专题01 二次函数（知识&考点&公式&9高频&4易错&4重难，期中知识清单）九年级数学上学期新教材沪科版

专题01 二次函数 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(11类) 公式清单(7类) 辨析清单(4类) 题型类 高频题型清单(4类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(3类) 答题类 答题技巧清单 知识点01 二次函数的定义 一般地，形如______（____，a、b、c为常数）的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。 自变量x的取值范围是____ 知识点02 二次函数的三种形式 一般式：____________ 顶点式：____________，顶点坐标为____，对称轴为直线____ 交点式：_______________，其中____、____是抛物线与x轴交点的横坐标 知识点03 二次函数的图象与性质 二次函数______的图象是一条____ 当____时，抛物线开口向____；当____时，抛物线开口向____ 对称轴：直线_________ 顶点坐标：________________________ 增减性：当____时，在对称轴左侧y随x增大而____，在对称轴右侧y随x增大而____；____时相反 最值：当____时，y有最____值__________；当____时，y有最____值__________ 知识点04 二次函数图象的平移 平移规律：____ ____ 向上平移k个单位→ _____ ____ 向右平移h个单位→ ______ ______ 向上平移k个单位→ _______ 知识点05 待定系数法求解析式 已知三点→ 设___________ 已知顶点→ 设___________ 已知与x轴两交点→ 设______________ 知识点06 二次函数与一元二次方程 抛物线______与x轴的交点个数由________决定 _____→____交点；_____→____交点；_____→____交点 抛物线与y轴交点为____ 考点01二次函数的定义与识别 考点内容：二次函数的一般式（，a、b、c为常数）；根据定义判断函数类型；根据定义求待定系数（注意a≠0的隐含条件）。 常见考法： 给出含参函数解析式，已知是二次函数，求参数值（易错点：忽略a≠0）； 判断实际问题中的变量关系是否为二次函数； 将一般式转化为顶点式或交点式。 考点02二次函数的图象与性质 考点内容：抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值；系数a,b,c及代数式（如2a+b，a−b+c，2a+b，a−b+c）的符号判断。 常见考法：给出图象，判断abc>0、2a+b=0等结论的正误；不计算具体值，利用对称性和增减性比较函数值大小，根据图象确定方程有实数根时，k的取值范围。 考点03待定系数法求解析式 考点内容：根据已知条件灵活选择一般式、顶点式或交点式；利用图象上的点坐标求解。 常见考法： 已知三点坐标，设一般式求解； 已知顶点或对称轴，设顶点式求解； 已知与x轴的两个交点，设交点式求解； 结合平移规律求新解析式。 考点04二次函数的最值问题 考点内容：配方求顶点最值；给定自变量范围（定轴动区间、动轴定区间）求最值；实际应用中的最大利润、最大面积、拱桥问题。 常见考法： 求纯代数式的最值； 自变量有取值范围时，判断顶点是否在范围内（分类讨论）； 建立实际模型（如销售利润W=(售价−进价)×销量），转化为二次函数求最值。 考点05二次函数与方程、不等式 考点内容：二次函数图象与x轴交点与一元二次方程根的关系；函数图象在x轴上方/下方与不等式解集的关系。 常见考法： 利用图象直接写出一元二次不等式的解集；判断方程根的情况（Δ的符号）；求抛物线被直线截得的线段长度（涉及韦达定理）。 考点06二次函数的实际应用问题 考点内容：建立数学模型解决物理（抛射体）、经济（利润）、几何（面积）等问题；注意自变量的实际意义及取值范围。 常见考法： 投篮、喷泉等抛物线轨迹问题（求高度、水平距离）； 围栏围面积、矩形裁剪问题； 商品定价与销量的关系，求最大利润。 考点07二次函数与几何的综合问题（基础） 考点内容：抛物线与坐标轴围成的三角形面积；抛物线上的动点构成的简单几何图形面积。 常见考法：求△ABC（A,B为交点，C为顶点）的面积； 利用割补法（铅垂高×水平宽÷2）求不规则三角形面积。 考点08二次函数图象的平移与对称变换 考点内容：函数图象的上下左右平移规律（“左加右减，上加下减”）；关于x轴、y轴、原点对称的解析式变化；顶点式的灵活运用。 常见考法： 已知原解析式，求平移或翻折后的新解析式； 已知平移前后的解析式，逆推平移的方向和距离； 结合平行四边形判定，利用平移性质求点坐标。 考点09二次函数与特殊三角形的存在性问题 考点内容：在抛物线上或对称轴上寻找点，使得构成的三角形为等腰三角形、直角三角形或等腰直角三角形。 常见考法： 等腰三角形：利用“两圆一线”法（以定点为圆心画圆、作定线段垂直平分线）分类讨论； 直角三角形：利用勾股定理逆定理、相似三角形性质或“一线三直角”模型列方程求解； 通常需要设点坐标，利用两点间距离公式建立方程。 考点10二次函数与特殊四边形的存在性问题 考点内容：结合平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，在坐标系中确定动点位置。 常见考法： 平行四边形：利用“对角线互相平分”（中点坐标公式）或“对边平行且相等”（平移法）分类讨论（通常分三种情况）； 菱形/矩形：先满足平行四边形条件，再增加“邻边相等”或“对角线相等/有一个角是直角”的限制条件。 考点11线段数量关系与最值（将军饮马模型） 考点内容：利用轴对称性质解决线段和最小（PA+PB最小）、线段差最大（PA−PB∣最大）问题。 常见考法： 在抛物线对称轴上找一点，使该点到两定点距离之和最小； 结合“胡不归”或“阿氏圆”模型（高阶考法），求带系数的线段和最小值（如PA+k⋅PB）。 名称 公式 说明 一般式 （） a决定开口方向和大小 顶点式 顶点 交点式 为与轴交点 对称轴 顶点坐标 判别式 决定与轴交点个数 平移规律 左加右减，上加下减 辨析01不同函数关系式的平移规律 二次函数图象的平移遵循"左加右减，上加下减"的原则，但必须注意针对的对象。 针对顶点式 直接对和（即）进行加减。例如向左平移个单位，变为： 针对一般式 不能直接对加减常数，必须先化为顶点式，或者提取二次项系数后再对括号内的进行操作。例如向右平移1个单位，应为：而非： 易错点 混淆"系数提取"与"直接加减"，导致平移量计算错误。 辨析02不同解析式形式下的图象画法 画二次函数图象时，应根据解析式的形式选择最高效的方法，避免盲目列表。 顶点式 顶点式为：直接确定顶点和对称轴，利用对称性描点。 交点式为： 直接确定与轴的两个交点、，再求顶点或轴截距。 一般式为： 通常先配方化为顶点式，或利用公式法求顶点、对称轴，再求与坐标轴交点。 易错点 在画一般式图象时，未求顶点直接随意取点，导致图象不对称或顶点位置偏差大；忽略开口方向对图象走势的影响。 辨析03利用二次函数图象解不等式 利用图象解不等式（或）时，核心是看图象与轴的相对位置。 大于0（） 找图象在轴上方的部分对应的范围（通常是两边）。 小于0（） 找图象在轴下方的部分对应的范围（通常是中间）。 易错点 1.搞反范围：当时，误以为大于0取中间； 2.忽略端点：题目若是或，解集必须包含与轴交点的横坐标（即带等号）； 3.无解情况：当图象与轴无交点且开口向上时，无解。 辨析04二次函数与坐标轴的交点问题 二次函数与坐标轴的交点包含两类，需严格区分。 与轴交点令，得。交点恒为，且只有一个。 与轴交点令，解方程： 交点个数由判别式决定： 1.：两个交点； 2.：一个交点（顶点在轴上）； 3.：无交点。 易错点 1.混淆概念：将"与坐标轴交点"误认为仅指与轴交点，漏掉； 2.忽视定义：若题目说是"抛物线"，则隐含；若只说"函数"，需讨论退化为一次函数的情况（此时与轴可能有一个交点）。 【题型一】顶点式到图象和性质 【例1】（26-27九年级上·河北唐山·阶段检测）已知二次函数，甲、乙两人提出以下看法，下列判断正确的是（     ） 甲：此函数图象上某个点的纵坐标为； 乙：此函数图象上某个点的纵坐标为16 A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误 【变式1-1】（26-27九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）下列关于二次函数（m为常数）的结论： ①该函数的图象与函数图象形状相同； ②该函数的图象一定经过点； ③当时，y随x的增大而减小； ④该函数的图象的顶点在函数的图象上， 其中所有正确的结论序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式1-2】（26-27九年级上·全国·单元测试）已知抛物线，当时，y随x的增大而减小，则h的取值范围是_____． 【变式1-3】（26-27九年级上·湖北咸宁·阶段检测）如图，点在抛物线：上，且在抛物线的对称轴右侧． (1)写出的对称轴和的最大值； (2)求的值，并求出点到对称轴的距离； (3)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点及的一段，分别记为，．平移该胶片，使及的一段所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程． 【题型二】一般式的图象和性质 【例1】在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于，B两点，与y轴交于点C． (1)若，求抛物线的表达式； (2)若二次函数的最大值为6，求a的值； (3)若点，在抛物线上，且，求的取值范围． 【变式1-1】下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数值y的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … m 3 2 … 下列各选项中，正确的是（     ） A．抛物线开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D． 【变式1-2】（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）已知二次函数图象上三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）已知二次函数（、为常数，）的图象经过、两点． (1)求的值； (2)若该二次函数的最大值为，求的值． 【题型三】二次函数背景下的字母参数讨论问题 【例1】（26-27九年级上·天津·阶段检测）已知二次函数，当时y有最小值，则m的值为（     ） A． B． C．4 D．4或 【变式1-1】（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）当时，二次函数的最大值为8，则a=_______． 【变式1-2】（26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，，对称轴为直线．给出下列结论：①；②；③；④当时，该二次函数的最大值与最小值的差为．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，已知点，点，抛物线（，均为常数）与线段交于，两点，若，抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【题型四】待定系数法求二次函数解析式 【例1】已知抛物线与抛物线的开口大小相同，开口方向相反，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知点，在抛物线上，求的值． 【变式1-1】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）已知二次函数的图像经过点，，． (1)求这个二次函数的表达式； (2)写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，并判断有最高点还是最低点． 【变式1-2】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）已知一条抛物线的顶点，且经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，且点P和点Q关于这个二次函数图象的对称轴对称，求t的值和点Q的坐标． 【变式1-3】（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数（其中）的图象与轴交于点． (1)若抛物线经过点，求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)若点的坐标为，当取得最小值时，求的值； (3)当时，函数的最大值为，直接写出的值． 【题型五】二次函数图象与字母参数的符号问题 【例1】（26-27九年级上·安徽芜湖·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若；是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①④⑤ B．①②④ C．①③⑤ D．①③④ 【变式1-1】（26-27九年级上·天津·开学考试）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 【变式1-2】（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填写序号） 【变式1-3】（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法： ①； ②； ③若，是抛物线上的两点，则； ④； ⑤（其中）． 其中正确的结论是__________． 【题型六】二次函数图象的平移问题 【例1】把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线，则b，c的值分别是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】填空 （1）在平面直角坐标系中，把抛物线先向上平移5个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为_____________； （2）在平面直角坐标系中，把抛物线先向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为_____________． 【变式1-2】（26-27九年级上·吉林松原·阶段检测）已知二次函数（h为常数）的图象经过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移6个单位长度，函数图象恰好经过原点，求n的值． 【变式1-3】（26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）已知抛物线（为常数）经过点． (1)求的值． (2)当时，求函数值的取值范围． (3)将抛物线向右平移个单位长度，得到新抛物线．已知和是新抛物线上的两点．当时，，求的取值范围． 【题型七】二次函数实物建模问题 【例1】（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）小明和小陈两人周末去打羽毛球，羽毛球的飞行路线可视为抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，小明在点正上方的处发球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足抛物线表达式，已知点与球网的水平距离为，球网的高度为，当羽毛球飞行达到最高点离地面时，此时与点的水平距离为． (1)求抛物线表达式； (2)通过计算判断此球能否过网． 【变式1-1】赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．如图是一座仿赵州桥建造的抛物线形拱桥的示意图，正常水位时，水面宽，水位上涨到达警戒水位，此时水面宽，则正常水位时拱顶离水面的高度为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（26-27九年级上·河北唐山·阶段检测）踢足球是同学们喜爱的一项运动．如图，甲同学站在球门正前方的点处练习射门，他离球门的距离；身高的乙同学站在球门前的点处充当守门员，且他只做上下起跳防守，最大起跳高度为；点，，在一条直线上，，足球球门高度为，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，足球飞行路线可看成抛物线的一部分． (1)甲射门时，球离点的水平距离与离地高度的部分数据如下表所示，求关于的函数解析式； 0 5 10 15 16 … 0 3 4 3 2．56 … (2)在（1）的条件下，若乙防守，通过计算判断甲的这次射门能否成功； (3)甲改变射门的角度再次射门，使球的最大高度发生改变，但保持球达到最大高度时与点的水平距离不变，若在乙防守的前提下甲这次射门能成功，求的取值范围． 【变式1-3】射水鱼以陆生昆虫为食．它在捕食时，能从口中射出一股水流，准确击中以内的昆虫．如果不考虑空气阻力，那么射水鱼射出的水流可以看成一条抛物线的一部分（如图）．在一次捕食时，射水鱼射出的水珠运动的高度y（单位：）与向前运动的水平距离x（单位：）之间的关系可以近似地表示为．根据这一关系回答下列问题： (1)如果这次射出的水流没有遇到障碍物，那么当水珠向前运动的水平距离在什么范围时，它运动的高度逐步上升？当水珠向前运动的水平距离在什么范围时，它运动的高度逐步下降？水珠运动的最大高度是多少？ (2)假设要捕食的昆虫位于射水鱼正前方水平距离、高度处，那么这次射出的水流能否击中这只昆虫？ 【题型八】二次函数与一次函数的综合判断 【例1】（26-27九年级上·陕西安康·阶段检测）一次函数（a、b为常数，且）的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（     ） A．B．C． D． 【变式1-1】（26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级下·重庆渝中·期末）在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 【变式1-3】（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象不可能是（     ） A． B． C． D． 【题型九】二次函数销售问题 【例1】巩义特产小相菊花茶深受顾客喜爱，小相菊花茶进价为元/两，某商店对销售情况进行了调查，结果发现月最大销售量（两）与售价（元/两）之间的函数关系如图中的线段所示．（月最大销售量指进货量足够的情况下最多售出数量） (1)求出与之间的函数解析式； (2)若该菊花茶某月的总销售利润为元，求关于的函数解析式，当售价为多少元/两时，销售利润最大？ 【变式1-1】（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）某商场销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能卖出500件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件．设销售单价为x（）元． (1)写出一周销售量y（件）与x（元）的函数关系式． (2)设一周销售获得毛利润w元，写出w与x的函数关系式，并确定当x在什么取值范围内变化时，毛利润w随x的增大而增大． (3)商场扣除销售额的作为该商品的经营费用，为使得一周内净利润（净利润毛利润经营费用）最大，商场对该商品定价为______元，最大净利润为______元． 【变式1-2】（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）【综合与实践】 【项目背景】 小麦是我省北部农村主要农作物，班级同学今年秋天前往种粮大户李叔叔家开展综合实践活动． 【预备知识】 根据李叔叔今年的种粮经验发现：种植品种小麦获得利润（万元）与投资金额（万元）成一次函数关系，种植品种小麦获得利润（万元）与投资金额（万元）成二次函数关系（如图所示）．已知函数，的图象交点为，，函数的图象与轴交于点． 【知识应用】 (1)求，的函数表达式； (2)观察图象，分析比较分别单独种植，两种小麦获得利润的大小； (3)若李叔叔准备明年共投资万元同时种植，两种小麦，怎样分配资金，可获得最大利润？最大利润是多少？ 【变式1-3】某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，那么每个月少卖7件（每件售价不能高于70元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． (1)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (2)每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少？ (3)每件商品的售价定为多少时，每个月的利润为3500元？根据以上结论，请你写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于3500元． 【题型一】二次函数的定义 【例1】（26-27九年级上·河南漯河·阶段检测）已知函数． (1)当为何值时，此函数是关于的二次函数？ (2)当为何值时，此函数是关于的一次函数？ (3)当满足什么条件时，此函数是关于的正比例函数？ 【变式1-1】（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）若是关于的二次函数，则的值是（     ） A． B．3 C．2 D．2或 【变式1-2】（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）已知函数（为常数）是二次函数． (1)求的值． (2)若点在此函数的图象上，求的值． 【题型二】二次函数最值讨论问题 【例1】若二次函数取最大值时，则m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式1-1】（26-27九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知二次函数． （1）写出该二次函数经过的定点坐标_______； （2）当时，y有最小值，则实数m的值_______． 【变式1-2】（26-27九年级上·陕西安康·阶段检测）已知二次函数（a、t为常数，）的图象经过点． (1)求证：； (2)若该二次函数的最小值为求该二次函数图象的顶点坐标． 【题型三】二次函数的对称性的应用 【例1】已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，，是抛物线（）上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．当，时，，则______． 【变式1-2】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）在画二次函数的图像时，在“列表”的步骤中，小明列出如下表格． x … 0 2 4 5 … y … m 4 n … (1)二次函数的顶点为___________；___________，___________． (2)求该二次函数的表达式． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）已知二次函数的函数值和自变量的部分对应值如下表所示： … … … … (1)当时， 求该二次函数图象的顶点坐标； 若，求的取值范围； (2)求证：． 【题型一】二次函数与动态几何问题 【例1】（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，在矩形中，，，为的中点，动点，，同时分别沿，，的方向匀速移动，且三个动点的移动速度相等，当点到达点时，，，均停止移动，设，的面积为，则关于的函数图像为（     ） A．B．C． D． 【变式1-1】（2026·天津·一模）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动，运动到终点停止运动，当点出发后，以为边做正方形，使点，始终在边同侧，设点运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为．有下列结论： ①长为； ②当时，关于的函数关系式为； ③当正方形的对称中心与点重合时，． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图①，在四边形中，，，，，点P从点B出发沿以的速度匀速运动至点C，点Q同时从点C出发沿以的速度匀速运动至点B，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为，的面积为，图②是点P，Q运动时，y随时间x变化的函数图象，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．当时， 【变式1-3】．（2026·山东青岛·二模）如图1，在中，，，，在中，，，，点与点重合．如图2，点从出发，以的速度沿运动；同时沿方向匀速运动，速度为，当点停止运动时，也停止运动．连接，，．设运动时间为． AI (1)为何值时，？ (2)设由、、、四点围成的多边形面积为，用表示，并求出的最大值； (3)若，求出的值． 【题型二】二次函数与线段、周长问题 【例1】（26-27九年级上·天津·阶段检测）已知抛物线（，，为常数，，）与轴相交于，两点，点为抛物线与轴的交点． (1)当，时， ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②是线段上一点，是抛物线上一点，且轴，求线段的最大值，及线段的长最大时点的坐标； (2)若点，点在抛物线的对称轴上．当，且取得最小值时，直接写出的值和抛物线解析式； 【变式1-1】（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)若将函数图象向右平移h个单位长度，当时，函数有最大值2，求h的值； (4)设点M在抛物线上，且在直线上方，当时，求点M的坐标． 【变式1-2】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知抛物线的图像与轴交于，，与轴交于点，、为抛物线上的两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若在抛物线的对称轴上存在一点，连接、，使的值最小，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【变式1-3】如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【题型三】二次函数与三角形面积的综合 【例1】（26-27九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使得的值最小，求出点的坐标． (3)若直线上方的抛物线上有一点，当点、、构成的三角形面积最大时，求的坐标． 【变式1-1】（26-27九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、． (1)求、满足的关系式及的值． (2)如图，当时，在抛物线上是否存在点，使的面积与的面积相等？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当时，若的函数值随的增大而增大，请直接写出的取值范围． 【变式1-2】（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）如图1，已知抛物线：与抛物线：相交于、两点（其中点在的左侧），连接交轴于点． (1)求的值． (2)如图2，若抛物线上有一动点在、之间运动，连接并延长交抛物线于点，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标． (3)若直线与抛物线、恰好有三个交点时，直接写出此时的值：若不存在，请说明理由． 【题型四】二次函数与角度的综合问题 【例1】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线解析式； (2)如图，点是直线上方且为抛物线对称轴左侧的抛物线上一动点，过点作轴，交直线于点，作轴，交抛物线于点，点为轴上一个动点，点为轴上动点，当的最大值时，求的最小值． (3)将原抛物线沿射线向上平移个单位，再向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的对称轴与轴交于点，新抛物线上是否存在点，使得．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式1-1】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）过点，，与轴交于点，作直线．点是线段中点，过点的直线且与轴交于点． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，直线下方抛物线上有一点，连接、，与交于点，连接，将线段沿轴平移，在平移过程中记为．当最大时，求周长的最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点，点在延长线上，横坐标为，点是新抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 【变式1-2】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)是线段上方抛物线上的一动点，过点作，垂足为，是直线上一动点，是轴上一动点，连接，，．当的长度取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点的对应点为，是平移后抛物线上一点，直线交射线于点，且．请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的其中一种情况的过程． 【变式1-3】（26-27九年级上·重庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，且经过点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)P是线段上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为D，E，F是线段上动点（E在F上方），且，连接，．当的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点C的对应点为G，M是平移后抛物线上一点，射线交直线于点N，且．请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程． 【题型五】二次函数与四边形的综合 【例1】如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线经过B，C两点，点A的坐标为，P是第一象限内抛物线上的一个动点，于点Q，设点P的横坐标为n． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求线段的最大值，并求此时n的值； (3)在（2）的条件下，当线段取最大值时，若M是x轴正半轴上一动点，N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． (1)试判断与是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由： (2)如图，若：与：互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为，，记，组成的图形为． ①试猜想与的数量关系，并证明； ②如图，若：，，，分别为，上的点，且四边形为正方形，求的值． 【变式1-2】（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，连接和，交于点，交轴于点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (3)如图2所示，若点是抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，请问在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线，点D为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上C、D两点之间的距离是 ； (3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值； (4)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 【题型六】二次函数与特殊三角形的综合问题 【例1】如图，已知抛物线经过，两点，与y轴交于点C，连接，．P是线段上一动点，过点P作轴，交抛物线于点M，交线段于点N． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，求点M的坐标； (3)连接，是否存在点P使得是等腰三角形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知抛物线经过点．若抛物线顶点为，它与轴交于两点，且为等边三角形．请回答下列问题： （1）的值为__________； （2）若抛物线顶点在第三象限，则顶点坐标为__________． 【变式1-2】（26-27九年级上·新疆·阶段检测）如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． (3)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，与抛物线交于点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点．过点P作垂直于x轴于点D，交线段于点E，使． ①求点P的坐标； ②在直线上是否存在点M，使为以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 技巧 要点 待定系数法 三点设一般式，知顶点设顶点式，知交点设交点式 图象平移 左加右减针对x，上加下减针对整体 最值问题 先看开口方向，再看顶点是否在范围内 系数判断 a看开口，c看y轴交点，b结合对称轴和a判断 数形结合 方程的根=交点横坐标，不等式解集=图象上下方 试卷第116页（共117页） 份有限公1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(11类) 公式清单(7类) 辨析清单(4类) 题型类 高频题型清单(4类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(3类) 答题类 答题技巧清单 知识点01 二次函数的定义 一般地，形如（，a、b、c为常数）的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。 自变量x的取值范围是全体实数 知识点02 二次函数的三种形式 一般式：（） 顶点式：（），顶点坐标为，对称轴为直线 交点式：（），其中、是抛物线与x轴交点的横坐标 知识点03 二次函数的图象与性质 二次函数的图象是一条抛物线 当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下 对称轴：直线 顶点坐标： 增减性：当时，在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧y随x增大而增大；时相反 最值：当时，y有最小值；当时，y有最大值 知识点04 二次函数图象的平移 平移规律：左加右减，上加下减 向上平移k个单位→ 向右平移h个单位→ 向上平移k个单位→ 知识点05 待定系数法求解析式 已知三点→ 设一般式 已知顶点→ 设顶点式 已知与x轴两交点→ 设交点式 知识点06 二次函数与一元二次方程 抛物线与x轴的交点个数由决定 →两个交点；→一个交点；→无交点 抛物线与y轴交点为 考点01二次函数的定义与识别 考点内容：二次函数的一般式（，a、b、c为常数）；根据定义判断函数类型；根据定义求待定系数（注意a≠0的隐含条件）。 常见考法： 给出含参函数解析式，已知是二次函数，求参数值（易错点：忽略a≠0）； 判断实际问题中的变量关系是否为二次函数； 将一般式转化为顶点式或交点式。 考点02二次函数的图象与性质 考点内容：抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值；系数a,b,c及代数式（如2a+b，a−b+c，2a+b，a−b+c）的符号判断。 常见考法：给出图象，判断abc>0、2a+b=0等结论的正误；不计算具体值，利用对称性和增减性比较函数值大小，根据图象确定方程有实数根时，k的取值范围。 考点03待定系数法求解析式 考点内容：根据已知条件灵活选择一般式、顶点式或交点式；利用图象上的点坐标求解。 常见考法： 已知三点坐标，设一般式求解； 已知顶点或对称轴，设顶点式求解； 已知与x轴的两个交点，设交点式求解； 结合平移规律求新解析式。 考点04二次函数的最值问题 考点内容：配方求顶点最值；给定自变量范围（定轴动区间、动轴定区间）求最值；实际应用中的最大利润、最大面积、拱桥问题。 常见考法： 求纯代数式的最值； 自变量有取值范围时，判断顶点是否在范围内（分类讨论）； 建立实际模型（如销售利润W=(售价−进价)×销量），转化为二次函数求最值。 考点05二次函数与方程、不等式 考点内容：二次函数图象与x轴交点与一元二次方程根的关系；函数图象在x轴上方/下方与不等式解集的关系。 常见考法： 利用图象直接写出一元二次不等式的解集；判断方程根的情况（Δ的符号）；求抛物线被直线截得的线段长度（涉及韦达定理）。 考点06二次函数的实际应用问题 考点内容：建立数学模型解决物理（抛射体）、经济（利润）、几何（面积）等问题；注意自变量的实际意义及取值范围。 常见考法： 投篮、喷泉等抛物线轨迹问题（求高度、水平距离）； 围栏围面积、矩形裁剪问题； 商品定价与销量的关系，求最大利润。 考点07二次函数与几何的综合问题（基础） 考点内容：抛物线与坐标轴围成的三角形面积；抛物线上的动点构成的简单几何图形面积。 常见考法：求△ABC（A,B为交点，C为顶点）的面积； 利用割补法（铅垂高×水平宽÷2）求不规则三角形面积。 考点08二次函数图象的平移与对称变换 考点内容：函数图象的上下左右平移规律（“左加右减，上加下减”）；关于x轴、y轴、原点对称的解析式变化；顶点式的灵活运用。 常见考法： 已知原解析式，求平移或翻折后的新解析式； 已知平移前后的解析式，逆推平移的方向和距离； 结合平行四边形判定，利用平移性质求点坐标。 考点09二次函数与特殊三角形的存在性问题 考点内容：在抛物线上或对称轴上寻找点，使得构成的三角形为等腰三角形、直角三角形或等腰直角三角形。 常见考法： 等腰三角形：利用“两圆一线”法（以定点为圆心画圆、作定线段垂直平分线）分类讨论； 直角三角形：利用勾股定理逆定理、相似三角形性质或“一线三直角”模型列方程求解； 通常需要设点坐标，利用两点间距离公式建立方程。 考点10二次函数与特殊四边形的存在性问题 考点内容：结合平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，在坐标系中确定动点位置。 常见考法： 平行四边形：利用“对角线互相平分”（中点坐标公式）或“对边平行且相等”（平移法）分类讨论（通常分三种情况）； 菱形/矩形：先满足平行四边形条件，再增加“邻边相等”或“对角线相等/有一个角是直角”的限制条件。 考点11线段数量关系与最值（将军饮马模型） 考点内容：利用轴对称性质解决线段和最小（PA+PB最小）、线段差最大（PA−PB∣最大）问题。 常见考法： 在抛物线对称轴上找一点，使该点到两定点距离之和最小； 结合“胡不归”或“阿氏圆”模型（高阶考法），求带系数的线段和最小值（如PA+k⋅PB）。 名称 公式 说明 一般式 （） a决定开口方向和大小 顶点式 顶点 交点式 为与轴交点 对称轴 顶点坐标 判别式 决定与轴交点个数 平移规律 左加右减，上加下减 辨析01不同函数关系式的平移规律 二次函数图象的平移遵循"左加右减，上加下减"的原则，但必须注意针对的对象。 针对顶点式 直接对和（即）进行加减。例如向左平移个单位，变为： 针对一般式 不能直接对加减常数，必须先化为顶点式，或者提取二次项系数后再对括号内的进行操作。例如向右平移1个单位，应为：而非： 易错点 混淆"系数提取"与"直接加减"，导致平移量计算错误。 辨析02不同解析式形式下的图象画法 画二次函数图象时，应根据解析式的形式选择最高效的方法，避免盲目列表。 顶点式 顶点式为：直接确定顶点和对称轴，利用对称性描点。 交点式为： 直接确定与轴的两个交点、，再求顶点或轴截距。 一般式为： 通常先配方化为顶点式，或利用公式法求顶点、对称轴，再求与坐标轴交点。 易错点 在画一般式图象时，未求顶点直接随意取点，导致图象不对称或顶点位置偏差大；忽略开口方向对图象走势的影响。 辨析03利用二次函数图象解不等式 利用图象解不等式（或）时，核心是看图象与轴的相对位置。 大于0（） 找图象在轴上方的部分对应的范围（通常是两边）。 小于0（） 找图象在轴下方的部分对应的范围（通常是中间）。 易错点 1.搞反范围：当时，误以为大于0取中间； 2.忽略端点：题目若是或，解集必须包含与轴交点的横坐标（即带等号）； 3.无解情况：当图象与轴无交点且开口向上时，无解。 辨析04二次函数与坐标轴的交点问题 二次函数与坐标轴的交点包含两类，需严格区分。 与轴交点令，得。交点恒为，且只有一个。 与轴交点令，解方程： 交点个数由判别式决定： 1.：两个交点； 2.：一个交点（顶点在轴上）； 3.：无交点。 易错点 1.混淆概念：将"与坐标轴交点"误认为仅指与轴交点，漏掉； 2.忽视定义：若题目说是"抛物线"，则隐含；若只说"函数"，需讨论退化为一次函数的情况（此时与轴可能有一个交点）。 【题型一】顶点式到图象和性质 【例1】（26-27九年级上·河北唐山·阶段检测）已知二次函数，甲、乙两人提出以下看法，下列判断正确的是（     ） 甲：此函数图象上某个点的纵坐标为； 乙：此函数图象上某个点的纵坐标为16 A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误 【答案】D 【分析】根据平方的非负性确定二次函数值的取值范围，进而判断甲、乙说法的正误． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即函数的最大值为， ∵， ∴函数图象上不存在纵坐标为的点，甲错误； ∵， ∴函数图象上不存在纵坐标为的点，乙错误； 综上，甲、乙都错误． 【变式1-1】（26-27九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）下列关于二次函数（m为常数）的结论： ①该函数的图象与函数图象形状相同； ②该函数的图象一定经过点； ③当时，y随x的增大而减小； ④该函数的图象的顶点在函数的图象上， 其中所有正确的结论序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】利用二次函数顶点式的核心性质，逐一验证各结论． 【详解】解：∵二次函数与的二次项系数均为， ∴两函数图象形状相同，结论①正确； 将代入，得， ∴该函数图象一定经过点，结论②正确； ∵该抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵的值不确定， ∴当时，不一定随的增大而减小，结论③错误； 该函数的顶点坐标为， 将代入，得， ∴该函数的顶点在的图象上，结论④正确； 综上，正确结论为①②④． 【变式1-2】（26-27九年级上·全国·单元测试）已知抛物线，当时，y随x的增大而减小，则h的取值范围是_____． 【答案】 【分析】抛物线开口向下，对称轴右侧随增大而减小，根据给定的递减区间确定对称轴的范围，即可求解的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，， ∴抛物线开口向下， ∴在对称轴右侧，随的增大而减小，即当时，随增大而减小， ∵当时，随的增大而减小， ∴， 解得． 【变式1-3】（26-27九年级上·湖北咸宁·阶段检测）如图，点在抛物线：上，且在抛物线的对称轴右侧． (1)写出的对称轴和的最大值； (2)求的值，并求出点到对称轴的距离； (3)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点及的一段，分别记为，．平移该胶片，使及的一段所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程． 【答案】(1)直线，的最大值为4 (2)；点到对称轴的距离为1 (3)移动的最短路程为 【分析】（1）将二次函数变形为即可求解； （2）将代入解析式可得a的值，结合对称轴的位置可得点到对称轴的距离； （3）根据平移前后解析式求出顶点间距离，即为移动的最短路程． 【详解】（1）解： ， 当时，y取最大值4， 抛物线的对称轴为直线，的最大值为4； （2）解：将代入，得：， 解得或， 对称轴为直线，在抛物线的对称轴右侧， ，点到对称轴的距离为：； （3）解：由（1）得抛物线的解析式为， 抛物线的顶点坐标为， 平移后所得抛物线的解析式， 抛物线的顶点坐标为， 平移前后两顶点间直线距离为：， 移动的最短路程为． 【题型二】一般式的图象和性质 【例1】在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于，B两点，与y轴交于点C． (1)若，求抛物线的表达式； (2)若二次函数的最大值为6，求a的值； (3)若点，在抛物线上，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于，B两点， ， ． ， ． ， ∴抛物线开口向下， ． 将，代入中， 得，解得． ∴抛物线的表达式为； （2）解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线，且， ∴当时，二次函数有最大值， 即， ． ∵抛物线过点， 将代入中，得， 即， ，即； （3）解：由（1）知抛物线的对称轴为直线，， 关于对称轴对称的点的坐标为． 当点P在对称轴的左侧时，y随x的增大而增大， 由，得； 当点P在对称轴的右侧时，y随x的增大而减小， 由，得． 综上所述，的取值范围为或． 【变式1-1】下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数值y的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … m 3 2 … 下列各选项中，正确的是（     ） A．抛物线开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用表格中函数值相等的两点求出抛物线对称轴，再结合二次函数性质判断各选项． 【详解】解：由和时， 得二次函数对称轴为直线； ∵时，时， ∴ 抛物线开口向下，选项不符合题意； ∵ 抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴ 当时，随增大而增大，时随增大而减小， ∴选项不符合题意； ∵ 对称轴为直线，时， ∴ 顶点坐标为，选项不符合题意； ∵与关于直线对称， ∴ 对应函数值相等，即，选项符合题意． 【变式1-2】（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）已知二次函数图象上三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线的开口方向和对称轴，求出点关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的对称性和增减性，即可判断求解． 【详解】解：， 二次函数开口向下，对称轴为直线， 在对称轴的左侧随的增大而增大，在对称轴的右侧随的增大而减小，点关于直线的对称点是， ， ． 【变式1-3】（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）已知二次函数（、为常数，）的图象经过、两点． (1)求的值； (2)若该二次函数的最大值为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）、两点纵坐标相等，说明它们关于二次函数图象的对称轴对称，得到二次函数图象的对称轴为直线，根据二次函数对称轴为直线进行求解； （2）二次函数有最大值，即，将第一问得到的结果代入顶点坐标进行求解即可 ． 【详解】（1）解：、两点纵坐标相等， 二次函数图象对称轴为直线， 又二次函数图象对称轴为直线， ， ； （2）； ， 二次函数的顶点坐标为， 将代入得：， 二次函数的最大值为， ， 整理得：， 即， 解得：，， 二次函数有最大值， ， ． 【题型三】二次函数背景下的字母参数讨论问题 【例1】（26-27九年级上·天津·阶段检测）已知二次函数，当时y有最小值，则m的值为（     ） A． B． C．4 D．4或 【答案】C 【分析】由二次函数顶点式确定开口方向与对称轴，结合给定范围内找到最小值对应点，代入求解即可． 【详解】解：∵ 二次函数为，， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线 ∵ ，且在该区间内， ∴ 当时，取得最小值 由题意得 解得． 【变式1-1】（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）当时，二次函数的最大值为8，则a=_______． 【答案】或 【分析】先计算二次函数的对称轴为直线，然后分，两种情况进行分类讨论求解即可． 【详解】解：的对称轴为直线， 当时，在内， 当时，y取最大值8，代入解析式得：， 解得； 当时，在内， 当时，y取最大值8，代入解析式得：， 解得． 综上，为或． 【变式1-2】（26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，，对称轴为直线．给出下列结论：①；②；③；④当时，该二次函数的最大值与最小值的差为．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，，①正确，②正确； ∵当时，， ∴，③正确； 当时，最大值在顶点处取得，为，最小值在离对称轴更远的端点处取得，为， ∴最大值与最小值的差，④正确； 综上4个结论全部正确，正确个数为4． 【变式1-3】（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，已知点，点，抛物线（，均为常数）与线段交于，两点，若，抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出，得到，，然后根据二次函数的对称性求出，然后将代入求解即可． 【详解】解：∵，点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 将代入得，， ∴， ∴抛物线的解析式为． 【题型四】待定系数法求二次函数解析式 【例1】已知抛物线与抛物线的开口大小相同，开口方向相反，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知点，在抛物线上，求的值． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2) 【分析】（1）根据开口大小相同，开口方向相反，可求出a，将顶点坐标代入，可求出k； （2）将点，代入，分别求出m，n，计算即可． 【详解】（1）解：抛物线与抛物线的开口大小相同，开口方向相反， ， 将顶点坐标代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）点，在抛物线上， ，， ． 【变式1-1】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）已知二次函数的图像经过点，，． (1)求这个二次函数的表达式； (2)写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，并判断有最高点还是最低点． 【答案】(1) (2) 开口向下；对称轴为直线；顶点坐标为；有最高点 【分析】（1）设二次函数的表达式为，将A、B、C三点坐标代入进行求解即可； （2）根据a与0的大小判断开口方向和最值，将一般式化为顶点式，可以得到对称轴，顶点坐标． 【详解】（1）解：设二次函数的表达式为， 将，，代入得：， 解得：， 所以，二次函数的表达式为：； （2）， ，， 所以，抛物线开口向下，有最高点； 根据， 可知对称轴为，顶点坐标为． 【变式1-2】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）已知一条抛物线的顶点，且经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，且点P和点Q关于这个二次函数图象的对称轴对称，求t的值和点Q的坐标． 【答案】(1) （或） (2) ，点的坐标为 【分析】（1）根据抛物线顶点坐标设抛物线的表达式为，将点B坐标代入求出a即可； （2）将代入中，求出t的值，抛物线的对称轴为，点P和点Q关于直线对称，纵坐标相等，横坐标到对称轴的距离一样，可以得到点Q坐标． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为，将代入得：， 解得：， 所以，抛物线的表达式为：， 化为一般式为：； （2）将代入中，得到 解得：， 由可知，抛物线的对称轴为， 所以，点P和点Q关于直线对称， 所以，点Q的纵坐标为，横坐标为， 所以点Q的坐标为． 【点睛】已知顶点坐标，将抛物线表达式设为顶点式． 【变式1-3】（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数（其中）的图象与轴交于点． (1)若抛物线经过点，求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)若点的坐标为，当取得最小值时，求的值； (3)当时，函数的最大值为，直接写出的值． 【答案】(1)当时，二次函数解析式为，顶点坐标为；当时，二次函数解析式为，顶点坐标为 (2)的值为 (3)的值为或 【分析】（1）把已知点的坐标代入二次函数的解析式，求解参数，再根据顶点式确定顶点坐标； （2）先确定点的坐标，用表示出的长度，再转化为二次函数，利用顶点式求出最小值； （3）先确定开口方向是向上的，而开口向上的二次函数在闭区间上的最大值在离对称轴较远的端点处取得，所以后面分情况讨论对称轴的位置即可求出结论． 【详解】（1）解：因为抛物线经过点，将点的坐标代入得：， 整理得：， 解得：或，都满足， 当时，解析式为，顶点坐标为； 当时，解析式为，顶点坐标为 （2）解：设抛物线与轴的交点的坐标为，则， 因为点的坐标为， ， 当时，取得最小值． 当取得最小值时，的值为． （3）解：把化为顶点式得：， 所以开口向上，对称轴为，在范围内，最大值在端点处取得， 在处，函数值； 在处，函数值， 当时， 处离对称轴的距离大于等于处离对称轴的距离， 在处的函数值大于等于在处的函数值， ， 解得：或（不合题意，舍去）， 当时， 处离对称轴的距离小于等于处离对称轴的距离， 在处的函数值小于在处的函数值， ， 解得：或（不合题意，舍去）， 的值为或． 【题型五】二次函数图象与字母参数的符号问题 【例1】（26-27九年级上·安徽芜湖·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若；是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①④⑤ B．①②④ C．①③⑤ D．①③④ 【答案】A 【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断符号及关系，可判断①正确；利用对称性求出抛物线与轴另一交点坐标，可判断②不正确；利用二次函数的增减性可判断③不正确；根据当时，抛物线取得最大值，可判断④正确；把代入，可判断⑤正确． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过，即，故②不正确； ∵，且抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值，， 当时，，且， ∴，故④正确； 把代入得，即，故⑤正确； 综上所述，正确的结论是①④⑤． 【变式1-1】（26-27九年级上·天津·开学考试）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】D 【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断符号及关系；利用对称性求出抛物线与轴另一交点坐标，进而判断代数式符号；利用二次函数性质比较函数值大小及最值问题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， 即，故⑤不正确； 把代入得，即，故②正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 【变式1-2】（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填写序号） 【答案】②③④ 【分析】由抛物线开口方向确定的符号，由对称轴可得的关系确定的符号，由与轴的交点确定的符号，可判断①；利用时的函数值，可判断②；利用时的函数值，可判断③；结合关系及时的不等式，可判断④ ． 【详解】解：①由图像可知，抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线，即， ∴， ∴， ∵ 抛物线与轴交点在轴上方， ∴， ∴，故①错误； ②由图象可知，当时，， ∴，故②正确； ③由图象可知，当时，，故③正确； ④由①可知，则， 由②可知，， ∴，即， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有②③④． 【变式1-3】（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法： ①； ②； ③若，是抛物线上的两点，则； ④； ⑤（其中）． 其中正确的结论是__________． 【答案】①②⑤ 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断a，b，c的符号以及关系，利用对称性求出抛物线与x轴另一交点坐标，进而判断代数式符号；利用二次函数性质比较函数值大小及最值问题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，抛物线对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另外一个交点为， ∴，故④错误； 把代入得：， ∴，故②正确， ∵，抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③错误； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，抛物线y取得最大值， 当时，，且， ∴，故⑤正确； 综上：①②⑤正确． 【题型六】二次函数图象的平移问题 【例1】把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线，则b，c的值分别是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将平移后的抛物线反向平移得到原抛物线，化为一般式即可求得，的值． 【详解】解：， 将该抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到原抛物线， 原抛物线解析式为， 整理得， ∴，． 【变式1-1】填空 （1）在平面直角坐标系中，把抛物线先向上平移5个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为_____________； （2）在平面直角坐标系中，把抛物线先向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为_____________． 【答案】 【详解】解：（1）原抛物线解析式为，向上平移5个单位，在原式末尾加5：； 向左平移2个单位，将上一步得到的解析式的自变量x替换为：． （2）将原抛物线向下平移1个单位长度：整个解析式整体减1，得； 向右平移1个单位长度：将解析式中所有x替换为，代入得： ， ， ， ． 【变式1-2】（26-27九年级上·吉林松原·阶段检测）已知二次函数（h为常数）的图象经过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移6个单位长度，函数图象恰好经过原点，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先利用平移的规律求得平移后的解析式，再代入原点坐标求得n的值即可． 【详解】（1）解：∵二次函数（h为常数）的图象经过点 ∴，解得， ∴此二次函数的表达式为； （2）解：将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到，即， ∵图象恰好经过原点， ∴，解得或， ∵， ∴n的值为2． 【变式1-3】（26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）已知抛物线（为常数）经过点． (1)求的值． (2)当时，求函数值的取值范围． (3)将抛物线向右平移个单位长度，得到新抛物线．已知和是新抛物线上的两点．当时，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据待定系数法得到； （2）根据二次函数的图象和性质，得到抛物线开口方向，对称轴，顶点坐标，进而得到的取值范围； （3）首先得到平移后新的抛物线的对称轴为直线，根据点到对称轴的距离判断的大小，进而得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线（为常数）经过点， ∴将代入，得：， 解得：； （2）解：由（1）可知，抛物线的表达式为，转化为顶点式为， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标， ∴当时，当时，取最小值，最小值为， 当时，随的增大而减小，当时，， 当时，随的增大而增大，当时，， ∴当时，取最大值，最大值为， ∴； （3）解：由（1）可知，对称轴为直线， ∵将抛物线向右平移个单位长度， ∴平移后新的抛物线的对称轴为直线， ∵到新抛物线的对称轴的距离为，到新抛物线的对称轴的距离为， ∵当时，都有， ∴， 当时，上式可转化为，该不等式无解， 当时，上式可转化为，解得， ∴． 【题型七】二次函数实物建模问题 【例1】（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）小明和小陈两人周末去打羽毛球，羽毛球的飞行路线可视为抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，小明在点正上方的处发球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足抛物线表达式，已知点与球网的水平距离为，球网的高度为，当羽毛球飞行达到最高点离地面时，此时与点的水平距离为． (1)求抛物线表达式； (2)通过计算判断此球能否过网． 【答案】(1) (2)解：当时， ， ， ， ， 此球能过网． 【分析】(1) 已知抛物线顶点坐标和经过的点，利用顶点式求抛物线表达式． (2) 将球网位置的水平距离代入抛物线表达式，求出对应高度，与球网高度比较． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点为，且经过点， 设抛物线表达式为， 将代入得， 即， 解得， 抛物线表达式为． （2）略 【变式1-1】赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．如图是一座仿赵州桥建造的抛物线形拱桥的示意图，正常水位时，水面宽，水位上涨到达警戒水位，此时水面宽，则正常水位时拱顶离水面的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为轴、竖直向上的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，则水面在轴下方，设抛物线的解析式为；把“水面宽”的一半作为横坐标，把“水面相对原点的竖直位移”作为纵坐标，用正常水位（半宽为6，点的纵坐标为）与警戒水位（半宽为4，点的纵坐标为）两组数据列出关于a、h的方程组，两式相减消去h先求出a，再回代即可求出拱顶离正常水面的高度． 【详解】解：如图，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为轴，竖直向上的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，则水面在轴下方，抛物线开口向下． 设抛物线的解析式为，设正常水位时拱顶离水面的高度为． 正常水位时水面宽，半宽为，水面两端点的坐标为、；水位上涨到达警戒水位，此时水面宽，半宽为，水面两端点的坐标为、． 把、分别代入，得，． 两式相减，得，解得． 把代入，得，所以． 故正常水位时拱顶离水面的高度为． 【点睛】抛物线形拱桥、隧道类问题，一般都以顶点（拱顶）为原点建立平面直角坐标系，设，只含一个待定系数，计算最简；两个已知条件列出两个方程后，通常用两式相减先消去，再回代．易错点：一是横坐标要用水面宽的一半，不能用水面宽本身；二是水面在原点下方，点的纵坐标要用表示，水位上涨多少，纵坐标就相应增加多少． 【变式1-2】（26-27九年级上·河北唐山·阶段检测）踢足球是同学们喜爱的一项运动．如图，甲同学站在球门正前方的点处练习射门，他离球门的距离；身高的乙同学站在球门前的点处充当守门员，且他只做上下起跳防守，最大起跳高度为；点，，在一条直线上，，足球球门高度为，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，足球飞行路线可看成抛物线的一部分． (1)甲射门时，球离点的水平距离与离地高度的部分数据如下表所示，求关于的函数解析式； 0 5 10 15 16 … 0 3 4 3 2．56 … (2)在（1）的条件下，若乙防守，通过计算判断甲的这次射门能否成功； (3)甲改变射门的角度再次射门，使球的最大高度发生改变，但保持球达到最大高度时与点的水平距离不变，若在乙防守的前提下甲这次射门能成功，求的取值范围． 【答案】(1) (2)解：乙防守时甲这次射门不成功，判断如下： ∵，， ∴， ∵乙防守， ∴乙可达最高为， 当时， ， ∴乙防守时甲这次射门不成功； (3) 【分析】（1）先求出顶点坐标，再利用待定系数法即可求出答案； （2）先求出乙可达的最大高度，再求出当时的函数值，比较后即可得到结论； （3）依题意得，求出，由时，，由时，，分别求出的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：由表格可得，当和时，y的值相等， ∴对称轴为， ∴顶点为， ∴； 将代入得， 解得， ∴； （2）略 （3）解：依题意得，且经过， ∴ 解得， ∴， 当时，足球要超过乙跳起来的最大高度，即， ∴ 解得； 当时，足球要低于门框的最大高度，即， ∴ 得， ∴． 【变式1-3】射水鱼以陆生昆虫为食．它在捕食时，能从口中射出一股水流，准确击中以内的昆虫．如果不考虑空气阻力，那么射水鱼射出的水流可以看成一条抛物线的一部分（如图）．在一次捕食时，射水鱼射出的水珠运动的高度y（单位：）与向前运动的水平距离x（单位：）之间的关系可以近似地表示为．根据这一关系回答下列问题： (1)如果这次射出的水流没有遇到障碍物，那么当水珠向前运动的水平距离在什么范围时，它运动的高度逐步上升？当水珠向前运动的水平距离在什么范围时，它运动的高度逐步下降？水珠运动的最大高度是多少？ (2)假设要捕食的昆虫位于射水鱼正前方水平距离、高度处，那么这次射出的水流能否击中这只昆虫？ 【答案】(1)当时，它运动的高度逐步上升；当时，它运动的高度逐步下降；水珠运动的最大高度是； (2)这次射出的水流不能击中这只昆虫 【分析】（1）根据函数解析式可得对称轴为直线，顶点坐标为，抛物线开口向下，进而可得在对称轴的左侧，即时，随的增大而增大，在对称轴的右侧即时，随的增大而减小，即可求解； （2）将代入得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，，过原点， 在对称轴的左侧，即时，随的增大而增大，在对称轴的右侧即时，随的增大而减小， ∴当时，它运动的高度逐步上升；当时，它运动的高度逐步下降；水珠运动的最大高度是； （2）解：当时，， ∴这次射出的水流不能击中这只昆虫． 【题型八】二次函数与一次函数的综合判断 【例1】（26-27九年级上·陕西安康·阶段检测）一次函数（a、b为常数，且）的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（     ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数图象确定 的符号． 【详解】解：由一次函数 的图象可知，, ． 对于二次函数 ， ∵ ， ∴ 抛物线开口向下． ∵ ， ∴ 抛物线顶点在 轴正半轴． 故选C． 【变式1-1】（26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数图象经过的象限确定的值或符号，进而确定函数是否为二次函数或其开口方向和对称轴的位置，逐一分析即可得到答案． 【详解】解：A、一次函数的图象经过原点，则，则函数不是二次函数，与图象不符合，故此选项不符合题意； B、一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，则二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，即对称轴在轴右侧，与图象符合，故此选项符合题意； C、一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，则二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，即对称轴在轴右侧，与图象不符合，故此选项不符合题意； D、一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，即对称轴在轴右侧，与图象不符合，故此选项不符合题意． 【变式1-2】（25-26八年级下·重庆渝中·期末）在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及对称轴的位置，结合图象特征进行判断；首先由两个函数解析式可知，它们与轴的交点均为，即交于轴上同一点；其次根据的符号判断抛物线的开口方向；最后根据对称轴公式判断对称轴位置． 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． 【变式1-3】（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置确定、的符号，再结合一次函数图象的斜率和截距进行判断． 【详解】A．由抛物线开口向上可知，对称轴在轴右侧可知，得； 由直线过一、三、四象限可知，， ∴． ∴b矛盾． 故A错误． B．由抛物线开口向下可知，对称轴在轴左侧可知，得； 由直线过一、二、四象限可知，， ∴． 故B正确． C．由抛物线开口向上可知，对称轴在轴右侧可知，得； 由直线过二、三、四象限可知，， ∴． 故C正确． D．由抛物线开口向下可知，对称轴在轴右侧可知，得； 由直线过一、二、三象限可知， ， ∴． 故D正确． 【题型九】二次函数销售问题 【例1】巩义特产小相菊花茶深受顾客喜爱，小相菊花茶进价为元/两，某商店对销售情况进行了调查，结果发现月最大销售量（两）与售价（元/两）之间的函数关系如图中的线段所示．（月最大销售量指进货量足够的情况下最多售出数量） (1)求出与之间的函数解析式； (2)若该菊花茶某月的总销售利润为元，求关于的函数解析式，当售价为多少元/两时，销售利润最大？ 【答案】(1)解：设与的函数解析式为， 将点，代入， 得， 解得 与之间的函数解析式为． (2)解：根据题意，得． ，， ∴当时，取得最大值， ∴当售价为元/两时，销售利润最大． 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据题意正确求出函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可求解； （2）由题意可得，再根据二次函数的性质解答即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-1】（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）某商场销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能卖出500件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件．设销售单价为x（）元． (1)写出一周销售量y（件）与x（元）的函数关系式． (2)设一周销售获得毛利润w元，写出w与x的函数关系式，并确定当x在什么取值范围内变化时，毛利润w随x的增大而增大． (3)商场扣除销售额的作为该商品的经营费用，为使得一周内净利润（净利润毛利润经营费用）最大，商场对该商品定价为______元，最大净利润为______元． 【答案】(1) (2)；当时，毛利润随的增大而增大 (3)； 【分析】（1）根据题意，用含x的式子表示出每周销量的减少量，即可求解； （2）根据“一周销售的毛利润单件利润周销售量”，可得，再根据周销售量不小于0，求出x的取值范围，最后根据二次函数的性质，即可求解； （3）设净利润为元，根据“净利润毛利润经营费用”，可得，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：由题可知，销售单价为x元时，上涨元，则每周销量就减少件， 周销售量，即； （2）解：根据题意可得， ， 开口向下，对称轴为直线， ，解得， 当时，毛利润随的增大而增大； （3）解：设净利润为元， 则， ， 开口向下，对称轴为直线， ， 当时，净利润取得最大值，为（元）， 则商场对该商品定价为元时，最大净利润为元． 【变式1-2】（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）【综合与实践】 【项目背景】 小麦是我省北部农村主要农作物，班级同学今年秋天前往种粮大户李叔叔家开展综合实践活动． 【预备知识】 根据李叔叔今年的种粮经验发现：种植品种小麦获得利润（万元）与投资金额（万元）成一次函数关系，种植品种小麦获得利润（万元）与投资金额（万元）成二次函数关系（如图所示）．已知函数，的图象交点为，，函数的图象与轴交于点． 【知识应用】 (1)求，的函数表达式； (2)观察图象，分析比较分别单独种植，两种小麦获得利润的大小； (3)若李叔叔准备明年共投资万元同时种植，两种小麦，怎样分配资金，可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)当时，种植种小麦获利较大； 当时，种植这两种小麦获利一样大； 当时，种植种小麦获利较大； (3)种植种小麦的投资金额为万元，种植种小麦的投资金额为万元时，获得利润最大，最大利润为万元． 【分析】（1）将点代入一次函数，使用待定系数法求解；将点，点分别代入二次函数，使用待定系数法求解； （2）根据图象进行比较，图象在上方的函数表示获利较大，交点处表示获利一样大； （3）设种植种小麦的投资金额为万元，则种植种小麦的投资金额为万元，根据，两种小麦获得利润与投资金额的函数关系式，，列出总利润的函数关系式，化简后，使用配方法即可求出最大利润和资金分配方案． 【详解】（1）解：由题意可设， 当时，， ， 解得， 即． 由题意可设， 当时，，当时，， ， 解得， 即． （2）略 （3）解：设李叔叔明年种植，两种小麦获取的总利润为万元，其中种植种小麦的投资金额为万元，则种植种小麦的投资金额为万元， 由题意得， 整理得， 配方得， 答：种植种小麦的投资金额为万元，种植种小麦的投资金额为万元时，获得利润最大，最大利润为万元． 【变式1-3】某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，那么每个月少卖7件（每件售价不能高于70元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． (1)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (2)每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少？ (3)每件商品的售价定为多少时，每个月的利润为3500元？根据以上结论，请你写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于3500元． 【答案】(1)，自变量的取值范围是且为整数． (2)每件商品的售价定为57元或58元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是3542元． (3)每件商品的售价定为55元或60元时，每个月的利润为3500元；当每件售价在55元至60元之间且为整数时，每个月的利润不低于3500元． 【分析】（1）根据“月利润=每件利润×月销售量”的等量关系列函数解析式，结合售价上限与x为正整数的条件确定自变量取值范围． （2）用配方法将二次函数化为顶点式，结合x的整数性与取值范围确定最大利润及对应售价． （3）令，解一元二次方程得到对应x值，进而得到售价；结合二次函数的开口方向确定利润不低于3500元的售价范围． 【详解】（1）解：每件利润为元，则月销售量为件， ∴． ∵每件售价不高于70元， ∴， 解得． 又∵x为正整数， ∴自变量x的取值范围是且x为整数． （2）解：． ∵， ∴当时，y有最大值． ∵x为正整数，且， ∴当或时，y取得最大值3542． 此时售价为（元）或（元）． 答：每件商品的售价定为57元或58元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是3542元． （3）解：令，则， 整理得， 解得，， 对应售价为（元）或（元）， ∵二次函数开口向下， ∴当时，， 即当每件售价在55元至60元之间且为整数时，月利润不低于3500元． 【题型一】二次函数的定义 【例1】（26-27九年级上·河南漯河·阶段检测）已知函数． (1)当为何值时，此函数是关于的二次函数？ (2)当为何值时，此函数是关于的一次函数？ (3)当满足什么条件时，此函数是关于的正比例函数？ 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据二次函数的定义，可得答案； （2）根据一次函数的定义，可得答案； （3）根据正比例函数的定义，可得答案． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， 当时，此函数是关于的二次函数． （2）解：由题意，得且， 解得， 当时，此函数是关于的一次函数． （3）解：由题意，得且，， 解得，， 当，时，此函数是关于的正比例函数． 【变式1-1】（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）若是关于的二次函数，则的值是（     ） A． B．3 C．2 D．2或 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义，需同时满足自变量最高次数为2，二次项系数不为0，联立求解a的值． 【详解】解：∵是关于的二次函数． ∴，且， 由得 ． 由得 ， ∴． 【变式1-2】（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）已知函数（为常数）是二次函数． (1)求的值． (2)若点在此函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数定义列方程，解出即可得的值． （2）根据的值求出此二次函数的解析式，再根据点在此二次函数的图象上，即可列式求出的值． 【详解】（1）解：∵函数（为常数）是二次函数， ∴且，解得：， ∴的值为． （2）解：∵， ∴， ∵点在的图象上， ∴， ∴的值为． 【题型二】二次函数最值讨论问题 【例1】若二次函数取最大值时，则m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用二次函数开口向下时最大值在对称轴处的性质，结合对称轴公式求解， 【详解】解：∵二次函数中， ∴函数取最大值时的值为对称轴横坐标， 由对称轴公式直线，代入，， 得， ∵函数取最大值时， ∴． 【变式1-1】（26-27九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知二次函数． （1）写出该二次函数经过的定点坐标_______； （2）当时，y有最小值，则实数m的值_______． 【答案】 【分析】（1）将二次函数整理为含和不含的两部分，令含的项系数为0，即可求出定点坐标； （2）二次函数开口向上，根据对称轴在区间的不同位置分三种情况讨论，计算最小值并求解符合条件的． 【详解】解：（1）整理二次函数得 令， 解得， 将代入得，结果与无关， 因此二次函数恒过定点； （2）∵二次函数， ∴图象开口向上，对称轴为直线， 分三种情况讨论： 当，即时，函数在上y随x的增大而增大，最小值在处取得，此时，不符合题意，舍去； 当，即时，最小值在对称轴处取得，代入得， 令， 整理得， 解得， ，，均不在范围内，舍去； 当，即时，函数在上y随x的增大而减小，最小值在处取得，代入得， 令， 解得，满足，符合题意． 综上，． 【变式1-2】（26-27九年级上·陕西安康·阶段检测）已知二次函数（a、t为常数，）的图象经过点． (1)求证：； (2)若该二次函数的最小值为求该二次函数图象的顶点坐标． 【答案】(1) 证明：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入解析式，得，整理得， 移项得， ∴. (2) 该二次函数图象的顶点坐标为. 【分析】（1）把点代入解析式，即可得证； （2）根据（1）中结论以及二次函数的最小值为求出的值，进而求出顶点坐标即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴顶点坐标为， ∵二次函数有最小值， ∴，最小值为顶点纵坐标， 由题意得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为. 【题型三】二次函数的对称性的应用 【例1】已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线与轴两交点关于对称轴对称的性质求解，无需计算的值． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴对称轴为直线， ∵抛物线与轴的两交点关于对称轴对称，其中一个交点为， ∴另一交点的横坐标为， 即坐标为． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，，是抛物线（）上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．当，时，，则______． 【答案】1 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．因为当，时，，所以将，代入解析式得，化简求得，进而对称轴可求，题目可解． 【详解】解：对于，，有， ， ， ， 对称轴为， ． 故答案为：1． 【变式1-2】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）在画二次函数的图像时，在“列表”的步骤中，小明列出如下表格． x … 0 2 4 5 … y … m 4 n … (1)二次函数的顶点为___________；___________，___________． (2)求该二次函数的表达式． 【答案】(1) ；0，0 (2) 该二次函数的表达式为 【分析】（1）找到表格中函数值相同的两个自变量的值，进而确定顶点坐标，把代入函数解析式，求出的值，对称性得到的值； （2）待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】（1）解：由表格可知，和的函数值相同， ∴二次函数的对称轴为直线， 由表格可知，当时，， ∴二次函数的顶点坐标为， 当时，， 由对称性可知，时的函数值与时的函数值相同，即； （2）解：将和代入，得 ，解得， ∴该二次函数的表达式为． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）已知二次函数的函数值和自变量的部分对应值如下表所示： … … … … (1)当时， 求该二次函数图象的顶点坐标； 若，求的取值范围； (2)求证：． 【答案】(1)顶点坐标为； (2) 证明：当时，， ， ， ， ． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键． （1）令，求得对应的值，然后根据二次函数的对称性即可确定顶点坐标；根据函数图象的对称性可得：离对称轴越远，函数值越大，得到对应的点比对应的点距离对称轴远，列不等式，解不等式即可得解； （2）令，得到，进而表示出，结合即可得证． 【详解】（1）解：当时， 当时，， 当时，， 由二次函数的对称性可知顶点坐标为． 二次函数图象的对称轴为直线，且，开口向上， 离对称轴越远，函数值越大， ， 对应的点比对应的点距离对称轴远， ，即， 或， 解得或， 观察表格可知，， ． （2）略 【题型一】二次函数与动态几何问题 【例1】（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，在矩形中，，，为的中点，动点，，同时分别沿，，的方向匀速移动，且三个动点的移动速度相等，当点到达点时，，，均停止移动，设，的面积为，则关于的函数图像为（     ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】先根据矩形的性质以及中点的定义可得，即；再分、两种情况求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，， ∵为的中点， ∴，即， 当时，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 由勾股定理得， ，即； 当时，如图，，， ，即， 观察选项可知选B符合题意． 【变式1-1】（2026·天津·一模）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动，运动到终点停止运动，当点出发后，以为边做正方形，使点，始终在边同侧，设点运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为．有下列结论： ①长为； ②当时，关于的函数关系式为； ③当正方形的对称中心与点重合时，． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，过点作于点，根据等角对等边得，根据勾股定理求出，，可判断①；分两种情况：当点在线段上运动时；当点在线段的延长线上运动时，分别求解，可判断②；根据条件及正方形的性质得，根据等角对等边，根据勾股定理得，，可判断③． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； 当点在线段上运动时， ∵动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动，运动到终点停止运动，点运动时间为，四边形是正方形， ∴，，， 当点与点重合时，点与点重合， 此时， ∴； 当点在线段的延长线上运动时，如图，设交于点 此时点在线段上运动，则， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ， ∴当时，关于的函数关系式为，，故结论②正确； 当正方形的对称中心与点重合时，如图， 此时点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论③不正确； 综上所述，正确结论的个数是． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图①，在四边形中，，，，，点P从点B出发沿以的速度匀速运动至点C，点Q同时从点C出发沿以的速度匀速运动至点B，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为，的面积为，图②是点P，Q运动时，y随时间x变化的函数图象，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象，二次函数的动点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，观察图①和图②，当点P运动到点A时，运动时间为2秒，则，结合观察图①和图②，当点P运动到点D时，运动时间为秒，得，根据点P从点B出发沿以的速度匀速运动至点C，则，在秒时，则，，最后求出当时，或，即可作答． 【详解】解：理解题意，观察图①和图②，当点P运动到点A时，运动时间为2秒， ∵点Q同时从点C出发沿以的速度匀速运动至点B， ∴， ∵的面积为， ∴， 故C选项不符合题意； 观察图①和图②，当点P运动到点D时，运动时间为秒， ∵点P从点B出发沿以的速度匀速运动至点C， 则， 故A选项不符合题意； 观察图①和图②，当点P运动到点D时，运动时间为秒， ∵点P从点B出发沿以的速度匀速运动至点C， 则， 故B选项符合题意； 当时， 则 ∴， 在秒时，则， ∴， 令，则， 整理得， 解得，（舍去） 综上：当时，或， 故D选项不符合题意， 故选：B． 【变式1-3】．（2026·山东青岛·二模）如图1，在中，，，，在中，，，，点与点重合．如图2，点从出发，以的速度沿运动；同时沿方向匀速运动，速度为，当点停止运动时，也停止运动．连接，，．设运动时间为． AI (1)为何值时，？ (2)设由、、、四点围成的多边形面积为，用表示，并求出的最大值； (3)若，求出的值． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)的值为 【分析】（1）由得，对应边成比例，代入、、、，列方程，解得； （2）分、两段，用表示面积，得到两个二次函数．两段函数均在时取得最大值，进而求解面积； （3）由及为等腰直角三角形，得为等腰直角三角形，故，代入、，列方程，解得． 【详解】（1）解：如下图， 由题意得，，； ， ，， ， ，即， ； （2）解：过点P作于点M，过点E作于点N， 由题意得，，为等腰直角三角形，， ∵， ∴， ①当点在上运动时，，如下图， ∵，， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在内，S随t增大而增大， 时，取最大值，为， ②当点在上运动时，，如下图， 在中，， ∴， ∴ ， ∵， ∴开口向下，对称轴为直线， ∴在内，S随t增大而减小， 时，为， 即在内，， 综上所述，的最大值为； （3）解：当时，如下图， ∵，且， ∴点E、F、P三点共线， 又∵为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由（2）①得，， 在中，，， ∴， 解得． 【题型二】二次函数与线段、周长问题 【例1】（26-27九年级上·天津·阶段检测）已知抛物线（，，为常数，，）与轴相交于，两点，点为抛物线与轴的交点． (1)当，时， ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②是线段上一点，是抛物线上一点，且轴，求线段的最大值，及线段的长最大时点的坐标； (2)若点，点在抛物线的对称轴上．当，且取得最小值时，直接写出的值和抛物线解析式； 【答案】(1)①抛物线的解析式为，点的坐标为；②线段的最大值为，此时点的坐标为； (2)，抛物线解析式为 【分析】（1）①利用待定系数法求出函数解析式，进而可求得点B坐标； ②先求出直线的解析式，进而表示出点E、F的坐标，利用坐标与图形的性质，将的长转化为二次函数求最值即可； （2）利用抛物线的两点式得到，则，则；根据抛物线的对称性得到，当B、P、C共线时取等号，的最小值为的长，进而列方程求得n值即可． 【详解】（1）解：当，时，， ①将代入，得，解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则，解得，， ∴点的坐标为； ②对于，当时，， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， ∵是线段上一点，是抛物线上一点，且轴， ∴，，， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为， 此时， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴，，则； 当时，，则， ∵点A、B关于抛物线的对称轴对称， ∴，当B、P、C共线时取等号， ∴的最小值为的长， ∵，的最小值为， ∴，解得， ∴， ∴抛物线的解析式为． 【变式1-1】（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)若将函数图象向右平移h个单位长度，当时，函数有最大值2，求h的值； (4)设点M在抛物线上，且在直线上方，当时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先把解析式化为顶点式求出对称轴，再由对称性求出点B的坐标；连接，由对称性可得，则当P、B、C三点共线时，有最小值，据此求解直线的解析式即可求出点P的坐标； （3）根据平移方式可推出平移后的抛物线的对称轴为直线，讨论对称轴的位置，根据当时，函数有最大值2求解即可； （4）取点，连接，可证明，则可证明，据此求出直线的解析式，进而可求出点M的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴由对称性可得点B的坐标为； 如图所示，连接， 由对称性可得， ∴， ∴当P、B、C三点共线时，有最小值； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：将抛物线的函数图象向右平移h个单位长度得到的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小； 当，即时，在满足的条件下，当时，y有最大值， ∴， 解得或（舍去）； 当，即时，在满足的条件下，当时，y有最大值，且最大值为4，此时不符合题意； 当，即时，在满足的条件下，当时，y有最大值， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，h的值为或； （4）解：如图所示，取点，连接， ∵， ∴； ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 又∵点D和点M都在直线的同一侧， ∴， ∴可设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得， 在中，当时，， ∴点M的坐标为． 【变式1-2】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知抛物线的图像与轴交于，，与轴交于点，、为抛物线上的两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若在抛物线的对称轴上存在一点，连接、，使的值最小，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)S存在最小值为 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）求出抛物线的对称轴为直线，得，，当三点共线时，值最小，求出直线的解析式，代入即可求解； （3）由，分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的图像与轴交于，， ∴设， ∵在抛物线上， ∴ ∴， 则抛物线的表达式为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当三点共线时，值最小， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入得， ∴； （3）解：存在， ∵的横坐标为， ∴； ∵的横坐标为， ∴ ， ∴ 设直线交x轴于点H，直线的表达式为， 把点P、Q的坐标代入得： ∴ ∴直线的表达式为：， ①当时，， 此时，, ∴点关于对称轴对称，且轴， 此时； ②当时，令y＝0， 则， 则， ∵， 、当，即时，， 则 ； Ⅱ、当，即时，， 则 ． 综上，S存在最小值为． 【变式1-3】如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线，解出a的值，即可求得抛物线解析式，再令y值为零，解一元二次方程即可求出A和B的坐标，进而可得到答案； （2）①易求点C的坐标为，则可得直线的解析式；点M的坐标为，点N的坐标为，表示出的长，利用二次函数的性质求解即可；②由得中，，则，分点M在对称轴右侧和点M在对称轴左侧，根据得出关于m的方程，从而求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 令，则， 解得，， ，， ；                         （2）解：①由（1）知抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由题意知点M的坐标为，点N的坐标为， ， ∵， ∴当时，线段的长有最大值， 此时， ∴点M的坐标为；                    ②， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， 当点M在对称轴右侧，即时，如图1所示， 由题意，得， 由（2）①得， ， 解得或（舍去）； 当点M在对称轴左侧，即时，如图2所示， 由题意得，， ， 解得或（舍去）， 综上所述，m的值为或．                  【题型三】二次函数与三角形面积的综合 【例1】（26-27九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使得的值最小，求出点的坐标． (3)若直线上方的抛物线上有一点，当点、、构成的三角形面积最大时，求的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）由抛物线的对称性得：点A，B关于对称轴对称，可得当点E在直线上时，的值最小，求出抛物线对称轴为直线，以及直线的解析式，即可求解； （3）过点P作轴，交直线于点G，设点，则点，可得，再由，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， 由抛物线的对称性得：点A，B关于对称轴对称， ∴， ∴， 即当点E在直线上时，的值最小， ∵， ∴抛物线对称轴为直线， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； （3）解：过点P作轴，交直线于点G， 设点， 由（2）得：直线的解析式为则点， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，点、、构成的三角形面积最大， 此时点P的坐标为． 【变式1-1】（26-27九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、． (1)求、满足的关系式及的值． (2)如图，当时，在抛物线上是否存在点，使的面积与的面积相等？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当时，若的函数值随的增大而增大，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)或或或 (3) 【分析】（1）求出点、的坐标，代入，即可求解； （2）当时，可得抛物线解析式为，设点，过点作于点，由，，可得，则，即可求解； （3）由，可得抛物线的对称轴为直线，根据题意可得，结合，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，，解得， 当时，， ∴，， 把，代入，得， ∴，． （2）解：由（1）可知，， 当时，， ∴抛物线解析式为， 如图，设点，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴或 整理得或 解得，，，， 当，时，， ∴，， 当，时，， ∴，， 综上所述，点的坐标为或或或． （3）解：由（1）可知，，， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵当时，的函数值随的增大而增大， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1-2】（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）如图1，已知抛物线：与抛物线：相交于、两点（其中点在的左侧），连接交轴于点． (1)求的值． (2)如图2，若抛物线上有一动点在、之间运动，连接并延长交抛物线于点，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标． (3)若直线与抛物线、恰好有三个交点时，直接写出此时的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，； (3)或或或或． 【分析】（1）将代入计算即可； （2）联立和，求出，设直线解析式为，求出直线解析式为，过点Q作x轴的垂线，交直线于点H，设Q点横坐标为，因Q在上，故；H在上、横坐标与Q相同，故．根据割补法得到的二次函数解析式，进而得到面积的最大值及此时点Q的坐标，根据和关于对称可知和关于对称，根据中点坐标公式计算即可； （3）将变形后可知其恒过定点，分三种情况作答即可． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， 解得：； （2）解：联立和，得到， 整理得， ， 解得：， 当时，， 即， 设直线解析式为， 则， 解得：， ∴直线解析式为， 过点Q作x轴的垂线，交直线于点H，设Q点横坐标为，因Q在上，故；H在上、横坐标与Q相同，故． 则将沿分割为和两个三角形． 两个三角形的公共底为的长度：， 两个三角形的高之和为A、B两点的水平距离：， ∴ ， ∵， ∴当时，面积有最大值， 此时， 当时， 解得：， 即， ：，可知抛物线顶点坐标为， ：，可知抛物线顶点坐标为， ∵， ∴和关于对称， 即和关于对称， ∴和关于对称，和关于对称， 设， ∴， 解得：， ∴； （3）解：直线可变形为， 可知其恒过定点， 直线与两抛物线恰好3个交点分三种情况： 直线与只有一个交点，联立与， 得到， 整理得， 此时， 整理得：， 解得：； 直线与只有一个交点，联立与， 得到， 整理得， 此时， 整理得：， 解得：； 直线经过两抛物线的交点或： 将代入，解得； 将代入，解得； 综上所述，的值为或或或或． 【题型四】二次函数与角度的综合问题 【例1】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线解析式； (2)如图，点是直线上方且为抛物线对称轴左侧的抛物线上一动点，过点作轴，交直线于点，作轴，交抛物线于点，点为轴上一个动点，点为轴上动点，当的最大值时，求的最小值． (3)将原抛物线沿射线向上平移个单位，再向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的对称轴与轴交于点，新抛物线上是否存在点，使得．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点，使得，点的坐标为，． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）先求出直线的解析式为，设， 则，进而用表示、，进而可得，根据二次函数的性质可确定当的最大值时点的坐标；作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，根据对称的性质结合两点之间线段最短可得的最小值即为的长，即可得解； （3）先求平移后的函数解析式，根据同角的余角相等可得，推出， 设，过点作轴交于，推出为等腰直角三角形，得到，分两种情况讨论：当点在轴上方时，当点在轴下方时，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入抛物线， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 设， 则， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为，点、是关于对称轴为的对称， 由图可知：点在对称轴左侧时，更大， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取最大值，最大值为，此时； 如图，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接， 则， 由对称可知，，， ∴， ∴的最小值为． （3）解：， ∵将原抛物线沿射线向上平移个单位，再向右平移个单位得到新抛物线， ∴新抛物线， ∴新抛物线的对称轴与轴交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设，过点作轴交于， 则为等腰直角三角形， ∴， 当点在轴上方时，， 解得（不合题意，故舍去），， ∴； 当点在轴下方时，， 解得（不合题意，故舍去），， ∴； 综上，存在点，使得，点的坐标为，． 【变式1-1】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）过点，，与轴交于点，作直线．点是线段中点，过点的直线且与轴交于点． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，直线下方抛物线上有一点，连接、，与交于点，连接，将线段沿轴平移，在平移过程中记为．当最大时，求周长的最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点，点在延长线上，横坐标为，点是新抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把，代入函数解析式求得a、b的值即可； （2）先说明的面积是定值，则要使的面积最大，只需的面积最大即可；如图：过P作于H，过P作于I，设，则，利用割补法可得的面积，再利用二次函数的性质求得最大时p的值，即可确定最大时，点P的坐标；再说明要求周长的最小值，只需求得的最小值，再利用平移和轴对称的性质求最值即可； （3）先求得，新抛物线的解析式为，如图：过G作交y轴于点M， 过C作交于点U，利用平行线的性质和等量代换可知点Q为直线与抛物线在第一象限的交点；再想法求得直线的解析式为，再与新抛物线的解析式联立求解，并选择符合题意的点Q坐标即可；如图：取点M关于的对称点，则，易得点是直线与在第三或第四象限的交点；利用垂直平分线的性质、中点坐标、勾股定理求得，利用待定系数法可得直线的解析式为，再与新抛物线的解析式联立求解，并选择符合题意的点Q坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 过点，， ∴，解得：． ∴抛物线解析式． （2）解：∵抛物线解析式， ∴， ∵点是线段中点， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴． 如图：过F作于G， ∵， ∴是定值， ∴的面积是定值， ∴要使的面积最大，只需的面积最大即可． 如图：过P作于H，过P作于I， 设，则， ∴，，， ∴的面积为， 整理得：， ∴该函数抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，的面积S有最大值， ∴当时，的面积S有最大值，的面积有最大值； ∵，， ∴， ∵将线段沿轴平移，在平移过程中记为， ∴， ∴要求周长的最小值，只需求得的最小值， 如图：将点向上平移一个单位得到点，则， ∴， 如图：作点P关y轴的对称点，连接， 当三点共线时，最小值为,即的最小值为， ∵． ∴的最小值为， ∴周长的最小值． （3）解：由（2）可知直线的解析式为， ∵横坐标为， ∴， ∵直线的解析式为，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，， ∴设新抛物线的解析式为： ， ∵新抛物线经过点， ∴，解得：，（不合题意、舍去）， ∴新抛物线的解析式为， 如图：过G作交y轴于点M， 过C作交于点U， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，即点Q为直线与抛物线在第一象限的交点， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：（不合题意舍去）， ∴； ∵直线的解析式为， ∴， 如图：取点M关于的对称点，则， ∴，， ∴点是直线与在第三或第四象限的交点， ∵点M关于的对称点， ∴的中点坐标为，且在直线上， ∴，整理得：， ∵， ∴， ∴，整理得：， 联立，解得：（不合题意舍去）， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：（不合题意舍去）， ∴， 综上，点Q的坐标为或． 【变式1-2】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)是线段上方抛物线上的一动点，过点作，垂足为，是直线上一动点，是轴上一动点，连接，，．当的长度取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点的对应点为，是平移后抛物线上一点，直线交射线于点，且．请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)，周长最小值为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，利用相似关系可得，从而求的最大值即可；得到点后，根据题意作点关于直线的对称点， 作点关于轴的对称点，则周长的最小值转化为求线段的长； （3）“沿射线方向平移个单位长度”即先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，由此算出，，点即为直线与抛物线的交点，再利用两直线垂直的关系求出直线的斜率，从而算出直线的解析式，联立直线与直线得到点的坐标，过作直线轴，过作轴交于，过作轴交于，构造一线三垂直进而求得点的坐标，即可求出解析式，与的解析式联立，求出答案；令还有一种情况对应的与到点的距离相等，利用中点坐标公式即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得： 解得 ∴抛物线的表达式为：． （2）过作轴交于， ，， ， ， ∴当最大时，有最大值， ， ∴设，则， ， ，开口向下， ∴当时，有最大值，此时， 作点关于直线的对称点，则， 作点关于轴的对称点，则， ． （3） 点的坐标为或，过程如下： ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度，，， ∴， 即抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴ ， ∴， 过作轴交于， 由题得， 设直线的函数表达式为， 将点代入得：， 解得，故， ∵ ∴， ∴，又， ∴直线得函数表达式为， 联立直线与直线得 解得， ∴， 过作直线轴，过作轴交于，过作轴交于， 则，， ∴，又 ∴，故， ∴， ∴， 如图点，即， 设直线的函数表达式为，代入点， 则，解得， ， 令， 解得：（舍），， ； 如图当点在点上方时，点是的中点， 则，即 同上可求得直线的， ∴， 令， 解得：（舍），， ． 综上，点的坐标为或 【变式1-3】（26-27九年级上·重庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，且经过点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)P是线段上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为D，E，F是线段上动点（E在F上方），且，连接，．当的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点C的对应点为G，M是平移后抛物线上一点，射线交直线于点N，且．请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)；的最小值为 (3)符合条件的点M的横坐标为或； 将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，即将抛物线向右平移1个单位，向下平移1个单位， ∵ ， ∴， ∵点的对应点为G， ∴， 又，， ∴，． ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ 情形一：如图，当时， 由，可得直线的解析式为， 由，可得直线的解析式为． 设直线的解析式为， 代入得，，解得：， ∴直线的解析式为． 联立 ∴ 解得：或（舍去） 情形二：由情形一可得， 解得：，则 作关于的对称点， ∵，则点在直线上， ∴设， ∵ ∴ 解得： ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 ∴ 解得：或（舍去） 综上所述，符合条件的点M的横坐标为或 【分析】（1）将，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得直线的解析式，过点作轴交于点，过点作轴于点，得出，设，当的长度取得最大值时，取得最大值，进而求得关于的解析式，根据二次函数的性质求得最值；作，则，， ，得出，作点关于的对称点，连接，则，，进而根据轴对称的性质求得最小值； （3）根据已知得出，进而得出求得其中一个解，再根据对称性即可求得另一个解，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令， 解得：， ∴． 设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 如图，过点作轴交于点，过点作轴于点， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当的长度取得最大值时，取得最大值． 设， ∴， ∴， ∵, ∴当时，取得最大值为，则的最大值为， 此时，， ∴． 如图，作，则，， ， ∴， 过点分别作轴的平行线交于点， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵，则 ∴， ∵， ∴，即最小值为． 作点关于的对称点，连接，，则，， 当与的交点即为点时取得最小值，最小值为的长， ∵的最大值为，且，又点关于的对称点， ∴， ∵， ∴ 在中， 即的最小值为； （3）略 【题型五】二次函数与四边形的综合 【例1】如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线经过B，C两点，点A的坐标为，P是第一象限内抛物线上的一个动点，于点Q，设点P的横坐标为n． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求线段的最大值，并求此时n的值； (3)在（2）的条件下，当线段取最大值时，若M是x轴正半轴上一动点，N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，线段有最大值，最大值为； (3)存在．点M的坐标为、、． 【分析】（1）将代入求出，进而求出直线的函数解析式，得到点B的坐标为，将，代入中求解即可； （2）由题意可知，得到，过点P作轴于点E，交于点F，根据勾股定理求出，根据点P的横坐标为可知，，则，求出解析式，进而根据二次函数的性质作答即可； （3）由（2）得取最大值时，P点坐标为，分两种情况根据平行四边形的性质作答即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为． 将代入中，得， ∴直线的函数解析式为． 当时，，∴点B的坐标为． 将，代入中， 得解得 ∴抛物线的函数解析式为． （2）解：，， ， ． 如图，过点P作轴于点E，交于点F， ， ． ， ． ∵点P的横坐标为， ，， ， ． ，， ∴当时，线段有最大值，最大值为． （3）解：由（2）得取最大值时，P点坐标为，已知， 设（，M在x轴正半轴），以B、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：为平行四边形的边或为平行四边形的对角线. ①当为平行四边形的边时，如图， 可知， 此时N的纵坐标为4， 代入抛物线， 解得或（对应点P，舍去）， 即． ∴， 由平行四边形对边平行且相等，得 或 即或； ②当为平行四边形的对角线时，如图， 根据平行四边形的性质可知，， 即，， 解得：，， 即 将代入得， 解得​， 当时，， 当时，（舍去）， ∴M点为； 综上所述，∴点M的坐标为、、． 【变式1-1】（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． (1)试判断与是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由： (2)如图，若：与：互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为，，记，组成的图形为． ①试猜想与的数量关系，并证明； ②如图，若：，，，分别为，上的点，且四边形为正方形，求的值． 【答案】(1)解：与互为“伴随对称抛物线”，理由如下： ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 将代入，得， ∴抛物线经过点， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 把代入，得， ∴抛物线经过点， ∴与互为“伴随对称抛物线”； (2)解：①，证明如下： ∵：，：，顶点分别为，， ∴，， 又∵与互为“伴随对称抛物线”， ∴，， 两式相加，得， ∵， ∴， ∴； ② 【分析】（）分别求出与的顶点坐标，再根据“伴随对称抛物线”的定义解答即可； （）①先求出，，根据“伴随对称抛物线”的定义得，，两式相加即可解答；②由题意可得，则：，设与相交于点，根据正方形的性质得，过点作直线轴，垂足为，过点作，垂足为，可证，得到，，设，则，，得到，，进而根据，点在上，可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 ②∵：，， ∴，， ∴：， ∴，，， 如图，设与相交于点， ∵四边形为正方形，   ∴为的对称中心，，， ∴， 过点作直线轴，垂足为，过点作，垂足为，则，， ∵， ∴， ∴，， 设，则，， ∴，， ∵， ∴，， ∵点在上， ∴， 整理得， ∴． 【变式1-2】（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，连接和，交于点，交轴于点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (3)如图2所示，若点是抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，请问在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2) (3)符合条件的点有三个，坐标为：，， 【分析】（1）先推导出，再根据待定系数法进行求解即可； （2）先求出，即，根据三角形的内角和求出，推导出，得到，可推导出是等腰直角三角形，求出，继而求出直线解析式是，联立直线与抛物线，求出点D的横坐标，再求出，即可解答； （3）分类讨论：当为对角线和菱形边时，利用直线与x轴成角关系建立关于P的横坐标的方程，进而求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， 将，分别代入，得 ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时， ， 解得， ∴，即， ∵，， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 设直线解析式是，把，分别代入，得 ， ∴， ∴直线解析式是， 联立直线与抛物线：，得 ， 解得（点B，舍去），， 将代入，得 ， ∴； （3）解：设直线解析式是， 把，代入，得 ， ∴， ∴直线解析式是． ①当为菱形的对角线时，如图2， 设，则， ∴， ，四边形是菱形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，即轴， ∴， ， 解得（不合题意舍去）或， 此时， ． ②当为菱形的边时，如图， 作于点H，   设，则， ∴，， ， ∴． ∴ 解得：，，（不合题意舍去）． 或． ∴，， 如图所示， 综上所述，符合条件的点有三个，坐标为：，，． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线，点D为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上C、D两点之间的距离是 ； (3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值； (4)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)或，或或 【分析】（1）先由题意得出A，B的坐标，再用待定系数法求出解析式即可； （2）根据两点的距离公式即可求出的长度； （3）先设出E的坐标，然后将的面积表示出来，求出最大值即可； （4）根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴， 将，代入解析式，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的解析式为， 当时，，当时，， ∴，， ∴． （3）解：如图，过点作轴于点，交于点，过点作于点， 设直线BC的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴直线BC的解析式为， 设，且，则， ∴， ∴ ， ∵， 当时，S△BCE有最大值为． （4）解：设，， 由（1）知，由（2）可知， 如图，当为矩形的对角线时， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分，， ∴由中点坐标公式，得， 解得， ∵，， ∵，即， ∴， 解得或， ∴或， 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得， ∴，， 同理， ∴， 解得， ∴， 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得：， ∴，， 同理，， ∴， 解得， ∴， 综上，点Q的坐标为或，或或． 【题型六】二次函数与特殊三角形的综合问题 【例1】如图，已知抛物线经过，两点，与y轴交于点C，连接，．P是线段上一动点，过点P作轴，交抛物线于点M，交线段于点N． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，求点M的坐标； (3)连接，是否存在点P使得是等腰三角形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或 【分析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线的函数表达式，列出方程，求解即可； （2）先用待定系数法求出直线的函数表达式，设点P的坐标为 ，则，根据，求出，再代入抛物线的函数表达式，即可求解； （3）设点N，则，根据勾股定理可得，，，最后根据等腰三角形，分三种情况讨论，分别列出方程，求出m即可． 【详解】（1）解：将，分别代入抛物线的函数表达式，得 ，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：把代入，得，则， 设直线的函数表达式为， ，， ∴，解得， 则直线的函数表达式为，． 设点P的坐标为 ，则， ， ， ，解得， 把代入，得， ； （3）解：存在， ，， ， 由（2）知直线的函数表达式为， 设点N的坐标为，则， ，， 为等腰三角形， ∴分三种情况讨论： ①当时，则， ，解得（舍去）或， 点； ②当时，则， ， 解得（舍去）或， ； ③当时，则， ，解得， ； 综上所述，点P的坐标为或或． 【变式1-1】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知抛物线经过点．若抛物线顶点为，它与轴交于两点，且为等边三角形．请回答下列问题： （1）的值为__________； （2）若抛物线顶点在第三象限，则顶点坐标为__________． 【答案】 【分析】（1）抛物线顶点，与轴交于，，则，由于是等边三角形，顶点到轴距离为，顶点纵坐标绝对值为高，可得，代入，化简得，解得； （2）顶点在第三象限，需满足横坐标，即，纵坐标，当时，顶点横坐标，纵坐标，符合第三象限． 【详解】（1）解：由题意，，　 ∴， 抛物线顶点为， 设， ∵， ∵为等边三角形， ∴ 即 ∵， ∴， ∵，　 ∴， ． （2）解：或， ∵抛物线顶点在第三象限, ∴, 即, 故舍去, 将代入得， ∵抛物线顶点在第三象限， ∴顶点坐标为． 【变式1-2】（26-27九年级上·新疆·阶段检测）如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． (3)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，M的坐标是或 【分析】（1）先求出点坐标，再设交点式求解即可； （2）过点N作轴交直线于点P，设，则，表示出，再由建立起面积的二次函数关系式，再由二次函数的性质求解； （3）设，①当以C为直角顶点时，如图，过点C作，交抛物线于点．过点作y轴的垂线，垂足是E，则，得到是等腰直角三角形，则，即可建立方程求解；②当以B为直角顶点时，如图，过点B作，交抛物线于点，交y轴于点G．过点作y轴的垂线，垂足是F，则，轴，得到是等腰直角三角形，则，即可建立方程求解． 【详解】（1）解：令，则， 令，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设抛物线， 代入，得，， ∴； （2）解：如图3，过点N作轴交直线于点P， 设，则， ∴， ∵轴， ∴点C到的距离为，点B到的距离为， ∴， ∵ ∴当时，的面积最大，为． （3）解：存在． 设， ①当以C为直角顶点时，如图，过点C作，交抛物线于点．过点作y轴的垂线，垂足是E，则， 由，，得， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得（舍去），． ∴， ∴． ②当以B为直角顶点时，如图，过点B作，交抛物线于点，交y轴于点G．过点作y轴的垂线，垂足是F，则，轴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵轴，即轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 综上所述，M的坐标是或． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，与抛物线交于点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点．过点P作垂直于x轴于点D，交线段于点E，使． ①求点P的坐标； ②在直线上是否存在点M，使为以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①点P的坐标为；②存在，点M的坐标为或 【分析】（1）根据题意，分别求出点C的坐标，利用求出点A的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）①设点P的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式，用含a的式子表示出点E的坐标，用含a的式子表示出和的长度，由，得到关于a的方程，求得a的值，即可得到点P的坐标； ②设点M的坐标为，分别求得、、的长度，根据是以为直角边的直角三角形，所以可分为两种情况：一是为斜边，二是为斜边，利用勾股定理列出关于m的方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵直线与抛物线交于点， ∴点坐标为， 把点、坐标代入解析式 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：①∵是直线上方的抛物线上一点 ∴设点的坐标为 设直线解析式： 将点、坐标代入解析式，得 解得： ∴ ∵轴于，交于点，如图， ∴点坐标为 ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去）， 当时， ∴点坐标是 ②∵点M在直线上， ∴设点M的坐标为 ∵点，点， ∴， ∵为以为直角边的直角三角形， Ⅰ：当为斜边时，可得：， ∴， ∴， ∴点M的坐标为， Ⅱ：当为斜边时，可得：， ∴， ∴ ∴点M的坐标为 综上所述，符合题意的点M的坐标为或． 技巧 要点 待定系数法 三点设一般式，知顶点设顶点式，知交点设交点式 图象平移 左加右减针对x，上加下减针对整体 最值问题 先看开口方向，再看顶点是否在范围内 系数判断 a看开口，c看y轴交点，b结合对称轴和a判断 数形结合 方程的根=交点横坐标，不等式解集=图象上下方 试卷第116页（共117页） 份有限公1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $