2.3 二次函数与一元二次方程不等式 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（教学设计） 课题 二次函数与一元二次方程、不等式 单元 第二章一元二次函数、方程和不等式（二次函数与一元二次方程、不等式） 学科 高中数学（人教版） 年级 高一 学习目标 、经历从实际问题抽象出一元二次不等式的过程，理解一元二次不等式的概念；理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的联系； 、掌握用二次函数图象（零点、开口方向、判别式）求一元二次不等式解集的方法，能正确求解（或）； 、能利用一元二次不等式解决简单的实际问题，体会数形结合、分类讨论的数学思想，发展直观想象与数学运算素养。 教材分析 本节课是本章的核心内容，也是初高中学函数与方程思想的延续。教材以“园艺师用栅栏围矩形花圃、面积大于”为问题，设一边长，则另一边长，得不等式，整理为（），从而引出一元二次不等式的概念：只含一个未知数且未知数最高次数为的不等式，一般形式为或（）。 教材类比初中“从一次函数看一元一次方程、一元一次不等式”的思想，先考察与的关系：方程的根即二次函数的零点；图象与轴交于和；当或时图象在轴上方即；当时图象在轴下方即。于是不等式解集为。 教材由此推广到一般：对（），按、、三种情况，给出表——二次函数图象、方程的根、不等式与的解集的对应关系。 例（）、例（）、例（且二次项系数为负）分别示范三种情形；教材给出求解一元二次不等式的框图。例（摩托车流水线创收）、例（刹车距离）为实际应用；最后回扣节杂志定价问题，解得。 本节是函数、方程、不等式三者联系的集中体现，是高中解不等式的核心模型，也是后续学习函数定义域、集合、导数等内容的重要基础。 学情分析 学生在初中已经学过从一次函数观点看一元一次方程与不等式，会画二次函数草图、会求一元二次方程的根，具备“数形结合”的初步经验。 本节学生面临的主要障碍： 、对“零点”概念不熟悉，不会把方程的根与二次函数图象和轴的交点对应起来； 、求解集时容易混淆“大于取两边、小于取中间”的记忆，特别是、时容易出错； 、二次项系数为负时，忘记先化正再求解； 、实际问题中不会把条件抽象为一元二次不等式，且容易忽略变量的实际取值范围。 教学策略：以图象为核心，先具体（）后一般（三种情形），用表和框图固化解题步骤；通过“化正—求根—画图—写解集”四步训练规范书写。 教学重点 二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者的联系；用图象法求一元二次不等式的解集。 教学难点 与时解集的确定；二次项系数为负时的处理；实际问题的建模与取值范围。 教学准备 多媒体课件（）、二次函数与轴三种位置关系示意图。 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 新课 引入 【情境引入提出问题】 【问题（教材）】园艺师用栅栏围一块矩形花圃，要求面积大于。矩形边长应为多少米？ 教师引导：设矩形一条边长，则另一条边长，其中。由题意： ，整理得。 教师指出：只含一个未知数、且未知数最高次数为的不等式，叫做一元二次不等式（）。一般形式为或（）。 【思考（教材）】初中我们从一次函数观点看一元一次方程、不等式；能否从二次函数观点看一元二次不等式？ 、设未知数，列出不等式； 、明确一元二次不等式的概念； 、回忆一次函数、方程、不等式三者联系。 从实际问题抽象出一元二次不等式，用类比一次函数的思路引出研究路径。 新知 探究 【活动一：从二次函数看一元二次不等式】 考察不等式与二次函数的关系。 画出的图象，它与轴有两个交点，横坐标即方程的两根。 教师给出零点定义：使的实数叫做二次函数的零点。 观察图象： ·当或时，图象在轴上方，，即； ·当时，图象在轴下方，，即。 所以不等式的解集为。 教师指出：由于，所以围成矩形的一条边长应满足。 、画二次函数草图，标出零点； 、观察图象与轴的上下位置； 、由图象读出不等式解集。 以具体例子让学生经历“画图象—找零点—看上下—写解集”的过程，建立数形结合的直观。 【活动二：一般情况的三种分类】 对一元二次方程（），记，按、、分类，二次函数（）与轴的位置关系有三种情况，对应不等式的解集如下表（教材表，配图见下）： ：方程有两不等实根；的解集为或，的解集为。 ：方程有两相等实根；的解集为，的解集为。 ：方程无实根；的解集为，的解集为。 教师强调：上表针对；若，先两边同乘化为正，再求解。 、观察三种情形示意图； 、记录表； 、记忆“大于取两边、小于取中间”的口诀及、的特殊情形。 由具体推广到一般，用图表固化三种分类，为规范求解奠定基础。 典例 精讲 【例（教材）】求不等式的解集。 解：方程，，两根。画图象，开口向上。 解集为或。 【例（教材）】求不等式的解集。 解：方程，，。图象开口向上且与轴相切。 解集为。 【例（教材）】求不等式的解集。 解：先化为。，方程无实根，图象在轴上方，故的解集为。 原不等式解集为。 教师归纳解题四步：化正（二次项系数化为正）；求根（算、解方程）；画图（开口、零点）；写解集。 、独立完成三例； 、例注意时不能取； 、例注意先把二次项系数化正； 、记录四步解题法。 三例分别对应三种判别式情形，规范“化正—求根—画图—写解集”四步流程。 【活动三：一元二次不等式的实际应用】 【例（教材）】摩托车流水线月产量（辆）与创造价值（元）满足。要使一周内创收元以上，一周大约生产多少辆？ 解：，整理得。方程，。 解集为。取整数，故一周生产辆时可创收元以上。 【例（教材）】刹车距离（）。事故中刹车距离大于，求刹车前车速至少为多少（精确到）？ 解：，整理得。方程两根。由，得。 故刹车前车速至少为。 教师指出：类似地，节杂志定价不等式整理为，解得，即定价在元时总收入不低于万元。 、独立列不等式并求解； 、例注意为整数； 、例结合实际舍去负根。 用生产与交通两个实际问题训练建模与求解，回扣章首杂志问题，形成闭环。 课堂 练习 【教材练习】 、求下列不等式的解集： ；； ；； ；。 、当自变量取何值时，下列函数的值等于？大于？小于？ ；；；。 【答案】、或；；；；或；。 、独立完成练习； 、第题且，解集；第题且，解集。 当堂检测三种情形的求解，重点突破、的特殊情况。 课堂 小结 一、三个“二次”的联系 二次函数的零点方程的根图象与轴交点的横坐标；不等式的解集由图象在轴上下方决定。 二、解一元二次不等式四步 化正（）；求根（算、解方程）；画图（开口向上、标零点）；写解集。 三、三种情形（） ：取两边，取中间； ：取，取； ：取，取。 教师强调：先化正、再看、最后写解集；实际问题注意变量取值范围。 、画三者关系图； 、自评：能否按四步规范求解。 结构化小结，形成“数形结合分类讨论”的解题模型。 作业 布置 、教材练习第题； 、教材习题复习巩固第、题； 、整理本章知识结构（不等式性质、基本不等式、一元二次不等式）。 记录作业，课后完成；整理本章知识框架。 巩固求解，梳理全章结构。 板书 设计 二次函数与一元二次方程、不等式 一、三个二次：零点方程根图象与轴交点。 二、四步：化正求根画图写解集。 三、时： ：取两边，取中间； ：取； ：取，取。 学科网（北京）股份有限公司 $