湖北襄阳市致远中学2026-2027学年高二上学期数学周考（2）

襄阳市致远中学高二上学期数学周考卷（2） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 2.某次抽奖活动中，每次中奖的概率均为，则抽奖两次有且仅有次中奖的概率为(    ) A. B. C. D. 3.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，得到的点数分别为，则这个点数的中位数为的概率为(    ) A. B. C. D. 4.以下说法中，不正确的个数为(    ) “”是“，共线”的充要条件若，则存在唯一的实数，使得若，，则若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 A. B. C. D. 5.将一颗质地均匀的正方体骰子六个面的点数分别为，，，，，，先后抛掷两次，将得到的点数分别记为，若向量，，则与的夹角为钝角的概率是(    ) A. B. C. D. 6.在四棱锥中，底面是平行四边形，是棱的中点，，，，，，四点共面，则(    ) A. B. C. D. 7.如图，把边长为的正方形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，则折纸后(    ) A. B. C. D. 8.在棱长为的正方体中，若点是棱上一点含顶点，则满足的点的个数为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.某学校为调查学生迷恋电子游戏情况，设计如下调查方案，每个被调查者先投掷一枚骰子，若出现向上的点数为的倍数，则如实回答问题“投掷点数是不是奇数？”，反之，如实回答问题“你是不是迷恋电子游戏？”已知被调查的名学生中，共有人回答“是”，则下列结论正确的是(    ) A. 这名学生中，约有人回答问题“投掷点数是不是奇数？” B. 这名学生中，必有人迷恋电子游戏 C. 该校约有的学生迷恋电子游戏 D. 该校约有的学生迷恋电子游戏 10.假设，，，则    ． A. 与互为对立 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，相互独立，则 11.如图，已知在长方体中，，，，点为上的一个动点，平面与棱交于点，则下列说法正确的是(    ) A. 四棱锥的体积为 B. 存在唯一的点，使截面四边形的周长取得最小值 C. 在直线上存在点，使得 D. 存在唯一的点，使得平面，且 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若 是空间的一个基底，则对任意一个空间向量 ，存在唯一的有序实数组 ，使得 ，我们把有序实数组 叫作基底 下向量 的斜坐标设向量 在基底 下的斜坐标为 ，则向量 在基底 下的斜坐标为          ． 13.已知空间向量，，，若，，共面，则的最小值为          ． 14.设函数，若是从，，，四个数中任取一个，是从，，，，，六个数中任取一个，则恒成立的概率为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点． 以、、为一组基底表示向量； 若，，，求． 16.本小题分 如图，在直三棱柱中，，，点、分别为棱、的中点． 求直线与直线的夹角的余弦值； 求点到平面的距离 17.本小题分 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．“星队”在两轮活动中猜对所有成语的概率为． 求的值； 求“星队”在两轮活动中，猜对个成语的概率； 若某人在两轮活动中至少猜对个成语，则该人可获得“优秀队员”称号，求“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率． 18.本小题分 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． 求证：平面； 求与平面所成角的大小； 在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 19.本小题分 已知，两个盒子里分别有，个小球，另有足够多的小球备用重复进行次如下操作：每次从，中随机选取一个盒子，向里面放入个球或放入个球，从剩下的另一个盒子里取出个球或取出个球每一次操作中某个盒子里“放入个球”“放入个球”及“取出个球”“取出个球”均是等可能的，这次操作结果均相互独立． 若，，求第一次操作后，盒子里球的个数多于盒子里球的个数的概率 求完成一次操作后，，两个盒子里球的个数之和减少的概率 求重复进行次操作后，，两个盒子里球的个数之和为的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄阳市致远中学高二上学期数学周考卷（2） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查空间向量共面定理，是基础题． 根据空间向量共面定理可得，解出即可． 【解答】 解：由题可得． 又动点在所在平面内运动， 所以，解得． 故选B． 2.某次抽奖活动中，每次中奖的概率均为，则抽奖两次有且仅有次中奖的概率为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查相互独立事件同时发生的概率，属于基础题型，“抽奖两次有且仅有次中奖”， 包括“第一次中奖第二次没中奖”和第一次没中奖第二次中奖”两种情况，即可求解； 【解答】 解：由题意，设“抽奖两次有且仅有次中奖”为事件， 设“第一次中奖第二次没中奖”为事件，则， 设“第一次没中奖第二次中奖”为事件，则， 则 故选C 3.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，得到的点数分别为，则这个点数的中位数为的概率为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由题意，这个点数的中位数为，只有三种情况： 将抛掷次，得到的点数从小到大分别为  ， 此时中位数为  ； 抛掷次，得到的点数从小到大分别为  ， 此时中位数为  ； 抛掷次，得到的点数从小到大分别为  ， 此时中位数为  或  ； 综上，的点数只能为，或者，故概率为  ， 故选：． 4.以下说法中，不正确的个数为(    ) “”是“，共线”的充要条件若，则存在唯一的实数，使得若，，则若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查空间向量的共线、垂直及数量积运算，以及空间向量的基本定理，属中档题． 中为充分不必要条件中需要显然不成立中，，不共面，则，，也不共面，故正确中 【解答】 解：由， 可得， 故， 故，，故与反向共线，故充分性成立， 而，同向共线时，故必要性不成立， 故“”是“，共线”的充分不必要条件，故不正确 ，时，不存在实数，使得，故不正确； 若，则或或与垂直， 又，故显然不一定有，故不正确 设，，共面， 则存在不全为的实数、、使得， 即， 又，，不共面， 则，即， 这与、、不全为矛盾， 故，，不共面， 则可以构成空间的一个基底，故正确 ，，， ，不一定为， 故不一定成立，故不正确． 故不正确的有，共个， 故选C． 5.将一颗质地均匀的正方体骰子六个面的点数分别为，，，，，，先后抛掷两次，将得到的点数分别记为，若向量，，则与的夹角为钝角的概率是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由可得，，所以． 因为为钝角，所以，且，不共线， 所以， 即，且， 当时，有且，所以可取，，，，， 当时，有且，可取，，，，， 当时，有且，可取，，， 当时，有且，可取， 当或时，，此时无解， 综上所述，满足条件的，有种可能， 又先后抛掷两次，得到的样本点共种， 所以为钝角的概率． 故选：． 6.在四棱锥中，底面是平行四边形，是棱的中点，，，，，，四点共面，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查共面向量定理和空间向量的线性运算，空间向量的加减运算及数乘运算，属于较难题． 利用空间向量运算，用，，一组向量，表示出，，，再利用共线与共面向量定理求解即可． 【解答】 解：因为底面是平行四边形，是中点， 所以， 又而， 则， 因为， 所以，且， ，， 所以 ， 因为， 则，， ，， 所以 ， 因为，，，四点共面， 对于空间向量，，，存在实数，使得， 所以 ， 所以 可得，即， ，得， 即，解得， 故，解得． 故选：． 7.如图，把边长为的正方形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，则折纸后(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：取的中点，连接，， 因为均为等腰直角三角形，所以， 由二面角是直二面角，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以 如图，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方形的边长为， 则，，，， 所以，， 所以， ． 故选C． 8.在棱长为的正方体中，若点是棱上一点含顶点，则满足的点的个数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查空间向量运算的坐标表示，棱柱的结构特征，属于中档题． 建立空间直角坐标系，则点，，考虑在棱上，设点的坐标为，则由题意可得，，计算，即可得出结论． 【解答】 解：如图所示：以点为原点，以、、所在的直线分别为、、轴， 建立空间直角坐标系． 则点，，，， ， 点在某条棱上，其坐标可以表示为， ，， 根据题意，， 所以有， 化简得， 此方程表示以为球心、半径为的球面， 注意到各棱中点到球心距离为均为， 正方体共有条棱，每条棱的中点均满足方程， 例如，当在： 棱：，代入方程得 ，满足条件； 棱：，代入方程得 ，满足条件； 棱：，代入方程得 ，满足条件； 棱：，代入方程得 ，满足条件． 满足的点的个数为 故选：． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.某学校为调查学生迷恋电子游戏情况，设计如下调查方案，每个被调查者先投掷一枚骰子，若出现向上的点数为的倍数，则如实回答问题“投掷点数是不是奇数？”，反之，如实回答问题“你是不是迷恋电子游戏？”已知被调查的名学生中，共有人回答“是”，则下列结论正确的是(    ) A. 这名学生中，约有人回答问题“投掷点数是不是奇数？” B. 这名学生中，必有人迷恋电子游戏 C. 该校约有的学生迷恋电子游戏 D. 该校约有的学生迷恋电子游戏 【答案】AC  【解析】解：由题意可知掷出点数为的倍数的情况为，， 故掷出点数为的倍数的概率为， 故理论上回答问题一的人数为人． 掷出点数为奇数的概率为，理论上回答问题一的人中有人回答“是”， 故回答问题二的学生中回答“是”的人数为人． 对于，抽样调查的这名学生中，约有人回答问题一，故A正确． 对于，抽样调查的这名学生中，约有人迷恋电子游戏，“必有”过于绝对，故B错． 对于，抽样调查的名学生中，名学生回答问题一，故有名学生回答问题二，有名学生回答“是”，故该校迷恋电子游戏的学生约为，故C正确． 对于，由可知该校迷恋电子游戏的学生约为，故D错． 故选：． 先由题意计算出回答问题一的人数人，再计算出回答问题一“是”的人数人，故可得到回答问题二“是”的人数人，最后逐一分析四个选项即可． 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础． 10.假设，，，则    ． A. 与互为对立 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，相互独立，则 【答案】BD  【解析】解：对于，若是的子事件，则有可能满足，但此时不对立，故A错误； 对于，假设，，若，则，故B正确， 对于，若，则，故C错误， 对于，若，相互独立，则，故D正确． 故选：． 11.如图，已知在长方体中，，，，点为上的一个动点，平面与棱交于点，则下列说法正确的是(    ) A. 四棱锥的体积为 B. 存在唯一的点，使截面四边形的周长取得最小值 C. 在直线上存在点，使得 D. 存在唯一的点，使得平面，且 【答案】ABC  【解析】在长方体中，，，，对于，， ，平面，平面， 故平面，所以到平面的距离等于到平面的距离， 设点到平面的距离为，过点在平面内作，如图所示， 平面，平面，则， ， 平面，且，故， 同理可得，所以，故A正确 对于，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理可得，故四边形为平行四边形，则四边形的周长为，将长方体的侧面和沿棱展开到同一平面内，如图所示， 则的最小值为展开面中的长度，此时点为与的交点，，所以四边形的周长的最小值为，故B正确 对于，，即，所以，，解得，故C正确 对于，以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设，则，，， 因为平面，则 解得，即，故D错误故选ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若 是空间的一个基底，则对任意一个空间向量 ，存在唯一的有序实数组 ，使得 ，我们把有序实数组 叫作基底 下向量 的斜坐标设向量 在基底 下的斜坐标为 ，则向量 在基底 下的斜坐标为 【答案】  【解析】略 13.已知空间向量，，，若，，共面，则的最小值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间向量共面定理，二次函数的最值，属于中档题． 根据空间向量共面定理建立等式，得到关于  的式子，将  代入  中，利用二次函数图象性质即可求得最值． 【解答】 解：因为  共面， 所以  ，， 即  ， 即  ，解得  ， 所以  ，  ， 因为  ，所以的最小值为  ． 故答案为：． 14.设函数，若是从，，，四个数中任取一个，是从，，，，，六个数中任取一个，则恒成立的概率为          ． 【答案】  【解析】【分析】 此题考古典概型的应用，属于拔高题． 先把的解析式变形，用分离常数法，然后用均值不等式求出最小值，试验发生包含的所有事件是个，满足条件的事件是个，列举出结果． 【解答】 解：因为，，则 ，当且仅当时等号成立， 故，于是恒成立转化为恒成立． 因为是从，，，四个数中任取一个，是从，，，，，六个数中任取一个， 则构成的所有基本事件总数有个， 注意到：，，，， 设事件“恒成立”， 则事件包含事件：，，，，，，，，，，，，，，共个， 因此恒成立的概率为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点． 以、、为一组基底表示向量； 若，，，求． 【答案】解：为线段的中点，， ，， ； ．  【解析】直接利用向量的数乘运算及加减运算求解； 由向量的单项式乘多项式及向量的数量积运算求解． 本题考查空间向量的数量积运算，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是基础题． 16.本小题分 如图，在直三棱柱中，，，点、分别为棱、的中点． 求直线与直线的夹角的余弦值； 求点到平面的距离 【答案】解：以为原点建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设直线与直线的夹角为， 则， 故直线与直线的夹角的余弦值为． 由知， 所以，， 设平面的法向量为， 则， 令，得到，则， 所以点到平面的距离为．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 ． 