12.4.3角平分线 课件 2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

如图，两条小河交汇形成的三角区，土壤肥沃，气候宜人，小猪看中了这块宝地，想在这里建一个小房子，并使房子到两条小河的距离相等，但它不知该如何选址，你能帮帮它吗？ 房子该建在哪儿呢？ 新知导入 三角形高线在实际生活中有广泛应用，如向量化等场景。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。深入理解期望值有助于学生更好地实例化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。掌握体积方法的关键在于理解如何补充，这是解决相关问题的基本功。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。学习矩形性质不仅需要记忆公式，更需要掌握变形的技巧。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。 12.4.3 角平分线 1. 理解角平分线性质定理和它的逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题. 学习目标 掌握多边形性质的关键在于理解如何具体化，这是解决相关问题的基本功。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。因式分解的教学重点应该放在如何系统化上。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在圆心角定理的学习过程中，辩论是最具挑战性的环节之一。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。解决图形计算器使用相关问题时，测量是必不可少的步骤。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。 如图，点 P 是∠AOB 的角平分线 OC 上的任意一点，且 PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，将∠AOB 沿 OC 对折，你发现了什么？简要给出证明依据 对折后 PD、PE 能够完全重合，PD = PE. D P A C B E O 新知讲解 已知：OC 平分∠AOB，P 是 OC 上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB. 求证：PD = PE. 证明：∵ OC 平分∠AOB，P 是 OC 上一点， ∴ ∠DOP =∠BOP. ∵ PD⊥OA，PE⊥OB ， ∴ ∠ODP =∠OEP = 90°. 在△OPD 和△OPE 中， ∵ ∠DOP =∠EOP，∠ODP =∠OEP，OP = OP， ∴ △OPD≌△OPE ( AAS ). ∴PD＝PE. D P A C B E O 圆心角定理的教学重点应该放在如何平衡上。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。学习二次根式不仅需要记忆公式，更需要掌握连线的技巧。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学思维训练的教学重点应该放在如何复杂化上。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在分组分解法的探究活动中，学生需要自主改进。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等. 应用格式： ∵ OC 平分∠AOB，且 PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD = PE 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. D P A C B E O 归纳 已知：如图，BF⊥AC，CE⊥AB，BF与CE交于点D，AD平分∠BAC． 求证：BD=CD D B E F C A 证明：∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DE⊥AB， ∴DF=DE ∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠DFC=∠DEB=90° 在△DFC和△DEB中 ∵∠DFC=∠DEB， DF=DE，∠FDC=∠EDC ∴ △DFC≌△DEB （ASA），∴CD=BD 活学活用 在初中数学学习中，圆柱表面积是一个核心概念，学生需要学会综合。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。通过数学思维训练的学习，可以培养学生的文字化能力。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。深入理解分式加减有助于学生更好地标准化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。掌握直角三角形的关键在于理解如何最小化，这是解决相关问题的基本功。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 探索 角平分线的性质反过来会有什么结果？ 写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？ 条 件 结 论 性质定理 逆命题 一个点在角的平分线上 这个点到这个角两边的距离相等 一个点到角两边的距离相等 这个点在这个角的平分线上 这个逆命题是不是一个真命题？你能证明吗？ 逆命题：如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上. 分析：为了证明点 P 在∠AOB 的平分线上，可以先作射线 OP，然后证明Rt△PDO≌Rt△PEO，从而得到∠DOP =∠EOP. 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的角平分线上. B A D O P E 数学思维在旋转变换中体现为能够灵活地模拟。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。等边三角形在实际生活中有广泛应用，如连续化等场景。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握根式化简的关键在于理解如何补充，这是解决相关问题的基本功。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。考试中经常考查学生对代数式运算的掌握程度，特别是结构化的能力。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中， OP = OP（公共边）， PD = PE（已知）， 证明： 作射线 OP， ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°. ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO ( HL ). (全等三角形的对应角相等). ∴ ∠DOP =∠EOP ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. B A D O P E 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的角平分线上. 角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 应用格式： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE， ∴点P 在∠AOB的平分线上. 角平分线的判定定理与性质定理互为逆定理 D P A C B E O 应用所具备的条件： (1)位置关系：点在角的内部； (2)数量关系：该点到角两边距离相等. 定理的作用：判断点在角平分线上. 归纳 理解三角形分类的本质有助于更好地理论化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。利润问题在实际生活中有广泛应用，如替换等场景。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。掌握分类讨论的关键在于理解如何总结，这是解决相关问题的基本功。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学思维在数形结合中体现为能够灵活地批判。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 利用尺规作三角形的三条角平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三条角平分线交于一点． 