精品解析：内蒙古自治区呼和浩特铁路局呼和浩特职工子弟第一中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

呼铁一中2026-2027学年第一学期高二10月月考 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 2. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 3. 在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影数量为（ ） A. B. C. D. 5. 棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（ ） A. 1 B. －1 C. D. 6. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 7. 如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是（ ） A. 5 B. 8 C. D. 8. 如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 直线a的方向向量为，平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则直线平面 B. 若，则直线平面 C. 若，则直线a与平面所成角的大小为 D. 若，则平面的相交所成的锐角为 11. 如图，正方体的棱长为1，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. 直线平面 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到平面的距离是 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，，中两两夹角都是，且，，，则________． 13. 在直三棱柱中，为的中点，，则点到平面的距离为__________． 14. 如图所示，四棱锥的底面为平行四边形，点是棱上一点，，若且满足平面，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，. （1）若，求的值； （2）若，求实数k的值. 16. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，且，是棱的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）求点的坐标； （2）求直线的方向向量与平面的法向量； （3）求直线与平面所成角的度数． 17. ． （1）用向量表示向量，并求； （2）求． 18. 如图，平面，，，，，． （1）求证：平面； （2）若二面角的余弦值为，求线段的长． 19. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5. （Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC； （Ⅱ）求二面角A1-BC1-B1的余弦值； （Ⅲ）证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 呼铁一中2026-2027学年第一学期高二10月月考 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标，逐项判断作答. 【详解】由，，，知，即，B错误； 又，因此，同理，AD错误，C正确. 故选：C 2. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由可得直线的方向向量与平面的法向量共线即可求解. 【详解】因为直线的方向向量为 ，平面的法向量为 ，且， 所以存在实数，使得 ，所以 解得 ． 3. 在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设直线与平面所成的角为， 则，又 ，故. 4. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影数量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用求得向量在向量方向上的投影. 【详解】依题意，向量在向量方向上的投影为， 故选：D. 5. 棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（ ） A. 1 B. －1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求解即可． 【详解】，所以． 故选：A． 6. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 【答案】D 【解析】 【分析】根据共线向量、单位向量、空间向量夹角公式、法向量的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，由 ，，，所以与不共线，所以A错误； 对于B，的单位向量为，所以B错误； 对于C，，所以， 所以C错误； 对于D，设平面的法向量是， 则，将，，代入验证满足方程组，所以D正确． 故选：D 7. 如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是（ ） A. 5 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x>0)，平面A1BCD1的法向量为＝(a，b，c)，先根据，即求出法向量，然后由向量法求点到面的距离公式可得点B1到平面A1BCD1的距离，又B1C1∥平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距离即为点B1到平面A1BCD1的距离. 【详解】解：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 设B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x>0)，平面A1BCD1的法向量为＝(a，b，c)， 则C(0，12，0)，D1(0，0，5),,， 由，得， 所以a＝0，b＝c，取＝(0，5，12)， 又＝(0，0，－5)， 所以点B1到平面A1BCD1的距离为， 因为B1C1∥BC，BC平面A1BCD1，B1C1平面A1BCD1， 所以B1C1∥平面A1BCD1， 所以B1C1到平面A1BCD1的距离即为点B1到平面A1BCD1的距离， 所以直线B1C1到平面A1BCD1的距离为， 故选：C. 8. 如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 计算出和的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式即可求解. 【详解】如图，以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，， 因为，所以， ，， ，， 所以点P到AB的距离． 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用向量坐标运算法则求解即可． 【详解】因为向量，， 所以，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确． 故选：AD 10. 直线a的方向向量为，平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则直线平面 B. 若，则直线平面 C. 若，则直线a与平面所成角的大小为 D. 若，则平面的相交所成的锐角为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线的方向向量与平面法向量之间的关系，逐一判断线面、面面关系即可得结论. 【详解】若，则直线平面或在平面内，故选项A不正确； 若，则也是平面的一个法向量，所以直线平面；故选项B正确； 直线与平面夹角的正弦值等于直线与平面法向量夹角的余弦值的绝对值， 所以若，则直线a与平面所成角的大小为，故选项C正确； 两个平面夹角与他们法向量所成的不大于的角相等，故选项D正确， 故选：BCD 11. 如图，正方体的棱长为1，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. 直线平面 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到平面的距离是 【答案】ABD 【解析】 【分析】连接，则，根据等腰三角形的性质即可判断A；取AB中点为H，连接，证明四边形EHCF为平行四边形，即可证明EFHC，从而可判断B；由EFHC，平面ABB1A1，可得即为所求，求出的正弦值，即可判断C；利用等体积法即可求出点到平面的距离. 【详解】解：连接，则，因为为的中点， 所以，故A正确； 取AB中点为H，连接， 则EHFC，且EH＝FC， 所以四边形EHCF为平行四边形， 所以EFHC，又EF⊄平面ABCD， 所以平面ABCD，故B正确； 因为EFHC， 所以EF与平面ABB1A1所成的角的正弦值与HC与平面ABB1A1所成的角的正弦值相等， 又平面ABB1A1，所以即为HC与平面ABB1A1所成的角或补角， 又CH＝， sin∠CHB＝， 即EF与平面ABB1A1所成的角的正弦值为，故C错误； 设点到平面的距离为， 因为， 所以， 解得h＝， 所以点B到平面A1CD的距离为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，，中两两夹角都是，且，，，则________． 【答案】10 【解析】 【分析】由，展开后利用数量积的定义直接运算再开方即可得解. 【详解】∵，，，且， ∴ ， ∴． 故答案为：10. 【点睛】本题主要考查了应用空间向量数量积求解模长，属于基础题. 13. 在直三棱柱中，为的中点，，则点到平面的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，以为原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果. 【详解】 以为原点，以所在方向分别为轴､轴､轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ．易知0， 即，则，故，． 设平面的法向量为， 则即取，则， 故点到平面的距离为． 14. 如图所示，四棱锥的底面为平行四边形，点是棱上一点，，若且满足平面，则________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交于点，连接，由中位线以及线面平行的判定定理可得平面， 再由面面平行的判定定理可得平面平面，再由面面平行的性质定理即可求解. 【详解】如图，连接，交于点，连接，由四边形是平行四边形，得， 在线段上取点，使得，由 ，得， 且为的中点，连接，则 ， 由平面 平面，得平面， 又平面 平面，所以平面平面， 又平面平面 ，平面平面 ，所以，所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，. （1）若，求的值； （2）若，求实数k的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算出，利用向量夹角余弦公式进行计算； （2）根据向量垂直得到方程，计算出实数k的值. 【小问1详解】 ∵已知，， ∴， 则. 【小问2详解】 ，， ， ， 解得. 16. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，且，是棱的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）求点的坐标； （2）求直线的方向向量与平面的法向量； （3）求直线与平面所成角的度数． 【答案】（1），，， （2），，平面的法向量 （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知及题设坐标系写出对应点的坐标即可； （2）由（1）写出直线AM，PB的方向向量，利用平面法向量的性质求平面PCD的法向量； （3）应用线面角的向量求法求直线PB与平面PCD所成角． 【小问1详解】 由底面ABCD是边长为的正方形，底面，且，是棱PD的中点， 由图知，，，，，，． 【小问2详解】 由（1）知，直线AM，PB的方向向量分别为，， 因，， 设是平面PCD的一个法向量， 则，故可取． 【小问3详解】 设直线与平面所成角为， 由（2），， 因，故直线PB与平面PCD所成角为． 17. ． （1）用向量表示向量，并求； （2）求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得； （2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 ， 则 ， 所以. 【小问2详解】 由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 ， ， 则. 18. 如图，平面，，，，，． （1）求证：平面； （2）若二面角的余弦值为，求线段的长． 【答案】（1）证明:依题意，是平面的法向量， 又，可得， 又因为直线 平面，所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），证明即得证； （2）设，解方程即得解. 【详解】依题意，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得．设，则． （1）略； （2）设为平面的法向量， 则，即 不妨令，可得． 同理可求得平面的法向量 由题意，有， 解得．经检验，符合题意． 所以，线段的长为． 【点睛】方法点睛：二面角的求法 方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形） 方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号） 19. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5. （Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC； （Ⅱ）求二面角A1-BC1-B1的余弦值； （Ⅲ）证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值. 【答案】 （Ⅰ）因为为正方形，所以. 因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC平面AA1C1C， 所以⊥平面ABC. （Ⅱ）（Ⅲ） 【解析】 【分析】把平面与平面垂直转化为直线和平面垂直.要证直线和平面垂直，依据相关判定定理转化为证明直线和直线垂直.求二面角，往往利用“作——证——求”的思路完成，作二面角是常常利用直线和平面垂直.第（Ⅲ）题，求解有难度，可以空间向量完成. （Ⅰ）略 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，⊥AC, ⊥AB. 由题意知，所以. 如图，以A为原点建立空间直角坐标系,则. 设平面的法向量为，则即 令，则，所以. 同理可得，平面的法向量为. 所以. 由题知二面角A1-BC1-B1为锐角，所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为. （Ⅲ）设是直线上的一点，且. 所以，解得，所以. 由，即，解得. 因为，所以在线段上存在点D，使得，此时. 【考点定位】本题考查了平面与平面垂直的性质定理，直线和平面垂直的判定定理，考查了法向量、空间向量在立体几何中的应用和二面角的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力. 【详解】请在此输入详解！ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $