第二章 有理数的运算 知识清单 2026-2027学年人教版数学七年级上册

第二章　有理数的运算　知识清单 依据人教版《义务教育教科书·数学》七年级上册（2024年版新教材）编写，供复习备考使用。 一、章知识概览 【学习内容】本章共三节：2.1有理数的加法与减法；2.2有理数的乘法与除法；2.3有理数的乘方。在有理数范围内学习加、减、乘、除、乘方五种运算及其运算律，并学习科学记数法与近似数。 【考点地位】有理数的四则运算、乘方、运算律的灵活运用、科学记数法是中考“数与式”部分的必考基础，也是后续学习整式、方程、不等式、函数的运算根基，运算能力是本册核心素养之一。 【学习目标】①掌握有理数的加、减、乘、除、乘方的运算法则，能正确进行有理数的混合运算；②理解并能运用加法、乘法的运算律简化运算；③理解倒数、乘方、幂、底数、指数的概念；④会用科学记数法表示绝对值较大的数；⑤了解近似数与精确度，会按要求取近似数。 【知识结构图】一图速查本章全貌，下表按“章→节→核心知识点”三层呈现。 第二章　有理数的运算 2.1　有理数的加法与减法 加法法则：同号相加取同号、绝对值相加；异号相加取大绝对值符号、大减小；相反数相加得0；与0相加仍得原数 加法运算律：交换律a+b=b+a；结合律(a+b)+c=a+(b+c) 减法法则：a-b=a+(-b)；加减混合运算统一为加法 数轴上两点间的距离：|a-b| 2.2　有理数的乘法与除法 乘法法则：同号得正、异号得负，绝对值相乘；任何数与0相乘都得0 倒数：乘积是1的两个数互为倒数 乘法运算律：交换律ab=ba、结合律(ab)c=a(bc)、分配律a(b+c)=ab+ac 多个非0数相乘：负因数偶数个积为正、奇数个积为负；有一个因数为0积为0 除法法则：a÷b=a·()（b≠0）；同号得正、异号得负；0除以任何非0数都得0 2.3　有理数的乘方 乘方：n个相同因数a相乘记作a的n次方（幂），a为底数、n为指数 符号规律：负数奇次幂为负、偶次幂为正；正数任何次幂为正；0的正整数次幂为0 混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级从左到右；括号按小、中、大依次进行 科学记数法：把大于10的数记为a×10的n次方（1≤a<10，n为正整数） 近似数与精确度：准确数、近似数；四舍五入取近似数 二、核心公式定理 【速查表】本章核心法则、运算律与公式集中列表如下，逐条对照教材，复习时以表代翻书。 名称 公式·法则·性质内容 说明与易错提示 有理数加法法则 同号两数相加取相同符号，绝对值相加；异号两数相加取绝对值较大加数的符号，大绝对值减小绝对值；互为相反数相加得0；一个数与0相加仍得这个数 先定和的符号，再算和的绝对值 加法交换律 a+b=b+a 可任意交换加数位置 加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 常与交换律结合，把同号、凑整的数先加 有理数减法法则 减去一个数，等于加这个数的相反数：a-b=a+(-b) 两变：减号变加号、减数变相反数 数轴两点距离 数轴上表示数a、b的两点间距离为|a-b| 同侧相减、异侧相加 有理数乘法法则 两数相乘，同号得正、异号得负，绝对值相乘；任何数与0相乘都得0 先定积的符号，再算积的绝对值 倒数 乘积是1的两个数互为倒数 0没有倒数；正数倒数为正、负数倒数为负 乘法交换律 ab=ba 字母相乘时“×”可写作“·”或省略 乘法结合律 (ab)c=a(bc) 先把能约分、凑整的因数相乘 乘法分配律 a(b+c)=ab+ac 逆用分配律可合并：ab+ac=a(b+c) 多因数积的符号 几个非0数相乘，负因数个数为偶数时积为正，奇数时积为负；有因数为0则积为0 先定符号，再把绝对值相乘 有理数除法法则 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数：a÷b=a·()（b≠0）；同号得正、异号得负；0除以任何非0数都得0 除数不能为0；除法转化为乘法 乘方的意义 n个相同因数a相乘记作a的n次方，结果叫幂；a叫底数，n叫指数 一个数可看作它本身的1次方 乘方的符号规律 负数的奇次幂为负，偶次幂为正；正数任何正整数次幂为正；0的任何正整数次幂为0 (-2)⁴与-2⁴意义不同：前者=16，后者=-16 混合运算顺序 先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内（小、中、大依次） 无括号时“先乘除后加减” 科学记数法 把大于10的数表示为a×10的n次方，其中1≤a<10，n为正整数 n等于原数整数位数减1 三、考点知识梳理 （一）2.1　有理数的加法与减法 【有理数的加法法则】进行有理数加法，既要考虑符号，又要考虑绝对值。法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；③一个数同0相加，仍得这个数。如(-3)+(-9)=-(3+9)=-12，12+(-8)=+(12-8)=4。 【加法运算律】加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。多个有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中几个数相加，从而简化运算，如把互为相反数的数、同分母的数、能凑整的数先结合。 【有理数的减法法则】有理数减法可以转化为加法来进行：减去一个数，等于加这个数的相反数，即a-b=a+(-b)。如3-(-3)=3+(+3)=6，0-7=0+(-7)=-7。在有理数范围内，较小的数减去较大的数，差为负数。 【加减混合运算】引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算，如a+b-c=a+b+(-c)。为书写简单，可以省略算式中的括号和加号，如(-20)+(+3)-(-5)-(+7)可写成-20+3+5-7，读作“负20、正3、正5、负7的和”。 【数轴上两点间的距离】在数轴上，点A、B分别表示数a、b，则A、B两点间的距离为|a-b|。如表示-3与2的两点相距|2-(-3)|=5个单位长度。 （二）2.2　有理数的乘法与除法 【有理数的乘法法则】两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0。如(-3)×(-5)=+(3×5)=15，(-4)×6=-(4×6)=-24。 【倒数】乘积是1的两个数互为倒数。如(-12)×(-2)=1，则-12与-2互为倒数。正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数。求一个整数（非0）的倒数，就是以这个数为分母、分子为1的数，如-6的倒数是。 【乘法运算律】乘法交换律ab=ba；乘法结合律(ab)c=a(bc)；分配律a(b+c)=ab+ac。用字母表示乘数时，“×”可写作“·”或省略。分配律可正向展开，也可逆用合并。 【多个有理数相乘】几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数的个数是偶数时积为正数，是奇数时积为负数；几个数相乘，如果有一个因数为0，积就为0。计算时先定符号，再把绝对值相乘。 【有理数的除法法则】除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即a÷b=a·()（b≠0）。由此可得：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0。如(-36)÷9=-(36÷9)=-4，0÷(-8)=0。 【乘除及四则混合运算】乘除混合运算往往先把除法转化为乘法，再确定积的符号、求出结果。加、减、乘、除混合运算，如无括号指出运算顺序，则先乘除，后加减。 （三）2.3　有理数的乘方 【乘方的意义】n个相同的因数a相乘，即a·a·…·a（n个），记作a的n次方。求n个相同因数的积的运算叫作乘方，乘方的结果叫作幂。在a的n次方中，a叫作底数，n叫作指数。一个数可以看作这个数本身的1次方，指数1通常省略不写。 【乘方的符号规律】根据乘法法则可得：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何正整数次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0。注意(-2)⁴与-2⁴不同：(-2)⁴=16，而-2⁴=-(2⁴)=-16。 【有理数混合运算的顺序】①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【科学记数法】把一个大于10的数表示成的形式（其中1≤a＜10，n为正整数），使用的就是科学记数法。如696000=6.96×10的5次方。用科学记数法表示一个n位整数（n≥2）时，10的指数是整数位数减1。对于小于-10的数也可类似表示。 【近似数与精确度】与实际完全符合的数是准确数；接近实际数值但有差别的数是近似数。近似数与准确数的接近程度用精确度表示。按四舍五入法取近似数时，精确到哪一位就看它下一位数字：如π≈3.14精确到百分位（0.01）。近似数末尾的0不能随意去掉，如1.80与1.8精确度不同。 四、重点知识记忆方法 【记忆口诀】加法：同号相加一边倒，异号相加“大”减“小”，符号跟着大的跑，绝对值相等“0”正好。减法：减正变加正，减负变加正，减号减数两变号。乘法除法：同号得正异号得负，绝对值相乘除；0乘任何都得0，0除非0得0。乘方：负奇为负负偶为正，正数永远是正数。 【对比记忆】易混的三组运算对比如下表。 对比项 (-2)⁴ -2⁴ 意义 4个(-2)相乘：(-2)×(-2)×(-2)×(-2) 2的4次方的相反数：-(2×2×2×2) 结果 16 -16 【易混对比】相反数、倒数、绝对值三者：和为0的两个数互为相反数，积为1的两个数互为倒数，一个数到原点的距离是它的绝对值。0的相反数是0，0的绝对值是0，但0没有倒数。 五、解题方法总结 题型1　有理数的加减运算 【解题方法】①同号相加：符号不变，绝对值相加；②异号相加：取绝对值较大加数的符号，大绝对值减小绝对值；③遇减法先化为加法（减号变加号、减数变相反数）；④多个数相加用运算律，把互为相反数、同号、能凑整的先加。 【数学思想】转化思想：减法统一转化为加法。 题型2　有理数的乘除与乘方运算 【解题方法】①先定符号：乘除看负因数个数（偶正奇负），乘方看指数奇偶与底数正负；②再算绝对值（相乘或相除）；③遇除法先转化为乘倒数；④乘方先化为乘法再算，注意(-a)ⁿ与-aⁿ的区别。 【数学思想】分类讨论思想：按数的符号、指数奇偶分类定符号。 题型3　利用运算律简化计算 【解题方法】①凑整、凑零：把互为相反数、和为整数的结合；②逆用分配律：ab+ac=a(b+c)，把相同因数提出；③正用分配律：把(a+b)×c拆成ac+bc以约分；④连乘时把能约分、相乘为整的因数先结合。 【数学思想】转化思想、整体思想：通过运算律改变运算顺序，化繁为简。 题型4　有理数混合运算 【解题方法】①严格按顺序：先乘方，再乘除，最后加减；②有括号先算括号内；③同级从左到右；④每步先定符号再算绝对值，避免“先算后忘符号”。 【数学思想】程序化思想：按固定顺序步步推进。 题型5　科学记数法与近似数 【解题方法】①科学记数法：先确定a（1≤a<10），再数原数整数位数，指数=整数位数-1；②取近似数：精确到哪一位，就对它下一位四舍五入；③由科学记数法还原原数，按10的n次方后补n个0。 题型6　有理数运算的实际应用 【解题方法】①先把实际量用正负数表示（规定方向，如收入为正、支出为负）；②列有理数算式；③按法则计算并作答；④求总运费、总路程时用绝对值（与方向无关），求结余、位置变化时用代数和。 【数学思想】建模思想、数形结合思想：把实际问题抽象为有理数运算模型。 六、易错点清单 【清单】逐条对照教材与常见易错情形，复习时先自查再对照下表。 常见易错点 正确做法 异号相加时符号取错，如(-8)+5误得-3或误算绝对值相加 异号相加取绝对值较大加数的符号，用大绝对值减小绝对值：(-8)+5=-(8-5)=-3 减法不变号，如3-(-3)误算成0或3-3 减去一个数等于加它的相反数：3-(-3)=3+(+3)=6 把0没有倒数当成“0的倒数是0” 乘积是1的两个数互为倒数，0乘任何数都得0、得不到1，故0没有倒数 多个负数相乘时数错负因数个数 数清负因数个数：偶数个积为正、奇数个积为负；含0则积为0 混淆(-2)⁴与-2⁴，误得(-2)⁴=-16 (-2)⁴=16（4个-2相乘）；-2⁴=-16（2⁴的相反数） 乘方运算顺序错，如-2×3²误算成(-6)² 先乘方后乘法：-2×3²=-2×9=-18 除法误做“分配律”，如a÷(b+c)拆成a÷b+a÷c 除法没有分配律；a÷(b+c)应先算括号内，或把除法化为乘法后再处理 科学记数法指数错，如696000写成69.6×10⁴ 1≤a<10，696000=6.96×10⁵；指数等于整数位数减1 取近似数后随意去掉末尾0，如把1.80写成1.8 1.80精确到百分位、1.8精确到十分位，精确度不同，末尾0不能去掉 七、高频考点速记 ①有理数加法：同号相加取同号、绝对值相加；异号相加取大绝对值符号、大减小；相反数相加得0；与0相加仍得原数。 ②减去一个数等于加这个数的相反数：a-b=a+(-b)，加减混合可统一为加法。 ③乘法：同号得正、异号得负，绝对值相乘；任何数与0相乘都得0。 ④乘积是1的两个数互为倒数，0没有倒数。 ⑤运算律：交换律、结合律、分配律在有理数范围内仍然成立，可简化运算。 ⑥多个非0数相乘：负因数偶数个积为正、奇数个积为负；有因数为0积为0。 ⑦除法：除以一个不等于0的数等于乘它的倒数；0除以任何非0数都得0。 ⑧乘方：负数奇次幂为负、偶次幂为正；正数任何次幂为正；0的正整数次幂为0。 ⑨混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级从左到右；括号按小、中、大依次。 ⑩科学记数法：a×10的n次方（1≤a<10，n为正整数），n等于整数位数减1。 八、学情自测 （一）选择题（每题2分，共5题） 1．计算，正确的结果是（     ） A． B． C． D． 2．的倒数是（     ） A．7 B． C． D． 3．水的化学式是，其中氢元素的化合价是，氧元素的化合价是．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 4．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 5．2026年月，我国新能源汽车出口约1830000辆，将1830000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． （二）填空题（每空2分，共5题） 1．中国是历史上最早认识和使用负数的国家．某地某天最高气温为零上6摄氏度，最低气温为零下2摄氏度，则该地这天最高气温比最低气温高________摄氏度． 2．某校开展“爱心助力乡村振兴”活动，艺术社团的同学们一共花了480元购买原材料，全部用于绘制秦腔脸谱．他们把所绘制的秦腔脸谱以每个25元的价格全部售出，将共获得的170元利润全部捐出，用于乡村图书馆建设．则他们绘制的秦腔脸谱的个数为_________． 3．数轴上表示数，的点如图所示，则_____0．（填“”“”或“”） 4．计算：(-1)的100次方＝______。 5．近似数3.14精确到________位。 （三）解答题（每题8分，共2题） 1. 计算下列各题： （1）(-8)+(-6)-(-10)；　　（2）(-2)³×(-)。 2. 某仓库星期一进出货物记录如下（进货记为正，出货记为负，单位：吨）：+5，-3，+2，-6，+4。 （1）星期一结束时，该仓库库存比原来增加还是减少？变化多少吨？ （2）若进货每吨付运费8元，出货每吨付运费5元，这天共付运费多少元？ 九、参考答案 【选择题】 1．【答案】B 解题步骤： ①异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值：； ②∴结果为2，故选B． 【知识点睛】有理数加法先定符号再算绝对值：同号取原符号、绝对值相加；异号取绝对值大的符号、绝对值相减． 2．【答案】D 解题步骤： ①∵， ②∴的倒数是. 【知识点睛】倒数定义：乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数。解题关键是分子分母颠倒，注意符号。中考常直接考查求一个数的倒数。 3．【答案】B 解题步骤： ①水的化学式为H₂O，其中氢元素为＋1价、氧元素为−2价，化合物中正负化合价代数和为零，计算：； ②∴计算结果为0，故选B． 【知识点睛】有理数加减混合运算：本题以化合物中正负化合价代数和为背景，实质是含符号的有理数加法运算，先定符号再算绝对值，注意按运算顺序逐步计算． 4．【答案】D 解题步骤： ①由数轴可得：， ②∴，，， ③∴选项A、B、C说法错误；选项D说法正确． 【知识点睛】由数轴判断数的符号与大小：数轴上右边的数总比左边的数大，原点右边为正、左边为负。本题由图知b＜−1＜0＜a＜1，即a＞0、b＜0且|b|＞|a|，据此逐一判断a＋b＜0、a−b＞0、ab＜0，故选D。 5．【答案】B 解题步骤： ①科学记数法是将一个数写成a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|<10，n等于原数的整数位数减1 ②将1830000用科学记数法表示为． 【知识点睛】科学记数法：将大数写成a×10^n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数位数减1。解题关键是确定a和n的值。中考常以时事热点数据为背景考查，属必拿分题。 【填空题】 1．【答案】8 解题步骤： ①规定零上温度为正，则该地这天最高气温为，最低气温为． ②∴该地这天最高气温比最低气温高． 【知识点睛】有理数减法的实际应用（温差）：零上温度记为正、零下温度记为负，最高气温−最低气温即温差。减去一个数等于加上这个数的相反数，故6−(−2)＝6＋2＝8(℃)。列式前先把实际温度用正负数表示。 2．【答案】他们绘制的秦腔脸谱的个数为26． 解题步骤： ①， ② ∴他们绘制的秦腔脸谱的个数为26． 【知识点睛】有理数混合运算的实际应用（利润问题）：利润＝售价−成本，故总售价＝成本＋利润＝480＋170＝650(元)；再由“脸谱个数＝总售价÷单价”得(480＋170)÷25＝26(个)。解题关键是理清成本、售价、利润、单价的关系后正确列式。 3．【答案】a+b>0 解题步骤： ①由数轴可得，． ②∴． 【知识点睛】由数轴判断两数和的符号：先在数轴上确定a、b的正负及到原点的距离。本题a＜0＜b，且表示b的点离原点较远（|b|＞|a|），异号两数相加取绝对值较大加数的符号，故a＋b＞0。 4．(-1)的100次方＝1。 5．近似数3.14精确到百分位（0.01）。 【解答题】 1. 解：（1）先把减法化为加法：(-8)+(-6)-(-10)=(-8)+(-6)+(+10)=-14+10=-4。 （2）先算乘方：(-2)³=-8，再相乘：(-8)×(-)=8×=4。 2. 解：（1）库存变化＝进出货记录的和：(+5)+(-3)+(+2)+(-6)+(+4)=5-3+2-6+4=+2（吨），即库存比原来增加2吨。 （2）进货车数：|+5|+|+2|+|+4|=11（吨），出货吨数：|-3|+|-6|=9（吨）。 运费＝11×8+9×5=88+45=133（元）。答：这天共付运费133元。 学科网（北京）股份有限公司 $