黑龙江省哈尔滨松北区八年级数学上学期课时作业（人教版八年级上册第十四章14.2三角形全等的判定）

一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 黑龙江省哈尔滨八年级数学上学期课时作业（人教版八上第十四章14.2三角形全等的判定） 学段学科 初中 数学 适用年级 八年级 教材版本 人教版 对应内容 第十四章 全等三角形——三角形全等的判定课时课后作业 作业类型 课后分层作业 完成时长 总时长40分钟 设计者 商龙琦 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 · 课标要求：本作业对应的学科核心素养是几何直观、逻辑推理，需达成掌握三角形全等判定定理，能进行简单几何证明与角度、线段计算的学业质量标准。 · 教材地位：三角形全等判定是平面几何推理证明的核心内容，是后续学习等腰三角形、四边形的重要基础，训练学生规范几何书写、图形条件提取、模型应用能力。 · 教学重难点：重点为 SAS、ASA、AAS、HL 全等判定定理的理解与运用；难点为隐含条件识别、模型应用、分类讨论、区分 SSA 不能判定全等。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生已经学习全等三角形概念，初步接触 SAS、ASA、AAS、HL 判定定理，能完成简单的全等判断，认识对顶角等图形隐含条件。 现有困惑 容易混淆 SSA 与有效判定条件；几何证明书写步骤不规范；不会从图形、尺规作图中转化几何条件；动态几何容易漏解，缺少模型思想。 差异分析 班级学生层次分化明显：基础薄弱学生只能完成简单条件判断；中等学生可以完成常规证明，综合计算能力不足；优生有能力完成动点、分类讨论、实际探究类问题。 3. 设计意图 本作业采用 A 层基础过关全员必做、B 层能力提升中等必做、C 层拓展创新优生选做的分层模式，落实"保底不封顶"，兼顾不同层次学生学习需求；从基础条件辨析、尺规开放题、基础证明，到几何模型综合计算，再到动点分类、实际测量探究，循序渐进落实几何推理核心素养，巩固全等判定知识，规范推理书写，拓展学生思维深度。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 辨别三角形全等判定条件，区分 SSA 误区；识记 SAS、ASA、AAS、HL 判定定理 逻辑推理 条件选择正确率、定理选用是否正确 能力运用 B 会提取图形隐含条件，规范书写全等证明；利用全等性质完成线段、角度计算，识别一线三垂直模型 几何直观、逻辑推理 证明步骤完整性、角度线段计算过程 思维发展 C 会处理开放条件、动点分类讨论问题；能结合全等解决实际测量问题，构建几何模型 几何直观、逻辑推理 分类讨论完整性、实际问题建模思路 情感态度 D 分层作业建立不同水平学生几何学习信心，体会全等三角形的实际应用价值 数学运算、应用意识 作业完成情况，探究题思考过程 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 参考答案/评价要点 1 选择题（条件筛选） 已知 ∠B=∠C，选择条件证明 △OEB≌△ODC A 条件筛选型习题，已知一组等角、一组对顶角相等，辨析哪些条件可以用 AAS、ASA 证明三角形全等，区分有效条件与无效条件，规避 SSA 误区，训练学生读图识别对顶角等隐含条件的能力。 答案：①②③；评价要点：能识别对顶角这个隐含条件，能排除无效条件④。 2 开放填空题 尺规作图情境，已知 AB=BD，添加条件使得 △ABC≌△DBE A、B 结合尺规作图情境的条件开放题，由作图得到一组对应角相等，已有一组边相等，让学生自主补充边角条件，灵活选用 SAS、ASA、AAS 判定，培养发散思维，读懂作图语句转化几何条件。 答案示例：AC=DE（或 ∠C=∠E 或 ∠ABC=∠DBE）；评价要点：写出任意一个正确条件即可。 3 证明+计算题 已知 AB=AC，BD=CE，(1)求证 △ACD≌△ABE；(2)给定角度求 ∠DOE 度数 A、B （1）考查线段和差推导对应边相等，运用 SAS 完成全等证明，规范几何证明步骤；（2）结合全等三角形性质、三角形外角定理进行角度计算，实现"全等证明→性质运用→角度计算"综合基础训练。 (1)利用线段相加得到 AD=AE，SAS 证明全等；(2)∠DOE=80°；评价要点：证明步骤逻辑完整，外角定理使用正确。 4 证明+计算题（一线三垂直模型） ∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CD，BE⊥CD，(1)证 △ACD≌△CBE；(2)已知线段长求 △ACE 面积 B、C 经典一线三垂直模型。（1）练习利用同角的余角相等推导角相等，用 AAS 证明全等；（2）将全等得到的对应边相等，用于线段计算、三角形面积求解，打通"全等证明→线段转化→几何计算"，体会模型思想。 (1)AAS 完成全等证明；(2)S△ACE=2；评价要点：能利用同角的余角相等找等角，全等后正确转化对应边长。 5 条件选择证明题 已知 ∠C=∠DFE，AC=DF，三选一补充条件证明 △ABC≌△DEF A、B 条件选择证明题，辨析 SSA 不能判定全等；练习利用线段和差 CF+BF=BE+BF 推导出底边相等，巩固 SAS、AAS 判定定理，训练学生自主选择条件、完整书写证明过程的能力。 选①(SAS)或③(AAS)均可，②为 SSA 不可选；评价要点：所选条件对应证明过程严谨，线段和差变形正确。 6 动点分类讨论解答题 直角△ABC，PQ=AB，P、Q 分别在 AC、射线 AQ 运动，求 P 位置使 △ABC 与 △APQ 全等 B、C 直角三角形动点分类讨论题，巩固 HL 判定定理，需要分两种情况讨论对应顶点，训练分类讨论数学思想，克服漏解问题，提升动态几何分析能力。 两种情况：①AP=BC=5cm；②P 与 C 点重合（AP=AC=10cm）；评价要点：两种情况全部答出，HL 定理使用正确，不漏解。 7 综合实践探究题 利用全等思想测量湖面两点距离，判断能否求出 AP，不能则补充条件并求解 C、D 数学综合实践应用题，模拟实际距离测量，辨别现有条件是否足够证明全等，需要自主补充条件，构建 ASA 全等模型，体会全等三角形在实际测量中的应用，培养数学建模意识与批判性思考。 不能直接求出；可添加条件 ∠BCD=∠BAP，ASA 证全等得到 AP=CD=50m；评价要点：能够判断条件不足，合理补充条件，完成实际问题建模证明。 五、作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 A 层基础题全部正确，全等判定定理概念理解精确，能区分 SSA 误区 基础题少量细节错误，定理基本掌握，个别条件判断失误 较多基础题目错误，混淆全等判定定理 20% 能力运用 几何证明方法恰当，推理过程清晰完整，理由标注充分；线段角度计算结果准确 证明方法基本正确，少量步骤缺失，计算少量失误 证明逻辑混乱，判定定理选用错误，缺少关键步骤 30% 思维发展 开放题、动点、实践探究题思考完整，分类讨论无遗漏，建模思路清晰有独创性 可以完成大部分综合题，分类讨论、探究题表达清楚，但欠缺思考深度 综合题思路混乱，动点问题漏解，不会将实际问题转化几何模型 30% 情感态度 分层作业全部完成，选做题主动尝试，书写工整规范，有反思纠错意识 态度端正，必做题全部完成，书写较工整；选做题可完成部分内容 作业完成度低，书写潦草，选做题完全不参与，被动应付作业 20% 六、试题详情 三角形全等的判定分层作业 A层·基础过关(全员必做) A 层板块设计意图：面向全体学生，立足课标基础要求，以条件选择、开放添加条件、基础证明为主，巩固全等三角形 SAS、AAS、ASA 判定定理，训练从图形提取隐含条件，掌握简单几何证明书写格式，落实基础知识过关，帮助基础薄弱学生建立几何推理信心。 1．如图，已知，再从下列四个条件：“①，②，③，④”中选择一个，则可以说明全等于．那么这个条件可以是_______（写出所有符合条件的序号） 本题设计意图：条件筛选型习题，已知一组等角、一组对顶角相等，辨析哪些条件可以用 AAS、ASA 证明三角形全等，区分有效条件与无效条件，规避 SSA 误区，训练学生读图识别对顶角等隐含条件的能力。 2．如图，点D在边的延长线上，且．以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交边，于点M，N；再以点D为圆心，以长为半径画弧，交于点；再以点为圆心，以长为半径画弧交前弧于点，作射线．已知点E为射线上一点，连接，请你添加一个条件______，使．（写出一个条件即可） 本题设计意图：结合尺规作图情境的条件开放题，由作图得到一组对应角相等，已有一组边相等，让学生自主补充边角条件，灵活选用 SAS、ASA、AAS 判定，培养发散思维，读懂作图语句转化几何条件。 3．如图，、相交于点，延长，相交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 本题设计意图：（1）考查线段和差推导对应边相等，运用 SAS 完成全等证明，规范几何证明步骤；（2）结合全等三角形性质、三角形外角定理进行角度计算，实现"全等证明→性质运用→角度计算"综合基础训练。 B层·能力提升(中等必做) B 层板块设计意图：面向中等水平学生，在基础判定之上，结合一线三垂直模型、线段和差、条件选择证明，实现全等证明和线段长度、面积计算结合，训练学生等角转化，把全等性质用于几何计算，提升知识迁移与综合推理能力。 4．如图，在中，，于点，于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 本题设计意图：经典一线三垂直模型。（1）练习利用同角的余角相等推导角相等，用 AAS 证明全等；（2）将全等得到的对应边相等，用于线段计算、三角形面积求解，打通"全等证明→线段转化→几何计算"，体会模型思想。 5．如图，在和中，点，，，在同一条直线上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是___________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 本题设计意图：条件选择证明题，辨析 SSA 不能判定全等；练习利用线段和差 推导出底边相等，巩固 SAS、AAS 判定定理，训练学生自主选择条件、完整书写证明过程的能力。 C层·拓展创新(优生选做) C 层板块设计意图：面向学有余力学生，设置动点分类讨论、综合实践测量问题，落实 HL 判定，训练分类思想、数学建模，把全等用于解决现实测量问题，提升探究创新能力，拓展思维深度。 6．如图，有一直角三角形，，，，一条线段，、两点分别在上和过点且垂直于的射线上运动，问点运动到上什么位置时才能和全等？ 本题设计意图：直角三角形动点分类讨论题，巩固 HL 判定定理，需要分两种情况讨论对应顶点，训练分类讨论数学思想，克服漏解问题，提升动态几何分析能力。 7．综合实践 【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点 之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】某班数学小组根据湖岸地形状况，通过观测、汇报、交流、研讨、演示后，提出了一种方案：如图1，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且满足，当，，在同一条直线上时，只需测量 的长度，即可得出的长度．画出示意图，如图2． 【测量数据】． 【测量目的】根据活动过程，是否能求出湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点 之间的距离．若能，请写出解答过程；若不能，请再添加一个条件，并写出解答过程． 本题设计意图：数学综合实践应用题，模拟实际距离测量，辨别现有条件是否足够证明全等，需要自主补充条件，构建 ASA 全等模型，体会全等三角形在实际测量中的应用，培养数学建模意识与批判性思考。 作业答案解析 1．【答案】①②③ 【分析】根据全等三角形的判定定理，已知和对顶角，若要证明，还需一组对应边相等，分别验证各条件能否推出边相等或直接构成全等条件． 【详解】解：∵，且（对顶角相等）， 若添加条件①， 在和中，， ， ， ， ，即， 在和中，， ，故条件①符合； 若添加条件②， 在和中，， ，故条件②符合； 若添加条件③， 在和中，， ， ， ，即， 在和中，， ，故条件③符合； 若添加条件④， 此时只有三个角对应相等，没有边相等的条件，无法证明三角形全等，故条件④不符合； 综上所述，符合条件的序号是①②③． 2．【答案】（或或） 【分析】根据全等三角形的判定条件求解即可． 【详解】解：（或或），理由如下： ①选， 由作图可得， ∵，， ∴． ②选， 由作图可得， ∵，， ∴． ③选， 由作图可得， ∵，， ∴． 3．【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，灵活运用以上知识是解题的关键． （1）先根据线段的关系得出，再利用“”即可得证； （2）利用全等三角形的性质和三角形外角的性质，进行计算即可． 【详解】（1）证明：，， ， 即， 在和中， ， （）． （2）解：由（1）可知，， ． ， ， ． 答：的度数为． 4．【答案】(1)见解析(2)2 【分析】（1）因为，，所以可先推导与相等；可利用定理证明． （2）因为，所以可得到对应边相等，进而求出的长度；再结合三角形面积公式，计算的面积． 【详解】（1）证明：∵，， ， ， 在中，， 在和中： ∵ （2）解：由全等得： ∵共线，且， ∴， ∴， ∴ 5．【答案】(1)①或③ (2)见解析 【分析】选①，由可得，进而满足边角边的全等判定；选②，根据边边角无法判定全等；选③，直接根据角角边可判定全等． 【详解】(1)①或③ (2)选①， 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 选③， 证明：在和中， ， ∴． 6．【答案】当运动到或点与重合时，才能和全等 【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定方法，可以根据不同的对应关系进行分类解答． 首先根据直角三角形全等的判定方法，结合三角形的对应边的不确定性，可知需分和两种情况， 结合全等的性质，可以得到点运动的位置． 【详解】解：根据三角形全等的判定方法可知： 当运动到时， ∵在与中， ， ∴， 当与点重合时，， ∵在与中， ， ∴， 答：当运动到或点与重合时，才能和全等． 7．【答案】根据活动过程无法计算出长度，添加条件“”， ． 【分析】根据活动过程无法计算出长度，添加条件“”，证明，得到，即可求出． 【详解】解：根据活动过程无法计算出长度，添加条件“”， 根据题意可知，，， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $