第三章 整式及其加减 单项式规律问题、图形规律问题、程序流程图与代数式求值问题讲义-2026-2027学年北师大版七年级数学上册

单项式规律问题、图形规律问题、程序流程图与代数式求值问题讲义 单项式规律问题、图形规律问题、程序流程图与代数式求值问题讲义 考点目录 单项式规律问题 图形规律问题 程序流程图与代数式求值问题 考点一 单项式规律问题 【知识点解析】 核心本质 给出一列按顺序排列的单项式，通过拆分单项式的符号、系数绝对值、字母次数三个维度，分别对应数列规律，最终归纳出第 个单项式的通项表达式，是规律探究题的基础题型。 常见规律维度 1. 符号规律：正负交替出现 · 奇数项正、偶数项负： · 奇数项负、偶数项正： 1. 系数数值规律： · 等差型：系数绝对值每次加固定数，如 对应 ； · 等比型：系数绝对值每次乘固定数，如 对应 ； · 平方/立方型：如 对应 。 1. 字母次数规律： · 等差型：次数每次加固定数，如 对应 ； · 联动型：次数与系数数值联动，或次数为平方/立方数列。 解题步骤 1. 拆分项：将每个单项式拆分为符号、系数绝对值、字母及次数三部分； 1. 分别找规律：分别对三部分归纳第 项的表达式； 1. 合并通项：将三部分组合，写出第 个单项式的完整形式； 1. 代入验证：代入 验证是否与前两项一致。 【例题分析】 例1．（26-27七年级上·云南·期中）观察下列代数式：，，，，，…，则第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察可知第n个代数式为单项式，其系数为，次数为n，据此可得答案． 【详解】解：第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， 第5个代数式为， ……， 以此类推可知第个代数式是． 例2．（25-26七年级下·云南德宏·期末）以下是一组按规律排列的单项式：，，，，其中第个单项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】拆分单项式的系数与字母部分，分别寻找规律． 【详解】解：第1个单项式的系数为； 第2个单项式的系数为； 第3个单项式的系数为； 第4个单项式的系数为； ∴ 第个单项式的系数为， 又∵ 所有单项式的字母部分均为， ∴ 第个单项式为． 例3．（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）观察下列单项式：，，，…，按照此规律，第n个式子是______．（n为正整数） 【答案】 【分析】本题考查单项式中的规律探究，观察可知，单项式的系数的符号为负，正，负，正，交替出现，分子为1，分母为，指数为从2开始的连续的整数，即可得出结果． 【详解】解：，，，… 故第n个式子是； 故答案为：． 例4．（25-26七年级上·甘肃张掖·期末）观察下面一组单项式：根据其中的规律，得出第7个单项式是_____． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的规律探究，观察单项式得到变化规律是解题关键． 观察单项式的符号、系数、指数变化规律，得到第n个单项式为，代入即可． 【详解】解：由单项式可知，第n个单项式为， 代入得， 即第7个单项式为． 故答案为：． 例5．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）观察下列各单项式： 根据你发现的规律： (1)请你写出第9个单项式为 ，第n个单项式为 ． (2)请你求出当时，第9个单项式与第10个单项式和的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查单项式的变化规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在规律． （1）根据题意得到所给单项式的系数，字母的指数的规律，即可求解； （2）由（1）中规律解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：所给单项式的系数依次为，即， ∴第个单项式的系数为， ∵单项式中字母的指数依次为， ∴第个单项式中字母的指数为， ∴第个单项式为， 当时，， ∴第9个单项式为， 故答案为：，； （2）解：由（1）得：第9个单项式为， ∴第10个单项式为， 当时： 第9个单项式： ， 第10个单项式： ， ∴第9个单项式与第10个单项式和的值为． 【变式训练】 变式1．（25-26七年级下·云南玉溪·期末）按一定规律排列的代数式：，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察可知，第n个代数式的系数等于，据此可得答案． 【详解】解：第1个代数式为，系数， 第2个代数式为，系数， 第3个代数式为，系数， 第4个代数式为，系数， ……， ∴以此类推，第n个代数式的系数为，即第n个代数式是． 变式2．（2026·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式： ，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别分析代数式的系数和字母部分的变化规律，归纳即可得到第个代数式． 【详解】解：观察给出的代数式依次分析： ∵第1个代数式：， 第2个代数式：， 第3个代数式：， 第4个代数式： ，... ， 依次类推，所有代数式的字母部分均为 ，第个代数式的系数为， ∴第个代数式为． 变式3．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）有一组单项式为x，，，……根据它们的规律，第n个单项式为________． 【答案】 【分析】分别观察单项式中x的次数、分母与对应序号的关系，总结规律得到结果． 【详解】解：第1个单项式：， 第2个单项式：， 第3个单项式：， 第4个单项式：， ， 可得规律，第个单项式中，分子为，分母为， 因此第个单项式为． 变式4．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）观察下列单项式：，，，…，（）按照此规律，第个单项式是________，第100个单项式是________． 【答案】 【分析】本题考查用代数式表示规律，通过观察找出系数和指数的变化规律，写出表达式，再代入求值即可解答． 【详解】解：第1个单项式为1，即， 第2个单项式为，即， 第3个单项式为，即， 第4个单项式为，即， ， 第n个单项式为， 当时，， 故答案为；． 变式5．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）已知多项式． (1)根据多项式的排列规律，你能确定这个多项式是几次几项式吗？ (2)这个多项式的第七项和第八项分别是什么？ 【答案】(1)十次十一项式 (2)第七项是，第八项是 【分析】本题考查了数字类变化规律，多项式的有关概念，解题的关键是要理解多项式的项、次数、项数等概念的意义． （1）该多项式按a的降幂排列，共十一项，且每一项的次数都是10，奇数项的系数符号是正号，偶数项的系数符号是负号，根据规律即可得解； （2）结合（1）的规律即可得这个多项式的第七项和第八项． 【详解】（1）解：这个多项式是按a的降幂排列的，且每一项的次数都是10，奇数项的系数符号是正号，偶数项的系数符号是负号； 所以这个多项式是十次十一项式； （2）解：由多项式的规律得，第项是， 所以这个多项式的第七项是，第八项是． 考点二 图形规律问题 【知识点解析】 核心本质 将图形中的数量特征（小棒根数、图形个数、面积、周长等）转化为数列，通过分析数列规律得到第 个图形的对应量，核心是图形数字化。 四大经典模型 1. 等差累加型 · 特征：后一个图形比前一个图形增加固定数量的元素，是最常见题型。 · 示例：摆三角形，第1个用3根小棒，第2个用5根，第3个用7根…通项为 。 2. 等比倍增型 · 特征：后一个图形的元素数量是前一个的固定倍数，常见于分形、嵌套图形。 · 示例：树形分支图，每次分支数量翻倍。 3. 周期循环型 · 特征：图形每 个为一组重复出现，呈现周期性。 · 解法：总数 周期长度，看余数对应周期内的第几个图形。 4. 嵌套分形型 · 特征：图形内部按相同规律嵌套重复，总数量为各层数量之和。 解题步骤 1. 计数：数出前3~4个图形的目标数量（小棒数、圆圈数等）； 1. 判型：对比相邻两项的差或比，判断规律类型； 1. 写通项：推导第 个图形的数量表达式； 1. 验证：代入已知图形序号验证。 周期型特殊处理：先求周期 ，再用序号 除以 ，余数对应周期内的位置。 【例题分析】 例1．（26-27七年级上·江苏徐州·阶段检测）用同样大小的黑色棋子按如图表示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第个图形需棋子（     ）枚． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】认真观察给出的第一个图，第二个图，第三个图，试猜想第个图，找到与点数的关系，再按照这个规律求出第个图所需棋子枚数． 【详解】解：第一个图，点数， 第二个图，点数， 第三个图，点数， 猜想第四个图，点数， 第五个图，点数， ． 第个图，点数， 第个图形需棋子：（枚）． 例2．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）如图是一组有规律的图案，它们是由正三角形组成的，第1个图案中有6个正三角形，第2个图案中有10个正三角形，第3个图案中有14个正三角形．．．按此规律，第100个图案中有（     ）个正三角形． A．400 B．401 C．402 D．410 【答案】C 【分析】先求出前四个图形的正三角形个数，总结出规律即可求解． 【详解】解：第一个图形，正三角形的个数为， 第二个图形，正三角形的个数为 第三个图形，正三角形的个数为， 第四个图形，正三角形的个数为， 则第个图形，正三角形的个数为：, 当时，， ∴第100个图案中有个正三角形． 例3．（25-26七年级上·河北唐山·期末）用完全相同的黑棋子按如图所示的规律拼摆出图案，第1个图案有4个黑棋子，第2个图案有9个黑棋子，第3个图案有14个黑棋子，……依此规律，第个图案有个黑棋子，则_____（用含的式子填空，并化成最简结果）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了图形类规律探究，观察图形可知后一个图形比前一个图形多5个黑棋子，进行求解即可． 【详解】解：观察图形可知后一个图形比前一个图形多5个黑棋子， ∴第n个图案中有个黑棋子． 故答案为：． 【变式训练】 变式1．（2026·重庆江津·三模）如图，将大小相同的等边三角形按以下规律进行排列，其中第个图形中有个等边三角形，第个图形中有个等边三角形，第个图形中有个等边三角形，…按照此规律排列下去，则第个图形中等边三角形的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】据前几个图形中等边三角形个数，得到变化规律为：第个图形中有个等边三角形，当时，计算即可求解． 【详解】解：第个图形中有个等边三角形， 第个图形中有个等边三角形， 第个图形中有个等边三角形， 第个图形中有个等边三角形， 当时， 有个等边三角形． 变式2．（25-26七年级下·重庆·期中）用三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图形共有4个三角形，第②个图形共有9个三角形，第③个图形共有14个三角形，…，按照这一规律，第⑨个图形中三角形的个数为（   ） A．45 B．44 C．47 D．42 【答案】B 【分析】先分别确定第①，②，③图形中三角形的个数，即可得出数字变化特点，再根据规律解答． 【详解】解：第①个图形共有4个三角形； 第②个图形共有个三角形； 第③个图形共有个三角形； 第④个图形共有个三角形， 第⑨个图形共有个三角形． 变式3．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，是用地板砖铺设的部分图案，中央是一块边长和内角均相等的六边形的地板砖，周围是等边三角形和正方形的地板砖，从里向外的第1层包括6个正方形和6个等边三角形，第2层包括6个正方形和18个等边三角形……依此类推．第层中包括____________个等边三角形． 【答案】 【分析】本题考查平面镶嵌，规律型：图形的变化类，多边形内角与外角，掌握探究的一般方法是解决此类问题的关键．根据题意分析可得：从里向外的第1层含有6个正三角形；第2层含有个正三角形；根据正三角形的规律此后每层都比前一层多个，所以第3层含有个正三角形，第4层含有个正三角形，从而写出第层中含有的正三角形个数． 【详解】解：第1层中含有正三角形个数是个， 第2层中含有正三角形个数是个， 第3层中含有正三角形个数是个， 第4层中含有正三角形个数是个， 第层中含有正三角形个数是个． 故答案为：． 考点三 程序流程图与代数式求值问题 【知识点解析】 核心本质 按照流程图的逻辑顺序，逐步代入代数式运算，通过判断框处理分支、循环逻辑，最终输出结果，本质是分步代数式求值+逻辑判断。 三种基本结构 1. 顺序结构：按箭头方向依次执行运算，无分支、无循环； 1. 选择结构：通过判断框的条件，选择“是”或“否”两条分支执行； 1. 循环结构：满足循环条件时重复执行循环体，直到条件不成立退出，分为先判断后执行、先执行后判断两类。 常见题型 1. 直接代入型：顺序或简单分支结构，代入一次即可得到结果； 1. 循环迭代型：有循环结构，需多次迭代更新变量，直到退出循环； 1. 规律输出型：循环次数多，本质是数列规律，可直接推导通项计算结果。 解题步骤 1. 定初值：明确输入值、初始变量的值； 1. 顺流程：按箭头方向依次执行运算，更新变量； 1. 判分支：遇到判断框，严格验证条件是否成立，选择对应路径； 1. 循循环：循环结构每执行一次循环体，更新变量后再次判断条件，直到满足退出条件； 1. 输结果：退出流程后，输出最终变量值。 【例题分析】 例1．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，我们发现第次输出结果为，第次输出结果为，…请你探索第次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出前十次的输出结果，可得从第七次开始，依次以4，2，1循环出现，由此求解即可． 【详解】解：由题意可得，当开始输入的值为22，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， 第九次输出的结果为， 第十次输出的结果为， ， 由上可得，从第七次开始，依次以4，2，1循环出现， ， ， ， 第2020次输出的结果为4． 例2．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）按照如下程序，输入x的值并计算．规定从“输入一个数x”到“判断结果是否大于0”为一次程序操作．若输入9，程序输出的值为（   ） A．73 B．75 C．72 D．70 【答案】A 【分析】根据程序框图，将代入计算，若结果不大于则继续代入计算，直到结果大于为止． 【详解】解：当时，， ， 需再次输入计算． 当时，， ， 输出结果为． 例3．（25-26七年级上·浙江温州·期末）按如图所示程序运算，当输入值时，输出值为___________． 【答案】8 【分析】本题考查程序流程图与代数式求值，将代入，根据流程图，进行计算，直至结果为偶数，输出即可． 【详解】解：当时，为奇数，继续输入， 当时，为偶数，输出； 故答案为：8 【变式训练】 变式1．（25-26七年级下·重庆·期中）如图是一个运算程序的示意图，若输入的值为，则输出的结果为（     ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】把代入运算程序中，计算可得，根据，那么需再次代入得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴需把再次代入，可得， ∵， ∴输出的结果为． 变式2．（25-26七年级上·福建漳州·期中）在计算机上设置运算程序，输入数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”，下面是一个“数值转换机”，下列输入的数据中，输出的结果为33的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据程序求解即可． 【详解】解：当输入，，，此时， ，两个结果不相等，无法输出，不符合要求； 当输入，，不满足，此时无法计算，无法输出，不符合要求； 当输入，，，此时， ，两个结果相等，可以输出，符合要求； 当输入，，，此时， ，两个结果不相等，无法输出，不符合要求． 变式3．（25-26七年级上·山东滨州·期末）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为，则最后输出的结果是______． 【答案】 【分析】根据运算步骤输入，按照逻辑图逐步计算至输出结果，得到答案． 【详解】解：当时， ∵， ∴计算， ∵， ∴当时， ∵， ∴计算， ∵， ∴当时， ∵， ∴计算， ∵， ∴结果为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $单项式规律问题、图形规律问题、程序流程图与代数式求值问题讲义 单项式规律问题、图形规律问题、程序流程图与代数式求值问题讲义 考点目录 单项式规律问题 图形规律问题 程序流程图与代数式求值问题 考点一 单项式规律问题 【知识点解析】 核心本质 给出一列按顺序排列的单项式，通过拆分单项式的符号、系数绝对值、字母次数三个维度，分别对应数列规律，最终归纳出第 个单项式的通项表达式，是规律探究题的基础题型。 常见规律维度 1. 符号规律：正负交替出现 · 奇数项正、偶数项负： · 奇数项负、偶数项正： 1. 系数数值规律： · 等差型：系数绝对值每次加固定数，如 对应 ； · 等比型：系数绝对值每次乘固定数，如 对应 ； · 平方/立方型：如 对应 。 1. 字母次数规律： · 等差型：次数每次加固定数，如 对应 ； · 联动型：次数与系数数值联动，或次数为平方/立方数列。 解题步骤 1. 拆分项：将每个单项式拆分为符号、系数绝对值、字母及次数三部分； 1. 分别找规律：分别对三部分归纳第 项的表达式； 1. 合并通项：将三部分组合，写出第 个单项式的完整形式； 1. 代入验证：代入 验证是否与前两项一致。 【例题分析】 例1．（26-27七年级上·云南·期中）观察下列代数式：，，，，，…，则第个代数式是（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26七年级下·云南德宏·期末）以下是一组按规律排列的单项式：，，，，其中第个单项式是（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）观察下列单项式：，，，…，按照此规律，第n个式子是______．（n为正整数） 例4．（25-26七年级上·甘肃张掖·期末）观察下面一组单项式：根据其中的规律，得出第7个单项式是_____． 例5．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）观察下列各单项式： 根据你发现的规律： (1)请你写出第9个单项式为 ，第n个单项式为 ． (2)请你求出当时，第9个单项式与第10个单项式和的值． 【变式训练】 变式1．（25-26七年级下·云南玉溪·期末）按一定规律排列的代数式：，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 变式2．（2026·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式： ，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）有一组单项式为x，，，……根据它们的规律，第n个单项式为________． 变式4．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）观察下列单项式：，，，…，（）按照此规律，第个单项式是________，第100个单项式是________． 变式5．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）已知多项式． (1)根据多项式的排列规律，你能确定这个多项式是几次几项式吗？ (2)这个多项式的第七项和第八项分别是什么？ 考点二 图形规律问题 【知识点解析】 核心本质 将图形中的数量特征（小棒根数、图形个数、面积、周长等）转化为数列，通过分析数列规律得到第 个图形的对应量，核心是图形数字化。 四大经典模型 1. 等差累加型 · 特征：后一个图形比前一个图形增加固定数量的元素，是最常见题型。 · 示例：摆三角形，第1个用3根小棒，第2个用5根，第3个用7根…通项为 。 2. 等比倍增型 · 特征：后一个图形的元素数量是前一个的固定倍数，常见于分形、嵌套图形。 · 示例：树形分支图，每次分支数量翻倍。 3. 周期循环型 · 特征：图形每 个为一组重复出现，呈现周期性。 · 解法：总数 周期长度，看余数对应周期内的第几个图形。 4. 嵌套分形型 · 特征：图形内部按相同规律嵌套重复，总数量为各层数量之和。 解题步骤 1. 计数：数出前3~4个图形的目标数量（小棒数、圆圈数等）； 1. 判型：对比相邻两项的差或比，判断规律类型； 1. 写通项：推导第 个图形的数量表达式； 1. 验证：代入已知图形序号验证。 周期型特殊处理：先求周期 ，再用序号 除以 ，余数对应周期内的位置。 【例题分析】 例1．（26-27七年级上·江苏徐州·阶段检测）用同样大小的黑色棋子按如图表示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第个图形需棋子（     ）枚． A． B． C． D． 例2．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）如图是一组有规律的图案，它们是由正三角形组成的，第1个图案中有6个正三角形，第2个图案中有10个正三角形，第3个图案中有14个正三角形．．．按此规律，第100个图案中有（     ）个正三角形． A．400 B．401 C．402 D．410 例3．（25-26七年级上·河北唐山·期末）用完全相同的黑棋子按如图所示的规律拼摆出图案，第1个图案有4个黑棋子，第2个图案有9个黑棋子，第3个图案有14个黑棋子，……依此规律，第个图案有个黑棋子，则_____（用含的式子填空，并化成最简结果）． 【变式训练】 变式1．（2026·重庆江津·三模）如图，将大小相同的等边三角形按以下规律进行排列，其中第个图形中有个等边三角形，第个图形中有个等边三角形，第个图形中有个等边三角形，…按照此规律排列下去，则第个图形中等边三角形的个数是（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级下·重庆·期中）用三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图形共有4个三角形，第②个图形共有9个三角形，第③个图形共有14个三角形，…，按照这一规律，第⑨个图形中三角形的个数为（   ） A．45 B．44 C．47 D．42 变式3．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，是用地板砖铺设的部分图案，中央是一块边长和内角均相等的六边形的地板砖，周围是等边三角形和正方形的地板砖，从里向外的第1层包括6个正方形和6个等边三角形，第2层包括6个正方形和18个等边三角形……依此类推．第层中包括____________个等边三角形． 考点三 程序流程图与代数式求值问题 【知识点解析】 核心本质 按照流程图的逻辑顺序，逐步代入代数式运算，通过判断框处理分支、循环逻辑，最终输出结果，本质是分步代数式求值+逻辑判断。 三种基本结构 1. 顺序结构：按箭头方向依次执行运算，无分支、无循环； 1. 选择结构：通过判断框的条件，选择“是”或“否”两条分支执行； 1. 循环结构：满足循环条件时重复执行循环体，直到条件不成立退出，分为先判断后执行、先执行后判断两类。 常见题型 1. 直接代入型：顺序或简单分支结构，代入一次即可得到结果； 1. 循环迭代型：有循环结构，需多次迭代更新变量，直到退出循环； 1. 规律输出型：循环次数多，本质是数列规律，可直接推导通项计算结果。 解题步骤 1. 定初值：明确输入值、初始变量的值； 1. 顺流程：按箭头方向依次执行运算，更新变量； 1. 判分支：遇到判断框，严格验证条件是否成立，选择对应路径； 1. 循循环：循环结构每执行一次循环体，更新变量后再次判断条件，直到满足退出条件； 1. 输结果：退出流程后，输出最终变量值。 【例题分析】 例1．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，我们发现第次输出结果为，第次输出结果为，…请你探索第次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）按照如下程序，输入x的值并计算．规定从“输入一个数x”到“判断结果是否大于0”为一次程序操作．若输入9，程序输出的值为（   ） A．73 B．75 C．72 D．70 例3．（25-26七年级上·浙江温州·期末）按如图所示程序运算，当输入值时，输出值为___________． 【变式训练】 变式1．（25-26七年级下·重庆·期中）如图是一个运算程序的示意图，若输入的值为，则输出的结果为（     ） A． B．1 C．3 D． 变式2．（25-26七年级上·福建漳州·期中）在计算机上设置运算程序，输入数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”，下面是一个“数值转换机”，下列输入的数据中，输出的结果为33的是（   ） A．， B．， C．， D．， 变式3．（25-26七年级上·山东滨州·期末）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为，则最后输出的结果是______． 2 学科网（北京）股份有限公司 $