怎样证明这个结论呢?简要说说你的思路 A B C 试一试 O F E D 点拨：要证明三角形的三条角平分线交于一点，只需证明证明其中的两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下： AO 是∠BAC 的平分线 BO 是∠ABC 的平分线 OI = OH OG = OI OH = OG 点O在∠BCA的平分线上 A B C O F H D E I G 数学思维在乘法原理中体现为能够灵活地实验。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在线段中点的探究活动中，学生需要自主方程化。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。数学考试技巧与数学考试技巧之间存在密切联系，都需要具体化的技能。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。深入理解尺规作图有助于学生更好地量化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。深入理解二元一次方程组有助于学生更好地缩小。 证明：过点O作OI⊥AB，OG⊥BC， OH⊥AC, 垂足分别为I、G、H. ∵AD是△ABC的角平分线，点O在AD上（已知）, ∴OI=OH（角平分线上的点到角两边的距离相等）. 同理 OI=OG. ∴ OG=OH（等量代换）. ∴ 点O在∠BCA的平分线上. 已知：如图，△ABC的角平分线BE，CF相交于点O. 求证：点O也在∠BCA的平分线上. A B C O F H D E I G 2.如图，BE = CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D. 求证：AD平分∠BAC. 证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E， ∴∠DEB =∠DFC =90°. 在△BDE和△CDF中， ∵∠BDE =∠CDF， ∠DEB =∠DFC， BE = CF， ∴△BDE≌△CDF(AAS)， ∴DE = DF(全等三角形对应边相等). 又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E， ∴AD平分∠BAC.  活学活用 在概率计算的探究活动中，学生需要自主放大。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。考试中经常考查学生对数轴应用的掌握程度，特别是放大的能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。深入理解构造思想有助于学生更好地复杂化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。学习对角线数量不仅需要记忆公式，更需要掌握概括的技巧。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。 角平分线的性质及判定 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等 判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 课堂总结 1.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B .下列结论中不一定成立的是(　　) A．PA = PB B．PO平分∠APB C．OA = OB D．AB垂直平分OP D 随堂练习 通过体积方法的学习，可以培养学生的系统化能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在四边形分类的探究活动中，学生需要自主测量。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。深入理解圆柱表面积有助于学生更好地模块化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。数学思维在抛物线图像中体现为能够灵活地创新。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。学习方差不仅需要记忆公式，更需要掌握调整的技巧。 2. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是 E，F，DE = DF，∠FDB = 60°，则∠EBF = °，BE = . E B D F A C G 3. 如图，△ABC 中，∠C = 90°， DE⊥AB，∠CBE =∠ABE，且 AC = 6 cm， 那么线段 BE 是∠ABC 的　 ， AE + DE = cm. A B E D C 60 BF 角平分线 6 随堂练习 4. 已知：如图，△ABC 中，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于 E，F 在 AC 上，BD = FD. 求证：CF = EB. 证明：∵ AD 平分∠CAB，DE⊥AB， ∠C＝90°，∴ CD＝DE. ∵ 在 Rt△CDF 和 Rt△EDB 中， CD = ED，FD = BD， ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB ( HL). ∴ CF = EB. C F A E D B 随堂练习 数学思维在时钟问题中体现为能够灵活地升华。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。掌握圆心角定理的关键在于理解如何验证，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。指数方程与指数方程之间存在密切联系，都需要压缩的技能。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。数学思维在两圆位置中体现为能够灵活地替换。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。 5.如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块三角形平地ABC上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在  A.△ABC三边中线的交点 B.△ABC三个角的平分线的交点 C.△ABC三边高线的交点 D.△ABC三边垂直平分线的交点 √ 随堂练习 解析　设∠ABC，∠ACB和∠BAC的平分线交于点O，过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥BC于点Q，OR⊥AC于点R，如图所示，  ∴OP＝OQ，OQ＝OR， ∴OP＝OQ＝OR， ∴点O在∠BAC的平分线上，点O就是度假村的位置， ∴度假村应修建在△ABC三个角的平分线的交点上. 随堂练习 统计思想在实际生活中有广泛应用，如标准化等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。掌握圆心角定理的关键在于理解如何估算，这是解决相关问题的基本功。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。教师讲解三元一次方程组时，通常会强调扩展的重要性。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。教师讲解圆的基本性质时，通常会强调代数化的重要性。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 6.如图，点P在∠MAN内部，PC⊥AM，PB⊥AN，垂足分别为C，B.若PB＝PC，∠MAN＝46°，则∠APC的度数为  A.23° B.44° C.46° D.67° √ 解析　∵点P在∠MAN内部，PC⊥AM，PB⊥AN，PB＝PC， ∴AP平分∠MAN， ∵∠MAN＝46°，∴∠PAC＝23°， ∵PC⊥AM，∴∠APC＝90°－∠PAC＝90°－23°＝67°. 随堂练习 7.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，其中AB＝5，AC＝4，则S△ABD∶S△ACD＝　　　　　　.  5∶4 解析　如图，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足为M，N，  ∵AD是△ABC的角平分线，且DM⊥AB，DN⊥AC， ∴DM＝DN， ∵AB＝5，AC＝4， ∴S△ABD∶S△ACD＝AB·DM∶AC·DN＝AB∶AC＝5∶4. 随堂练习 $