精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市锦盛达方圆学校2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

呼和浩特市锦盛达方圆学校2026-2027学年度第一学期 10月月考高二年级数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（ ） A. 一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B. 一个球、一个长方体、一个棱台构成 C. 一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D. 一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 2. 圆柱的母线长为4，底面半径为2，该圆柱的体积为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 四边形一定是平面图形 C. 一个棱柱至少有两个面互相平行 D. 用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台 4. 用符号表示“点在平面外，直线在平面内”，正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知某圆柱的高为，底面半径为1，且其上、下底面圆周均在以为球心的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知某圆柱的表面积是其下底面面积的4倍，则该圆柱的母线与底面直径的比为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正三棱柱中，，则该三棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是圆柱的母线，是圆柱的底面直径，是圆柱底面圆周上的任意一点（不与，重合），则下列说法错误的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 三棱锥的四个面都是直角三角形 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆锥的侧面展开图是半径等于2的半圆，则圆锥的（ ） A. 底面半径为1 B. 表面积为 C. 体积为 D. 外接球与内切球半径比值为2 10. 如图，在正四棱柱中，与交于点，是上的动点，下列说法中一定正确的是（ ） A. B. 平面 C. 点在上运动时，三棱锥的体积为定值 D. 点在上运动时，始终与平面平行 11. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，设圆柱、圆锥、球的表面积分别为，体积分别为，下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的体积是________. 13. 一个圆台的上、下底面的半径分别为和，体积为，则它的表面积为__________． 14. 已知圆柱与圆锥的高均为2，且二者底面半径相等，若圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等，则圆锥的体积为__________. 四、解答题：本题共7小题，其中18、19题二选一，20、21题二选一，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知正四棱锥的底面是面积为4的正方形，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为3，为棱的中点，为底面正方形的中心． （1）求四棱锥的高； （2）求四棱锥侧面三角形底面上的高． 16. 如图，一个几何体由圆锥和圆柱组合而成，且圆锥与圆柱的底面半径均为2，圆锥的高为2，圆柱的高为3． （1）求该几何体的表面积； （2）求该几何体的体积． 17. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为的中点． （1）求证：AC1//平面BDE； （2）当点F在棱DD1的中点时，求证：平面//平面BDE． (18、19小题二选一，共17分.1、2、3班做18题，4、5、6班做19题) 18. 如图，在正方体中， （1）求证：平面； （2）求证：平面； 19. 如图所示，在棱长为2的正方体中，求证：平面． (20、21小题二选一，共17分.1、2、3班做20题，4、5、6班做21题) 20. 如图，四边形为圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上一点，，分别为和的中点．（附注：轴截面是过圆柱旋转轴的截面） （1）求证：面； （2）求证：面. 21. 如图，在三棱锥P－ABC中，底面ABC，，D，E分别是AB，PB的中点． （1）求证：平面PAC； （2）求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 呼和浩特市锦盛达方圆学校2026-2027学年度第一学期 10月月考高二年级数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（ ） A. 一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B. 一个球、一个长方体、一个棱台构成 C. 一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D. 一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 【答案】B 【解析】 【分析】根据组合体基本构成即可得答案. 【详解】由图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成. 故选：B. 2. 