第十三章三角形中的边角关系、命题与证明（期中知识清单）八年级数学上学期新教材沪科版

第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 知识清单 一、本章知识框架 第13章“三角形中的边角关系、命题与证明”是初中几何从“实验几何”走向“论证几何”的关键一章。前半部分系统梳理三角形的边、角关系以及高、角平分线、中线等重要线段；后半部分引入命题、定理、证明等逻辑推理概念，并正式证明三角形内角和定理及其四个推论。全章结构如下： 小节 标题 核心内容 13.1 三角形中的边角关系 三角形的定义与分类；三边关系；内角和与按角分类；高、角平分线、中线、重心 13.2 命题与证明 定义、命题、真命题与假命题；逆命题与反例；基本事实与定理；演绎推理与证明格式；三角形内角和定理及四个推论；三角形外角 二、13.1 三角形中的边角关系 （一）三角形中边的关系 1. 三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫作三角形。点A、B、C叫作这个三角形的顶点；线段AB、BC、CA叫作这个三角形的边；∠A、∠B、∠C叫作这个三角形的内角，简称三角形的角。 顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。 边的对应记法：边BC对着∠A，记作a；边CA对着∠B，记作b；边AB对着∠C，记作c。 2. 三角形按边分类 分类 定义 要点说明 不等边三角形 三条边互不相等的三角形 三边都不相等 等腰三角形（底边和腰不相等） 有两条边相等的三角形 相等的两边叫作腰，剩余一边叫作底边；两腰的夹角叫顶角，腰与底边的夹角叫底角 等边三角形（正三角形） 三条边都相等的三角形 等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形 3. 三角形三边关系定理 三角形中任意两边的和大于第三边。依据：两点之间线段最短。 由不等式性质可推出：三角形中任意两边的差小于第三边。 判断三条线段能否组成三角形的方法：只需验证两条较短线段之和大于最长线段即可（因为其余两个不等式自动成立）。 （二）三角形中角的关系 1. 三角形内角和定理 三角形的内角和等于180°。（注：该结论在13.1中通过折叠、剪拼等实验方法获得感性认识，在13.2中给出严格证明。） 2. 三角形按角分类 分类 定义 要点说明 锐角三角形 三个角都是锐角的三角形 三个内角均小于90° 直角三角形 有一个角是直角的三角形 夹直角的两边叫作直角边，直角所对的边叫作斜边；记作“Rt△ABC” 钝角三角形 有一个角是钝角的三角形 有一个内角大于90° 温馨提示：三角形的三个内角中，最多只有一个直角或一个钝角（因为三角形内角和为180°）。 （三）三角形中几条重要线段 线段 定义 关键点 高（高线） 从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段 锐角三角形三条高都在三角形内部；直角三角形两条高恰好是两条直角边；钝角三角形有两条高在三角形外部 角平分线 三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段 三角形的三条角平分线交于三角形内部一点 中线 连接一个顶点与它对边中点的线段 三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心；一条中线将三角形分成面积相等的两部分 辨析要点：三角形的角平分线是一条线段（顶点到对边交点），而角的平分线是一条射线；三角形的高也是一条线段（顶点到垂足），垂线则是直线。 三、13.2 命题与证明 （一）定义与命题 1. 定义 能明确界定某个对象含义的语句叫作定义。例如：“由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫作三角形”就是三角形的定义。 2. 命题 可以判断正确或不正确的陈述语句叫作命题。 · 真命题：判断为正确的命题。 · 假命题：判断为错误的命题。 注意：疑问句、祈使句等不能判断真假的语句不是命题。 3. 命题的结构 命题通常由条件（题设）和结论两部分组成，常写成“如果p，那么q”的形式。其中p是条件，q是结论。 有时为了叙述简便，可以省略关联词“如果”和“那么”，如“对顶角相等”。 （二）逆命题与反例 1. 互逆命题 将命题“如果p，那么q”中的条件与结论互换，得到新命题“如果q，那么p”，这两个命题称为互逆命题。其中一个叫原命题，另一个叫逆命题。 注意：原命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题。例如：“对顶角相等”是真命题，但它的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题。 2. 反例 符合命题条件，但不满足命题结论的例子称为反例。 要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可。 （三）基本事实、定理与推论 概念 定义 举例 基本事实 从实践中总结出来的、作为推理出发点的真命题 两点之间线段最短；同位角相等，两直线平行 定理 从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假依据的真命题 对顶角相等；同角的补角相等 推论 由基本事实、定理直接得出的真命题 直角三角形两锐角互余；三角形外角等于不相邻两内角之和 （四）演绎推理与证明 1. 演绎推理 从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理，并按照逻辑规则推导出结论，这一方法称为演绎推理（或演绎法）。演绎推理的过程就是演绎证明。 2. 证明的一般步骤 · 审题：分清命题的条件和结论。 · 画图：根据题意画出图形。 · 写已知、求证：结合图形，用数学语言写出已知条件和待证结论。 · 分析：找出证明途径。 · 书写证明过程：有条理地写出推理过程，每一步推理都注明依据。 3. 证明书写格式 符号“∵”读作“因为”，符号“∴”读作“所以”。证明中括号里的内容为推理依据。示例格式： ∵ ∠1 = ∠2，（已知） 又 ∵ ∠1 = ∠3，（对顶角相等） ∴ ∠2 = ∠3。（等量代换） ∴ a ∥ b。（同位角相等，两直线平行） 4. 辅助线 在证明过程中，为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫作辅助线。辅助线通常画成虚线。 （五）三角形内角和定理及推论 三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°。 证明思路：延长BC到D，过点C作CE∥BA，利用平行线的性质将三个内角转化到一个平角上。 推论 内容 推论1 直角三角形的两锐角互余。 推论2 有两个角互余的三角形是直角三角形。 推论3 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 推论4 三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角。 三角形外角与外角和 三角形外角：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角。 三角形的外角和为360°。（每个顶点处取一个外角，三个外角之和为360°。） 四、易错点与温馨提示 序号 易错点 规避要点 1 判断三条线段能否组成三角形时，只验证了两边之和大于第三边，但没有选最长边比较 只需验证两条较短线段之和大于最长线段；如3、4、8：3+4=7<8，不能组成三角形 2 等腰三角形求边长时，忘记分类讨论或忽略三边关系检验 已知两边长求第三边时，要分“腰=已知边”和“底边=已知边”两种情况，求出后必须用三边关系检验 3 混淆三角形的高与垂线、角平分线与角的平分线 三角形的高是线段（顶点到垂足），角平分线也是线段（顶点到对边交点）；垂线和角的平分线分别是直线和射线 4 钝角三角形画高时，误以为三条高都在三角形内部 钝角三角形有两条高在三角形外部（需要延长对边），画高时垂足可能在边的延长线上 5 认为带问号或感叹号的语句也是命题 命题必须是可以判断真假的陈述语句；疑问句、祈使句都不是命题 6 认为原命题为真，则逆命题也一定为真 原命题和逆命题的真假没有必然联系；真命题的逆命题可能是假命题，需要单独验证 7 证明假命题时试图从正面推导 说明一个命题是假命题只需举一个反例，不需要也不能从正面证明其错误 8 混淆“定理”与“基本事实” 基本事实是从实践中总结出来、不需证明的；定理是需要经过推理证明的 9 使用三角形外角性质时，搞错“不相邻”的对应关系 外角等于与它不相邻的两个内角之和；外角大于任何一个与它不相邻的内角；相邻的内角与外角互补（和为180°） 10 证明过程中每一步没有写推理依据 证明的每一步推理后面都必须用括号注明依据（已知、定义、基本事实、定理、等量代换等） 11 三角形外角和记错 三角形的外角和为360°（每个顶点取一个外角），不是180°；三角形内角和才是180° 12 混淆“中线分面积”的结论 三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的小三角形（等底同高），而非周长相等 学科网（北京）股份有限公司 $