第二十一章二次函数与反比例函数（期中知识清单）九年级数学上学期新教材沪科版

第21章 二次函数与反比例函数 知识清单 一、本章知识框架 第21章是初中函数板块的核心章节，包含两大板块：二次函数与反比例函数。二次部分从定义出发，系统研究y=ax²、y=ax²+k、y=a(x-h)²、y=a(x-h)²+k到y=ax²+bx+c的图象与性质，再延伸到二次函数与一元二次方程的关系及实际应用；反比例部分从定义出发，研究双曲线的图象与性质。全章结构如下： 小节 标题 核心内容 21.1 二次函数 二次函数的定义（y=ax²+bx+c，a≠0）；自变量取值范围 21.2 二次函数的图象和性质 y=ax²、y=ax²+k、y=a(x-h)²、y=a(x-h)²+k的图象平移与性质；y=ax²+bx+c的配方法；顶点坐标与对称轴；待定系数法求表达式 21.3 二次函数与一元二次方程 抛物线与x轴交点和方程根的关系；判别式b²-4ac的几何意义；图象法求方程近似根 21.4 二次函数的应用 最大面积/最大利润问题；抛物线型实际问题（建坐标系、求表达式、求解） 21.5 反比例函数 反比例函数定义（y=k/x，k≠0）；双曲线图象；k的正负与象限、增减性；k的几何意义 二、21.1 二次函数 （一）二次函数的定义 一般地，形如y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数叫作二次函数，其中x是自变量。 三个判别条件缺一不可：①等号右边是关于x的整式；②自变量最高次数为2；③二次项系数a≠0。 （二）自变量的取值范围 · 一般情况：全体实数。 · 实际问题：必须使实际问题有意义，如围矩形时边长为正数。 三、21.2 二次函数的图象和性质 （一）二次函数y=ax²的图象和性质 项目 a > 0 a < 0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴（直线x=0） y轴（直线x=0） 顶点坐标 (0, 0) (0, 0) 最值 顶点是最低点，y最小值=0 顶点是最高点，y最大值=0 增减性 x<0时，y随x增大而减小；x>0时，y随x增大而增大 x<0时，y随x增大而增大；x>0时，y随x增大而减小 |a|的影响：|a|越大，抛物线开口越小（越窄）；|a|越小，开口越大（越宽）。 （二）二次函数图象的平移规律 抛物线y=ax²、y=ax²+k、y=a(x-h)²、y=a(x-h)²+k的形状、开口大小和开口方向完全相同（由a决定），只是位置不同。 函数形式 平移方式 顶点坐标 对称轴 y = ax² 基准抛物线 (0, 0) x = 0 y = ax² + k 沿y轴平移|k|个单位（k>0上移，k<0下移） (0, k) x = 0 y = a(x-h)² 沿x轴平移|h|个单位（h>0右移，h<0左移） (h, 0) x = h y = a(x-h)² + k 先沿x轴平移|h|，再沿y轴平移|k| (h, k) x = h 记忆口诀：上加下减（沿y轴，k），左加右减（沿x轴，h）。注意左右平移时括号内符号与移动方向相反。 （三）二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 通过配方法将一般式化为顶点式：y = a(x + b/2a)² + (4ac-b²)/4a。 项目 a > 0 a < 0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x = -b/2a 直线x = -b/2a 顶点坐标 (-b/2a, (4ac-b²)/4a) (-b/2a, (4ac-b²)/4a) 最值 当x=-b/2a时，y取最小值(4ac-b²)/4a 当x=-b/2a时，y取最大值(4ac-b²)/4a 增减性 x<-b/2a时递减，x>-b/2a时递增 x<-b/2a时递增，x>-b/2a时递减 （四）二次函数表达式的确定（待定系数法） 已知条件 设表达式形式 说明 已知顶点(h,k)和另一点 y = a(x-h)² + k 代入另一点求a 已知对称轴x=h和最值k y = a(x-h)² + k 同顶点式 已知任意三点坐标 y = ax² + bx + c 代入三点列三元一次方程组 已知与x轴两交点(x₁,0),(x₂,0) y = a(x-x₁)(x-x₂) 再代入另一点求a（交点式） 四、21.3 二次函数与一元二次方程 （一）抛物线与x轴的交点和方程根的关系 二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程ax²+bx+c=0的实数根。 判别式Δ=b²-4ac 方程ax²+bx+c=0的根 抛物线与x轴交点 Δ > 0 两个不相等的实数根 两个交点 Δ = 0 两个相等的实数根 一个交点（顶点在x轴上） Δ < 0 没有实数根 没有交点 （二）图象法求方程近似根 画出二次函数的图象，观察图象与x轴的交点位置；再利用计算器在交点附近逐次取值，找到函数值由正变负（或由负变正）的区间，确定方程的近似根。 （三）由图象认识一元二次不等式的解集 · y > 0（图象在x轴上方）对应ax²+bx+c>0的解集。 · y < 0（图象在x轴下方）对应ax²+bx+c<0的解集。 · 开口向上时：两根之外取y>0，两根之间取y<0；开口向下时相反。 五、21.4 二次函数的应用 （一）常见应用类型 类型 解题关键 示例 最大面积问题 设一边长为x，列面积函数S关于x的表达式，配方求最大值 用40m围网围矩形水面，求最大面积 最大利润问题 设涨价/降价为x，列利润函数，配方求最大值 酒店房价上涨与入住间数的关系 抛物线型实际问题 建立平面直角坐标系，设抛物线表达式，代入已知点求参数 悬索桥钢索、隧道截面、投篮轨迹、抛射物体 （二）解题一般步骤 · 审题：明确变量和常量，确定自变量与因变量。 · 建模：根据题意列出二次函数表达式，注意自变量取值范围。 · 求解：配方或用顶点公式求最值。 · 作答：检验结果是否符合实际意义，写出答案。 六、21.5 反比例函数 （一）反比例函数的定义 一般地，形如y = k/x（k为常数，且k≠0）的函数叫作反比例函数。 等价形式：xy = k 或 y = k·x⁻¹。自变量x≠0。 （二）反比例函数的图象 反比例函数y = k/x（k≠0）的图象叫作双曲线。图象由两个分支组成，关于原点对称，无限接近x轴和y轴但永远不与坐标轴相交。 （三）反比例函数的性质 项目 k > 0 k < 0 图象位置 两个分支分别位于第一、三象限 两个分支分别位于第二、四象限 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 关于原点对称；图象上任意点(x₀,y₀)关于原点的对称点(-x₀,-y₀)也在图象上 同左 注意：反比例函数的增减性必须限定在“每个象限内”讨论，不能笼统说“k>0时y随x增大而减小”。 （四）k的几何意义 过反比例函数y = k/x图象上任意一点P，作x轴和y轴的垂线，所得矩形的面积等于|k|。 即：若P(x₀,y₀)在y=k/x上，则由P向两坐标轴作垂线围成的矩形面积S = |x₀·y₀| = |k|。这是反比例函数的一个重要结论，常与三角形面积、平行四边形面积结合考查。 七、易错点与温馨提示 序号 易错点 规避要点 1 判断二次函数时忽略a≠0的条件 二次项系数必须不为0；如y=(m-2)x²+3x-1是二次函数，则m≠2 2 平移方向搞反（左加右减用错） y=a(x-h)²中h>0向右平移，h<0向左平移；如y=(x+2)²是y=x²向左平移2个单位，不是向右 3 求顶点坐标时符号错误 顶点横坐标是-b/2a，不是b/2a；配方时常数项要仔细计算(4ac-b²)/4a 4 增减性讨论不分对称轴两侧 二次函数的增减性以对称轴为分界；a>0时左减右增，a<0时左增右减，不能笼统说“a>0时y随x增大而增大” 5 实际问题中忽略自变量取值范围 如围矩形时x>0且2x<围网总长；最大值在顶点处时需检查顶点是否在取值范围内 6 抛物线与x轴交点个数和判别式关系混淆 Δ>0两个交点，Δ=0一个交点（相切），Δ<0无交点；Δ=0时顶点恰好在x轴上 7 反比例函数增减性不分象限 必须说“在每个象限内”y随x如何变化；跨象限时不能用增减性直接比较 8 k的正负与所在象限记错 k>0在一、三象限；k<0在二、四象限；不要与正比例函数混淆 9 k的几何意义记错 矩形面积=|k|；过双曲线上一点向坐标轴作垂线，围成的矩形面积恒等于|k|，与点的位置无关 10 待定系数法选择表达式形式不当 已知顶点用顶点式最简便；已知与x轴两交点用交点式；已知任意三点用一般式 11 二次函数与一元二次不等式解集方向搞反 开口向上时，y>0取两根之外，y<0取两根之间；开口向下时相反 12 平移后a的值发生变化 平移不改变抛物线的形状和开口方向，即a不变；只有位置变化 学科网（北京）股份有限公司 $