17.本小题分 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．“星队”在两轮活动中猜对所有成语的概率为． 求的值； 求“星队”在两轮活动中，猜对个成语的概率； 若某人在两轮活动中至少猜对个成语，则该人可获得“优秀队员”称号，求“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率． 【答案】解：设，，分别表示甲两轮猜对个，个，个成语的事件，，，分别表示乙两轮猜对个，个，个成语的事件根据独立性假定， 得，， ，， 设“星队在两轮活动中猜对了所有成语”，得 由知，设“两轮活动星队猜对个成语”，则，且与互斥，与，与分别相互独立， 所以， 所以两轮活动星队猜对个成语的概率为 “星队的甲、乙两人中恰有一人获得此称号” ， 所以“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率  【解析】本题考查概率的求法，相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式，属于基础题 设星队在两轮活动中猜对了所有成语”，有题意，由此能求出的值 由，且与互斥，与，与分别相互独立，，由此能求出“星队”在两轮活动中猜对个成语的概率． “星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号”即为甲获得乙不获得，或者甲不获得乙获得，计算概率即可． 18.本小题分 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． 求证：平面； 求与平面所成角的大小； 在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】解：证明： 因为在中，，，且， 所以，， 则折叠后，， 又平面， 所以平面，平面， 所以， 又已知，且都在面内， 所以平面； 由知，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系 ， 因为，故， 由几何关系可知， ，，， 故，，， ，，， ，， ， 设平面的法向量为， 则，即 不妨令，则，， 故平面的一个法向量为， 设与平面所成角的大小为， 则有 ， 所以， 即与平面所成角的大小为； 假设在线段上存在点， 使平面与平面成角余弦值为， 在空间直角坐标系中， ，，， 设，则，， 设平面的法向量为， 则有，即 不妨令，则，， 故平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则有，即 不妨令，则，， 所以平面的一个法向量为 ， 若平面与平面成角余弦值为， 则满足 ， 化简得， 解得或， 即或， 故在线段上存在这样的点， 使平面与平面成角余弦值为， 此时的长度为或．   【解析】本题考查平面与平面所成角的向量求法，直线与平面所成角的向量求法，线面垂直的判定，棱锥的结构特征，属于较难题． 应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系； 以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系用向量法求与平面所成角的大小； 假设存在点，使平面与平面成角余弦值为，设，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得． 19.本小题分 已知，两个盒子里分别有，个小球，另有足够多的小球备用重复进行次如下操作：每次从，中随机选取一个盒子，向里面放入个球或放入个球，从剩下的另一个盒子里取出个球或取出个球每一次操作中某个盒子里“放入个球”“放入个球”及“取出个球”“取出个球”均是等可能的，这次操作结果均相互独立． 若，，求第一次操作后，盒子里球的个数多于盒子里球的个数的概率 求完成一次操作后，，两个盒子里球的个数之和减少的概率 求重复进行次操作后，，两个盒子里球的个数之和为的概率． 【答案】解：设第次操作后，两个盒子里球的个数分别为，， 列举所有种可能的情形： ，，，，， ，，， 满足的有种情形，所以； 设，，在第次操作结果有种等可能的情形， 当，，或，，或，，或，时，， 当，或，时， ， 当，或，时， ， 仅有中所述种情形是减少的，故一次操作后，两个盒子里球的个数之和减少的概率为； 由的讨论知，每一次操作，，两个盒子里球的个数之和有种可能的变化：增加个、不变、减少个，要满足本次操作后，，两个盒子里球的个数之和为，即比初始值增加个，则只可能是每一次操作均增加个小球， 由知，每次操作小球增加个的概率为， 由于每一次操作结果均独立， 次操作均增加个的概率为个相乘，即为， 故A，两个盒子里球的个数之和为的概率为．  【解析】本题考查相互独立事件同时发生的概率，古典概型的计算与应用，属于难题． 设第次操作后，两个盒子里球的个数分别为，列举所有种可能的情形求解； 设，，在第次操作结果有种等可能的情形分三种，根据古典概型即可求解； 由的讨论知，每一次操作，，两个盒子里球的个数之和有种可能的变化，要满足本次操作后，，两个盒子里球的个数之和为，只可能是每一次操作均增加个小球，结合相互独立事件求解． 学科网（北京）股份有限公司 $