第二章图形的相似（期中知识清单）九年级数学上学期新教材青岛版

第二章 图形的相似　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 相似图形与相似多边形 1.1 相似图形 形状相同的平面图形叫作相似图形，简称相似形。 示例：把一张照片放大或缩小后得到的照片，与原照片形状相同、大小不同，它们就是相似图形。 1.2 相似多边形 两个边数相同的多边形，如果一个多边形的各个角与另一个多边形的各个角对应相等，各边对应成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形。 示例：四边形 与四边形 各角对应相等、各边对应成比例，它们就是相似多边形。 注意：判定两个多边形相似，必须同时满足”各角对应相等”和”各边对应成比例”两个条件，缺一不可。 1.3 相似比 相似多边形对应边的比叫作相似比。 示例：四边形 与四边形 的相似比为 ；四边形 与四边形 的相似比为 。 1.4 相似多边形的记法 四边形 与四边形 相似，记作”四边形 四边形 “，符号”“读作”相似于”。在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 示例：四边形 四边形 ，则 ，，，，且 。 注意：把对应顶点的字母写在对应位置，就能由相似关系直接写出对应角和对应边的比例式。 2. 相似三角形的判定 2.1 平行线分线段成比例的基本事实 基本事实　两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 即任意两条直线 ， 被一组平行直线 ，， 所截，交点分别为 ，，，，，，都有 。 示例：由 ，根据比例的性质，还可以得到 等其他比例式。 2.2 平行线分线段成比例的推论 推论　平行于三角形的一边，并且与其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 即在 中，若 ，则 。 示例： 中，，，，，则 ，由 得 。 2.3 判定定理1：两角分别相等 相似三角形的判定定理1　两角分别相等的两个三角形相似。 示例：在 与 中，，，，，则 ，，所以 。 2.4 判定定理2：两边成比例且夹角相等 相似三角形的判定定理2　两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 示例：在 与 中，，，，所以 。 2.5 判定定理3：三边成比例 相似三角形的判定定理3　三边成比例的两个三角形相似。 示例：三边长分别为 ，， 的三角形与三边长分别为 ，， 的三角形相似，因为 。 3. 相似三角形的性质 3.1 相似三角形对应高的比 相似三角形的性质1　相似三角形对应高的比等于相似比。 示例：，相似比为 ，对应高分别为 ，，则 。 3.2 相似三角形面积的比 相似三角形的性质2　相似三角形面积的比等于相似比的平方。 示例：，相似比为 ，则 。 3.3 相似三角形对应中线的比 相似三角形的性质3　相似三角形对应中线的比等于相似比。 示例：，， 分别是对应边 ， 上的中线，则 。 3.4 相似三角形对应角平分线的比 相似三角形的性质4　相似三角形对应角平分线的比等于相似比。 示例：，， 分别是对应角的平分线，则 。 3.5 相似三角形对应线段的比 相似三角形对应线段的比等于相似比。 即相似三角形对应的高、中线、角平分线等对应线段的比，都等于相似比。 注意：相似三角形面积的比等于相似比的平方，而对应线段（高、中线、角平分线等）的比都等于相似比，两者不要混淆。 4. 图形的位似 4.1 位似图形与位似中心 对应边互相平行（或共线）且每对对应点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫作位似图形，这个点叫作位似中心。 示例： 与 对应边互相平行，且 ，， 都经过同一点 ，则它们是位似图形，点 是位似中心。 4.2 位似的基本性质 位似可以看作是图形的一种位置和大小的变化，位似不改变图形的形状，利用位似可以将一个图形放大或缩小。 示例：以点 为位似中心，将 放大为原来的 倍，得到形状相同、大小不同的 。 4.3 位似中心的位置 位似中心可以在两个图形的外部，可以在两个图形的内部，也可以在两个图形的公共顶点处。 示例：位似中心 在两个图形外部的，如 与 ；若两个图形有公共顶点 ，位似中心也可以在公共顶点处。 4.4 平面直角坐标系中的位似 在平面直角坐标系中，将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的，位似中心是原点。 以原点为位似中心，画多边形的位似图形（相似比为 ）时，关键是将每个顶点的横坐标、纵坐标分别乘 （或 ）。 示例： 的顶点坐标分别为 ，，，以原点为位似中心放大到原来的 倍，对应点坐标为 ，；若乘 ，对应点为 ，。 注意：以原点为位似中心的位似图形有两组，对应点坐标分别乘 和 ，分别位于原点的同侧和异侧。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 相似多边形的周长比与面积比 相似多边形（含三角形）的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。设相似比为 ，则 ，；反过来，由面积比求相似比时开平方取正：。 1.2 全等形是相似形的特殊情况 全等形是相似比为 的相似形；反过来，相似比为 的两个相似多边形全等。 1.3 直角三角形相似的判定 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似（由勾股定理可转化为三边成比例）。 1.4 双垂直型：斜边上的高分出三对相似三角形 直角三角形斜边上的高把原三角形分成两个小三角形，这两个小三角形都与原三角形相似，且它们彼此也相似。 1.5 位似图形与原图形的关系 位似图形一定是相似图形（相似比等于位似比），但相似图形不一定是位似图形；位似图形的对应边互相平行或共线。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 判定两个三角形相似的方法选择 依次观察：①找两对相等的角（含公共角、对顶角），优先用”两角”判定；②有两边成比例再看夹角是否相等，用”两边夹角”；③三边都已知或成比例，用”三边”；④直角三角形优先考虑”斜边与直角边”成比例。 2.2 求线段长：先证相似，再列比例式 先找出（或构造）相似三角形并证明，再把对应线段代入比例式，解出未知线段。如 中 ，由 求 。 2.3 证明比例式或等积式的方法 要证比例式 ，可找以 ， 和 ， 为对应边的两对相似三角形；要证等积式 ，先化为比例式 再找相似三角形。 2.4 用相似求图形的面积 先求相似比 （由对应线段之比），再用面积比 求面积；求四边形面积时用大三角形面积减小三角形面积。如 且 ，则 。 2.5 画位似图形的步骤 连接位似中心与各顶点并延长（或反向延长），在各射线（或反向延长线）上按相似比截取对应点，顺次连接各对应点即得位似图形。 2.6 平面直角坐标系中位似对应点的求法 以原点为位似中心、相似比为 ，把各顶点的横坐标、纵坐标都乘 （同侧）或都乘 （异侧），得到两组位似图形的对应点。 3. 识别相似与证比例的小技巧 技巧 要点 示例 找公共角、对顶角 两三角形有公共角或对顶角时，只需再找一对等角即可用”两角”判定相似 对顶角相等的两三角形，若各有一对等角，则相似 利用平行线找相似 有平行线就有相似三角形（ 字型、 字型） 得 ； 且 、 交于 得 对应顶点写对应位置 记相似时把对应顶点写对应位置，可直接写对应角、对应边 ，则 ， 相似比与面积比互化 面积比是相似比的平方；由面积比开平方得相似比 面积比 ，则相似比 位似坐标成对写 以原点为位似中心，对应点坐标同时乘 和 各得一组 放大 倍得 或 4. 常见考试模型 4.1 测量高度模型（影长法） 公式：同一时刻、同一地点，物体高度与影长成正比：（其中 为物高， 为影长），由 得 。 限定：必须是同一时刻、同一地点（太阳光线平行），且物体垂直于地面。 示例：如竹竿高 影长 ，建筑物影长 ，则建筑物高 。 4.2 测量高度模型（镜子反射法） 公式：平面镜反射时入射角等于反射角，由直角三角形和对应锐角相等得 ，故 。 限定：人、镜、被测物与地面的位置满足反射光路，且都垂直于地面。 示例：如 ，，，则城墙高 。 4.3 测量距离模型（构造相似三角形） 公式：构造三点共线和一组平行（或垂直）线段，由相似三角形得 ，解出未知距离 。 限定：构造出的三点共线、垂直或平行关系必须准确，代入时对应边不能错。 示例：如 ，，，则 。 4.4 位似坐标模型 公式：以原点为位似中心、相似比为 ，点 的对应点为 或 。 限定：位似中心必须是原点；已知面积比 求位似图形时，先由 确定相似比 ，再乘坐标。 示例：如画面积等于原图形 倍的位似图形，相似比 ，点 的对应点为 或 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：用相似三角形求边长时，把 当成了与 对应的边 典例：如图，在 中，，，，，求 的长。 错解：因为 ，所以 ，，所以 。 正解：因为 ，所以 ，对应边是 。因为 ，所以 ，解得 。 原因：对应边找错。学生把 的边 对应到了 的 ，但相似三角形中 对应的是整个边 ，而不是 的一段 。 时的比例式是 ，“对应边”必须用整条边，不能把整边拆成两段后拿其中一段去对应。 易错点 2：“两边成比例且夹角相等”漏掉”夹角”这个关键限定 典例：在 和 中，，。 与 相似吗？为什么？ 错解：因为 ，且 ，所以由”两边成比例且夹角相等”得 。 正解：不一定相似。“两边成比例且夹角相等”中的”夹角”必须是这组成比例两边的夹角。这里 的夹角是 与 ，而题给的是 ，不是这组边的夹角，所以不能判定相似。 原因：概念理解错误。学生把判定定理2”两边成比例且夹角相等”简化成”两边成比例 + 一个角相等”，丢掉了”夹角”这一关键限定。相等的那个角若不是两组成比例边的夹角，就不能用这一定理判定相似，此时应考虑”两角”或”三边”等其他判定方法。 易错点 3：把相似三角形”面积的比”错写成”相似比” 典例：已知 ，相似比为 ， 的面积为 ，求 的面积。 错解：因为面积比等于相似比 ，设 面积为 ，则 ，解得 。所以 的面积为 。 正解：相似三角形面积的比等于相似比的平方，即 。所以 ，解得 。 的面积为 。 原因：记忆混淆。学生把”面积的比等于相似比的平方”错记成”面积的比等于相似比”，与”对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比”相混淆。面积是二维量，相似比为 时对应线段放大 倍、面积放大 倍，两者幂次不同。 易错点 4：以原点为位似中心的位似图形，只写乘 的一组、漏写乘 的一组 典例：在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 ，，。以原点 为位似中心，将 放大为原来的 倍，求各顶点的对应点坐标。 错解：将各顶点坐标分别乘 ，得 ，，。 正解：以原点为位似中心放大 倍，对应点有两组：坐标分别乘 得 ，，；坐标分别乘 得 ，，。 原因：漏分类讨论。学生只记住”乘 “，忘了”乘 “也能得到位似图形。以原点为位似中心时，对应点可以在原点的同侧（乘 ）或异侧（乘 ），题目问”求对应点坐标”时通常两组都要写出。 易错点 5：判定相似多边形时，漏掉”各角对应相等”或”各边对应成比例”之一 典例：判断正误：各边对应成比例的两个多边形一定相似。 错解：正确。因为”各边对应成比例”就是判定相似多边形的条件。 正解：错误。相似多边形必须同时满足”各角对应相等”和”各边对应成比例”两个条件。例如一个有一个角为 的菱形和一个正方形，各边对应成比例（都是 ），但它们的角不对应相等，所以不相似。 原因：条件遗漏。学生把相似多边形的定义”各角对应相等、各边对应成比例”只记住了”各边对应成比例”，漏掉了”各角对应相等”。相似多边形是”角对应相等”和”边对应成比例”两个条件的合取，缺一不可，仅满足其一不能保证相似。 学科网（北京）股份有限公司 $