出结果）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $