专题02 空间向量与立体几何综合大题10大题型（期中专项训练·冲刺版）高二数学上学期人教A版

专题02 空间向量与立体几何综合大题10大题型 题型1 证明垂直或平行（重点） 题型6 求点到平面的距离（重点） 题型2 求异面直线所成的角（常考点） 题型7 求直线到平面的距离、两平面间的距离（难点） 题型3 求直线与平面所成的角（重点） 题型8 存在性问题（难点） 题型4求两平面的夹角或二面角（重点） 题型9 与体积、面积综合的问题 题型5 求点到直线的距离 题型10 新定义问题（难点） 题型一 证明垂直或平行（共3小题） 1．（25-26高二上·贵州·期中）如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）设的中点为，连接，易证四边形为平行四边形，可得，进而得到平面，再根据线面平行的性质求证即可； （2）建立空间直角坐标系，结合空间向量及平面列出方程组求解即可. 【详解】（1）证明：设的中点为，连接， 因为P为的中点，Q为的中点， 所以，，， 在直三棱柱中，，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以. （2）在直三棱柱中，平面，， 故可以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 则，， 又，则， 所以， 若平面，则， 则，解得， 所以线段上存在点P，使得平面，此时. 2．（24-25高二上·福建厦门·期中）如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G分别是的中点．    (1)求证：： (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）通过建系，写出相关点和向量的坐标，利用向量垂直的坐标公式计算即得证； （2）先求出平面的法向量，由和平面即可推得平面. 【详解】（1）    如图建立空间直角坐标系， 则， 则，           由，     可得，得证. （2）设平面的法向量为，因，    则，令，可得，                因，故得，         又平面，所以，平面. 3．（25-26高三上·山东青岛·期中）如图，在三棱锥中，为在平面内的射影点，已知，，，，. (1)请以、为基底表示，并证明. (2)求证平面. 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）平面中：延长到，使；延长到，使，可得点为的重心，利用向量的运算可用、表示，利用数量积运算可证明； （2）由条件可证得平面，得；利用向量的运算求得，，进而得，利用勾股定理证得，然后利用线面垂直的判定定理证得结论． 【详解】（1）如图： 平面中：延长到，使；延长到，使. 因为，所以， 所以点为的重心. 所以 ， 所以. 又因为， 即. 因为 . 所以. （2）如图： 因为平面，平面，所以； 又，，平面，，所以平面， 又平面，所以. 又因为， 所以， 所以； 在中，，，所以. 又， 所以， 所以. 在中，，，所以. 在中，，，， 因为，所以. 又，平面，，所以平面. 题型二 求异面直线所成的角（共3小题） 4．（26-27高二上·山西太原·阶段检测）如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点G为的中点.    (1)用向量，，表示并求线段的长； (2)直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)；线段的长为； (2). 【详解】（1）由题意知 ， ， 即线段的长为. （2）因为， 所以 ， 又 . 所以， 即直线与所成角的余弦值为. 5．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，在棱上，且，是的中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：如图，以为原点，以射线、、分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，， 所以， 所以，故． (2) 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，首先求出相应点的坐标，再证明即可； （2）利用向量的夹角公式即可求得异面直线与所成角的余弦值． 【详解】（1）略. （2）因为是的中点，且，，故， 所以，所以， 因为，，且， 所以， 因此异面直线与所成角的余弦值为． 6．（24-25高二上·河北邢台·阶段检测）在三棱柱中，平面平面，，，，. (1)证明：平面； (2)若异面直线所成角的余弦值为，求BC. 【答案】(1)证明: 因为平面平面，交线为， ，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，，平面， 所以平面， 又，所以平面； (2) 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到⊥，结合得到平面，再由平行关系得到证明； （2）作出辅助线，证明出⊥平面，建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，利用异面直角夹角的余弦值列出方程，求出，得到答案. 【详解】（1）略； （2）取的中点，连接，因为，所以⊥， 因为平面平面，交线为，平面， 所以⊥平面， 取的中点，连接，则， 因为，所以⊥， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以，故， 设，则，设， 由得， 解得，故， ， 因为异面直线所成角的余弦值为， 所以， 解得，故. 题型三 求直线与平面所成的角（共3小题） 7．（26-27高二上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图，是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，且. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值 【答案】(1)证明：取的中点，连接， 因为为边长为的等边三角形，所以，且， 又因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以，且 在中，因为，且， 可得，所以，即， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. (2) 【分析】（1）取的中点，分别证得，，结合线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面. （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：平面，且， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 8．（26-27高二上·山东临沂·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，. (1)求四边形的面积； (2)求与平面所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用基底法求出长度，再通过向量数量积计算与夹角的余弦值，进而求出正弦值，代入平行四边形面积公式求解. （2）先证明平面，确定与平面所成角为，再通过向量模长公式分别计算、，代入三角函数公式求解即可. 【详解】（1）设， 因为且，， 所以，，又， ∴， ，即， 所以， 所以； （2）连接，交于点H，连接， ∵菱形，∴， 又，所以. 又，，平面，所以平面. ∴为与平面所成的角， 又， ， ∴， 又，， ∴，所以， 所以与平面所成角的余弦值为. 9．（26-27高二上·河北沧州·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，且．点为棱的中点，点在线段上，且（）. (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)连接，因为，点D为棱的中点，所以， 因为是直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为面，所以. (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求出平面，利用线面垂直的定义得到结论. （2）利用空间向量法求解，求出平面的法向量，利用向量的数量积公式求解. 【详解】（1）略 （2）在直三棱柱中，， 以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 因为是中点，所以， 因为，，所以， ，， 设平面的法向量， 则， 令，解得，则， 设直线与平面所成角为， 则， 解得， 因为直线与平面所成角正弦值为， 所以， 因为，所以， 则转化为， 解得，即， 即，即， 解得，即， 解得， 因为，所以. 题型四 求两平面的夹角或二面角（共3小题） 10．（26-27高二上·山西太原·阶段检测）如图，平面是正方形，平面，，，，点，分别为棱和的中点． (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出和直线的单位方向向量，利用空间向量法即可求解； （2）求出平面和平面的法向量，利用空间向量法即可求解． 【详解】（1）因为为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直， 以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，， 取直线的单位方向向量， 设点到直线的距离为，则． （2）因为，，，， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 11．（26-27高二上·广东惠州·阶段检测）在四棱锥中，平面，，，，． (1)求证：平面平面； (2)若点在棱上，且二面角的大小为，求的值． 【答案】(1)因为平面，且平面， 所以又已知因此两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由，得， 又，故 由，，，故平面， 故平面法向量可取， 平面中，， 设平面的法向量为，则， 由第一式得，代入第二式得，取，则，所以 因为所以平面平面. (2) 【分析】（1）由底面得，结合建系；求两平面法向量，由法向量数量积为证面面垂直； （2）设分的比例，用参数表示坐标；求平面与底面法向量，由二面角为列方程解参数，再求比值. 【详解】（1）略 （2）设在棱上，令 则 平面即为底面，其法向量为 平面中， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，故 二面角的大小为，所以 而 因此 两边平方：即 展开整理：， 解得因为，所以 于是故. 12．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）如图，在三棱锥中，底面，点是棱上的动点（不与端点重合），点是线段的中点，点满足.已知是边长为4的正三角形，且. (1)若是的中点，证明：平面； (2)若平面与平面的夹角的正弦值为，求. 【答案】(1)取中点，靠近的四分之一点，连接，，如图所示， 因为为中点，所以，且. 因为，所以为的四等分点，所以，且， 所以且，故四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面. (2)或 【分析】（1）通过构造平行四边形利用线线平行证明线面平行. （2）通过构造空间直角坐标系利用法向量列出面面夹角余弦公式求解. 【详解】（1）略 （2）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 可知，，，，设， 因为，为靠近的四等分点， 所以，，，即. 因为，，设平面法向量， 满足，令，可得， 又平面法向量， 因为，所以， 因此， 解得或， 所以或. 题型五 求点到直线的距离（共2小题） 13．（26-27高二上·河北沧州·阶段检测）如图，在长方体中，，，． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间坐标系，求出异面直线与的点的坐标，利用异面直线之间夹角公式求解两条异面直线所成角的余弦值. (2)先求出与两条直线之间的夹角，再利用向量法求解点到直线的距离. 【详解】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，由题意得，，，，. ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （2）由（1）知，，，又， 所以，， 设点到直线的距离为，则 . 14．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）如图，已知斜三棱柱，底面为等腰直角三角形，，，的中点为，底面． (1)求证：平面； (2)求点到直线的距离； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)因为平面，平面，所以， 因为底面为等腰直角三角形，，所以， 又因为，且平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为是的中点，，所以， 又因为，所以是等边三角形， 所以在平行四边形中，四边形为菱形，因此， 又因为，平面，所以平面． (2) (3) 【分析】（1）利用线面垂直判定定理，先证，再证，对角线互相垂直即得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量投影结合勾股定理，求点到直线的距离； （3）利用线面角定义，找平面法向量，通过向量夹角公式计算线面角的正弦值． 【详解】（1）略 （2）如图所示，以为坐标原点，为轴，为轴， 取中点，以为轴，建立空间直角坐标系． 则，，，，． 所以，． ， ． 向量在方向上投影的模长：， 因为，所以． 由勾股定理，点到直线的距离： ． （3）斜三棱柱中，所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角．由（1）知是平面的一个法向量，． 设直线与平面所成角为，则． 因为， 且，， 所以． 故直线与平面所成角的正弦值为． 27．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）如图，在三棱锥中，底面，，，分别为棱，的中点，在线段上，且，，． (1)求点N到直线的距离； (2)点D在线段上运动（包括端点），是否存在一点D，使平面？若存在，求出线段的值；若不存在，请说明理由．（以上问题用向量法求解，综合法一律不得分） 【答案】(1) (2)结合（1）的空间直角坐标系，有，则，， 设，，则，平面的法向量为， 所以，令，得到， 又平面，即， 所以，解得， 所以． 【分析】（1）先根据题意建立空间直角坐标系，得到所需各点的坐标，从而得到，，进而结合投影向量即可求出点到直线的距离； （2）结合（1）的空间直角坐标系，设，，从而求出平面的法向量为，再根据题意得到，即可求出的值，进而即可得到结论． 【详解】（1）由底面，，且底面，则，，两两垂直， 所以以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 由，，，且，分别为棱，的中点， 则，，， 所以，， 所以在上的投影向量的模长为， 所以点到直线的距离为． （2）略 题型六 求点到平面的距离（共2小题） 15．（26-27高二上·新疆和田·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)在中，因为，分别是，的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． (2) 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面，所以，． 因为，所以，，两两垂直． 以点为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，，，，分别是棱，，的中点， 所以，，，，，，， 所以，，． 设平面的法向量为， 则，令，则，，所以． 由（2）得，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离． 16．（26-27高二上·北京·期中）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 【答案】(1)设的中点为，连接、，因为为的中点，所以，且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面． (2) (3) 【分析】（1）设的中点为，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再结合线面平行的判定定理可证得结论成立. （2）记的中点为，连接，推导出，然后以为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值. （3）设，利用空间向量法可求出的值，再利用空间向量法可求出点到平面的距离． 【详解】（1）略 （2） 记的中点为，连接，因为，，， 所以四边形是矩形，则，， 以为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图， 则、、、，则，，， 设平面的一个法向量为，所以 ， 令，则， 设平面的一个法向量为，所以 ， 令，则， 所以， 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． （3） 依题意，设，则， 又由（2）得平面的一个法向量为， 记直线与平面所成角为， 所以，解得（负值舍去）， 所以，则， 而由（2）得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为． 题型七 求直线到平面距离、平面到平面距离（共3小题） 17．（25-26高二上·新疆巴州·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【答案】(1) 在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面.    (2). 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得. （2）由（1）中信息，利用点到平面的距离公式计算即得. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，平面的一个法向量为，而， 则点到平面的距离， 由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 18．（23-24高二上·山东淄博·阶段检测）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，进而根据向量夹角公式计算即可； （2）利用向量法求线面距离作答即可. 【详解】（1）在正方体中，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 所以直线与所成角的余弦值为. （2）由（1）知，，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线FC到平面的距离是. 题型八 存在性问题（共3小题） 19．（24-25高二下·安徽安庆·期中）如图，在多面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，且，，为的中点． (1)求证：平面平面． (2)已知，，，点是线段上的动点． （ⅰ）判断是否存在一点，使得与垂直？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明：因为，且为的中点，所以，． 又因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以． 又因为平面，平面，所以平面． 同理，，且， 所以四边形为平行四边形，则． 又平面，平面，所以平面． 又，平面，且， 所以平面平面． (2)（ⅰ）取的中点，连接， 过点作交于点，取的中点，连接． 因为四边形与四边形均为等腰梯形，且，，， 所以，，，，． 在中，，所以，所以． 所以二面角为直二面角，所以平面平面． 又平面平面，平面，所以平面． 因为平面，所以，所以两两垂直． 故以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，． 因为点是线段上的动点，所以设， 所以． 假设存在点使得与垂直，则， 所以，即，解得． 故当时，点为线段上靠近点的六等分点． （ⅱ）． 【分析】（1）先分别去证平面内两条直线与平面平行，再利用面面平行的判定定理证明两平面平行； （2）在几何体内找到三条互相垂直的直线，建立空间直角坐标系，利用数量积的坐标表示去列出方程，求出点的坐标，利用线面角的正弦值等于线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值去表示出直线与平面所成角的正弦值，再结合函数求出其最大值. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）略 （ⅱ）设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为． 由（ⅰ）知，． 设直线与平面所成角为， 则， 易知当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值，最大值为． 20．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角； (3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：取AD中点，连接，. 是以为斜边的等腰直角三角形，，，. ，，，四边形是矩形，. ，，. ，、底面，故底面. 以O为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. ，，，，，，为中点：. ，，. 设平面法向量，则 ， 令，则，代入得，. ， ，又平面，故平面. (2)平面与平面的夹角为. (3)存在，. 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，求平面法向量，证明与法向量垂直，得到线面平行； （2）求两个平面各自法向量，套二面角公式计算； （3）参数表示，用点到平面距离公式列方程，解，求. 【详解】（1）略. （2）， 设平面法向量，则 ，，取，，. ，， 设平面法向量， ，，取，，. .     平面与平面的夹角为. （3），设，，. 平面法向量，取平面内点，向量. 点到平面距离： ，令， 解得，所以存在点，使得点到平面的距离是. 此时点坐标为. ，. 【点睛】（1）先利用长度关系证明底面，建立空间直角坐标系，线面平行证向量与平面法向量垂直； （2）二面角用两平面法向量夹角求解； （3）动点存在性依靠参数设点，借助点面距离公式列方程，最后检验参数范围判断点是否在线段上. 21．（25-26高二上·广东广州·阶段检测）如图1，等腰直角的斜边为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点． (1)证明：． (2)求平面和平面所成角的余弦值． (3)试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 在图1中的等腰直角中，为的中点，可得， 所以在图2中，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为平面，所以是二面角的平面角，即， 所以为等边三角形，因为为的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，. (2) (3)存在； 【分析】（1）根据题意，证得平面，得到，再由平面，得到，得出为等边三角形，证得，证得平面，即可证得； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设，求得，根据题意，利用向量的夹角公式，列出方程，求得的值，即可得到答案. 【详解】（1）略 （2）解：以为原点，垂直于的直线为轴，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 所以， 所以平面和平面所成角的余弦值为. （3）解：假设在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 由（2）得， 设，则， 平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 解得或（舍去）， 所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时. 