26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质知识清单2026-2027学年九年级数学上册人教版

26.2.1 二次函数 y = ax2 的图象和性质　知识清单 人教版（2024）九年级数学上册　第二十六章　二次函数　26.2 二次函数的图象和性质（第 1 课时） 知识地图 ① 本节定位　26.2 研究二次函数的「图象与性质」，本节是它的第 1 课时，教材 P33—P36。研究路径是「解析式 → 图象 → 性质」，从最简单的 开始，从特殊到一般。 ② 画图的工具　描点法：列表 → 描点 → 连线（用平滑曲线）。列表时以 0 为中心、左右对称地取整数，便于看出图象关于 y 轴对称。 ③ 图象的名称　二次函数的图象都是抛物线； 的图象开口向上或向下，对称轴是 y 轴（直线 ），顶点是原点 。 ④ a > 0 时　开口向上；顶点 是最低点； 时 y 随 x 增大而减小， 时 y 随 x 增大而增大； 时 y 有最小值 0。 ⑤ a < 0 时　开口向下；顶点 是最高点； 时 y 随 x 增大而增大， 时 y 随 x 增大而减小； 时 y 有最大值 0。 ⑥ ★ 必记　 的正负决定开口方向， 的大小决定开口大小（ 越大开口越小）； 与 的图象关于 x 轴对称。 一、学习目标与重难点 学习目标：① 会用描点法画出 的图象，掌握「列表 → 描点 → 连线」的步骤；② 知道二次函数的图象是抛物线，理解开口、对称轴、顶点三个概念；③ 掌握 与 时图象的开口方向、顶点高低、增减性和最值；④ 会根据 判断开口大小，会判断点是否在抛物线上，会用增减性或对称性比较函数值的大小。 重　　点：描点法画图象； 的图象特征与性质（开口方向、对称轴、顶点、增减性、最值）。 难　　点：★★ 分清「开口方向」由 的正负决定、「开口大小」由 的大小决定；说增减性必须说清「在对称轴的哪一侧」；比较函数值大小时，两个自变量分居对称轴两侧，要先转化到同一侧再比。 二、用描点法画图象：列表 → 描点 → 连线 1. 画图还是用「描点法」 研究函数的性质，最直观的办法是把它的图象画出来。画二次函数的图象，用的还是以前学过的描点法，分三步： ① 列表：先确定自变量的取值范围，再取自变量的若干值，算出对应的函数值，列成表。 ② 描点：把表中的每一对 作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点。 ③ 连线：按照自变量从小到大的顺序，用一条平滑曲线把这些点顺次连接起来。 2. 以 y = x2 为例，一步步画（教材 P33 探究） 先取自变量 的一些值。因为 可以取任意实数，为了便于描点、也便于观察规律，我们取以 0 为中心的一系列整数：。 x −3 −2 −1 0 1 2 3 9 4 1 0 1 4 9 把它们作为点的坐标描出来，再用平滑曲线顺次连接，就得到 的图象（图 1 右）：一条关于 y 轴对称、开口向上的曲线。 图 1　用描点法画 的图象：① 列表　② 描点　③ 连线，连线要平滑 3. 连线时最容易错的三件事 ① 不能用直尺画成折线段：二次函数的图象是光滑的曲线，把相邻两点用线段连起来，画出来的是「折线」，不是抛物线。 ② 不要停在最后一个点：图象向两端无限延伸，曲线要画出表格以外的趋势，两端的线头要「伸出格」。 ③ 取点太少、取得太偏：列表时以 0 为中心左右对称地取点，一般在顶点两侧各取三四个点，图象才准确。 三、抛物线的概念：开口、对称轴、顶点 1. 二次函数的图象叫做抛物线 图 2　抛物线的三个概念：开口（向上或向下）、对称轴（y 轴）、顶点（原点） 观察画出的曲线可以发现：二次函数的图象都是一条抛物线，它的开口向上或者向下。一般地，二次函数 （）的图象叫做抛物线 。 本节研究的是其中最简单的情形 （），它的图象叫做抛物线 。下面把它的三个要素——开口、对称轴、顶点——逐个认清楚。 2. 对称轴 抛物线 关于 轴对称， 轴（直线 ）就是它的对称轴。把图象沿 y 轴翻折，左右两部分能够完全重合——这就是列表时要「以 0 为中心对称取点」的原因。 ★ 对称轴的作用：对称轴把抛物线分成左右两半，图象上横坐标互为相反数的两个点 与 关于 y 轴对称，它们到 y 轴的距离相等、高度相同。 3. 顶点 抛物线与它的对称轴的交点，叫做抛物线的顶点。对于 ，对称轴 与抛物线的交点是 ，所以它的顶点就是坐标原点 。 当 时，抛物线开口向上，顶点 是图象上位置最低的点，即函数有最小值 0； 当 时，抛物线开口向下，顶点 是图象上位置最高的点，即函数有最大值 0。 四、y = ax2 的图象与性质 1. 先从 y = x2 的图象读出性质 把画好的抛物线放在坐标系里，从四个方面去「读」，a > 0 时的性质就全出来了： 看什么 从 y = x2 的图象看到 看开口 开口向上，图象除顶点外都在 x 轴上方 看顶点 顶点 是图象的最低点，此时 y 取得最小值 0 看对称轴 y 轴，即直线 ；横坐标互为相反数的两点纵坐标相等 看增减性 在 y 轴左侧（）y 随 x 增大而减小；在 y 轴右侧（）y 随 x 增大而增大 2. 例 1（教材 P34 例 1）　在同一直角坐标系中画出 y = x2 与 y = 2x2 的图象 （1）列表。因为 越大图象越「陡」，取点时要照顾到曲线上升的快慢： x −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 x −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 （2）描点、连线，就得到图 4 中的三条抛物线：、、。 3. 例 1 的思考：它们有哪些共同点和不同点 共同点：① 开口都向上；② 对称轴都是 y 轴；③ 顶点都是原点 ，且都是最低点，函数最小值都是 0；④ 增减性相同—— 时 y 随 x 增大而减小， 时 y 随 x 增大而增大。 不同点：三个函数的二次项系数 不同，开口大小不同： 越大，开口越小（图象越「陡」）。 怎么看出来的：两张表中 y 的对应值完全一样（8、4.5、2、0.5、0、…），说明它们升到同样的高度时， 大的横坐标变化更小——横坐标「走得少」而高度「升得快」，开口自然更小。 4. 例 2（教材例 2）　说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点 例 2　说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：，，，。 抛物线 开口方向 对称轴 顶点 向上 y 轴 (0, 0) 向下 y 轴 (0, 0) 向上 y 轴 (0, 0) 向下 y 轴 (0, 0) 解：开口方向只看二次项系数 的正负： 开口向上， 开口向下。对称轴和顶点与 的大小无关，只要形如 ，对称轴就都是 y 轴，顶点就都是原点 。 5. 探究（教材 P35）：a < 0 时图象是什么样的 仿照 的做法，在同一平面直角坐标系中画出 、、 的图象，同样以 0 为中心对称地取值列表、描点、用平滑曲线连线。 探究结论：这三条抛物线都开口向下、对称轴都是 y 轴、顶点都是原点 ；当 时 y 随 x 增大而增大，当 时 y 随 x 增大而减小； 时 y 有最大值 0。 ★ 与 对比：把 的每一条结论中的「向上」改成「向下」、「最低」改成「最高」、「减小」与「增大」互换、「最小」改成「最大」，就得到 的全部结论——两栏的性质恰好「一一相反」。 6. 归纳：y = ax2 的图象与性质对照表 性质 a > 0 a < 0 开口方向 向上 向下 开口大小 越大，开口越小 越大，开口越小 对称轴 y 轴（直线 ） y 轴（直线 ） 顶点 原点 ，是最低点 原点 ，是最高点 增减性 时 y 随 x 增大而减小； 时 y 随 x 增大而增大 时 y 随 x 增大而增大； 时 y 随 x 增大而减小 最值 时 y 有最小值 0 时 y 有最大值 0 图 3　（）的图象与性质： 与 只有开口方向、顶点高低、增减方向相反 五、|a| 与开口大小 1. |a| 越大，开口越小 二次项系数 的正负决定开口方向， 的大小决定开口大小： 图 4　、、 的图象：开口方向、对称轴、顶点都相同，只有开口大小不同 越大，开口越小（图象越「陡」）； 越小，开口越大（图象越「平缓」）。 例如（见图 4）：、、 中，，所以开口从大到小依次是 、、。 2. 别把「方向」和「大小」搞混 ★ 两件事分开看：「开口方向」只看 的正负；「开口大小」只看 的大小。 的正负不影响开口大小， 的大小也不影响开口方向。 例： 与 ，，两条抛物线开口一样大，但一条向上、一条向下。 六、y = ax2 与 y = −ax2 关于 x 轴对称（教材 P36） 1. 一对「镜像」抛物线 把 与 画在同一坐标系中（图 5）可以看到：二次项系数互为相反数时，两条抛物线开口方向相反、开口大小相同，它们关于 x 轴对称。 图 5　 与 ：二次项系数互为相反数，图象关于 x 轴对称 一般地， 与 的图象关于 x 轴对称。道理很简单：对同一个 ，两个函数值互为相反数，点 与点 正是关于 x 轴对称的一对点。 抛物线 开口方向 开口大小 对称轴 顶点 与另一条的关系 向上 相同 y 轴 (0, 0) 关于 x 轴对称 向下 相同 y 轴 (0, 0) 关于 x 轴对称 2. 怎么判断两条抛物线是不是关于 x 轴对称 第一步：把两条抛物线的解析式写成 的形式，比较二次项系数； 第二步：两个二次项系数互为相反数，并且都形如 （即常数项、一次项都是 0），它们就关于 x 轴对称。 ★ 结论：关于 x 轴对称的两条抛物线，开口方向相反、开口大小相同、对称轴相同、顶点相同。 七、用增减性与对称性比较大小、判断点是否在图象上 1. 两类最常见的题 学完 的性质，最常见的两类题是：① 已知两个点在抛物线上，比较函数值的大小；② 判断一个点是否在抛物线上。 2. 比较大小的四条路子 ① 同侧：两个自变量在对称轴同一侧（同号）时，直接用增减性判断—— 时离 y 轴越远的点越高， 时离 y 轴越远的点越低。 ② 异侧：两个自变量分居对称轴两侧时，先用对称性把其中一个点「搬」到另一侧——横坐标互为相反数的两点纵坐标相等，把负数换成正数，再按同侧去比。 ③ 含顶点：若其中一个点是顶点 ，它的函数值就是最值： 时最小、 时最大，直接得结论。 ④ 保底办法：拿不准就把横坐标分别代入解析式，算出函数值再比——慢一点，但一定不会错。 3. 例 3（举一反三）　比较函数值的大小 已知二次函数 ，点 、 都在它的图象上，比较 与 的大小。（图 6） 图 6　用对称性把 A(−3, ) 化为 C(3, )，再与 B(1, ) 在同侧比较 解法一（直接算值）：，，所以 。 解法二（用性质，更见功力）：因为 ，抛物线开口向上，对称轴是 y 轴。先把点 A 关于 y 轴的对称点找出来： 的对称点是 。现在两个点都在 y 轴右侧：，而在 时 y 随 x 增大而增大，所以 。 ★ 注意：用增减性时，只说「x 越大 y 越大」是不够的——必须先说明两个点在同侧，或者先把它转化到同侧。这正是本节最容易失分的地方。 4. 例 4（举一反三）　判断点是否在抛物线上 判断点 、、 是否在抛物线 上。 解：判断点在不在图象上，只要把点的横坐标代入解析式算出函数值，再与点的纵坐标比较：相等就在图象上，不相等就不在。 点 横坐标 代入算得的 y 与纵坐标比较 结论 −2 4 = 4，相等 在图象上 3 9 = 9，相等 在图象上 −1 1 ≠ −1，不相等 不在图象上 ★ 两个快捷判断（以 为例）：① 因为 的值一定不小于 0，所以纵坐标为负的点一定不在图象上；② 纵坐标必须是「某个数的平方」（0、0.25、1、4、9、16…），纵坐标是 2 或 3 的点就一定不在图象上。 八、由图象特征求字母或系数的值 1. 例 5（举一反三）　由开口方向求字母的取值范围 已知二次函数 的图象开口向上，求 的取值范围。 解：开口向上，说明二次项系数大于 0，即 ，所以 。 ★ 反向也要会：若图象开口向下，则 ，即 ；若图象有最低点（有最小值），也是 ；若有最高点（有最大值），就是 。 2. 例 6（举一反三）　由图象经过的点求二次项系数 已知抛物线 经过点 ，求 的值，并说出它的开口方向、对称轴和顶点。 解：点 在抛物线上，把 代入 ，得 ，即 。 所以抛物线的解析式是 ，因为 ，所以开口向上，对称轴是 y 轴（直线 ），顶点是原点 ， 时 y 有最小值 0。 ★ 关键一步：「点在图象上」就是「点的坐标满足解析式」，把横坐标、纵坐标一起代入即可；注意 的平方是 1，不要漏掉平方。 九、易错清单与错解辨析 1. 七个高频失分点 ① 把「方向」和「大小」混为一谈：开口方向看 的正负，开口大小看 的大小，两件事互不影响。 ② 误以为 越大开口越大：恰恰相反—— 越大开口越小。 ③ 增减性不说清「在哪一侧」：不能笼统地说「y 随 x 增大而增大」，必须分开写： 时怎样、 时怎样。 ④ 顶点高低与 的正负对应颠倒： 顶点最低、y 有最小值， 顶点最高、y 有最大值，别记反。 ⑤ 连线画成折线：用直尺把相邻两点连成线段，画出来的是折线；二次函数的图象是平滑曲线，两端还要向外延伸。 ⑥ 列表取点太少或不对称：取点太少图象会「走形」，不关于 0 对称取点就看不出对称轴的规律。一般在顶点两侧各取三四个点。 ⑦ 漏掉前提 ：本节讨论的一律是 （）；若 ，解析式就变成 了，不是二次函数。 2. 错解辨析 （一）比较大小时套错了增减性的方向 题目：已知 ，点 、 在图象上，比较 、 的大小。 错解：因为 ，x 越大 y 越大，所以 。 错在哪里：把 时的增减性套到了 上。这里 ，开口向下，在 y 轴右侧 y 随 x 增大而减小；而且 3 与 −2 分居对称轴两侧，不能直接比较。 正解：，，因为 ，所以 。 （二）开口大小判反了 题目：抛物线 与 ，哪一条开口更大？ 错解：因为 ，所以 的开口更大。 正解：开口大小由 决定， 越大开口越小。因为 ，所以 开口更小（更「陡」）， 开口更大（更「平缓」）。 十、方法总结 1. 本节知识结构 图 7　26.2.1 知识结构：解析式 → 图象 → 性质，以及 、 各自管什么 2. 一句话方法 画图三步：列表（以 0 为中心对称取点）→ 描点 → 连线（平滑、两端伸出格）。 读图四看：看开口方向、看顶点高低、看对称轴、看增减性与最值。 比较两招：同侧直接用增减性，异侧先用对称性转化到同侧；拿不准就代入算值。 记牢一句： 管方向， 管大小；顶点在原点，对称轴是 y 轴。 十一、课后巩固 （一）对接教材 P35 练习第 1 题、P36 练习第 2 题 题 题目 答案 1 填空：抛物线 的开口向　　，对称轴是　　，顶点坐标是　　；当 时，y 有最　　值　　。 上；y 轴；；小；0 2 说出抛物线 和 的开口方向、对称轴和顶点，以及随着 x 的增大 y 的变化情况。 ：向下，y 轴，； 时 y 随 x 增大而增大， 时 y 随 x 增大而减小。：向上，y 轴，； 时 y 随 x 增大而减小， 时 y 随 x 增大而增大。 3 判断点 和点 是否在抛物线 上。 点 在（）；点 不在（）。 4 已知 ，比较当 与 时函数值的大小。 时 ， 时 ，所以前者小于后者。 5 在 中，当 时，y 随 x 增大而　　（填「增大」或「减小」）。 增大（因为 ，对称轴左侧 y 随 x 增大而增大）。 （二）自编巩固（含答案，★ 不超纲） (6) 在同一平面直角坐标系中画 、、 的图象，这三条抛物线中开口最大的是哪一条？为什么？ 　　答： 的开口最大。因为 越小开口越大，三者中 的绝对值最小。 (7) 抛物线 与 的图象有什么关系？若 经过点 ，求 ，并写出 上横坐标为 2 的点的坐标。 　　答：两条抛物线的二次项系数互为相反数，所以它们的图象关于 x 轴对称。把 代入 ，得 ，即 ，所以 ， 即 ，开口向上； 上横坐标为 2 的点的纵坐标与 上该点的纵坐标互为相反数，所以这个点是 。 (8) 已知二次函数 的图象有最高点，求 的取值范围。 　　答：有最高点说明图象开口向下，即 ，所以 。 十二、技能自查 能否独立做到 自检 ① 完整说出描点法三步，并独立画出 的图象 □ 能　□ 还不太熟 ② 说出抛物线的定义，指认对称轴与顶点 □ 能　□ 还不太熟 ③ 背出 时 的开口方向、顶点高低、增减性和最值 □ 能　□ 还不太熟 ④ 对 的情形，能借助「一一相反」说出全部结论 □ 能　□ 还不太熟 ⑤ 会根据 比较开口大小，知道 与 关于 x 轴对称 □ 能　□ 还不太熟 ⑥ 会用增减性或对称性比较函数值大小，会判断点是否在抛物线上 □ 能　□ 还不太熟 ⑦ 会由开口方向或经过的点求字母、系数的值 □ 能　□ 还不太熟 十三、知识追问（想清楚再合上本子） ① 画 的图象时，为什么列表要「以 0 为中心对称取点」？如果不这样取点，会不会影响图象的形状？ ② 二次函数的图象为什么一定要用平滑曲线连接，而不是用直尺连成折线？如果只描两个点，能画出抛物线吗？ ③ 为什么 的开口比 的大？请从「升到同样高度时，横坐标要走多远」来说明。 ④ 点 与点 都在 的图象上，这说明抛物线有什么特点？ ⑤ 已知 与 的图象关于 x 轴对称，请你用「对同一个 x，函数值互为相反数」说明理由。 十四、本节在章中的位置与中考对接 1. 本节在章中的位置 章内课节 研究内容 与本节的联系 26.1 二次函数的概念 认识二次函数：一般式、判定、列关系式 先有「式」，本节才研究「图」 26.2.1 二次函数 的图象和性质（本节） 描点法画图、抛物线、开口、对称轴、顶点、增减性、最值 本章「图象与性质」的起点 26.2.2 二次函数 的图象和性质 研究图象左右、上下移动后的函数与性质 本节研究的是它的特殊情形 26.2.3 二次函数 的图象和性质 研究一般式 的图象与性质 把本节的结论从特殊推广到一般 26.3 二次函数与一元二次方程 二次函数的图象与一元二次方程的联系 要用到本节「图象与对称轴」的认识 26.4 实际问题与二次函数 用二次函数解决最优化等实际问题 最值问题的基础正是本节的顶点与最值 2. 中考对接 本节是二次函数所有图象题的「地基」，中考里以 ★ ~ ★★ 的基础题为主，常考四类：① 说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；② 判断点是否在抛物线上；③ 比较函数值的大小（用增减性或对称性）；④ 由开口方向、顶点高低或图象经过的点反求字母、系数的值。这些题只要把本节的结论记牢、把「同侧比、异侧转化」用熟，就能稳拿分。 3. 三个必背 ① 图象与三个概念： 的图象是抛物线，开口向上或向下，对称轴是 y 轴（直线 ），顶点是原点 。 ② 性质两栏相反： 开口向上、顶点最低、左降右升、有最小值 0； 开口向下、顶点最高、左升右降、有最大值 0。 ③ 大小与对称： 越大开口越小； 与 的图象关于 x 轴对称。 4. 一句话总结 二次函数 的图象是一条顶点在原点、关于 y 轴对称的抛物线： 的正负决定开口朝上还是朝下， 的大小决定开口是宽还是窄——把「式」变成「形」，性质就一眼看得见。 学科网（北京）股份有限公司 $