湖北襄阳市致远中学2026-2027学年高二上学期数学周考(1)

襄阳市致远中学高二上学期数学周考(1) 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.已知空间中三点，，，则点到直线的距离为(    ) A. B. C. D. 2.如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，用向量，，表示，则(    ) A. B. C. D. 3.已知，，则函数在区间上为增函数的概率是(    ) A. B. C. D. 4.已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为(    ) A. B. C. D. 5.如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 6.如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱若二面角的平面角为，且，，，则的长度为    ． A. B. C. D. 7.有个相同的球，分别标有数字，，，，，，从中有放回地随机取两次，每次取个球甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则(    ) A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 8.如图，在棱长为的正方体中，，分别是线段，上的点，是直线上的点，满足平面，，且、不是正方体的顶点，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.一个袋子中有标号分别为，，，的四个球，除了标号外没有其它差异，现采用不放回方式从中任意摸球两次，设事件“第一次摸出球的标号小于”，事件“第二次摸出球的标号小于”，则下列选项正确的为(    ) A. B. C. D. 10.已知空间向量，，则下列说法正确的是(    ) A. 向量与，均垂直 B. 向量与，共面 C. 若与分别是异面直线与的方向向量，则与所成的角的余弦值为 D. 向量在向量上的投影向量为 11.已知事件，，且，，则下列结论正确的是(    ) A. 如果，那么， B. 如果与互斥，那么， C. 如果与相互独立，那么， D. 如果与相互独立，那么， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.如图所示，已知正四面体的棱长为．记，，若，，则          ． 13.如图，在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，，则          ． 14.点是棱长为的正四面体表面上的动点，是该四面体内切球的一条直径，则的最大值是          ． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知空间三点，， 求向量与的夹角 若，，求与的夹角为锐角时，实数的取值范围． 16.本小题分 某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达、延迟分钟内送达、延迟至分钟送达、其他延迟情况，分别评定为，，，四个等级，各等级依次奖励元、奖励元、罚款元、罚款元假定评定为等级，，的概率分别是，，． 若某外卖员接了一个订单，求其延迟送达且被罚款的概率 若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为元的概率． 17.本小题分 如图所示，直三棱柱中，，，，，分别是，的中点． 求的长； 求证：平面． 18.本小题分 如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是的中点． 求证：平面 若平面平面，求点到平面的距离． 19.本小题分 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试．一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序偏离程度的高低对其酒味鉴别能力进行评价．现设，分别以，，表示第一次排序时被排为，，的三种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述．若两轮测试都有，则该品酒师被授予“特级品酒师”称号；若两轮测试都有，且至少有一轮测试出现，则该品酒师被授予“一级品酒师”称号． 用下列表格形式写出第二次排序时所有可能的，，排序结果，并求出相应的值； ，， ，， 甲参加了两轮测试，两轮测试结果相互独立，记事件“甲被授予一级品酒师称号”，求； 甲连续两年都参加了两轮测试，两年测试结果相互独立，记事件“在这两年中甲至少有一次被授予特级品酒师称号”，求 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄阳市致远中学高二上学期数学周考(1) 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.已知空间中三点，，，则点到直线的距离为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了空间向量法求点、线距离，属基础题． 根据空间向量的点线距离公式求解即可． 【解答】 解：依题意得，， 则点到直线的距离为 ． 故选A． 2.如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，用向量，，表示，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了空间向量的线性运算，属于基础题． 利用空间向量的线性运算，计算得结论． 【解答】 解：因为点在线段上，， 所以，即，因此． 因为点在线段上，且，所以． 又因为是四面体的棱的中点，所以， 因此， 所以． 故选A． 3.已知，，则函数在区间上为增函数的概率是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查古典概型的计算与应用，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用，属于中档题． 先求出样本空间样本点个数，再求出函数在区间上为增函数满足条件的样本点个数，由此能求出函数在区间上为增函数的概率． 【解答】 解：，， 样本空间样本点个数， 函数在区间上为增函数，由条件可知， 当时，，符合条件的只有：，即，； 当时，需要满足，符合条件的有：，，，，共种． 函数在区间上为增函数的概率是． 故选A． 4.已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查空间向量投影向量的概念及求法，属基础题． 直接根据投影向量的概念求解． 【解答】 解： ，与夹角的余弦值为，  在 上的投影向量为． 故选D． 5.如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查异面直线所成角的余弦值等基础知识，是基础题． 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值． 【解答】 解：在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，为的中点， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图， 不妨设，且底面为正方形， 则，，，，， ，， 则异面直线与所成角的余弦值为： ． 故选：． 6.如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱若二面角的平面角为，且，，，则的长度为    ． A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由条件知，，， 又二面角的平面角为，则， 所以 ，所以． 故选： 7.有个相同的球，分别标有数字，，，，，，从中有放回地随机取两次，每次取个球甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则(    ) A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查相互独立事件的判断，属于基础题． 分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件的定义判断即可． 【解答】 解：由题意可知，两点数和为的所有可能为：，，，，， 两点数和为的所有可能为，，，，，， 甲，乙，丙，丁， ：甲丙甲丙， ：甲丁甲丁， ：乙丙乙丙， ：丙丁丙丁， 故选：． 8.如图，在棱长为的正方体中，，分别是线段，上的点，是直线上的点，满足平面，，且、不是正方体的顶点，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查运用空间向量求线段长，考查空间向量在线面平行、线线垂直中的运用，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出的最小值． 【解答】 解：如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设，，，， 则，，， ，连结， 正方体中，四边形是正方形，平面，又平面，，， 又，、平面，平面， 平面，， 又，，， ，， 设，，则， ，， ，， ，， ， 当时，的最小值是． 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.一个袋子中有标号分别为，，，的四个球，除了标号外没有其它差异，现采用不放回方式从中任意摸球两次，设事件“第一次摸出球的标号小于”，事件“第二次摸出球的标号小于”，则下列选项正确的为(    ) A. B. C. D. 【答案】BC  【解析】【分析】 本题主要考查了古典概型的概率公式，属于中档题． 根据各个选项，用列举法和利用古典概型的概率公式求解． 【解答】 解：一个袋子中有标号分别为，，，的个球，采用不放回方式从中任意摸球两次， 则共有种， 事件“第一次摸出球的标号小于”，则共有种， 事件“第二次摸出球的标号小于”，则有，，，，，，共种， 所以，，故A错误，D错误， 事件“第一次摸出球的标号小于或第二次摸出球的标号小于”，则有，，，，，，，，，，共种， 事件“第一次摸出球的标号小于且第二次摸出球的标号小于”，则有，，共种， 所以，，故B正确，C正确． 故选：． 10.已知空间向量，，则下列说法正确的是(    ) A. 向量与，均垂直 B. 向量与，共面 C. 若与分别是异面直线与的方向向量，则与所成的角的余弦值为 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】BC  【解析】略 11.已知事件，，且，，则下列结论正确的是(    ) A. 如果，那么， B. 如果与互斥，那么， C. 如果与相互独立，那么， D. 如果与相互独立，那么， 【答案】BD  【解析】【分析】 本题考查互斥事件、对立事件、相互独立事件的概念，属于中档题． 根据互斥事件的概率计算公式以及相互独立事件的概念，结合概率的基本性质，即可逐项判断出结果． 【解答】 解：因为，． 选项A：如果，那么，，故A错误； 选项B：如果与互斥，说明事件与不可能同时发生，那么，，故B正确； 选项C：如果与相互独立，说明事件的发生与否与事件的发生与否互不影响，那么， ，故C错误； 选项D：如果与相互独立，说明事件的发生与否与事件的发生与否互不影响， 那么，，故D正确． 故选BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.如图所示，已知正四面体的棱长为．记，，若，，则          ． 【答案】  【解析】略 13.如图，在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，，则          ． 【答案】  【解析】因为，，所以，，所以， 又，所以，所以， 因为，，，四点共面，所以，解得． 14.点是棱长为的正四面体表面上的动点，是该四面体内切球的一条直径，则的最大值是          ． 【答案】  【解析】 解：如图所示，正四面体的棱长为， 设其内切球的球心为点，连接并延长交底面于点， 则为正三角形的中心，且平面， 连接并延长交于点，则为的中点，且， ，， 平面，平面， ，， ，正四面体的体积， 设球的半径为， 则， ，， ，， ， 当最大，即点位于正四面体的顶点时，则取最大值， 此时，． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知空间三点，， 求向量与的夹角 若，，求与的夹角为锐角时，实数的取值范围． 【答案】解：由已知得，， 则，， 因为，， 所以向量与的夹角为． ，， 因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线． 由，可得， 解得 当与共线时，存在实数，使得． 即解得， 因为与不共线，所以， 由得   【解析】略 16.本小题分 某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达、延迟分钟内送达、延迟至分钟送达、其他延迟情况，分别评定为，，，四个等级，各等级依次奖励元、奖励元、罚款元、罚款元假定评定为等级，，的概率分别是，，． 若某外卖员接了一个订单，求其延迟送达且被罚款的概率 若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为元的概率． 【答案】解：设事件，，，分别表示“被评为等级，，，”， 由题意，事件，，，两两互斥， 所以， 又“延迟送达且被罚款”， 所以． 因此“延迟送达且被罚款”的概率为； 设事件，，，表示“第单被评为等级，，，”，，， 则“两单共获得的奖励为元”即事件，且事件，，互斥， 又， 又， 所以 ．  【解析】． 17.本小题分 如图所示，直三棱柱中，，，，，分别是，的中点． 求的长； 求证：平面． 【答案】因为平面，， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，． 依题意得，，， ，，， 所以，， 则，， 即，， 又因为，，平面， 所以平面．   【解析】略 18.本小题分 如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是的中点． 求证：平面 若平面平面，求点到平面的距离． 【答案】解：证明：在四棱锥中，连接交于点， 则为的中点，连接． 为的中点， ， 又平面，平面， 平面． 方法一：四边形是菱形，且， 为正三角形，取的中点，连接，， 则， 平面平面，平面平面， 平面． 是正三角形，． 以为原点，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． 又，则，，，，， ，． 设平面的法向量为， 则即 令，则 又， 设点到平面的距离为， 则， 即点到平面的距离为． 方法二：四边形是菱形，且， 为正三角形，取的中点， 连接，，则， 又平面平面，平面平面， 平面． ，是正三角形，，易得， ，连接， ． 由，． 取的中点，连接． ，， ， 可得． 设点到平面的距离为，由， 得， 解得，即点到平面的距离为．  【解析】本题考查空间点面距离的求解，考查线面平行的判定，面面垂直的性质，属中档题． 证得，即可根据线面平行的判定证得结论； 方法一：证得平面，以为原点建系，利用空间向量法求点面距离； 方法二：证得平面，由，根据等体积法求线面距离． 19.本小题分 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试．一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序偏离程度的高低对其酒味鉴别能力进行评价．现设，分别以，，表示第一次排序时被排为，，的三种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述．若两轮测试都有，则该品酒师被授予“特级品酒师”称号；若两轮测试都有，且至少有一轮测试出现，则该品酒师被授予“一级品酒师”称号． 用下列表格形式写出第二次排序时所有可能的，，排序结果，并求出相应的值； ，， ，， 甲参加了两轮测试，两轮测试结果相互独立，记事件“甲被授予一级品酒师称号”，求； 甲连续两年都参加了两轮测试，两年测试结果相互独立，记事件“在这两年中甲至少有一次被授予特级品酒师称号”，求 【答案】解：第二次排序时所有可能的，，排序及相应的值列表如下： ，， ，， ，， ，， ，， ，， 令表示事件，表示事件，表示事件． 由知道，，． 甲参加第一轮测试值记为，参加第二轮测试值记为， 记事件，，，，，， 则，因为两轮测试结果相互独立， 所以， ， ， 因为，，互斥，所以． 记事件“甲在第年测试中被授予特级品酒师称号”，，， 则．因为，，相互独立， 所以．  【解析】本题重点考查概率计算，属于较难题． 根据题意利用表格可得所有可能的，，排序及相应的值 设事件，利用互斥事件概率加法公式和独立事件概率乘法公式即可求解 设事件，利用独立事件概率乘法公式和和事件的概率计算公式即可求解． 学科网（北京）股份有限公司 $