题型九 与体积、面积综合的问题（共3小题） 22．（26-27高二上·天津南开·阶段检测）如图，在四面体中，，，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)因为平面，， 所以以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以 因为是中点，所以， 因为是中点，所以，即， 因为，所以， 设， 因为，所以， 解得， 向量， 平面的法向量为， 因为， 所以，即平面， 又平面，故平面. (2) (3) 【分析】（1）由平面和建立空间直角坐标系，由是中点，利用中点坐标公式求出的坐标，由是中点求出的坐标，由利用向量坐标公式求出的坐标，求出和平面的法向量为，利用向量的数量积求得，从而得到平面. （2）求出平面的法向量，设平面和平面的夹角为，利用向量的数量积求出. （3）点到的距离为点的坐标，求出，点到平面的距离就是的坐标，通过计算求出. 【详解】（1）略 （2）， ， 设平面的法向量， ， 令，则 ，，， 平面法向量， 设平面和平面的夹角为， 则. （3） ，，，， ，， 点到的距离为点的坐标， 则， 点到平面的距离就是的坐标，即， . 23．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）如图，五面体中，，，，，是边长为2的等边三角形，． (1)求证：； (2)若，求直线与直线所成角的余弦值； (3)若，求该五面体的体积的取值范围． 【答案】(1)如图，取的中点，连接，，，， 由题意易得，可得，是的中点， 所以， 因为是边长为2的等边三角形，故，又为的中点， 所以， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以． (2) (3) 【分析】（1）取的中点，连接，，，，先证明平面，再由线面垂直得线线垂直. （2）以为空间的一组基底，把用基底表示，根据向量夹角公式计算可得. （3）将五面体补形成三棱柱,要求的五面体体积为三棱柱体积的一半，三棱柱的体积以为底面，高为得出.只要将的面积用含的代数式表示，根据可以确定体积取值范围. 【详解】（1）略. （2）因为，即，又因为是边长为2的等边三角形， 以为空间的一组基底， ，， ， 又， ， 所以， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为 . （3）如图，将该五面体补形成三棱柱，, 过B作于，由对称性，得，， 以为底边上的高， , 又， , ． 24．（26-27高二上·河北邯郸·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，二面角的大小是45°，､分别是､的中点，交于点. (1)求证：､､､四点共面； (2)设是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值. (3)线段上是否存在点，使得三棱锥体积为；若存在，求出该点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：∵底面是正方形，则，又∵侧棱底面， 则，， ∴平面，则，二面角的平面角为， ∴，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为∵， 则，令，则，即 ∵，设， 则，∴，又∵， 则，∴， 则， ∵，即， ∴点在平面内，即､､､四点共面. (2) (3)存在，为线段上靠近点的四等分点 【分析】(1)先根据线面垂直的判定与性质分析可得二面角的平面角为，进而确定，进而建系，利用空间向量证明四点共面； (2) 结合（1），利用向量法直接求解即可； (3) 设，利用向量法求得点到平面的距离，再结合三棱锥体积公式列方程求解，验证解的范围即可判断是否存在. 【详解】（1）略 （2）结合（1）可得，则， 平面，即平面，其法向量为， ∵， ∴直线与平面所成角的正弦值. （3）假设线段上存在点满足条件，设， ∵，∴ . 设平面的法向量， ∵， ∴，可得，取， ∴平面的一个法向量， 则点到平面的距离. 又，，且， ∴ . ∴ .令，解得， 故存在满足条件的点.此时的坐标为，即为线段上靠近点的四等分点. 题型十 新定义问题（共3小题） 25．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知两个非零向量，在空间任取一点O，作，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个与、都垂直的向量，且它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为线段AD上一点． (1)求； (2)若为线段的中点，求二面角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在； 【分析】（1）先证明为直线与所成角，再由定义去求解； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量进行求解； （3）由，，设，，得，即可求解． 【详解】（1）因为底面为矩形，所以，， 又底面，底面， 所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为，所以为直线与所成角，即， 在直角中， 所以， . （2）因为且为矩形， 所以可如图建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量， 则， 令，得   所以， 因为  所以平面的法向量可取， 设二面角的平面角为 ，则， 所以 ，     所以， 所以二面角的正弦值为． （3）依题意，，， 又， 所以，， 设，， 则 ， 所以， 由， 得 ，  所以 ， ， 由（1）知， 又因 ， 所以， 所以线段上存在点，使得，此时． 26．（24-25高二上·贵州遵义·阶段检测）阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．”已知在直四棱柱中，底面为菱形．．（角的运算均采用弧度制） (1)若，求四棱柱在顶点处的离散曲率； (2)若直四棱柱在点处的离散曲率为，直四棱柱体积为，求函数的解析式及单调区间； (3)截取四面体，若该四面体在点处的离散曲率为与平面交于点，证明：． 【答案】(1) (2)，的增区间是，减区间是； (3)设，连接交于点，因为平面， 所以点是直线与平面的交点，如图， 是直四棱柱，则且， 所以是平行四边形，所以且， 是菱形，则是中点，所以，所以， 又由得， 所以，所以，所以. 【分析】（1）由已知得底面菱形是正方形，然后根据新定义计算； （2）由新定义求出，然后计算出棱柱的体积，利用求得的范围即函数定义域，结合正弦函数性质得单调区间； （3）设，连接交于点，由棱柱性质得，从而可得，然后可得结论. 【详解】（1）因为菱形中，，所以是正方形，即， 又直四棱柱中， 所以四棱柱在顶点处的离散曲率为； （2）由已知，， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以， 时，，时，， 所以的增区间是，减区间是； （3）略. 27．（2026·陕西榆林·模拟预测）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．例如：正四面体在顶点A处的离散曲率为．如图，在三棱锥中． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率之和； (2)若平面ABC，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为． （i）求点到平面的距离； （ii）若点为的中点，则在棱上是否存在点，使直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)（i）；（ii）存在， 【分析】（1）根据离散曲率的定义分别计算各个顶点处的离散曲率，再利用三角形内角和计算即可； （2）利用线面垂直的性质和判定证得，即，根据离散曲率的定义计算得， 解法1：根据点面距离的定义作出点到平面的距离线段，根据边角关系求解即可； 解法2：利用等体积转换法即可求出； 解法3：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量代入公式即可； （3）如图建立空间直角坐标系，利用向量法计算线面角的正弦值，即可得解. 【详解】（1）由离散曲率的定义得： ， ， 因为，同理可得其他三个三角形内角和为， 所以； （2）由平面ABC，平面ABC，得， 又，AC，平面PAC，则平面PAC， 由平面PAC，得，即， 又，即，解得． 解法1：过点A作于点M，由平面PAC，平面PAC，得， 又平面PCB，则平面PCB， 因此点A到平面PCB的距离为线段AM的长． 在中，，所以，点A到平面PBC的距离为． 解法2：设点到平面的距离为， 则，， 所以，即点到平面的距离为． 解法3：过作的平行线，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得，， 设平面PBC的法向量， 则，即，令，则，得， 所以点到平面的距离． （ii）存在．过作的平行线，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得： ， 所以， 设，则， 设与平面所成的角为，因为，所以， 设平面的法向量， 则即 令，则，得 则， 整理得，解得： ， 所以，所以． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间向量与立体几何综合大题10大题型 题型1 证明垂直或平行（重点） 题型6 求点到平面的距离（重点） 题型2 求异面直线所成的角（常考点） 题型7 求直线到平面的距离、两平面间的距离（难点） 题型3 求直线与平面所成的角（重点） 题型8 存在性问题（难点） 题型4求两平面的夹角或二面角（重点） 题型9 与体积、面积综合的问题 题型5 求点到直线的距离 题型10 新定义问题（难点） 题型一 证明垂直或平行（共3小题） 1．（25-26高二上·贵州·期中）如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 2．（24-25高二上·福建厦门·期中）如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G分别是的中点．    (1)求证：： (2)求证：平面. 3．（25-26高三上·山东青岛·期中）如图，在三棱锥中，为在平面内的射影点，已知，，，，. (1)请以、为基底表示，并证明. (2)求证平面. 题型二 求异面直线所成的角（共3小题） 4．（26-27高二上·山西太原·阶段检测）如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点G为的中点.    (1)用向量，，表示并求线段的长； (2)直线与所成角的余弦值. 5．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，在棱上，且，是的中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 6．（24-25高二上·河北邢台·阶段检测）在三棱柱中，平面平面，，，，. (1)证明：平面； (2)若异面直线所成角的余弦值为，求BC. 题型三 求直线与平面所成的角（共3小题） 7．（26-27高二上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图，是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，且. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值 8．（26-27高二上·山东临沂·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，. (1)求四边形的面积； (2)求与平面所成角的余弦值. 9．（26-27高二上·河北沧州·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，且．点为棱的中点，点在线段上，且（）. (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 题型四 求两平面的夹角或二面角（共3小题） 10．（26-27高二上·山西太原·阶段检测）如图，平面是正方形，平面，，，，点，分别为棱和的中点． (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 11．（26-27高二上·广东惠州·阶段检测）在四棱锥中，平面，，，，． (1)求证：平面平面； (2)若点在棱上，且二面角的大小为，求的值． 12．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）如图，在三棱锥中，底面，点是棱上的动点（不与端点重合），点是线段的中点，点满足.已知是边长为4的正三角形，且. (1)若是的中点，证明：平面； (2)若平面与平面的夹角的正弦值为，求. 题型五 求点到直线的距离（共2小题） 13．（26-27高二上·河北沧州·阶段检测）如图，在长方体中，，，． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求点到直线的距离． 14．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）如图，已知斜三棱柱，底面为等腰直角三角形，，，的中点为，底面． (1)求证：平面； (2)求点到直线的距离； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 题型六 求点到平面的距离（共2小题） 15．（26-27高二上·新疆和田·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 16．（26-27高二上·北京·期中）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 题型七 求直线到平面距离、平面到平面距离（共3小题） 17．（25-26高二上·新疆巴州·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 18．（23-24高二上·山东淄博·阶段检测）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 题型八 存在性问题（共3小题） 19．（24-25高二下·安徽安庆·期中）如图，在多面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，且，，为的中点． (1)求证：平面平面． (2)已知，，，点是线段上的动点． （ⅰ）判断是否存在一点，使得与垂直？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 20．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角； (3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 21．（25-26高二上·广东广州·阶段检测）如图1，等腰直角的斜边为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点． (1)证明：． (2)求平面和平面所成角的余弦值． (3)试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 题型九 与体积、面积综合的问题（共3小题） 22．（26-27高二上·天津南开·阶段检测）如图，在四面体中，，，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． (3)求三棱锥的体积． 23．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）如图，五面体中，，，，，是边长为2的等边三角形，． (1)求证：； (2)若，求直线与直线所成角的余弦值； (3)若，求该五面体的体积的取值范围． 24．（26-27高二上·河北邯郸·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，二面角的大小是45°，､分别是､的中点，交于点. (1)求证：､､､四点共面； (2)设是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值. (3)线段上是否存在点，使得三棱锥体积为；若存在，求出该点的位置，若不存在，请说明理由． 题型十 新定义问题（共3小题） 25．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知两个非零向量，在空间任取一点O，作，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个与、都垂直的向量，且它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为线段AD上一点． (1)求； (2)若为线段的中点，求二面角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 26．（24-25高二上·贵州遵义·阶段检测）阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．”已知在直四棱柱中，底面为菱形．．（角的运算均采用弧度制） (1)若，求四棱柱在顶点处的离散曲率； (2)若直四棱柱在点处的离散曲率为，直四棱柱体积为，求函数的解析式及单调区间； (3)截取四面体，若该四面体在点处的离散曲率为与平面交于点，证明：． 27．（2026·陕西榆林·模拟预测）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．例如：正四面体在顶点A处的离散曲率为．如图，在三棱锥中． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率之和； (2)若平面ABC，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为． （i）求点到平面的距离； （ii）若点为的中点，则在棱上是否存在点，使直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $