精品解析：广东江门市新会第一中学2026-2027学年高二上学期10月评价训练数学试题

2028届高二上学科评价训练(一) 数学试题 一、单题:本共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 4 2. 复数满足，则（ ） A. B. 5 C. 15 D. 25 3. 如图，在中，D为BC的中点，点E在AD上，且，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，甲、乙各猜一个成语，已知甲猜对的概率是，乙猜对的概率是，甲和乙猜对与否互不影响，则两人中恰好只有一人猜对的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是两条不同直线，是两个不同平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 6. 在△ABC中，若，，则三角形的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 7. 素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想．19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对．其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”．在不超过的素数中，任选两个不同的素数、，令事件，，，记事件、、发生的概率分别为、、，则下列关系式成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 在直角梯形中，，，，，E，F分别为，的中点，点P在以A为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示），若，其中，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题:本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 9. 第十五届全国运动会于年月日至日举行，截至月日，金牌榜总数前名的金牌数量依次为，，，，，，，，，，则（ ） A. 该组数据的众数为 B. 该组数据的中位数为 C. 该组数据的极差为 D. 该组数据的分位数为 10. 已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若，则事件与相互独立 C. 若发生时一定发生，则 D. 11. 如图，点是棱长为的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 存在点，使得平面 B. 若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形 C. 当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 D. 当在线段上运动时，则的最小值为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15.分. 12. 已知一组样本数据16，，14，15，13的平均数为15，则该组样本数据的方差为_____. 13. 某单位共有A，B，C，D四个部门的职工，其职工人数之比依次为．为了调查职工的健康情况，现用比例分配的分层随机抽样方法，从该单位全体职工中抽出一个容量为300的样本进行调查，则应从A部门抽取职工_____人． 14. 甲乙两人进行棋类比赛，每局比赛胜者得个积分，负者得个积分，记两人积分之差的绝对值为时比赛结束且积分多者获胜.已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，则比赛结束时总局数不多于局且甲获胜的概率为________. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足，夹角为． （1）求； （2）若，求k的值． 16. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球． （1）若这5个球分别标有数字，，，，，现从袋中每次任取一个球，每次取出后不放回，连续取两次，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率； （2）若从中摸出一个球，观察颜色后放回，再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率． 17. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 18. 高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次测试竞赛情况，年级从中抽取了100名学生的成绩x进行统计.将成绩进行整理后，分为五组:，，其中第1组频数是第2组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）若根据这次成绩，年级择优选取的同学晋级下一轮竞赛，请问晋级分数线定为多少合理?并且估计本次竞赛的平均分; （2）已知落在的平均成绩是56，标准差是4，落在的平均成绩为65，标准差是2，求两组成绩的总平均数和总方差; （3）在下一轮比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关模型检验的问题.已知甲回答正确的概率是，甲、乙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人至少一人回答正确的概率是.每人回答正确与否相互独立.求甲、乙、丙三人中至少两人回答正确的概率. 19. 如图，等边三角形和直角三角形，，，绕翻折，使点到达点． （1）当PD=2时，求证：平面⊥平面； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）当三棱锥表面积最大时，求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届高二上学科评价训练(一) 数学试题 一、单题:本共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用共线向量定理先求，再由向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由题意，所以，所以. 2. 复数满足，则（ ） A. B. 5 C. 15 D. 25 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以 3. 如图，在中，D为BC的中点，点E在AD上，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得； 【详解】解：在中，为的中点，所以， 又，所以， 所以； 故选：C 4. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，甲、乙各猜一个成语，已知甲猜对的概率是，乙猜对的概率是，甲和乙猜对与否互不影响，则两人中恰好只有一人猜对的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将“恰好只有一人猜对”拆分为“甲对乙错”和“甲错乙对”两个互斥的独立事件，分别计算概率后求和即可. 【详解】设事件A为“甲猜对成语”，事件B为“乙猜对成语”，由题意得A和B相互独立， 且，因此. “两人中恰好只有一人猜对”对应事件，且与为互斥事件. 所以. 5. 已知是两条不同直线，是两个不同平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】C 【解析】 【详解】A选项：若，则可能平行，可能相交，也可能为异面直线，A选项错误； B选项：若，则，B选项错误； C选项：若，是两个不同平面，所以，C选项正确； D选项：若且，则可能平行，可能垂直，也可能相交但不垂直，D选项错误. 6. 在△ABC中，若，，则三角形的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由题设及正弦定理边角互化可得，然后由余弦定理可得答案. 【详解】因为，由正弦定理边角互化可得：， 又，由余弦定理可得：， 即，又，所以三角形为等边三角形. 7. 素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想．19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对．其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”．在不超过的素数中，任选两个不同的素数、，令事件，，，记事件、、发生的概率分别为、、，则下列关系式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由古典概型公式求出、、的值，进而分析选项，综合可得答案． 【详解】根据题意，不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个， 从中任意取两个不同的素数、，有种取法，即， ，，，，， ，，，， ，，，，，，，，，， ，，，故C正确，B错误； 则有，， 选项A，D错误． 8. 在直角梯形中，，，，，E，F分别为，的中点，点P在以A为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示），若，其中，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意建立直角坐标系，得到各点的坐标，再由得到，，从而得到，由此可求得的取值范围. 【详解】结合题意建立直角坐标系，如图所示： 则，，，，，， 则，，，， ∵，∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵，∴，∴， ∴，故. 二、多选题:本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 9. 第十五届全国运动会于年月日至日举行，截至月日，金牌榜总数前名的金牌数量依次为，，，，，，，，，，则（ ） A. 该组数据的众数为 B. 该组数据的中位数为 C. 该组数据的极差为 D. 该组数据的分位数为 【答案】AC 【解析】 【详解】将这个数据从小到大排列为，，，，，，，，，， 对于A，观察这组数据，其中出现了次，其余数字均只出现次，因此，众数为，故A正确； 对于B，这组数据共有个，中间两个数是第个和第个数，分别是和，因此中位数为，故B错误； 对于C，这组数据中最大值为，最小值为，因此极差为，故C正确； 对于D，由于不是整数，因此该组数据的分位数是第个数，即，故D错误. 10. 已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若，则事件与相互独立 C. 若发生时一定发生，则 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐项判断. 【详解】对于A，若A与B互斥，则，故A错； 对于B，因为，，则， 因为，所以事件与相互独立，故B对； 对于C，若发生时一定发生，则，则，故C不对； 对于D，，因为， ，所以，故D正确. 11. 如图，点是棱长为的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 存在点，使得平面 B. 若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形 C. 当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 D. 当在线段上运动时，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用反证法结合线面垂直的性质可判断A选项；作出截面，并推导出截面的形状，可判断B选项；利用锥体的体积公式可判断C选项；将和延展为同一个平面，结合两角和的余弦公式以及余弦定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，连接、、、、，如下图所示， 因为平面，平面，所以， 若存在点，使得平面，因为平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 在平面内，由于四边形为正方形，所以，故， 结合图形可知矛盾，故假设不成立，即不存在点，使得平面，A错； 对于B选项，过点作交于点，过点作交于点， 过点作交于点，过点作交于点， 过点作交于点，连接， 因为，为的中点，则为的中点， 同理可知、、、分别为、、、的中点， 在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，所以， 因为，所以，同理可证，， 故、、、、、六点共面， 由中位线的几何性质可知， 同理可得， 因为，，，所以， 易知为等边三角形，则， 由等角定理结合图形可知， 同理可得， 故六边形为正六边形， 因为，平面，所以平面，同理可证平面， 因为，、平面，所以平面平面， 当点在正六边形的边上运动时（不与点重合）， 则平面，所以平面， 所以点的轨迹为正六边形，B对； 对于C选项，如下图所示， 因为，平面，平面，所以平面， 因为点在棱上运动，故点到平面的距离等于点到平面的距离，即为， 又因为， 故为定值，C对； 对于D选项，如下图所示， 由勾股定理可得， ， 因为平面，平面，所以， 由勾股定理可得， 将和延展为同一个平面，如下图所示： 由余弦定理可得， 所以， 易知为等腰直角三角形，且， 故 ， 由余弦定理可得，故， 所以点、、三点共线时，即当点为线段与的交点时，取最小值，且最小值为，D对. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15.分. 12. 已知一组样本数据16，，14，15，13的平均数为15，则该组样本数据的方差为_____. 【答案】2 【解析】 【分析】根据样本数据的平均数和方差公式计算即可. 【详解】因为该组样本数据的平均数为15， 所以，解得， 则该组样本数据的方差为 . 13. 某单位共有A，B，C，D四个部门的职工，其职工人数之比依次为．为了调查职工的健康情况，现用比例分配的分层随机抽样方法，从该单位全体职工中抽出一个容量为300的样本进行调查，则应从A部门抽取职工_____人． 【答案】60 【解析】 【详解】. 14. 甲乙两人进行棋类比赛，每局比赛胜者得个积分，负者得个积分，记两人积分之差的绝对值为时比赛结束且积分多者获胜.已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，则比赛结束时总局数不多于局且甲获胜的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】设比赛结束时，一共比赛局，其中甲胜局，由题可得，可为，再设表示第局甲胜，表示第局乙胜，由题设结合独立事件概率乘法公式可得答案. 【详解】设比赛结束时，一共比赛局，由题设可得， 再设其中甲胜局，得分为，则乙胜局，得分为，则， 解该不定方程，得可为. 设表示第局甲胜，表示第局乙胜. 若比赛三局，比赛结束且甲获胜，则甲胜三局，概率为； 若比赛五局，比赛结束，则甲胜4局，乙胜1局，概率为: ； 若比赛七局，比赛结束，则甲胜5局，乙胜2局，概率为: . 则比赛结束时总局数不多于局且甲获胜的概率为：. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足，夹角为． （1）求； （2）若，求k的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)结合向量的数量积求模即可；(2)由得，计算即可. 【详解】解：由题意可得． （1）因为， 所以． （2）由题意可得，即， 则，解得． 16. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球． （1）若这5个球分别标有数字，，，，，现从袋中每次任取一个球，每次取出后不放回，连续取两次，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率； （2）若从中摸出一个球，观察颜色后放回，再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据不放回的随机抽样问题，列出样本空间，利用古典概型求概率即可； （2）根据有放回的随机抽样问题，列出样本空间，利用古典概型求概率即可； 【小问1详解】 不放回连续取两次的样本空间，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，， 记“两数之和为3的倍数”为事件，则事件，，，，， ，， 【小问2详解】 设5个球记为，，，，，则有放回地取出两个的样本空间 ，，，，，，， ，，，，，，，， ，，，，，，，， 记“两球颜色恰好不同的概率”为事件，则，，， ，，，，，，，， ， 17. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正切求解即得. （2）由（1）的结论，利用三角形面积求出，再利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由及正弦定理得， 又，所以， 所以，即， 又，所以. 【小问2详解】 因为的面积为， 所以，解得， 又因为， 即，所以， 故的周长为. 18. 高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次测试竞赛情况，年级从中抽取了100名学生的成绩x进行统计.将成绩进行整理后，分为五组:，，其中第1组频数是第2组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）若根据这次成绩，年级择优选取的同学晋级下一轮竞赛，请问晋级分数线定为多少合理?并且估计本次竞赛的平均分; （2）已知落在的平均成绩是56，标准差是4，落在的平均成绩为65，标准差是2，求两组成绩的总平均数和总方差; （3）在下一轮比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关模型检验的问题.已知甲回答正确的概率是，甲、乙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人至少一人回答正确的概率是.每人回答正确与否相互独立.求甲、乙、丙三人中至少两人回答正确的概率. 【答案】（1）合理分数为分；平均分为70.2分 （2）总平均数是62，总方差是26． （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图求解计算即可. （2）根据平均数和方差公式计算即可. （3）根据独立事件的乘法公式计算即可. 【小问1详解】 由题意知，第组的小长方形的高是第组的小长方形的高的一半， 所以， 又，解得， 择优选取的同学晋级下一轮竞赛，即确定第60百分位数， 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设第百分位数为，则， 由百分位数的定义可得，解得， 所以晋级分数线划为分合理； 估计本次竞赛平均分为 【小问2详解】 由图可知，成绩在的人数为 ， 成绩在的人数为， 故 ， ， 所以两组成绩的总平均数是62，总方差是26． 【小问3详解】 记“甲、乙、丙回答正确这道题”分别为事件、、，则、、两两相互独立， 由题意可得，解得， 由乙、丙两人至少一人回答正确的概率是， 得，解得，故， 所以乙、丙两人各自回答正确这道题的概率为和． 记事件甲、乙、丙三人中至少两人回答正确， 则 . 19. 如图，等边三角形和直角三角形，，，绕翻折，使点到达点． （1）当PD=2时，求证：平面⊥平面； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）当三棱锥表面积最大时，求二面角的余弦值. 【答案】（1）设为中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 因为，，，所以， 因为，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，通过线面垂直证明面面垂直； （2）过作于，连接，证明平面，得出即为直线与平面所成角，解直角三角形得解； （3）当三棱锥表面积最大时，作出二面角的平面角，利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 ，，,平面， 平面，由平面， ，， 过作于，连接， 平面，，又，平面， 平面，即为直线与平面所成角， 在等腰三角形中，， 所以， 则， 所以， 设直线与平面所成角为，故. 【小问3详解】 设， 则， 即① 令② ①②2得， 取最大值时,即三棱锥的表面积最大时，，代入①式得， 过作，连接，且，过作，交于，如图， 则二面角的平面角为， 因为， ，， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $