2.3.4 两条平行直线间的距离同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.3.4 两条平行直线间的距离 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.直线与直线的距离（） A.1 B.2 C.3 D.4 2.两平行线l1，l2分别经过点A(3,0)，B(0,4)，它们之间的距离d满足的条件是(　　) A.0<d≤3 B.0<d≤5 C.0<d<4 D.3≤d≤5 3.已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为(　　) A.1 B. C. D.2 4.两直线3x＋4y－2＝0与6x＋8y－5＝0的距离等于(　　) A.3 B.7 C. D. 5.（2025-2026·陕西咸阳高二上期中）直线、是分别经过、两点的两条平行直线，当、间的距离最大时，直线的方程是（） A. B. C. D. 6.（2025-2026·江苏苏州高二上期中）已知实数满足，，则的最小值为（） A. B. C. D. 7.（2025-2026·江西宜春高二上月考）已知实数满足，则的最小值为（） A. B. C. D. 8.（2025-2026·广东茂名高二上期末）若直线与直线平行，则与之间的距离为（） A. B. C. D. 二、多项选择题（共3小题） 9.（2025-2026·黑龙江哈尔滨高二上期中）已知直线，，则（） A.直线过定点 B.当时， C.当时， D.当时，两直线，之间的距离为 10.（2025-2026·广东广州高二上期中）下列命题正确的有（ ） A.两平行线间的距离为 B.过点且在两坐标轴上截距相等的直线有两条 C.直线的方向向量可以是 D.直线与直线平行，则或2 11.（2025-2026·山东济南高二上月考）下列说法正确的是（  ） A.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 B.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C.当点到直线的距离最大时，的值为 D.已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 三、填空题（共3小题） 12.当m变化时，两条平行直线3x－4y＋m－1＝0和3x－4y＋m2＝0间的距离的最小值等于                  ． 13.已知两条平行直线：，：，则与间的距离为                  . 14.已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是                  . 四、解答题（共2小题） 15.(1)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0平行且距离相等，求l的方程． (2)已知直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2之间的距离为5，求l1，l2的方程． 16.（2025-2026·辽宁沈阳高二上期中）已知直线；直线． (1)若，求实数的值； (2)若，且它们之间的距离为，求直线的斜截式方程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.4 两条平行直线间的距离 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.直线与直线的距离（） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【解析】因为直线可化为, 与平行, 所以. 故选:A. 2.两平行线l1，l2分别经过点A(3,0)，B(0,4)，它们之间的距离d满足的条件是(　　) A.0<d≤3 B.0<d≤5 C.0<d<4 D.3≤d≤5 【答案】B 【解析】由平面几何知识可知当l1和l2与AB垂直时，两平行线间的距离最大为|AB|＝5，所以0<d≤5. 3.已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为(　　) A.1 B. C. D.2 【答案】B 【解析】d＝＝＝. 4.两直线3x＋4y－2＝0与6x＋8y－5＝0的距离等于(　　) A.3 B.7 C. D. 【答案】C 【解析】3x＋4y－2＝0可化为6x＋8y－4＝0， 则两平行线间的距离为d＝＝. 5.（2025-2026·陕西咸阳高二上期中）直线、是分别经过、两点的两条平行直线，当、间的距离最大时，直线的方程是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】已知，，可得直线的斜率. 当，间的距离最大时，与，都垂直. 设直线的斜率为，则，即，解得. 又直线过点，根据点斜式方程， 可得直线的方程为，整理得. 答案为A. 6.（2025-2026·江苏苏州高二上期中）已知实数满足，，则的最小值为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由的几何意义为直线上点到直线上点的距离的平方, 由得, 因为直线与平行, 所以两直线间的距离为, 故的最小值为, 故选:D. 7.（2025-2026·江西宜春高二上月考）已知实数满足，则的最小值为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由，得，， 即点在直线上，点在直线上. 表示两点与之间距离的平方， 故所求最小值为两平行直线间距离的平方. 计算得最小值为. 故选：B. 8.（2025-2026·广东茂名高二上期末）若直线与直线平行，则与之间的距离为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为直线与平行, 所以对应系数成比例且常数项不满足比例关系, 即,由得, 即, 解得或; 当时,, 此时两直线重合,故舍去; 所以, 则, 即; 由平行直线距离公式得. 二、多项选择题（共3小题） 9.（2025-2026·黑龙江哈尔滨高二上期中）已知直线，，则（） A.直线过定点 B.当时， C.当时， D.当时，两直线，之间的距离为 【答案】AB 【解析】对于选项A： 直线的方程可写为,由得,故直线过定点,A正确； 对于选项B： 当时,的方程为,即的方程为,两直线斜率相等且截距不等,故,B正确； 对于选项C： 当时,的方程为的斜率为的斜率为,因,故与不垂直,C错误； 对于选项D： 当时,由得,此时的方程为,两直线距离为,故D错误； 答案为AB. 10.（2025-2026·广东广州高二上期中）下列命题正确的有（ ） A.两平行线间的距离为 B.过点且在两坐标轴上截距相等的直线有两条 C.直线的方向向量可以是 D.直线与直线平行，则或2 【答案】AB 【解析】选项A：由两平行线距离公式，得距离，A正确. 选项B：当截距为时，直线过原点，设方程为，代入得，即； 当截距不为时，设方程为，代入得，即. 故存在两条直线，B正确. 选项C：直线的斜率为，方向向量应满足，而对应的斜率为，不满足，C错误. 选项D：两直线平行需， 由得，即，解得或. 当时，，两直线重合，故仅符合，D错误. 故答案为：AB. 11.（2025-2026·山东济南高二上月考）下列说法正确的是（  ） A.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 B.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C.当点到直线的距离最大时，的值为 D.已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】ACD 【解析】由两直线平行的条件得， 解得，两直线化为与， 由平行直线距离公式得距离为， 故A正确. 由两直线垂直的条件得， 解得或， 由此可得“”是“两直线互相垂直”的充分不必要条件， 故B错误. 整理直线得，得直线过定点，点到直线距离最大时直线与垂直， 计算得， 故，C正确. 计算得，，直线过定点，与线段有交点时斜率满足， 故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（共3小题） 12.当m变化时，两条平行直线3x－4y＋m－1＝0和3x－4y＋m2＝0间的距离的最小值等于                  ． 【答案】 【解析】d＝＝≥，且当m＝时取等号． 13.已知两条平行直线：，：，则与间的距离为                  . 【答案】 【解析】由，得，所以，解得， 所以：，即，又：， 所以与间的距离. 14.已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是                  . 【答案】 【解析】由直线与直线互相平行，得， 则直线与直线的距离为：. 故答案为：. 四、解答题（共2小题） 15.(1)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0平行且距离相等，求l的方程． (2)已知直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2之间的距离为5，求l1，l2的方程． 【答案】解(1)设所求直线的方程为2x－y＋c＝0(c≠3，c≠－1)， 由题意可得＝，解得c＝1， 故直线l的方程为2x－y＋1＝0. (2)①当直线斜率存在时，设直线的斜率为k，由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0； 由点斜式可得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0. 则直线l1与l2的距离d＝＝5， ∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25， ∴k＝，故l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0. ②若l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5， 它们之间的距离为5，同样满足条件． 综上，满足条件的直线方程有两组， 即l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0， 或l1：x＝0，l2：x＝5 16.（2025-2026·辽宁沈阳高二上期中）已知直线；直线． (1)若，求实数的值； (2)若，且它们之间的距离为，求直线的斜截式方程． 【答案】(1) 解：由,得两直线斜率满足. 的斜率的斜率. 结合上述斜率值与斜率关系,得,故. (2) 解：由,得,故. 结合的结果,将的方程整理为. 结合两平行直线间距离公式,得. 化简得,故或. 当时,的斜截式方程为. 当时,的斜截式方程为. 学科网（北京）股份有限公司 $