第二章全等三角形（期中知识清单）八年级数学上学期新教材青岛版

第二章 全等三角形　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 全等三角形 1.1 全等形 能够完全重合的两个平面图形叫作全等形。全等形的形状相同、大小相等。 示例：用同一个印章印出的一对图标、一张正方形纸片对折后得到的一对三角形，彼此完全一样，能够完全重合，都是全等形。 1.2 全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。 示例：用 纸片做模板，沿着它的边缘在纸上画出 ，则 与 是全等三角形。 1.3 对应顶点、对应边、对应角 当两个全等三角形完全重合时，互相重合的顶点叫作对应顶点，互相重合的边叫作对应边，互相重合的角叫作对应角。 示例：若 与 全等，点 与点 是对应顶点， 与 是对应边， 与 是对应角。 1.4 全等三角形的表示 与 是全等三角形，记作 ，符号”“读作全等于。 注意：在表示两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 1.5 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 示例：若 ，则 ，，；，，。 2. 全等三角形的判定 2.1 边角边（） 基本事实　两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成”边角边”或”“）。 示例：在 和 中，，，，则 。 2.2 角边角（） 基本事实　两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成”角边角”或”“）。 示例：在 和 中，，，，则 。 2.3 角角边（） 定理　两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成”角角边”或”“）。 示例：在 和 中，，，，则 。 2.4 边边边（） 基本事实　三边分别相等的两个三角形全等（简写成”边边边”或”“）。 示例：在 和 中，，，，则 。 2.5 三角形的稳定性 当三角形三条边的长度确定后，它的形状和大小就确定了。我们把三角形的这种特性叫作三角形的稳定性。 示例：用三根细木条制作的三角形架子，拉动边框，其形状、大小都不会发生变化；自行车三角架、钢架桥等都利用了三角形的稳定性。 2.6 斜边、直角边（） 直角三角形全等的判定定理　斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成”斜边、直角边”或”“）。 示例：在 和 中，，，则 。 注意：”“只适用于直角三角形，一般三角形不能使用。 3. 尺规作图 3.1 基本作图 最基本、最常用的尺规作图，称为基本作图。“作一条线段等于已知线段”和”作一个角等于已知角”都是基本作图。 示例：已知 ，作一个角等于 ：作射线 ；以点 为圆心、任意长为半径作弧，交 、 于点 、；以点 为圆心、 为半径作弧，交 于点 ；以点 为圆心、 为半径作弧，与前弧交于点 ；过点 作射线 ，则 就是所求作的角。 3.2 用尺规作三角形 已知条件 关键作法 已知两边及其夹角（） 先作已知角，再在角的两边上分别截取两已知边长，连接两端点 已知两角及其夹边（） 先作夹边，再在两端点处分别作已知角，两条射线的交点为第三顶点 确定一个三角形需要的条件，与判定两个三角形全等需要的条件是相同的。 3.3 过直线外一点作平行线和垂线 作图 关键作法 过直线外一点作平行线 过点 作直线 交直线 于点 ，作 （同位角相等），则直线 过直线外一点作垂线 以点 为圆心作弧交直线 于点 、，分别以 、 为圆心、大于 的长为半径作弧交于点 ，作直线 ，则 3.4 用尺规作直角三角形 已知斜边 和一条直角边 （），求作 ：作直线 ，在 上截取 ，以点 为圆心、 为半径作弧交 于点 ，连接 ，则 就是所求作的直角三角形。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 两边及其中一边的对角分别相等不能判定全等 两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等（即”边边角”不能作为全等的判定依据）。 【使用提醒】”边角边”中的角必须是两边的夹角；若把”夹角”换成”其中一边的对角”，就不能判定两个三角形全等。 1.2 三个角分别相等不能判定全等 三个角分别相等的两个三角形不一定全等，只能保证形状相同，不能保证大小相同。 1.3 全等三角形的对应线段分别相等 全等三角形对应边上的高、中线、角平分线也分别相等。如 ，、 分别为对应边 、 上的中线，则 。 1.4 全等三角形的周长、面积相等 全等三角形的周长相等、面积相等；反过来，周长（或面积）相等的两个三角形不一定全等。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 证明线段（角）相等的一般思路 要证线段相等或角相等，可先证它们所在的三角形全等，再由”全等三角形的对应边（角）相等”得出结论。如要证 ，可先证 ，得 。 2.2 判定三角形全等时的找条件方法 从题设中找相等关系：公共边、公共角、对顶角、中点（得相等线段）、角平分线（得相等角）、平行线（得同位角、内错角相等）、垂直（得直角），再对应到 、、、、 所需的三对条件上。 2.3 添加辅助线构造全等三角形 证明两条线段相等或两个角相等时，若它们不在两个全等三角形中，可通过添加辅助线，构造两个全等三角形，使待证的线段或角分别是这两个全等三角形的对应边或对应角。如要证 ，可连接 ，构造 与 ，证 。 3. 证明与计算小技巧 技巧 要点 示例 找公共边 两个三角形共有一条边时，该边相等可直接作为判定条件 证 时 找公共角、对顶角 公共角、对顶角相等是隐藏的相等角 （公共角） 由中点得相等线段 中点是隐藏的”边相等”条件 是 中点，则 由角平分线得相等角 角平分线隐藏”角相等” 平分 ，则 由平行线得相等角 平行线产生同位角、内错角相等 ，则同位角相等 由垂直得直角 垂直隐藏 直角条件 ，则 4. 常见考试模型 4.1 平移、翻折、旋转型全等 模型：图形经过平移、翻折、旋转后与原图形全等，先由变换确定对应顶点，再按对应位置找对应边、对应角。如将 沿 方向平移得 ，则 。 限定：对应关系随变换确定，找对应边、对应角时必须按变换后的位置对应。 示例：如沿直线 翻折 得 ，绕点 旋转 得 ，前后两个三角形分别全等。 4.2 倍长中线模型 模型：延长三角形的中线一倍，构造全等三角形，把线段或角转移。若 是 的中线，延长 到点 ，使 ，连接 ，则 ，得 。 限定：需已知（或可证）中线，且延长后满足 。 示例：如已知中线与边的数量关系，倍长中线转移线段后再求解。 4.3 共顶点旋转（手拉手）模型 模型：两个共顶点的等腰三角形绕公共顶点旋转，可得到全等三角形。若 与 是等腰直角三角形且直角顶点 重合，连接 、，则 ，得 。 限定：两个三角形共顶点、有相等的腰，且夹公共顶点的两角相等。 示例：如两块等腰直角三角板的直角顶点重合，绕该顶点转动过程中，证 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：把”两边及其中一边的对角”（边边角）误当作全等判定 典例：已知 与 中，，，（其中 、 分别是 、 的对边），能判定 吗？ 错解：有两边和其中一边的对角分别相等，符合”边边角”，所以 。 正解：不能判定。两边及其中一边的对角分别相等（“边边角”），不能保证两个三角形全等。如图，在 内部以点 为圆心、 长为半径作弧，交 于点 ，则 与 满足 、、，但二者显然不全等。 原因：概念混淆。学生把”边边角”与”边角边”混为一谈，误以为”两边一角”一定能判定全等。“边角边”中的角必须是两边的夹角，而”边边角”中的角是其中一边的对角，该条件不足以唯一确定三角形，不能作为判定依据。 易错点 2：把”三个角分别相等”误当作全等判定 典例：已知两个三角形的三个角分别相等，这两个三角形全等吗？ 错解：三个角分别相等，所以这两个三角形全等。 正解：不能判定。三个角分别相等的两个三角形只是形状相同，大小不一定相同，所以不一定全等。 原因：概念混淆。学生把”形状相同”与”形状、大小都相同”混为一谈。全等要求形状和大小都相同，需要边、角对应相等；三个角相等只能保证形状相同，不能保证大小相同，故不能判定全等。 易错点 3：全等符号中字母顺序与对应顶点不一致，导致对应关系找错 典例：已知 ，写出 的对应角。 错解： 对应 。 正解：由 ，点 与点 、点 与点 、点 与点 分别是对应顶点，所以 对应 。 原因：忽略了”记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上”这一约定，凭” 对 、 对 、 对 “的惯性找对应关系。对应顶点必须由全等符号中字母的对应位置确定，不能想当然。 易错点 4： 只适用于直角三角形，或漏掉斜边条件 典例：已知 和 中，，，且 ，求证 。 错解：因为 ，，所以 。 正解：不能用 。 要求”斜边和一条直角边分别相等”，而 、 都是直角边，不包含斜边。应改用 ：在 和 中，，，，所以 。 原因：使用 前没看清条件。 的适用前提是”直角三角形 + 斜边 + 一条直角边”，且只适用于直角三角形；学生只要看到两个直角三角形、又有两对边相等，就不加区分地用 ，漏掉了”其中一边必须是斜边”这一关键条件。 易错点 5：证明全等时漏写公共边、公共角等隐含条件 典例：如图，， 平分 ，求证 。 错解：因为 ，，所以 。 正解：在 和 中，，（ 平分 ），（公共边），所以 。 原因：条件不充分。用 判定需要”两边一夹角”三对条件，学生只写出”一对边、一对角”两对条件就下结论，漏掉了隐含的公共边 。证明全等前应先明确用哪种判定方法，再逐条核对是否凑齐三对条件。 学科网（北京）股份有限公司 $