圆柱的母线长为4，底面半径为2，该圆柱的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据圆柱的体积公式求解即可. 【详解】因为圆柱的母线长为4，底面半径为2，所以圆柱的体积为. 故选：C. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 四边形一定是平面图形 C. 一个棱柱至少有两个面互相平行 D. 用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，利用基本事实一判断；对于B，利用空间四边形判断；对于C，根据棱柱的概念判断；对于D，由圆台于产生圆台的圆锥的结构特征，即可判断． 【详解】三个不共线的点确定一个平面，A错误； 四边形不定是平面图形，比如空间四边形，B错误； 根据棱柱的概念可知，棱柱必有一组底面平行，故C正确； 用一个平行于底面的平面截圆锥才可以得到一个圆台和一个圆锥，故D错误． 故选：C 4. 用符号表示“点在平面外，直线在平面内”，正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据符号语言写出结果即可. 【详解】点在平面外，故；直线在平面内，故. 故选：C. 【点睛】本题考查了空间几何的符号表示，属于基础题. 5. 已知某圆柱的高为，底面半径为1，且其上、下底面圆周均在以为球心的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得圆柱的上、下底面圆心连线的中点为球心，根据题中条件，结合勾股定理，可得半径R，代入公式，即可得答案. 【详解】因为圆柱上、下底面圆周均在以为球心的球面上， 所以圆柱的上、下底面圆心连线的中点为球心， 且与底面圆心的连线垂直底面， 因为圆柱底面半径为，高为， 所以球心到底面的距离， 因为底面圆周上一点到球心的距离为球的半径， 所以由勾股定理得， 则球的表面积． 故选：C． 6. 已知某圆柱的表面积是其下底面面积的4倍，则该圆柱的母线与底面直径的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆柱的表面积公式计算即可求解． 【详解】设圆柱的底面半径为，母线为，则， 所以，所以， 故选：B． 7. 已知正三棱柱中，，则该三棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出底面的面积，再根据柱体的体积公式计算可得. 【详解】在正三棱柱中，， 所以， 所以. 故选：C 8. 如图，是圆柱的母线，是圆柱的底面直径，是圆柱底面圆周上的任意一点（不与，重合），则下列说法错误的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 三棱锥的四个面都是直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆柱的结构特征，利用线面垂直的判定、性质推理即可判断作答. 【详解】因是圆柱的母线，是圆柱的底面直径，是圆柱底面圆周上的任意一点（不与，重合）， 则平面，A正确； 而平面，则，又，，平面，则有平面，B正确； 由选项A知，都是直角三角形，由选项B知，都是直角三角形，D正确； 假定平面，平面，则，即，而中，矛盾， 所以平面不正确，C错误. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆锥的侧面展开图是半径等于2的半圆，则圆锥的（ ） A. 底面半径为1 B. 表面积为 C. 体积为 D. 外接球与内切球半径比值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据圆锥的组成和侧面积、体积公式易判断ABC项，作出图可得圆锥的轴截面为正三角形，从而可得外接球与内切球的球心相同，利用正三角形的性质易判断D项. 【详解】设圆锥的底面圆半径为，依题意，圆锥的母线长为，且，解得，故A正确； 圆锥的表面积为，故B正确； 因圆锥的高为，则其体积为，故C错误； 如图作出圆锥和外接球，内切球的轴截面，易知为正三角形，外接球和内切球的球心为同一点， 点为圆锥底面圆的圆心，则分别为外接球和内切球的半径，由正三角形的性质易得，故D正确. 故选：ABD. 10. 如图，在正四棱柱中，与交于点，是上的动点，下列说法中一定正确的是（ ） A. B. 平面 C. 点在上运动时，三棱锥的体积为定值 D. 点在上运动时，始终与平面平行 【答案】ACD 【解析】 【分析】依题意可得，，即可得到平面，即可判断A； 根据正四棱柱的性质可得不一定成立，即可判断B，易知平面，即可判断C，由面面平行的判定定理得到平面平面，由平面，即可得到平面，即可得证； 【详解】解：对于选项A，由条件得，，，平面，所以平面．又因为平面，所以，故选项A正确； 对于选项B，由于正四棱柱的侧面不一定是正方形，所以不一定成立，所以平面不一定成立，故选项B错误； 对于选项C，易知平面，所以点到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，故选项C正确； 对于选项D，由于，，所以平面，且，平面，且，所以平面平面，点在上运动时，平面，所以平面，故选项D正确． 故选：ACD． 11. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，设圆柱、圆锥、球的表面积分别为，体积分别为，下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据球，圆柱，圆锥的表面积及体积公式计算判断各个选项. 【详解】依题意球的表面积为， 圆柱的侧面积为，所以A选项正确. 圆锥的侧面积为，所以B选项正确. 圆锥的表面积为， 圆柱的表面积为，所以，D选项不正确. 圆柱体积，圆锥体积，球的体积，所以C正确. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的体积是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据长方体的8个定点都在球面上，可得直径为长方体对角线，从而求出半径，再根据表面积公式求解即可. 【详解】长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是直径，长方体对角线为： ，那么球的半径为 ， 所以球的表面积为： . 故答案为： 13. 一个圆台的上、下底面的半径分别为和，体积为，则它的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设圆台的高为，根据题意，求得，结合圆台的侧面积公式，即可求解. 【详解】设圆台的高为，则，解得， 所以圆台的母线长为， 则圆台的表面积为. 故答案为：. 14. 已知圆柱与圆锥的高均为2，且二者底面半径相等，若圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等，则圆锥的体积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用给定条件建立方程求解参数，再利用圆锥体积公式求解即可. 【详解】设圆柱与圆锥的底面半径均为，由题意得圆柱与圆锥的高均为2， 则圆柱的侧面积为，圆锥的表面积为， 若圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等， 则，化简得， 解得，且设圆锥体积为，故. 故答案为： 四、解答题：本题共7小题，其中18、19题二选一，20、21题二选一，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知正四棱锥的底面是面积为4的正方形，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为3，为棱的中点，为底面正方形的中心． （1）求四棱锥的高； （2）求四棱锥侧面三角形底面上的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正四棱锥的几何性质，利用勾股定理，结合正方形的性质对进行求解即可； （2）利用等腰三角形的性质进行求解即可. 【小问1详解】 因为是正四棱锥，且为底面正方形的中心， 所以底面，而底面， 因此， 因为是正方形，且面积为4， 所以该正方形的边长为2，， 在直角三角形中，； 【小问2详解】 因为侧面是全等的等腰三角形，且为棱的中点， 所以， 在直角三角形中，； 16. 如图，一个几何体由圆锥和圆柱组合而成，且圆锥与圆柱的底面半径均为2，圆锥的高为2，圆柱的高为3． （1）求该几何体的表面积； （2）求该几何体的体积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)根据题意，利用圆柱和圆锥的表面积公式直接计算即可； (2)利用圆柱和圆锥的体积公式直接计算即可. 【小问1详解】 由题意得， 圆柱的底面积为， 圆柱的侧面积为， 圆锥的侧面积为， 所以该几何体的表面积为； 【小问2详解】 由(1)知，圆柱的底面积为， 所以圆柱的体积为， 圆锥的体积为， 故该几何体的体积为. 17. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为的中点． （1）求证：AC1//平面BDE； （2）当点F在棱DD1的中点时，求证：平面//平面BDE． 【答案】（1）证明：设，连, AI ∵、为别为、的中点, ∴， 又平面，平面， ∴平面. （2）证明：∵点为棱中点，为的中点． ∴且 ∴为平行四边形， ∴， 又平面，平面. ∴平面. 又平面，且 ，平面， ∴平面平面. 【解析】 【分析】（1）连接交于，通过三角形中位线证得，由此证得平面； （2）先证出四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理及面面平行的判定定理，证得平面平面. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. (18、19小题二选一，共17分.1、2、3班做18题，4、5、6班做19题) 18. 如图，在正方体中， （1）求证：平面； （2）求证：平面； 【答案】（1）证明:因为在正方体中，可知，而平面，平面，所以平面. （2）证明:因为在正方体中，可知平面，且平面，所以， 又因为、是正方形的对角形，因此， 又，且，平面， 所以平面. 【解析】 【分析】（1）由线线平行即可求证线面平行， （2）由线线垂直，结合线面垂直的判定定理即可求证. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 19. 如图所示，在棱长为2的正方体中，求证：平面． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理证明. 【详解】证明：在正方体中，， 又平面，在平面， 所以平面． (20、21小题二选一，共17分.1、2、3班做20题，4、5、6班做21题) 20. 如图，四边形为圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上一点，，分别为和的中点．（附注：轴截面是过圆柱旋转轴的截面） （1）求证：面； （2）求证：面. 【答案】（1） ，分别为和的中点， 平面，， 面； （2） 四边形为圆柱的轴截面， 平面， 平面， ， 是底面圆直径，又是底面圆上一点， ， 面， 面． 【解析】 【分析】（1）由，分别为和的中点，得，由此能证明面； （2）推导出平面，是底面圆直径，从而，，由此能证明面． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，在三棱锥P－ABC中，底面ABC，，D，E分别是AB，PB的中点． （1）求证：平面PAC； （2）求证： 【答案】（1） ∵点D、E分别是棱AB、PB的中点， ∴， 又∵平面，平面； ∴平面． （2） ∵底面，底面， ∴， ∵，，平面， ∴平面， 又∵平面， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到，即可得证； （2）由线面垂直的性质得到，再根据，即可得到平面，即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $