4.4对数函数（分层作业，19大题型）高一数学人教A版必修第一册

分层作业 4.4 对数函数 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 对数函数的概念判断与求值 题型02 求对数函数的解析式 题型03 对数型函数的定义域 题型04 判断对数型函数的图象形状 题型05 对数函数过定点问题 题型06 对数函数图象的应用 题型07 对数型函数的单调性及应用 题型08 比较对数式的大小 题型09 由对数函数的单调性解不等式 B组 能力进阶 题型01 对数型函数的值域问题 题型02 根据对数函数的值域求参数值或范围 题型03 对数型复合函数的单调性 题型04 指数、对数、幂函数模型的增长差异 题型05 不同增长的函数模型的图象特征 题型06 根据实际问题增长率选择合适的函数模型 题型07 对数型函数在实际问题中的应用 C组 思维拔高 题型01 反函数及其性质的应用 题型02 对数型函数的奇偶性 题型03 对数函数性质的综合应用 对数函数的概念判断与求值题型01 1．下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东菏泽·期末）若，则（    ） A． B． C．1 D．3 3．（24-25高一上·陕西渭南·期末）已知函数，则的值是__________. 4．（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知函数，若，则________. 5．（25-26高一·江西上饶·期末）已知函数是对数函数，则__________． 求对数函数的解析式题型02 1．（25-26高一上·陕西宝鸡·月考）已知函数，若图象过点，则的值为（   ） A． B．2 C．1 D． 2．对数函数（且）的图象经过点，则此函数的解析式________． 3．点，都在同一个对数函数上，则t=__________. 4．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知定义在上的函数满足，且．请写出一个满足条件的的解析式___________． 5．若函数满足：（1），且，都有；（2），则___________.（写出满足这些条件的一个函数即可） 对数型函数的定义域题型03 1．（2025·广东·学业水平）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则函数的定义域为（  ） A． B．(0,10) C． D． 3．已知函数的定义域是，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·广东汕头·期末）函数的定义域为_____________ 判断对数型函数的图象形状题型04 1．在同一个坐标系下，函数与函数的图象都正确的是（　　） A． B． C． D． 2．函数的图象是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河北石家庄·期末）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 4．函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．对数函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 对数函数过定点问题题型05 1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·重庆·期中）函数，且恒过点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 3．函数的图象所过定点的坐标为___________. 4．（24-25高一上·安徽·质检）函数（且）的图象必过定点_________． 5．已知函数的图象过定点，且点在指数函数图象上，则__________. 对数函数图象的应用题型06 1．（2026·北京·学业水平）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度 2．要得到的图象，只需将函数的图象上所有点的横坐标（   ） A．缩小到原来的倍（纵坐标不变） B．扩大到原来的10倍（纵坐标不变） C．向左移动1个单位（纵坐标不变） D．向右移动1个单位（纵坐标不变） 3．已知，，，则a，b，c大小为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数f(x)＝x2＋ex－ (x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是(　　) A．   B． C．   D． 5．（25-26高一上·湖南·联考）若函数（且）的图象不经过第三象限，则a的取值范围为_______． 对数型函数的单调性及应用题型07 1．（25-26高二上·宁夏银川·期中）下列函数中是减函数的为（   ） A． B． C． D． 2．若函数在上单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·天津·月考）已知实数，满足，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 4．（25-26高一上·河南周口·期末）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是________. 5．（25-26高一上·上海·期末）已知，其中为实数． (1)若，求的值； (2)若时，有，求的取值范围. 比较对数式的大小题型08 1．若，，，则 A． B． C． D． 2．下面不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．设，则（   ） A． B． C． D． 4．已知：，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·江西·联考）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 由对数函数的单调性解不等式题型09 1．（25-26高一上·贵州·联考）已知且，则a 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集是______． 3．（24-25高三上·山西太原·期中）已知函数（，）的图象经过点，则不等式的解集为__________. 4．设函数，则使得成立的实数的取值范围为__________. 5．已知函数且． (1)求函数的定义域及其函数图象过的定点； (2)解关于的不等式. 对数型函数的值域问题题型01 1．（25-26高一上·上海·期末）函数的值域是_____． 2．（24-25高一上·广东·月考）已知函数，则的最小值是______. 3．（24-25高一上·云南昆明·月考）设函数，且. (1)求的值； (2)若令，求实数的取值范围； (3)将表示成以为自变量的函数，并由此求函数的最大值与最小值及与之对应的的值. 4．（25-26高一上·云南·期末）已知函数． (1)求函数的定义域，并判断函数的奇偶性； (2)求函数的值域． 5．已知函数． (1)若函数的定义域为，求实数的取值范围； (2)若函数的值域为，求实数的取值范围． 6．已知函数. （1）若函数的值域为，求实数的取值范围； （2）若函数的定义域为，求实数的取值范围. 7．已知函数． (1)证明函数的图象过定点； (2)设，且，讨论函数在上的最小值． 根据对数函数的值域求参数值或范围题型02 1．（24-25高三上·海南海口·期末）已知函数（，且）的值域为，则的范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海·月考）已知常数且，若函数的定义域和值域都是，则________． 4．已知函数，且，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是______. 5．（25-26高一上·辽宁·月考）已知函数 (1)若，求的值域； (2)若，函数的最小值为，求的值． 对数型复合函数的单调性题型03 1．下列函数中，在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数（且），若，则的递增区间是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·四川广元·月考）已知函数，则函数单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·甘肃兰州·月考）已知函数， (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)求函数的单调区间． 5．（25-26高一上·江西南昌·月考）已知函数． (1)求的最小值，并求出当取得最小值时的值； (2)求的单调递减区间． 指数、对数、幂函数模型的增长差异题型04 1．下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中,增长速度越来越慢的是 A． B． C． D． 3．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程关于时间的函数关系式分别为，，，，则下列结论正确的是（    ） A．当时，乙在最前面 B．当时，丙在最前面 C．当时，丁在最后面 D．如果它们一直运动下去，最终在最前面的是甲 4．（25-26高一·江西上饶·期末）三个变量，随着变量的变化情况如表： 2 3 5 7 11 15 4 9 25 49 121 225 4 8 32 128 2048 32768 1 1.58 2.32 2.81 3.46 3.91 则关于呈对数型函数､指数型函数､幂函数型函数变化的函数依次最恰当的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·四川·期末）设函数，当时，从大到小依次为______． 不同增长的函数模型的图象特征题型05 1．水以恒速注入下图所示容器中，则水的高度与时间的函数关系是（   ） A． B． C． D． 2．设集合，，则的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   4．（24-25高一上·天津·期中）若，函数，，中，增长较快的一个是____________，则使成立的的取值范围是____________. 5．使不等式成立的的取值范围是________. 根据实际问题增长率选择合适的函数模型题型06 1．在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据： 在四个函数模型（为待定系数）中，最能反映函数关系的是（    ） A． B． C． D． 2．有一组实验数据及对应散点图如下所示，则下列能体现这些数据的最佳函数模型是（    ） 0 4 9 16 36 3 7 9 11 15 A． B． C． D． 3．人类已经进入大数据时代.目前，数据量已经从TB（1TB=1024GB）级别跃升到PB（1PB=1024TB），EB（1EB=1024PB）乃至ZB（1ZB=1024EB）级别.国际数据公司（IDC）的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示： 年份 2008 2009 2010 2011 … 2020 数据量（ZB） 0.49 0.8 1.2 1.82 … 80 (1)设2008年为第一年，为较好地描述2008年起第年全球生产的数据量（单位：ZB）与的关系，根据上述信息，试从（，且），，（，且）三种函数模型中选择一个，应该选哪一个更合适?（不用说明理由）； (2)根据（1）中所选的函数模型，若选取2009年和2020年的数据量来估计模型中的参数，预计到哪一年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍? 4．（25-26高一上·上海·期末）某校为了鼓励学生利用业余时间阅读名著，预备制定一个每日阅读考核评分制度，建立每日得分（单位：分）与当日阅读时间（单位：分钟）的函数关系.要求如下： （i）阅读的部分图像接近图示； （ii）每日阅读时间为0分钟时，当日得分为0分； （iii）每日阅读时间为30分钟时，当日得分为3分； （iv）每日阅读时间设置上限，最多得分不超过6分. 现有以下三个函数模型供选择： ①  ②  ③ (1)请你根据以上要求选择合适的函数模型并求出其解析式； (2)若该校要求每日得分不少于5分，每日至少阅读名著多少分钟？（结果精确到整数） 对数型函数在实际问题中的应用题型07 1．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于．经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为（    ）（参考数据，） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·北京·期中）在信息通信技术领域中，香农公式是广泛公认的理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中称为信噪比．以下有关于香农公式的个命题，其中正确的是（    ） ①若将视为常数，则随信噪比增大而逐渐增大，且增长速度越来越慢； ②令保持不变，信噪比从增大到，可以使增大为原来的倍； ③由于技术提升，信道带宽变为原来的倍，信噪比从原来的提升到，则提升后的最大信息传递速率比提升前增大了约．（取） A．①② B．①②③ C．①③ D．① 3．（24-25高一上·天津·月考）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述: 设物体的初始温度是 ， 后的温度是 ，则 ，其中 表示环境温度， 称为半衰期. 现有一杯88°C的咖啡放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃大约需要20 min，那么降温到35℃大约需要 （参考数据: ） （     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·河南荥阳·期末）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（   ）（参考数据：） A．72 B．73 C．74 D．76 5．“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为（    ）（参考数据：） A．5 B．6 C．7 D．8 反函数及其性质的应用题型01 1．（25-26高一上·浙江丽水·期末）函数与的图象关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．坐标原点对称 D．直线对称 2．（25-26高一上·山东·月考）设函数且，若其反函数的图象过点，则（   ） A．2 B．3 C． D． 3．函数的反函数是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·辽宁·月考）已知函数的反函数为 (1)求的解析式，并判断单调性（无需证明）； (2)当时使得关于不等式有解，求的取值范围： (3)若关于的不等式恰有2个整数解，求的取值范围． 对数型函数的奇偶性题型02 1．下列函数中，在定义域内不是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数是奇函数，则（     ） A． B．1 C． D．2 3．（24-25高二下·北京·质检）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2 B． C．1 D．-1 4．已知函数的图象关于原点对称，是偶函数，则（   ） A． B．2 C． D．0 对数函数性质的综合应用题型03 1．（25-26高一上·山东菏泽·期末）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海·期中）关于函数（且），有下列结论：①函数的定义域为；②函数的图像有且仅有两个定点；③当时，函数在区间上是严格增函数； ④当时，函数的最小值为.其中正确结论的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高三上·北京·质检）已知，则其定义域是______，曲线的对称中心是______． 4．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数（且）的图象过点. (1)求； (2)当时，存在偶函数和奇函数，使得. （i）求和的解析式； （ii）求不等式的解集. 5．已知函数为偶函数. (1)求实数k的值； (2)判断函数在上的单调性，并求出满足的实数的取值范围； (3)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.4 对数函数 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 对数函数的概念判断与求值 题型02 求对数函数的解析式 题型03 对数型函数的定义域 题型04 判断对数型函数的图象形状 题型05 对数函数过定点问题 题型06 对数函数图象的应用 题型07 对数型函数的单调性及应用 题型08 比较对数式的大小 题型09 由对数函数的单调性解不等式 B组 能力进阶 题型01 对数型函数的值域问题 题型02 根据对数函数的值域求参数值或范围 题型03 对数型复合函数的单调性 题型04 指数、对数、幂函数模型的增长差异 题型05 不同增长的函数模型的图象特征 题型06 根据实际问题增长率选择合适的函数模型 题型07 对数型函数在实际问题中的应用 C组 思维拔高 题型01 反函数及其性质的应用 题型02 对数型函数的奇偶性 题型03 对数函数性质的综合应用 对数函数的概念判断与求值题型01 1．下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数定义直接判断即可. 【详解】形如的函数叫作对数函数，它的定义域是， 对于A，满足，故A正确； 对于B，C，D，形式均不正确，均错误. 故选：A 2．（25-26高一上·山东菏泽·期末）若，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】令求出的值，再代入计算可得. 【详解】因为，令，解得， 所以. 故选：A 3．（24-25高一上·陕西渭南·期末）已知函数，则的值是__________. 【答案】 【分析】根据给定的分段函数，依次判断并代入求出函数值. 【详解】函数，则， 所以. 故答案为： 4．（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知函数，若，则________. 【答案】 【分析】根据对数函数运算法则，以及函数的性质，解方程求解即可. 【详解】因为对数函数的真数大于0，所以：；， 综上可得函数的定义域为：. 根据对数加法法则：， 已知，即，转化成指数形式：， 解得：或（舍去）. 所以. 故答案为： 5．（25-26高一·江西上饶·期末）已知函数是对数函数，则__________． 【答案】 【分析】利用对数函数的性质结合已知条件求出，再结合指数、对数的关系化简求解． 【详解】已知函数是对数函数，则，且，， 解方程得， ，且， ， ，故， ． 故答案为：． 求对数函数的解析式题型02 1．（25-26高一上·陕西宝鸡·月考）已知函数，若图象过点，则的值为（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】将点代入，求出a的值，得到的解析式，即可求出的值. 【详解】由题可得，所以，即，所以. 所以，所以. 故选：B. 2．对数函数（且）的图象经过点，则此函数的解析式________． 【答案】 【分析】将点的坐标代入函数解析式，求出的值，由此可得出所求函数的解析式. 【详解】由已知条件可得，可得，因为且，所以，. 因此，所求函数解析式为. 故答案为：. 3．点，都在同一个对数函数上，则t=__________. 【答案】9 【分析】设出函数解析式，利用得出解析式，代入可得答案. 【详解】设对数函数为，因为在函数上，所以，解得； 因为也在函数上，所以，解得. 故答案为：9 4．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知定义在上的函数满足，且．请写出一个满足条件的的解析式___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，结合对数的运算性质，以及对数函数的性质，即可得到答案. 【详解】由对数的运算法则知：， 则满足，且的一个函数解析式可以为. 故答案为：（答案不唯一）. 5．若函数满足：（1），且，都有；（2），则___________.（写出满足这些条件的一个函数即可） 【答案】，（logax，(0<a<1)都对） 【分析】满足第一个条件，表示函数是单调递减函数，第二个条件正好是符合对数的运算性质； 【详解】对于条件①，不妨设，则，∵，∴ ∴，∴为上的单调递减函数，对于条件②，刚好符合对数的运算性质，故这样的函数可以是一个单调递减的对数函数. 故答案为:.（logax，(0<a<1)都对） 对数型函数的定义域题型03 1．（2025·广东·学业水平）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的真数大于零列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则，解得， 即函数的定义域是， 故选：B. 2．已知函数，则函数的定义域为（  ） A． B．(0,10) C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数真数大于零有，解得函数定义域. 【详解】由题意的定义域为， 所以中. 故选：D 3．已知函数的定义域是，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可. 【详解】因为函数的定义域是，所以， 所以，所以函数的定义域为， 所以要使函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. 4．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为对任意，同时恒大于0且恒不为1，分情况讨论求实数的取值范围即可. 【详解】的定义域为， 则对任意，同时恒大于0且恒不为1， 对于，若，则时，不满足题意； 若，则恒成立， 因为，要满足恒大于0且恒不为1，则， 所以的取值范围是． 故选:A． 5．（24-25高一下·广东汕头·期末）函数的定义域为_____________ 【答案】 【分析】根据函数解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 【详解】由，解得，且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 判断对数型函数的图象形状题型04 1．在同一个坐标系下，函数与函数的图象都正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性判断函数图象． 【详解】解：指数函数是增函数， 对数函数是减函数， 故选：A. 2．函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数定义域及函数值的正负判断即可. 【详解】因为的定义域为，故BD错误； 又，故C错误；故A正确. 故选：A 3．（25-26高一上·河北石家庄·期末）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用奇偶性的定义法判断的奇偶性，再判断当时，，排除选项BCD，即可求解. 【详解】由题意知的定义域为， 由于， 故是奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项BD， 又当时，，故，故排除选项C，故A正确. 故选：A 4．函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象特征及对数函数的性质判断即可. 【详解】 因为，，所以，故的对称轴在轴左侧，排除A与C； 由选项BD可知，，所以， 所以在对称轴右侧单调递减，在对称轴左侧单调递增，故B满足，D不满足. 5．对数函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图象，分别讨论和时，的单调性和的开口方向以及根的位置即可求解. 【详解】选项A、B中，由对数函数图象得，则二次函数中二次项系数，其对应方程的两个根为， 选项A中，由图象得，从而，选项A可能； 选项B中，由图象得，与相矛盾，选项B不可能； 选项D中，由对数函数的图象得，则，二次函数图象开口向下，选项D不可能； 选项C中，由图象与轴的交点的位置得，与相矛盾，选项C不可能. 故选：A. 对数函数过定点问题题型05 1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知， 令，得，代入得， 故函数的图象恒过定点. 2．（25-26高一上·重庆·期中）函数，且恒过点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合对数函数图象恒过的点列式求解. 【详解】由函数的图象恒过点，得，解得， 所以. 故选：A 3．函数的图象所过定点的坐标为___________. 【答案】 【分析】由对数函数的性质求解， 【详解】由题意得，的图象过定点， 故答案为： 4．（24-25高一上·安徽·质检）函数（且）的图象必过定点_________． 【答案】 【分析】根据，即可得到定点. 【详解】由，， 所以当时，， 所以函数过定点. 故答案为：. 5．已知函数的图象过定点，且点在指数函数图象上，则__________. 【答案】 【分析】由对数函数的图象可得，故可求的解析式，根据对数的运算即可求解. 【详解】在中，令,可得, 故. 设,由题意可得,解得. 所以，. 故答案为:. 对数函数图象的应用题型06 1．（2026·北京·学业水平）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度 【答案】A 【详解】根据图形平移变换 “左加右减”的规则，可得：向左平移一个单位得到的图像. 2．要得到的图象，只需将函数的图象上所有点的横坐标（   ） A．缩小到原来的倍（纵坐标不变） B．扩大到原来的10倍（纵坐标不变） C．向左移动1个单位（纵坐标不变） D．向右移动1个单位（纵坐标不变） 【答案】B 【分析】由对数的运算及函数图象的变换可得解. 【详解】因为， 所以由函数图象的变换知，只需将函数的图象上所有点的横坐标扩大到原来的倍（纵坐标不变）， 故选：B 3．已知，，，则a，b，c大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】a，b，c可以看成分别与，，图象的交点的横坐标，画出图象即可得出答案. 【详解】可以看成与图象的交点的横坐标为， 可以看成与图象的交点的横坐标为， 可以看成与图象的交点的横坐标为， 画出函数的图象如下图所示，    由图象可知，. 故选：D. 4．已知函数f(x)＝x2＋ex－ (x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是(　　) A．   B． C．   D． 【答案】B 【分析】先求得关于轴对称得到的函数表达式，根据与在上有公共点，由变为两个函数图像在上有交点，来求得的取值范围. 【详解】关于轴对称得到的函数为，依题意可知与在上有公共点，由得，. 对于函数，在上单调递减，且. 对于函数，在上单调递增. 当时，的图像向右平移个单位得到，与图像在上必有个交点. 当时，的图像向左平移个单位得到，要使与图像在上有交点，则需当时（也即轴上），的函数值小于的函数值，即，解得. 综上所述，的取值范围是. 故选：B. 【点睛】本小题主要考查函数的图像的对称关系，考查两个函数图像有交点的问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 5．（25-26高一上·湖南·联考）若函数（且）的图象不经过第三象限，则a的取值范围为_______． 【答案】 【分析】根据函数的平移及对数函数的单调性及函数值列式得到答案. 【详解】函数（且）的图象不经过第三象限， 当，由对数函数图象性质知不合题意； 当时，， 所以，所以. 故答案为： 对数型函数的单调性及应用题型07 1．（25-26高二上·宁夏银川·期中）下列函数中是减函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用解析式直接确定单调性即可判断得解. 【详解】对于A，函数是增函数，A不是； 对于B，函数在定义域上不单调，B不是； 对于C，函数是增函数，C不是； 对于D，函数是定义域上的减函数，D是. 故选：D 2．若函数在上单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分单调递增与单调递减两种情况讨论，根据分段函数单调性判断方法列出不等式组求解. 【详解】若 在上单调递增，则，解得， 若 在上单调递减，则，解得． 综上得. 故选：D 3．（24-25高一上·天津·月考）已知实数，满足，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据题意，由，得到，结合函数为增函数，得到 ，求得，代入即可求解. 【详解】由，可得，则， 可得， 因为函数在定义域上为单调递增函数， 又由，所以 ， 可得，即， 所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：将，转化为，再构造函数是解决本题的关键. 4．（25-26高一上·河南周口·期末）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据复合函数的单调性判别，由对数函数以及一次函数的单调性，结合对数函数的定义域，建立不等式，可得答案. 【详解】当时，由函数与函数都是减函数，则函数为增函数，故不符合题意； 当时，由函数为增函数且为减函数，则函数为减函数，符合题意. 由题意可得，解得， 综上可得：. 故答案为：. 5．（25-26高一上·上海·期末）已知，其中为实数． (1)若，求的值； (2)若时，有，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用对数的运算性质进行求解即可； （2）运用对数函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）由题意得，得到， 则，解得. （2）因为时，有， 所以该函数是正实数集上的减函数， 则，解得或， 故的取值范围为. 比较对数式的大小题型08 1．若，，，则 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断得到c＜0，a＞1，1>b＞0，进而得解. 【详解】由题得，， ， 所以. 故选D 【点睛】本题主要考查对数函数的运算和单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．下面不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合对数函数在单调递增，以及临界值1，判断即可. 【详解】由题意，对数函数在单调递增， 故，， 即. 故选：A 3．设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：由题意，，，显然，因此有．故选A． 考点：对数函数的性质，对数的换底公式． 4．已知：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数和对数函数的单调性，借助0，1和帮助判定即可得出答案. 【详解】由题可知， 所以， ， 因为，所以， 则，所以， 所以，故，即. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握指数和对数函数的单调性，从而得解. 5．（24-25高三上·江西·联考）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数幂的运算法则和对数函数、指数函数的单调性，进行合理的放缩分别比较和即得. 【详解】因， 故，即； 又， 故，即. 故有即. 故选：A. 由对数函数的单调性解不等式题型09 1．（25-26高一上·贵州·联考）已知且，则a 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性及运算性质，分析求解，即可得答案. 【详解】由题意， 当时，在上单调递减，所以； 当时，在上单调递增，解得，结合前提，所以. 综上，a 的取值范围是. 故选：D 2．不等式的解集是______． 【答案】 【详解】由. 所以不等式的解集是. 3．（24-25高三上·山西太原·期中）已知函数（，）的图象经过点，则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】由题意建立方程，结合对数运算可得参数的值，根据对数函数的性质，建立不等式组，可得答案. 【详解】由题意可得，则，解得， 由函数在上单调递减， 则，可得，解得， 故答案为：. 4．设函数，则使得成立的实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据定义法可判断函数奇偶性，根据函数解析式可判断当时函数的单调性，进而根据函数的奇偶性与单调性解不等式. 【详解】由可知其定义域为， 且， 即函数为偶函数， 当时，单调递增， 所以当时，单调递减， 不等式， 可转化为，解得， 即不等式的解集为. 故答案为：. 5．已知函数且． (1)求函数的定义域及其函数图象过的定点； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)定义域为，定点坐标为 (2)当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为. 【分析】（1）利用对数的真数大于零可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域，化简函数解析式为，令真数为，可得出的值，即可得出该函数图象所过定点的坐标； （2）对实数的取值范围进行分类讨论，可得出关于的不等式组，由此可解得所求不等式的解集. 【详解】（1）要使函数有意义，则，解得， 故函数的定义域为， 因为， 由，得，即，所以的图象过的定点是 （2）由题意可得， 当时，函数在定义域上单调递减， 则有，解得； 同理，当时，函数在定义域上单调递增， 则有，解得或； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 对数型函数的值域问题题型01 1．（25-26高一上·上海·期末）函数的值域是_____． 【答案】 【分析】根据复合函数值域求解即可求得结果. 【详解】易知函数的定义域为， 且， 所以，即. 因此函数的值域为. 故答案为： 2．（24-25高一上·广东·月考）已知函数，则的最小值是______. 【答案】 【分析】先求的定义域，将，，再结合基本不等式和对数函数的单调性，即可求解. 【详解】由函数有意义， 则满足，解得， 所以函数的定义域为， 又由，， 令， 则， 由，，当且仅当时，即时，等号成立， 由在单调递增， 所以，即， 所以函数的最小值为4． 故答案为：. 3．（24-25高一上·云南昆明·月考）设函数，且. (1)求的值； (2)若令，求实数的取值范围； (3)将表示成以为自变量的函数，并由此求函数的最大值与最小值及与之对应的的值. 【答案】(1)6 (2) (3)；，此时；，此时. 【分析】（1）根据函数解析式代入计算可得； （2）因为，利用对数函数的单调性求出实数的取值范围； （3）根据换元法将函数转化为二次函数，借助二次函数的单调性求出函数取得最大值、最小值，再得出对应的的值. 【详解】（1）由可得； （2）因为在定义域内为单调递增函数， 又，所以，解得； 所以实数的取值范围为. （3）由 ； 令， 当时，，此时，解得； 所以，此时； 当时，，此时，解得； 所以，此时. 4．（25-26高一上·云南·期末）已知函数． (1)求函数的定义域，并判断函数的奇偶性； (2)求函数的值域． 【答案】(1)，偶函数 (2) 【分析】（1）解不等式得定义域，再根据奇偶性的定义判断即可； （2）由题知，令，再结合复合函数的性质求解值域即可. 【详解】（1）由题意得，解得． 所以函数的定义域为． 所以函数定义域关于原点对称， 又． 为偶函数． （2），， 令，，则， 又函数为增函数，的最大值为0． 所以函数的值域为． 5．已知函数． (1)若函数的定义域为，求实数的取值范围； (2)若函数的值域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得到，由根的判别式得到不等式，求出实数的取值范围； （2）得到是值域的子集，由根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】（1）由题意，对成立，则，即． 所以实数的取值范围为． （2）由函数的值域为，则是值域的子集， 所以，即或． 所以实数的取值范围为． 6．已知函数. （1）若函数的值域为，求实数的取值范围； （2）若函数的定义域为，求实数的取值范围. 【答案】（1）.（2）. 【分析】（1）根据对数函数性质，结合二次函数的值域，即可确定当函数的值域为时实数的取值范围； （2）根据对数函数定义域要求，结合二次函数性质，即可求得的取值范围. 【详解】（1）∵的值域为， ∴要求的值域包含. 当时，显然不可能； 当时，成立； 当时，若的值域包含， 则，解得. 综上所述，可知的取值范围是. （2）由题意，知的值恒为正， ∴，解得， 故的取值范围是. 【点睛】本题考查了对数函数的性质及应用，二次函数的性质及应用，属于基础题. 7．已知函数． (1)证明函数的图象过定点； (2)设，且，讨论函数在上的最小值． 【答案】(1)因为，故函数的图象过定点. (2) 【分析】（1）计算出的值，即可证得结论成立； （2）对参数、的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，即可得出函数在上的最小值. 【详解】（1）略 （2）当时， 由，可得，即， 由，可得，即， 即， 因为，所以， 所以，函数在上单调递增，则； 当时， 由可得，即， 由可得，即， 所以， 若，则， 此时，函数在上单调递增，则； 若，则， 当时，函数在上单调递减，此时，； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则. 综上所述，在上的最小值为. 【点睛】思路点睛：本题考查含参函数在闭区间上的最值问题，对于这类问题，要注意对参数的取值进行分类讨论，并分析函数在区间上的单调性，再结合单调性求解. 根据对数函数的值域求参数值或范围题型02 1．（24-25高三上·海南海口·期末）已知函数（，且）的值域为，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得是函数的值域的子集，求解即可. 【详解】令，则， 要使函数（，且）的值域为， 则是函数的值域的子集，又时，， 所以，所以的范围是. 故选：D. 2．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】首先求函数在时函数的值域，再根据函数的值域为，确定时函数的单调性和端点值的范围，求实数的取值范围. 【详解】时，， 又的值域为，则时，的值域包含， ，解得：. 故选：B 3．（24-25高一下·上海·月考）已知常数且，若函数的定义域和值域都是，则________． 【答案】 【分析】分、两种情况讨论，结合函数的单调性计算可得. 【详解】若，则在上单调递增， 则，解得； 若，则在上单调递减， 又当时，所以函数在上的值域不可能为，故舍去； 综上可得. 故答案为： 4．已知函数，且，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据题意知，，求值后解出不等式即可. 【详解】根据题意知， 因为， 其图象开口向下，对称轴为， 所以当时， 其最小值， 当时，，在上的最小值为， 则由得， 当时，，在上的最小值为， 则时，无解， 故实数的取值范围为， 故答案为：. 5．（25-26高一上·辽宁·月考）已知函数 (1)若，求的值域； (2)若，函数的最小值为，求的值． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）将整理成，代入，利用换元法设，，利用对数函数和二次函数的图像求值域； （2）将整理成，设，利用对数函数和二次函数的图像求值域，分别讨论二次函数的对称轴在区间的左中右这三种情况求解. 【详解】（1）， 时，设， 当时，取最小值； 当时，取最大值2； 因此函数的值域为． （2）， 设，，， ①当，即，函数的最小值为，满足题意； ②当，即， 函数的最小值为，由已知， 解得（舍去）或（舍去）； ③当，即，函数的最小值为， 由已知，故， 综上所述：的值为或. 对数型复合函数的单调性题型03 1．下列函数中，在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的单调性对各选项中函数的单调性进行分析，可得出正确选项. 【详解】对于A选项，二次函数的图象开口向下，对称轴为轴，该函数的增区间为，减区间为； 对于B选项，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，该函数的减区间为，增区间为； 对于C选项，指数函数在上为减函数； 对于D选项，，该函数在区间上为增函数. 故选D. 【点睛】本题考查基本初等函数在区间上的单调性的判断，熟悉基本初等函数的单调性是解题的关键，考查推理能力，属于基础题. 2．已知函数（且），若，则的递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，所以，又且，所以， 而 的定义域为，处无定义， 当时，，因为，所以对数函数在上单调递增； 当时，， 根据复合函数性质得，内层在单调递减， 外层单调递增，因此在上单调递减. 则的递增区间是． 3．（24-25高一上·四川广元·月考）已知函数，则函数单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求函数定义域，再结合复合函数单调性分析求解. 【详解】令，解得或， 可知的定义域为， 因为在定义域内单调递减， 且在内单调递减，在内单调递增， 可知在内单调递增，在内单调递减， 所以函数单调递增区间为. 故选：D. 4．（25-26高一上·甘肃兰州·月考）已知函数， (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2) 函数为奇函数，理由如下： 因为函数的定义域为， 且，即， 所以函数为奇函数. (3)单调递减区间为，无单调递增区间 【分析】（1）根据对数可得，解不等式即可得函数定义域； （2）根据题意结合奇函数的定义分析判断即可； （3）根据对数函数单调性结合复合函数单调性分析判断. 【详解】（1）令，等价于，解得， 所以函数的定义域为. （2）略 （3）由题意可得：， 因为在定义域内单调递增，且在区间内单调递减， 则函数在定义域内单调递减， 所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间. 5．（25-26高一上·江西南昌·月考）已知函数． (1)求的最小值，并求出当取得最小值时的值； (2)求的单调递减区间． 【答案】(1)最小值为，； (2) 【分析】（1）令，结合二次函数性质求解即可； （2）利用复合函数的单调性列不等式求解可得. 【详解】（1）因为的定义域为， 所以， 令，，则， 当，即，即时，取得最小值，最小值为. （2）因为在上单调递增，在上单调递减， 令，解得， 所以的单调递减区间为. 指数、对数、幂函数模型的增长差异题型04 1．下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照基本函数的性质即可求解. 【详解】依据常函数、一次函数、对数函数、指数函数的性质可知增长速度最快的函数模型是指数函数，故随着x的增长，增长速度最快. 故选：D. 2．下列函数中,增长速度越来越慢的是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数、一次函数增长速度，选出增长速度越来越慢的选项. 【详解】函数的增长速度，指数函数的增长速度越来越快，对数函数增长速度越来越慢，幂函数的增长速度越来越快，一次函数匀速增长. 故选：B. 【点睛】本小题主要考查指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长快慢，属于基础题. 3．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程关于时间的函数关系式分别为，，，，则下列结论正确的是（    ） A．当时，乙在最前面 B．当时，丙在最前面 C．当时，丁在最后面 D．如果它们一直运动下去，最终在最前面的是甲 【答案】D 【分析】作出四个函数的图象，结合图象以及特殊值法可判断各选项的正误. 【详解】在同一直角坐标系中作出函数的图象如下图所示： 对于A选项，，故A错误； 对于B选项，，故B错误； 对于C选项，当时，，即乙在最后面，C错； 对于D选项，随着的增大，越到后面，四个函数中，函数的增长速度越快， 如果它们一直运动下去，最终在最前面的是甲，D对. 故选：D. 4．（25-26高一·江西上饶·期末）三个变量，随着变量的变化情况如表： 2 3 5 7 11 15 4 9 25 49 121 225 4 8 32 128 2048 32768 1 1.58 2.32 2.81 3.46 3.91 则关于呈对数型函数､指数型函数､幂函数型函数变化的函数依次最恰当的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由幂函数、指数函数、对数函数的增长速度的特点即可求解. 【详解】由题意得，满足幂函数，故呈幂函数型函数变化； 现有的的数据的增长速度先慢后快，符合指数型函数特点，满足指数函数，故呈指数型函数变化； 现有的的数据的增长速度先快后慢，符合对数型函数特点，近似满足对数函数，故呈对数型函数变化. 故选：C. 5．（24-25高一上·四川·期末）设函数，当时，从大到小依次为______． 【答案】（或） 【分析】作出三个函数的图象，根据函数的增长趋势判断即可. 【详解】分别作出函数在同一平面直角坐标系内图象，    由图象可知，当时，， 故答案为：（或） 不同增长的函数模型的图象特征题型05 1．水以恒速注入下图所示容器中，则水的高度与时间的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查容器的形状来确定水的高度的变换规律，选择图形即可. 【详解】容器由下到上口径越来越大，水以恒速注入，则容器中水的高度增加的速度逐渐变慢，A符合； B选项容器中水的高度增加的速度逐渐变快； C选项容器中水的高度是匀速增加； D选项容器中水的高度增加的速度先增加较慢，后增加较快. 故选：A 2．设集合，，则的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据交集以及指数函数、二次函数图象等知识确定正确答案. 【详解】如图，集合为函数图象的点集，集合为函数图象的点集， 两函数的图象有三个交点，所以的元素个数为个. 故选：C      3．函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据奇偶性、区间函数值符号及对应幂、指数复合函数的增长趋势，应用排除法确定答案即可. 【详解】由且定义域，即是偶函数，排除D； 当时，，即，此时，排除C； 当趋向时，、均趋向，但随变大，的增速比快， 所以趋向于，排除B. 故选：A. 4．（24-25高一上·天津·期中）若，函数，，中，增长较快的一个是____________，则使成立的的取值范围是____________. 【答案】 【分析】画出指对幂函数的图象，数形结合法可判断增长的快慢，也可求得不等关系下对应的范围. 【详解】作出函数，，的图象的示意图如下： 从增长速度看，的增长是由快变慢，是均匀增长，是由慢变快， 故增长较快的一个是； 由图形可得成立的的取值范围是. 故答案为：；. 5．使不等式成立的的取值范围是________. 【答案】 【分析】在同一个坐标系中分别作出三个函数的图象，结合图象可得. 【详解】如图，分别作出的图象，结合图象可知恒成立， 当时，；当时，；当时，； 所以不等式成立的的取值范围是.    故答案为：. 【点睛】本题主要考查函数图象的应用，利用图象求解不等式的关键是数形结合，侧重考查直观想象的核心素养. 根据实际问题增长率选择合适的函数模型题型06 1．在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据： 在四个函数模型（为待定系数）中，最能反映函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出散点图，对照四个选项即可得出结果. 【详解】由题，作出散点图如下， 由散点图可知，散点图和对数函数图象接近，可选择反映函数关系， 故选：C. 2．有一组实验数据及对应散点图如下所示，则下列能体现这些数据的最佳函数模型是（    ） 0 4 9 16 36 3 7 9 11 15 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格中的数据及散点图中点的变化趋势，逐项分析判断即得. 【详解】观察散点图，图中的那些点显然不在一条直线上，模型不符合，A不是； 若选择作为与的函数模型，将代入，得，解得， 则，显然当时，；当时，；当时，， 与表格中的实际值相同，因此适合作为与的函数模型，B是； 模型在处无意义，模型不符合，C不是； 散点图中的点有单调递增的趋势，且增势逐渐变缓，模型不符合，D不是. 故选：B 3．人类已经进入大数据时代.目前，数据量已经从TB（1TB=1024GB）级别跃升到PB（1PB=1024TB），EB（1EB=1024PB）乃至ZB（1ZB=1024EB）级别.国际数据公司（IDC）的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示： 年份 2008 2009 2010 2011 … 2020 数据量（ZB） 0.49 0.8 1.2 1.82 … 80 (1)设2008年为第一年，为较好地描述2008年起第年全球生产的数据量（单位：ZB）与的关系，根据上述信息，试从（，且），，（，且）三种函数模型中选择一个，应该选哪一个更合适?（不用说明理由）； (2)根据（1）中所选的函数模型，若选取2009年和2020年的数据量来估计模型中的参数，预计到哪一年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍? 【答案】(1)选择更合适 (2)2031年 【分析】（1）根据数据量随年份增长呈爆炸增长判断即可； （2）将2009年和2020年的数据量代入可得，再设在第年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍，列式计算求解即可. 【详解】（1）由数据量随年份增长呈爆炸增长可得，选择更合适. （2）依题意，，故，即，代入可得，故. 设在第年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍，则， 即，解得，此时为2031年. 即预计到2031年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍. 4．（25-26高一上·上海·期末）某校为了鼓励学生利用业余时间阅读名著，预备制定一个每日阅读考核评分制度，建立每日得分（单位：分）与当日阅读时间（单位：分钟）的函数关系.要求如下： （i）阅读的部分图像接近图示； （ii）每日阅读时间为0分钟时，当日得分为0分； （iii）每日阅读时间为30分钟时，当日得分为3分； （iv）每日阅读时间设置上限，最多得分不超过6分. 现有以下三个函数模型供选择： ①  ②  ③ (1)请你根据以上要求选择合适的函数模型并求出其解析式； (2)若该校要求每日得分不少于5分，每日至少阅读名著多少分钟？（结果精确到整数） 【答案】(1)选③， (2)至少需要阅读分钟 【分析】（1）根据图像和函数性质选择模型，将，代入求解系数即可； （2）根据对数函数的性质求解不等式即可． 【详解】（1）模型①为一次函数，函数图像为一条直线，不符合题意； 模型②为单调递增的指数型函数，且增长速度越来越快， 根据题意可得应选择增长速度为先快后慢的增长模型， 所以选对数型模型③，故选③； 由题可知，在上， 所以，即，解得， 所以， 令，可得，解得， 所以函数的解析式为； （2）令，可得， 即，解得， 所以每天得分不少于5分，至少需要阅读分钟. 对数型函数在实际问题中的应用题型07 1．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于．经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为（    ）（参考数据，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由时，可求得；由可解不等式求得的范围，由此可得结果. 【详解】由题意知：当时，，解得：，； 令，即，即， ，所需时间（单位：分钟）的最小整数值为. 故选：A. 2．（24-25高一上·北京·期中）在信息通信技术领域中，香农公式是广泛公认的理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中称为信噪比．以下有关于香农公式的个命题，其中正确的是（    ） ①若将视为常数，则随信噪比增大而逐渐增大，且增长速度越来越慢； ②令保持不变，信噪比从增大到，可以使增大为原来的倍； ③由于技术提升，信道带宽变为原来的倍，信噪比从原来的提升到，则提升后的最大信息传递速率比提升前增大了约．（取） A．①② B．①②③ C．①③ D．① 【答案】A 【分析】利用对数函数的单调性与增长速度可判断①；利用对数的运算性质可判断②③. 【详解】对于①，因为对数函数为增函数，且， 由对数函数的单调性可知，则随信噪比增大而逐渐增大，且增长速度越来越慢，①对； 对于②，由， 即令保持不变，信噪比从增大到，可以使增大为原来的倍，②对； 对于③，由 ， 由于技术提升，信道带宽变为原来的倍，信噪比从原来的提升到， 则提升后的最大信息传递速率比提升前增大了约，③错. 故选：A. 3．（24-25高一上·天津·月考）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述: 设物体的初始温度是 ， 后的温度是 ，则 ，其中 表示环境温度， 称为半衰期. 现有一杯88°C的咖啡放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃大约需要20 min，那么降温到35℃大约需要 （参考数据: ） （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知求得半衰期，然后再计算可得． 【详解】由题意，即，，， 设降温到35℃大约需要，则， 即，， ， 所以， 故选：B． 4．（25-26高一上·河南荥阳·期末）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（   ）（参考数据：） A．72 B．73 C．74 D．76 【答案】C 【分析】由题干中的函数解析式，代入已知条件，求出参数，由题意建立不等式，可得答案. 【详解】由于，所以， 依题意，则，则， 由，所以，即， 所以所需的训练迭代轮数至少为74次． 故选：C． 5．“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为（    ）（参考数据：） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为，根据题意得，即，根据指数函数的单调性和对数换底公式求解即可. 【详解】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为， 由题意得，即，得. 因为， 所以，即. 故选：B. 反函数及其性质的应用题型01 1．（25-26高一上·浙江丽水·期末）函数与的图象关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．坐标原点对称 D．直线对称 【答案】D 【分析】根据互为反函数的函数图象的对称性得解. 【详解】因为与互为反函数， 所以函数与的图象关于直线对称， 故选：D 2．（25-26高一上·山东·月考）设函数且，若其反函数的图象过点，则（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据反函数的性质，利用代入法进行求解即可. 【详解】因为函数的反函数的图象过点， 所以函数的图象过点， 所以有. 故选：B 3．函数的反函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指对数的关系写出原函数的反函数，并求出原函数的值域，即可得反函数的解析式和定义域. 【详解】由题设，则， 所以原函数的反函数为且. 故选：C 4．（25-26高一上·辽宁·月考）已知函数的反函数为 (1)求的解析式，并判断单调性（无需证明）； (2)当时使得关于不等式有解，求的取值范围： (3)若关于的不等式恰有2个整数解，求的取值范围． 【答案】(1)，在上单调递增. (2) (3) 【分析】（1）根据反函数的求法可求出答案，利用复合函数的单调性可判断单调性； （2）证明为奇函数，将不等式化为，由题意可知，求最大值即可求出答案； （3）利用函数的单调性和奇偶性将不等式化为，结合一元二次不等式解的情况分类讨论，即可求出答案. 【详解】（1）由得，可化为， 故，在上单调递增. （2）定义域为，， ，所以函数是奇函数， 可化为， 即， 因为在上单调递增，所以， 当时若关于不等式有解， 则， 令，因此有， 在单调递增，所以当时，取得最大值， 即的最大值为, 故. （3）根据函数的单调性和奇偶性，原不等式可化为，即，即， ①当时，不等式解集为，此时不等式有无数个整数解，不满足题意； ②当时，不等式解集为，此时不等式有无数个整数解，不满足题意； ③当时，不等式解集为，不满足题意； ④当时，不等式解集为，此时，不等式无整数解，故不满足题意； ⑤当时，不等式解集为，若不等式有2个整数解，则，解得. 综上所述，的取值范围为. 对数型函数的奇偶性题型02 1．下列函数中，在定义域内不是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出各选项的函数定义域，再利用奇函数的定义判断作答. 【详解】对于A，令，由，得的定义域为R， ，函数不是奇函数； 对于B，令，由，得，即函数的定义域为， ，函数是奇函数； 对于C，令，显然函数的定义域为R，， 函数是奇函数； 对于D，令，函数的定义域为， ，函数是奇函数. 故选：A 2．已知函数是奇函数，则（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据奇函数定义域关于原点对称求解，再利用奇函数的性质求解，最终计算. 【详解】 函数有意义需满足且，即， 由于是奇函数，定义域关于原点对称，因此也不在定义域内， 代入分子得，解得， 求参数： 将代入得： ， 由于在定义域内，奇函数满足，代入得： ，解得， 此时函数，， 则 ， 即，则是奇函数，满足题意， 故 . 3．（24-25高二下·北京·质检）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2 B． C．1 D．-1 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出当时的解析式，再求出及目标值. 【详解】当时，，令，则，， 因此当时，，由函数是上的奇函数，， 得，则，解得， 所以. 故选：C 4．已知函数的图象关于原点对称，是偶函数，则（   ） A． B．2 C． D．0 【答案】A 【分析】首先利用奇函数和偶函数的性质分别求出与的值，然后再代入到中进行计算. 【详解】已知函数的图象关于原点对称，所以是奇函数. 因为的定义域为，那么. 将代入可得：. 由，即，解得. 因为是偶函数，所以. ，. 则. 对进行变形：. 所以. 移项可得：，对于任意都成立，所以，解得. 将，代入.则. 根据对数运算法则，. 所以. 故的值为. 故选：A. 对数函数性质的综合应用题型03 1．（25-26高一上·山东菏泽·期末）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本初等函数的奇偶性与单调性判断即可. 【详解】对于A：在上单调递减，故A错误； 对于B：的定义域为，又， 所以为偶函数，当时，所以在上单调递增，故B正确； 对于C：为非奇非偶函数，故C错误； 对于D：因为在上单调递增，所以在上单调递减，故D错误. 故选：B 2．（25-26高一上·上海·期中）关于函数（且），有下列结论：①函数的定义域为；②函数的图像有且仅有两个定点；③当时，函数在区间上是严格增函数； ④当时，函数的最小值为.其中正确结论的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】对于①：根据分式的意义求定义域即可；对于②：根据基本不等式可得，进而分析定点；对于③：根据对勾函数单调性以及复合函数单调性分析判断；对于④：根据题意结合对数函数单调性求最值即可. 【详解】因为， 对于①：显然，所以函数的定义域为，故①错误； 对于②：因为，则，当且仅当，即时，等号成立. 由于只有时，的值才能与参数无关，但，所以是不可能的，所以函数的图象上不存在与参数无关的定点，故②错误； 对于③：当，，则， 因为在内单调递减，且在定义域内单调递减， 所以函数在区间上是严格增函数，故③正确； 对于④：因为，当且仅当时，等号成立， 若，则在定义域内单调递增， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以函数的最小值为，故④正确； 综上所述，正确结论的个数为2. 故选：B. 3．（25-26高三上·北京·质检）已知，则其定义域是______，曲线的对称中心是______． 【答案】 【分析】由真数大于0求定义域；设对称中心为，由确定取值. 【详解】要使函数有意义，则，解得， 即的定义域为. 设的对称中心为，则， 即， 所以， 因为为常数，所以为常数， 所以，解得，所以， 所以的对称中心为. 故答案为：①；②. 4．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数（且）的图象过点. (1)求； (2)当时，存在偶函数和奇函数，使得. （i）求和的解析式； （ii）求不等式的解集. 【答案】(1) (2)（i），；（ii） 【分析】（1）由可求得实数的值； （2）（i）由函数的基本性质可得出，，结合方程组法可得出函数和的解析式； （ii）由结合对数函数的单调性可得出关于的不等式，并结合可得出原不等式的解集. 【详解】（1）因为（且）， 由题意可得，解得. （2）（i）因为为偶函数，为奇函数， ， 由， 所以， ； （ii）由，即，即， 因为，即，即，得， 所以原不等式的解集为. 5．已知函数为偶函数. (1)求实数k的值； (2)判断函数在上的单调性，并求出满足的实数的取值范围； (3)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)在单调递增， (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义即可求出； （2）利用函数单调性的定义并化简即可； （3）令，再分离参数，最后通过均值不等式即可求出. 【详解】（1）依题意有，且， 即∴. （2）由（1）知 令，且， 则有，.∴. 即当时，单调递增，根据复合函数的单调性可知单调递增. 由偶函数性质知，当时，单调递减. 若成立，则，∴. （3）不等式等价于，令，， 即，， 根据均值不等式可得，当且仅当时等号成立， 故.当，时取得. 故，故m的取值范围为. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $