3.4 动点问题中的相似三角形问题、相似三角形的判定与性质 综合问题讲义-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

动点问题中的相似三角形问题、相似三角形的判定与性质综合问题讲义 动点问题中的相似三角形问题、相似三角形的判定与性质综合问题讲义 考点目录 动点问题中的相似三角形问题 相似三角形的判定与性质综合问题 考点一 动点问题中的相似三角形问题 【知识点解析】 核心本质 动点沿三角形的边运动时，边长随时间动态变化，但角的大小、边的平行/垂直关系往往保持恒定，因此相似关系是动点问题中最常见的几何关系。核心思路是以静制动：用时间变量表示所有动边长，利用相似的比例关系列方程求解。 三大经典题型模型 1. 单动点+公共角模型（基础型） · 场景：三角形一条边上有一个动点，过动点作边的平行线、垂线，或连接定点，形成与原三角形有公共角的小三角形。 · 判定依据：公共角 + 一组对应角相等（平行线的同位角/内错角、直角相等），用AA判定相似。 2. 双动点+两边夹角模型 · 场景：两个动点分别在两条边上以不同速度运动，边长随时间变化，两个三角形共享一个公共角。 · 判定依据：公共角相等，验证夹公共角的两组对应边成比例，用SAS判定相似。 · 关键操作：用表示出公共角的两条邻边长度，验证两组边的比值是否相等。 3. 对应关系不确定的分类讨论（难点高频） · 场景：两个三角形有一组公共角，但对应顶点不明确，存在两种不同的相似匹配方式。 · 典型形式：公共角为，与相似，存在两种对应： ① （对应，对应）； ② （对应，对应）。 两种情况的比例式完全不同，必须分类讨论。 标准解题步骤 1. 设参表边：设动点运动时间为，根据速度、边长，用表示出所有相关线段的长度； 1. 找等角定可能：找出公共角、直角等天然相等的角，分析所有可能的相似对应关系； 1. 分类列比例：对每种对应关系，根据相似性质列出对应边成比例的方程； 1. 求解验范围：解方程得到值，检验是否在动点的运动范围内，舍去超出范围的解。 【例题分析】 例1．（26-27九年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，点，，连接，动点M、N分别同时从点A、O出发，以1单位长度/秒和2单位长度/秒的速度向终点O、B移动，当其中一点到达终点时停止运动，设运动时间为t秒． (1)当四边形的面积恰好为76时，求此时t的值； (2)试求t为何值时，与相似？ 【答案】(1)4或6 (2)2或5 【分析】（1）先根据点坐标得到，，由运动速度表示线段：，，运动范围．利用四边形面积等于面积减去面积，建立一元二次方程求解； （2）两个直角三角形直角对应相等，分两种对应边成比例情况分类讨论，列方程求出t． 【详解】（1）解：， ， ． 由题意得：，， ． 四边形的面积， ， 整理得：， 因式分解得， 解得，． 两个解均满足． 的值为或． （2）解：， 与相似分两种情况： ①当时， ， 即， 化简得，解得． ②当时， ， 即， ， 解得． 、都符合题意， 的值为或． 例2．（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，已知中，，，．如果点P由A出发沿方向向点C匀速运动，同时点Q由B出发沿方向向点A匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：）．解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似？ (2)的面积记为S，请用含有t的代数式表示出S． (3)是否存在某时刻t，使得平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）首先利用勾股定理求出，根据题意得，则，然后分两种情况讨论，分别利用相似三角形的性质列式求解； （2）过点Q作于点H，证明，得到，表示出，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）连接，过点P作于点E，利用角平分线的性质得到，证明，得到，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 根据题意得，，则， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴； 综上所述，当或时，与相似； （2）解：如图，过点Q作于点H， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，过点P作于点E， ∵，则， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 例3．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，，，，．点P从点C出发，以的速度沿向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止． (1)求经过几秒，的面积等于面积的？ (2)求经过几秒，与相似？ 【答案】(1)2； (2)或 【分析】（1）设经过x秒，的面积等于面积的，根据题意列出关于x的一元二次方程即可求解； （2）设经过t秒，与相似，分①当，②当，分别列出比例式即可求解 【详解】（1）解：设经过x秒，的面积等于面积的， 由题意得：， 解得：， 答：经过2秒，的面积等于面积的， （2）解：设经过t秒，与相似， ①当，则， ∴，解得：； ②当，则， ∴，解得：； 综上所述，经过或秒，与相似． 【变式训练】 变式1．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形中，，，动点P以的速度从点A出发，沿向点C移动，同时动点Q以的速度从点C出发．沿向点B移动，设P、Q两点移动后，的面积为． (1)当运动时间为多少秒时，与相似； (2)在P、Q两点移动的过程中，的面积能否等于？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)或秒 (2)解：的面积能等于． 根据题意得：， ∴， 如图，过点P作于点H，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∵的面积等于， ∴， 解得：， 即此时t的值为2或3． 【分析】（1）根据勾股定理可得的长，从而得到，然后分两种情况：当时，当时，结合相似三角形的性质，即可求解； （2）过点P作于点H，则，根据，可得，再根据的面积等于，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：在矩形中，， ∵，， ∴， 根据题意得：， ∴， 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：； 综上所述，当运动时间为或秒时，与相似； （2）略 变式2．（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，在中，，，．点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动，在上以每秒4个单位长度的速度运动，点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，P、Q两点同时出发，当一点到达端点时另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)线段的长 ．（用含t的代数式表示） (2)当与的一边平行时，求t的值． 【答案】(1)当时，；当时， (2)或 【分析】（1）分和两种情况进行讨论求解即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵，点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动， ∴点P到达点B的时间为（秒）， ∵，，， ∴， ∵点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动， ∴点Q到达点C的时间为（秒）， ∵在上以每秒4个单位长度的速度运动，， ∴点P到达点A的时间为（秒）， ∴当时，， 故； 当时，； （2）解：由题意，， ∴， 如图所示，当时，即点P在上运动时，当时， ∴ ∴ ∴ ∴； 如图所示，当时，即点P在上运动时，当时， ∴ ∴ ∴ ∴； 综上所述，当与的一边平行时，或． 变式3．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，，，动点P，Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直运动到点A为止（点P到达点C后，点Q继续运动）． (1)请直接用含t的代数式表示的长和的长； (2)当t等于何值时，与相似？ 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据路程=速度时间列式即可； （2）分两种情况：当时，当时，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：当时，①若，则有， ， 又， 解得； ②由，若，则有， ， 解得（不合题意，舍去）； 当时，点与点重合，如图， ，只有当时，才有， ， 解得， 综上所述，或． 考点二 相似三角形的判定与性质综合问题 【知识点解析】 核心逻辑 相似三角形的问题严格遵循「先判定，后性质」的逻辑：先用判定定理证明两个三角形相似，再利用相似的性质求解边长、角度、周长、面积等几何量，是相似三角形的主流考法。 判定与性质的对应梳理 类型 内容 作用 判定定理 AA（两角对应相等） SAS（两边成比例且夹角相等） SSS（三边对应成比例） 证明两个三角形相似 核心性质 对应角相等 所有对应线段（边、高、中线、角平分线）的比 = 相似比 周长比 = 相似比 面积比 = 相似比的平方 求角度、边长、周长、面积，证明比例式 四大经典综合题型 1. 证明相似 + 求线段长 · 考法：先选择合适的判定定理证明相似，再利用「对应边成比例」求未知边长。 · 技巧：乘积式化比例式，如证，先转化为，再寻找对应的相似三角形。 2. 比例/乘积式证明 · 考法：证明线段的比例等式或乘积等式。 · 方法：三点定形法——观察比例式中的线段，定位其所属的两个三角形，证明三角形相似；若找不到直接相似，通过中间比过渡。 3. 周长与面积综合 · 考法：已知相似比求周长/面积比，或已知周长/面积比反推相似比、边长。 · 易错提醒：只有面积比是相似比的平方；边长比、周长比、对应高/中线/角平分线的比都等于相似比。 4. 跨模块综合 · 考法：与平行四边形、圆、勾股定理、动点等结合。 · 思路：从复杂图形中剥离出相似的基本模型，用判定定理证明，再用性质求解。 解题思路 1. 定三角形：从图形中找出目标三角形，标注已知的边、角条件； 1. 选判定：根据已知条件选择合适的判定定理，证明三角形相似； 1. 用性质：根据所求问题，选择对应性质，列比例式或等式； 1. 算结果：代入已知量求解，验证几何合理性。 【例题分析】 例1．（26-27九年级上·湖南常德·阶段检测）已知：中，，F、G为边上的点，且． (1)求证：； (2)，，，求的长． 【答案】(1)证明：在中，， ， ， ， ， ， ； (2)的长是 【分析】（1）利用垂直的定义得出，由同角的余角相等得出，即可证明； （2）设，由含30度直角三角形的性质以及勾股定理分别得出，，由相似三角形的性质得出，然后代入即可求出x的值． 【详解】（1）解：略； （2）设， ， ， ， ， ，即， 解得，即， ， ， ， ，即， 解得， 的长是． 例2．（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在中，，D，E分别为，边上的点，连接，，，过点A作交于点F． (1)求证：； (2)若D是的中点，，，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ∴． ， ， ∵． ， ． (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，因此，根据同角的余角相等得到，根据相似三角形的判定定理即可证明； （2）由得到，因此，即可求得．根据勾股定理求出，根据得到，即可求得，再根据直角三角形斜边上中线的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：是的中点， ∴ ∵， ∴， ∴，即， ∴． ∵在中，，， ∴． ， ，即， ． 是斜边的中点， ． 例3．（26-27九年级上·湖南株洲·阶段检测）如图，在中，分别为边上的点，连结，过点A作交于点F． (1)求证：； (2)若D是的中点，，求的长． 【答案】(1)证明：， ，即， ． ， ， ， ； (2) 【分析】（1）利用同角的余角相等求得，即可证明； （2）利用勾股定理求得．再根据相似三角形的性质列式计算求得，再利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略． （2）解：∵， ∴ ∴， 是的中点， ∴， ． 在中，由勾股定理，得． ， ，即， ． 是斜边的中点， ． 【变式训练】 变式1．（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在中，点D是上一点，且， (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）可证明，结合，即可证明； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴， ∵， ∴． 变式2．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，在平行四边形中，为边上的点（不与点，重合），连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，且的面积为1，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ，， ， ∴． (2) 【分析】（1）利用平行四边形的性质得，得．由，得，从而可得结论； （2）利用平行四边形的性质证明，利用相似三角形的性质可得，由 ， ，得 ， ，由的面积为1，得，即得． 【详解】（1） 略． （2）解： ∵平行四边形中，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为1， ∴， ∴． 变式3．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图1，中，，平分，延长至，使，连接． (1)①求证：． ②试探究与的关系，并说明理由． (2)如图2，过作于，，求的值． 【答案】(1)①证明：∵，平分， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； ②．理由如下： ， ， ， 又∵， ， ， 又∵， 为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ； (2) 【分析】（1）①由平分，得，结合题设，可得一组等角；再加上对顶角，满足两角分别相等，即可证；②由①的相似得比例式，变形为，结合证，得，故为等腰直角三角形，进而即可求解； （2）根据角平分线性质，与的面积比等于；又两三角形同高，面积比等于底，故．由、得，推出，则可得到． 【详解】（1）解：①略； ②略； （2）解：，平分， ∴点到和的距离相等， 的面积的面积， 又的面积的面积， ， ， 由（1）得，即， 又， ， ， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $动点问题中的相似三角形问题、相似三角形的判定与性质综合问题讲义 动点问题中的相似三角形问题、相似三角形的判定与性质综合问题讲义 考点目录 动点问题中的相似三角形问题 相似三角形的判定与性质综合问题 考点一 动点问题中的相似三角形问题 【知识点解析】 核心本质 动点沿三角形的边运动时，边长随时间动态变化，但角的大小、边的平行/垂直关系往往保持恒定，因此相似关系是动点问题中最常见的几何关系。核心思路是以静制动：用时间变量表示所有动边长，利用相似的比例关系列方程求解。 三大经典题型模型 1. 单动点+公共角模型（基础型） · 场景：三角形一条边上有一个动点，过动点作边的平行线、垂线，或连接定点，形成与原三角形有公共角的小三角形。 · 判定依据：公共角 + 一组对应角相等（平行线的同位角/内错角、直角相等），用AA判定相似。 2. 双动点+两边夹角模型 · 场景：两个动点分别在两条边上以不同速度运动，边长随时间变化，两个三角形共享一个公共角。 · 判定依据：公共角相等，验证夹公共角的两组对应边成比例，用SAS判定相似。 · 关键操作：用表示出公共角的两条邻边长度，验证两组边的比值是否相等。 3. 对应关系不确定的分类讨论（难点高频） · 场景：两个三角形有一组公共角，但对应顶点不明确，存在两种不同的相似匹配方式。 · 典型形式：公共角为，与相似，存在两种对应： ① （对应，对应）； ② （对应，对应）。 两种情况的比例式完全不同，必须分类讨论。 标准解题步骤 1. 设参表边：设动点运动时间为，根据速度、边长，用表示出所有相关线段的长度； 1. 找等角定可能：找出公共角、直角等天然相等的角，分析所有可能的相似对应关系； 1. 分类列比例：对每种对应关系，根据相似性质列出对应边成比例的方程； 1. 求解验范围：解方程得到值，检验是否在动点的运动范围内，舍去超出范围的解。 【例题分析】 例1．（26-27九年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，点，，连接，动点M、N分别同时从点A、O出发，以1单位长度/秒和2单位长度/秒的速度向终点O、B移动，当其中一点到达终点时停止运动，设运动时间为t秒． (1)当四边形的面积恰好为76时，求此时t的值； (2)试求t为何值时，与相似？ 例2．（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，已知中，，，．如果点P由A出发沿方向向点C匀速运动，同时点Q由B出发沿方向向点A匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：）．解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似？ (2)的面积记为S，请用含有t的代数式表示出S． (3)是否存在某时刻t，使得平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 例3．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，，，，．点P从点C出发，以的速度沿向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止． (1)求经过几秒，的面积等于面积的？ (2)求经过几秒，与相似？ 【变式训练】 变式1．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形中，，，动点P以的速度从点A出发，沿向点C移动，同时动点Q以的速度从点C出发．沿向点B移动，设P、Q两点移动后，的面积为． (1)当运动时间为多少秒时，与相似； (2)在P、Q两点移动的过程中，的面积能否等于？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 变式2．（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，在中，，，．点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动，在上以每秒4个单位长度的速度运动，点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，P、Q两点同时出发，当一点到达端点时另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)线段的长 ．（用含t的代数式表示） (2)当与的一边平行时，求t的值． 变式3．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，，，动点P，Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直运动到点A为止（点P到达点C后，点Q继续运动）． (1)请直接用含t的代数式表示的长和的长； (2)当t等于何值时，与相似？ 考点二 相似三角形的判定与性质综合问题 【知识点解析】 核心逻辑 相似三角形的问题严格遵循「先判定，后性质」的逻辑：先用判定定理证明两个三角形相似，再利用相似的性质求解边长、角度、周长、面积等几何量，是相似三角形的主流考法。 判定与性质的对应梳理 类型 内容 作用 判定定理 AA（两角对应相等） SAS（两边成比例且夹角相等） SSS（三边对应成比例） 证明两个三角形相似 核心性质 对应角相等 所有对应线段（边、高、中线、角平分线）的比 = 相似比 周长比 = 相似比 面积比 = 相似比的平方 求角度、边长、周长、面积，证明比例式 四大经典综合题型 1. 证明相似 + 求线段长 · 考法：先选择合适的判定定理证明相似，再利用「对应边成比例」求未知边长。 · 技巧：乘积式化比例式，如证，先转化为，再寻找对应的相似三角形。 2. 比例/乘积式证明 · 考法：证明线段的比例等式或乘积等式。 · 方法：三点定形法——观察比例式中的线段，定位其所属的两个三角形，证明三角形相似；若找不到直接相似，通过中间比过渡。 3. 周长与面积综合 · 考法：已知相似比求周长/面积比，或已知周长/面积比反推相似比、边长。 · 易错提醒：只有面积比是相似比的平方；边长比、周长比、对应高/中线/角平分线的比都等于相似比。 4. 跨模块综合 · 考法：与平行四边形、圆、勾股定理、动点等结合。 · 思路：从复杂图形中剥离出相似的基本模型，用判定定理证明，再用性质求解。 解题思路 1. 定三角形：从图形中找出目标三角形，标注已知的边、角条件； 1. 选判定：根据已知条件选择合适的判定定理，证明三角形相似； 1. 用性质：根据所求问题，选择对应性质，列比例式或等式； 1. 算结果：代入已知量求解，验证几何合理性。 【例题分析】 例1．（26-27九年级上·湖南常德·阶段检测）已知：中，，F、G为边上的点，且． (1)求证：； (2)，，，求的长． 例2．（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在中，，D，E分别为，边上的点，连接，，，过点A作交于点F． (1)求证：； (2)若D是的中点，，，求的长． 例3．（26-27九年级上·湖南株洲·阶段检测）如图，在中，分别为边上的点，连结，过点A作交于点F． (1)求证：； (2)若D是的中点，，求的长． 【变式训练】 变式1．（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在中，点D是上一点，且， (1)求证：； (2)若，求的长． 变式2．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，在平行四边形中，为边上的点（不与点，重合），连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，且的面积为1，求四边形的面积． 变式3．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图1，中，，平分，延长至，使，连接． (1)①求证：． ②试探究与的关系，并说明理由． (2)如图2，过作于，，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $