专题04 旋转（期中复习课件）九年级数学上学期新教材人教版

九年级数学上学期期中复习 考点大串讲 专题04 旋转 新教材人教版 01 期中考情透视 复习目标锚定 知识体系构建 02 03 目 录CONTENTES 核心考点精讲 04 重难题型突破 05 限时分层演练 06 2 PART 01 期中考情透视 期中考情透视 核心考点 常考题型 常见分值 难度 命题频率 旋转的概念与三要素 选择、填空 2～3分 基础 高频 旋转的性质（保距、等角、全等） 选择、填空、解答 3～6分 基础—中档 高频 旋转作图 解答题 6～8分 中档 高频 中心对称及其性质 选择、填空 2～4分 基础 较高 中心对称图形识别 选择题 2～3分 基础 高频 关于原点对称的点的坐标 选择、填空 2～3分 基础 高频 旋转与全等综合（手拉手模型） 解答题、压轴题 4～8分 中档—较难 中频 图案设计（图形变换综合） 解答题 3～6分 中档 中频 4 PART 02 复习目标锚定 复习目标锚定 识记 1.记住旋转的概念与三要素，三条性质，中心对称与中心对称图形的定义，关于原点对称的点的坐标规律，常见中心对称图形 理解 1.理解中心对称是旋转180°的特殊情形，中心对称与中心对称图形的联系与区别，旋转角的概念，三种对称坐标规律的差异，旋转作图依据 应用 能完成旋转作图与中心对称作图，求旋转角、对应点与坐标，运用旋转证明线段相等、角相等，进行图案设计 6 PART 03 知识体系构建 知识体系构建 8 PART 04 核心要点精讲 考点一 图形的旋转 考点二 旋转作图 考点三 中心对称 考点四 中心对称图形 考点五 关于原点对称的点的坐标 考点六 图案设计 核心要点精讲 考点一图形的旋转 旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度的图形变换，叫做图形的旋转。点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。三者缺一不可，确定一次旋转必须同时指明中心、方向与角度。 旋转角：对应点与旋转中心连线的夹角，如。 旋转的三条性质： ① 对应点到旋转中心的距离相等，即、； ② 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即； ③ 旋转前后的图形全等，即。 上述性质可概括为“保距离、保夹角、保全等”，即旋转只改变图形的位置，不改变其形状与大小。 10 核心要点精讲 ⚠️概念辨析 辨析1：旋转与平移、轴对称一样，都是“保距变换”，变换前后图形全等；区别在于旋转围绕一个定点转动，平移沿方向移动，轴对称沿直线翻折。 辨析2：旋转中心可以位于图形内部、外部或图形上（如绕顶点旋转）。旋转中心不同，旋转效果不同。 辨析3：旋转角不一定是特殊角。旋转角只取决于“对应点与旋转中心连线”的夹角，与图形边的大小无关。 ⚠️记忆口诀 旋转三要素：中心方向角度齐，缺一不可别忘记。 旋转性质：对应点连中心，距离相等有保证；夹角就是旋转角，前后图形全等牢。 ⚠️易混易错 易错1：漏写旋转方向。写“绕点O旋转60°”不严谨，应写“绕点O顺时针（或逆时针）旋转60°”。 易错2：旋转角与图形内角混淆。图形内角是图形自身的角，旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，两者含义不同。 ⚠️避坑指南 ❌ 避坑1：找旋转角时，必须连接“对应点与旋转中心”，取两条连线的夹角，不能误把图形任意两条边的夹角当旋转角。 ❌ 避坑2：描述旋转必须“三要素齐全”，漏说旋转方向（顺时针/逆时针）或旋转角都算表述不完整。 ❌ 避坑3：旋转中心不一定是图形上的点，作图和证明时先在图中标出旋转中心，再连对应点。 考点一图形的旋转 11 核心要点精讲 ⚠️概念辨析 辨析：旋转中心在图形内部、外部或顶点上时，作图方法相同，只是旋转中心位置不同。若旋转中心在顶点上，该顶点对应的对应点即它本身（不动点）。 ⚠️记忆口诀 旋转作图：一连二定三转截，最后顺序连成图；关键点找全，方向角度不糊涂。 ⚠️易混易错 易错1：把旋转中心当旋转后图形的一个顶点，导致图形位置偏移。 易错2：只旋转一个关键点而漏掉其余顶点，得到的图形不完整。 ⚠️避坑指南 ❌ 避坑1：关键点要找全，尤其要包含图形的所有顶点；漏一个点，作图就错。 ❌ 避坑2：用圆规或量角器保证“等距+定角”，不能用目测估画。 ❌ 避坑3：旋转方向反了，图形位置就错，作完要检验对应点与旋转中心连线夹角是否等于旋转角。 考点二 旋转作图 作图步骤（四步）： 第一步（连）：连接图形的关键点与旋转中心； 第二步（定）：确定旋转方向与旋转角； 第三步（转截）：把每个关键点绕旋转中心按方向转动指定角，并截取与旋转中心距离相等的对应点； 第四步（连）：按原图形的顺序连接各对应点，标注字母，得到旋转后的图形。 作图依据是旋转的性质：对应点到旋转中心距离相等、对应点连线夹角等于旋转角。 12 核心要点精讲 ⚠️概念辨析 辨析1：中心对称描述的是两个图形之间的位置关系——一个图形绕点旋转180°后能与另一个图形重合 辨析2：中心对称的对称中心是“对应点连线的中点”，这一性质是证明某点为对称中心、或找对称中心的关键。 ⚠️记忆口诀 中心对称：绕点转半圈（180°），两图形能重合；对应点连成线，对称中心在中间（中点）。 ⚠️易混易错 易错1：误把旋转180°写成旋转90°或其它角。 易错2：说“两个图形中心对称”时，忘记指出对称中心或对应点。 ⚠️避坑指南 ❌ 避坑1：中心对称必须旋转180°，不是任意角度。 ❌ 避坑2：找对称中心时，连接一对对应点，取线段中点即可，不必找出所有对应点。 ❌ 避坑3：中心对称强调“两个图形”，叙述时不要与“中心对称图形”混为一谈。 考点三 中心对称 中心对称的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称（或中心对称），这个点叫做对称中心。 中心对称的性质： ① 成中心对称的两个图形中，对应点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分，即、点O为； ② 成中心对称的两个图形全等。 中心对称是旋转角为180°的特殊旋转，因此旋转的性质对中心对称同样成立。 13 核心要点精讲 ⚠️概念辨析 辨析1：中心对称是“两个图形”之间的关系；中心对称图形是“一个图形”自身的性质。 辨析2：联系——若把成中心对称的两个图形看成一个整体，则这个整体是中心对称图形；反之，中心对称图形可看作由关于对称中心对称的两部分拼合而成。 辨析3：一个图形可以同时既是轴对称图形又是中心对称图形（如线段、矩形、菱形、正方形、圆），也可以只具备其一或都不具备。 ⚠️记忆口诀 中心对称图形：绕点转半圈，还能回自己；线段平四圆，正偶边形记心间。 ⚠️易混易错 易错1：把“中心对称”与“中心对称图形”两个概念混淆，答题时表述张冠李戴。 易错2：误判等边三角形、正五边形为中心对称图形。 ⚠️避坑指南 ❌ 避坑1：判断中心对称图形时，绕对称中心转180°后要与“自身”重合，不是与另一图形重合。 ❌ 避坑2：等边三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，勿混淆两类对称。 ❌ 避坑3：正偶数边形是中心对称图形，正奇数边形不是，判断时数清边数。 考点四 中心对称图形 中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 常见中心对称图形：线段、平行四边形（含矩形、菱形、正方形）、圆、正偶数边形（正2n边形）、偶数角星形等。 不是中心对称图形的例子：等边三角形、等腰三角形（非等边）、正五边形、正奇数边形、一般梯形、角等。 14 核心要点精讲 ⚠️概念辨析 辨析1：关于原点对称与关于x轴、y轴对称的区别只在于“哪个坐标变号”。原点对称横纵坐标都变，x轴对称只变纵坐标，y轴对称只变横坐标。 辨析2：中心对称的坐标本质——若两图形关于原点对称，则对应顶点坐标互为相反数；若对称中心是其他点，则需用中点公式推求。 ⚠️记忆口诀 坐标规律：关于原点都变号，关于x轴纵变号，关于y轴横变号，中点坐标一半和。 ⚠️易混易错 易错1：把关于原点对称写成只变一个坐标。 易错2：中点坐标公式中分子相加后忘记除以2。 ⚠️避坑指南 ❌ 避坑1：变号是“取相反数”，不是简单的负号叠加，如点(2,-3)关于原点对称应为(-2,3)。 ❌ 避坑2：分清是关于原点、关于x轴还是关于y轴对称，先看清条件再变号。 ❌ 避坑3：用中点公式时，对应坐标要相加后取一半，勿误用两坐标相减。 考点五 关于原点对称的点的坐标 坐标规律：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点为（横、纵坐标都互为相反数）。 三种对称对比（重要）： 对称方式 坐标变化 记忆要点 关于原点对称 横、纵坐标都变号 关于x轴对称 横坐标不变，纵坐标变号 关于y轴对称 纵坐标不变，横坐标变号 中点坐标公式：若、，则线段AB中点M的坐标为。 15 核心要点精讲 ⚠️概念辨析 辨析：一个复杂图案可以由多种变换组合得到，同一图案往往有多种变换解释，只要每种解释都成立即可。 ⚠️记忆口诀 图案设计：定好基本图形，平移翻折加旋转；说出要素讲清楚，图案规律自然现。 ⚠️易混易错 易错1：只识别出一种变换，漏掉图案中同时运用的其他变换。 易错2：说明旋转时漏写旋转方向或旋转角。 ⚠️避坑指南 ❌ 避坑1：设计或说明图案时，要明确基本图形与变换类型，不能只说“很对称”等空泛描述。 ❌ 避坑2：说明旋转变换时必须指明旋转中心与旋转角（常为90°、180°等）。 考点六 图案设计 设计思路：图案设计是综合运用平移、轴对称、旋转三种图形变换进行图形创作。一般先确定一个基本图形，再通过平移、翻折、旋转的组合变换，得到美观且规律的图案。 分析图案的方法：先找基本图形（最小重复单元），再判断它经过哪种或哪几种变换（平移、轴对称、旋转），并说明变换的要素（方向、角度、对称轴等）。 16 PART 05 重难题型突破 题型一旋转性质与旋转角计算 题型二中心对称与中心对称图形识别 题型三关于原点对称的点的坐标 题型四旋转作图 题型五 旋转与全等综合 重难题型突破 题型一旋转性质与旋转角计算 💡破题要诀 见到旋转题，先锁定旋转中心与对应点；求旋转角，就找“对应点与旋转中心连线的夹角”；求线段，就用“对应点到旋转中心距离相等”；求图形关系，就抓住“旋转前后全等”。三步走：一找中心，二连对应点，三用性质。 典例1 （26-27九年级上·湖南·期中）如图，把绕点顺时针旋转， 得到，交边于 点．若，则（      ） A． B． C． D． B 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 18 重难题型突破 题型一旋转性质与旋转角计算 迁移应用2．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，在中，，D为的中点，连接 ， E是线段上的一点，连接．在平面内将线段绕点E逆时针旋转70°，得到线段， 连接，则的度数为（     ） A．50° B．40° C．35° D．30° C 【详解】解：如图所示，连接，并延长至G，∵为的中点， ∴是的垂直平分线，∴． 根据旋转的性质，得，∴， ∴．∵是的外角，是的外角， ∴， ∴， 则． 故选：C． 19 重难题型突破 题型一旋转性质与旋转角计算 迁移应用1．（26-27九年级上·云南·期中）如图．将纸片绕点C顺时针旋转得到， 连接，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． C 【详解】解：设与交于点，如图， ∵将纸片绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴． 20 重难题型突破 题型一旋转性质与旋转角计算 迁移应用3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，将绕B点顺时针方向旋转一个角到， 点A的对应点D恰好落在上，且．若，则的度数________． 【详解】解：，将绕点B顺时针旋转到，点A的对应点D恰好落在AC上， ，，， ，， ∵， ， ， 在中，， ，解得：， 故答案为：． 21 重难题型突破 💡破题要诀 判断中心对称图形：想象把图形绕某点旋转180°，若能与自身重合，则是中心对称图形。熟记常见结论：线段、平行四边形（矩形、菱形、正方形）、圆、正偶数边形是；等边三角形、正五边形、等腰梯形等不是。 题型二 中心对称与中心对称图形识别 典例2 （26-27九年级上·北京·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（      ） A． B． C． D． D 【详解】解：A、不是轴对称图形但是中心对称图形，故不符合题意； B、是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意； C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意． 22 重难题型突破 题型二 中心对称与中心对称图形识别 迁移应用1．（26-27九年级上·云南·期中）如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A．点与点是对称点 B． C． D． C 【详解】解：与关于点成中心对称， 点与点是对称点，，， ， 选项中四个结论中错误． 23 重难题型突破 题型二 中心对称与中心对称图形识别 迁移应用2（25-26九年级上·河南濮阳·期中）如图所示为一个的正方形网格，请在其中标有数字编号的 小正方形中选取一个进行阴影标注，使得网格中的阴影部分形成一个中心对称图形．那么应该选择编号_________的小正方形涂阴影． ④ 【详解】解：只有选取④进行阴影标注，使得网格中的阴影部分能形成一个中心对称图形， 故答案为：④． 24 重难题型突破 题型二 中心对称与中心对称图形识别 迁移应用3．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在等边三角形中，O为的中点，， 与关于点B中心对称，连接，则的面积为 ． 【详解】解：∵是等边三角形，O为的中点，， ∴，． 在中， ． ∵与关于点B中心对称， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 25 重难题型突破 💡破题要诀 关于原点对称：横、纵坐标都取相反数；关于x轴对称：纵坐标取相反数；关于y轴对称：横坐标取相反数。把条件看清楚再变号，变号就是“取相反数”。 题型三 关于原点对称的点的坐标 典例3 （25-26九年级上·陕西安康·期中）已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是（      ） A． B． C． D． B 【详解】解：点的坐标为， 点关于原点的对称点的坐标为． 26 重难题型突破 题型三 关于原点对称的点的坐标 迁移应用1．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）若正比例函数的图象经过点和点， 若点和关于原点对称，则的值为（     ） A． B． C． D． B 【详解】∵点和点关于原点对称， ∴，， 可得点坐标为， ∵点在正比例函数的图象上， ∴把代入解析式得 ， 解得 ． 27 重难题型突破 题型三 关于原点对称的点的坐标 迁移应用2．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知点关于轴的对称点， 那么点关于原点的对称点的坐标是________． 【详解】解：点关于x轴的对称点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，因此的坐标为，点 关于原点的对称点的横坐标和纵坐标均互为相反数，因此的坐标为； 故答案为． 迁移应用3．（25-26九年级上·湖北荆门·期中）已知点与点关于原点对称，则______． 1 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：1． 28 重难题型突破 💡破题要诀 旋转作图按“连—定—转截—连”四步：连关键点与旋转中心；定方向与旋转角；把每个关键点绕中心转动指定角并截取等距的对应点；按原顺序连接成图。作图题要标清字母、保留作图痕迹。 题型四 旋转作图 典例4 （25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标 分别为 ，画出绕点逆时针旋转后得到的 （点的对应点分别为点），并写出点的坐标． 【详解】如图，即为所求： ； 29 重难题型突破 题型四 旋转作图 迁移应用1．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，，． (1)画出绕点逆时针旋转后得到的； (2)画出关于原点的对称图形． 【详解】（1）解：如图：即为所求； （2）解：如图：即为所求． 30 重难题型突破 题型四 旋转作图 迁移应用2．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为．解答下列问题： 【详解】(1)如图，为所作的图形； (2)如图，为所作的图形． 31 重难题型突破 题型四 旋转作图 迁移应用3．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图，的顶点坐标分别为、、． (1)画出关于原点O对称的； (2)将绕顶点O顺时针旋转得到，画出； 【详解】(1)如图，即为所作的图形； (2)如图，即为所作的图形． 32 重难题型突破 题型五 旋转与全等综合 典例5 （25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图1，在等腰直角三角形中，，点分别为 的中点，为线段上一动点（不与点重合）， 将线段绕点逆时针方向旋转得到， 连接． (1)证明：； (2)如图2，连接交于点． 【详解】(1)证明：∵线段绕点逆时针方向旋转得到， ∴， ∵在等腰直角三角形中，，， ∴， ∴ (2)①证明：∵在等腰直角三角形中，，点，分别为，的中点， ∴，是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即． ①证明：在点的运动过程中，总有； 33 重难题型突破 题型五 旋转与全等综合 典例5 （25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图1，在等腰直角三角形中，，点分别为 的中点，为线段上一动点（不与点重合）， 将线段绕点逆时针方向旋转得到， 连接． (2)如图2，连接交于点． ②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？请直接写出答案． ②∵，点，分别为，的中点， ∴， ∵，为等腰三角形，分3种情况： （a）当时，如图，则， ∴平分， ∴点是的中点， ∴； （b）当时，如图，则， ∴， ∴， ∴； （c）当时，点与点重合，不符合题意，舍去． 综上所述：当的长度为或时，为等腰三角形． 💡破题要诀 “手拉手”模型：两个等边三角形（或等腰三角形、正方形）共顶点，绕公共顶点旋转，往往由旋转性质得到“对应边相等”，再结合夹角相等，用SAS证明两三角形全等，从而得出第三边相等或角相等。 34 重难题型突破 题型五 旋转与全等综合 迁移应用1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）探究以下问题： 【探索求知】 (1)如图1，在四边形中，连接，，以 为边在左侧作等边，连接． ①判断能否由旋转得到，并说明理由； ②求的长； 【详解】(1)①能由旋转得到， 理由：是等边三角形，，，， ，在和中，， ，点为和的共同顶点，可以由旋转得到； ②绕点按顺时针方向旋转得到， ，是等边三角形，， ，，， ； 35 重难题型突破 题型五 旋转与全等综合 迁移应用1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）探究以下问题： 【实践运用】 (2)如图2，步道将等腰广场分为三部分，用于规划不同的功能区，经测量，， ， ，求的长． （2）解：，，， ，， 将绕点逆时针旋转得，作于，连接， ， ，，，，， ，，在和中， ，，，于，， ，，， ， ， 中，， 中，， ． 36 重难题型突破 题型五 旋转与全等综合 迁移应用2．（25-26九年级上·甘肃酒泉·期中）综合实践 (1)【初步感知】如图1，在正方形中，E、F分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． ①小盐同学经过分析后，将绕着点D逆时针旋转到位置，如图1，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过三角形全等的性质得到线段，，之间的数量关系； ②小田同学经过分析后，将沿进行翻折，得到，射线交边的延长线于点M，如图2，根据全等的性质也得到了线段，，之间的数量关系，任选一位同学的分析，可以得到线段，，之间的数量关系是 【详解】（1）解：选小盐同学：将绕着点D逆时针旋转到， ，四边形是正方形， ， ，在同一直线上，， ，∴， 即，，， ，，； 选小田同学：将沿进行翻折，得到，， ，，四边形是正方形， ，，， ，， ，，， ，； 37 重难题型突破 题型五 旋转与全等综合 迁移应用2．（25-26九年级上·甘肃酒泉·期中）综合实践 (2)【类比探究】 如图3，正方形中，E、F分别在边、的延长线上，且， 连接，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． (2)，理由如下： 在上截取，连接，如图所示： 四边形是正方形， ， ，， ，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即； 38 重难题型突破 题型五 旋转与全等综合 迁移应用2．（25-26九年级上·甘肃酒泉·期中）综合实践 (3)【拓展应用】 如图4，在四边形中，，， ， 且，，直接写出的长． （3）解：在上取点，使，连接， ，， ，，， ，，， ， ，，， ，， ，，， ，设， 则， ，在中，， 即， 解得． 39 重难题型突破 题型五 旋转与全等综合 迁移应用3．（25-26九年级上·陕西安康·期中）综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动， 将边长为的正方形与边长为的正方形按如图1所示的位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上．连接，，易得且（不需要说明理由）． (1)如图2，小明将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为． ①连接，判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； 【详解】(1)①．理由如下：设分别交，于点， ∵四边形与四边形均为正方形， ． ，即， ， ， ． ， ． 40 重难题型突破 题型五 旋转与全等综合 迁移应用3．（25-26九年级上·陕西安康·期中）综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动， 将边长为的正方形与边长为的正方形按如图1所示的位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上．连接，，易得且（不需要说明理由）． (1)如图2，小明将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为． ②在旋转过程中，如图3，连接，，，，求四边形面积的最大值． ②如图3，过点作于，过点作直线于， ， ，又，，， ， 当有最大值时，四边形面积有最大值，即当时，有最大值为， 四边形面积的最大值为； 41 重难题型突破 题型五 旋转与全等综合 迁移应用3．（25-26九年级上·陕西安康·期中）综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动， 将边长为的正方形与边长为的正方形按如图1所示的位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上．连接，，易得且（不需要说明理由）． (2)如图4，分别取，，， 的中点，，，， 连接，，，， 则四边形的形状为_____，四边形面积的最大值是_____． （2）解：如图4，连接，， 点，，，分别是，，，的中点， ，，，，，，，，由（1）知，，， 四边形为菱形，由（1）知，∵，， ∴，即，菱形为正方形； 如图5，当，，三点在同一条直线上时，，，三点也在同一条直线上， 此时正方形的面积最大， ， ． 菱形 42 PART 06 限时分层演练 基础固本练 1．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，正方形绕着点O逆时针旋转得到正方形， 连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． B 2．（26-27九年级上·天津·期中）下列图案中，是中心对称图形的是（      ） A． B． C． D． C D 3．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）若点绕原点O逆时针旋转，点A的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． B 4．（26-27九年级上·云南·期中）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交于点，若，则度数为（ ） A． B． C． D． 44 基础固本练 5．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）如图，矩形的顶点、 分别在轴、轴上， ，，， 将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时， 点的对应点的坐标为（     ）． A． B． C． D． B 6．（25-26九年级下·江苏淮安·期中）已知点与点关于原点对称，则_________． 7．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，点的坐标是，点是以为直径的上的一动点，点关于点的对称点为点，则的最大值为__________． 45 基础固本练 8．（25-26九年级上·湖南湘西·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)点B关于轴对称的点坐标为（ ， ）； 【详解】（1）解：由图可知，点关于轴对称的点坐标为； (2)请你画出关于原点O对称的； (2)如图，即为所求： (3)若点P为轴上一动点，则的最小值等于 ． （3）解：作点A关于y轴对称的点，连接交y轴于点P，连接，则， ∴，此时的值最小，最小值为的长， ∵， ∴的最小值为． ． 46 综合进阶练 1.（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，平面直角坐标系中，已知，，，线段上有 一点，连， 且绕点逆时针旋转得，则的最小值和最大值（   ） A．9，18 B．9，10 C．3， D．3， C 2．（26-27九年级上·北京·期中）将边长为a的等边随意放在边长为b的等边所在的平面内，且，将绕点A顺时针旋转，，，分别是，，的中点，以下说法中正确的是（      ） ①可能是直角三角形；②一定是等边三角形； ③可能与全等；④． A．①③ B．①③④ C．②③④ D．②④ D 3．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在正方形中，，是的中点，点是正方形内一动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值是（    ） A． B． C．3 D． A 47 综合进阶练 4．（25-26九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，曲线是由二次函数的图象绕坐标原点顺 时针旋转得到的，过点， 的直线与曲线交于两点，则的长度为（ ） A． B． C．10 D． B 5．（25-26九年级上·广东东莞·期中）如图，长方形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为__________． 48 综合进阶练 6．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）如图，平面直角坐标系中，已知点，点为轴正半轴 上一个动点，将线段绕点P逆时针旋转，点A的对应点为Q， （1）若点P的坐标为，则点Q的坐标为_____ ； （2）在点P运动过程中，线段BQ的最小值是_____ ． 【详解】解：（1）如图，过点 Q 作轴于点C，轴于点 D， 由旋转得：，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，，则即点Q的坐标为； 故答案为：． （2）与（1）同理证明，∴，，设，则， ∴，∴，∵，∴， ∴， ∴当时，取最小值，∴（负值已舍去） ∴的最小值为， 故答案为：． 49 综合进阶练 7．（25-26九年级上·吉林·期中）【操作发现】 （1）如图，将绕点逆时针旋转得到 ， 连接，则的度数是__________； ； 【类比探究】（2）如图2，在等腰直角内取一点，使， 将绕顶点逆时针旋转 得到，连接． 请猜想与有怎样的位置关系，并说明理由； （2），理由如下： 绕顶点逆时针旋转得到 ，，， 是等腰直角三角形， ，， ，点、、三点共线，∴； 【解决问题】（3）如图，在等腰直角内任取一点，连接、、．直接写出__________．（填“”“”“”） 50 综合进阶练 8．（25-26九年级上·北京房山·期中）在中，，，点D是边上的动点 （不与点B，C重合），将线段绕点D逆时针旋转得到线段． (1)如图1，当点E在边上时，连接，直接写出的大小，并证明； 【详解】(1)，证明： ∵将线段绕点D逆时针旋转得到线段． ∴， ， (2)如图2，若点E在的内部，连接，过点E作交的延长线于点F． ①依题意补全图形； (2)①补全图形如图： 51 综合进阶练 8．（25-26九年级上·北京房山·期中）在中，，，点D是边上的动点 （不与点B，C重合），将线段绕点D逆时针旋转得到线段． (2)如图2，若点E在的内部，连接，过点E作交的延长线于点F． ②用等式表示线段与的数量关系，并证明．  ②，证明：连接，取中点G，连接，， 同理 点G为中点 52 综合进阶练 9．（25-26九年级上·广东东莞·期中）综合与实践 问题情境： 在数学活动课上，老师出示了这样一个问题： 在中，，，是边的中点， 是所在平面内的一点，，将 绕点逆时针旋转得到， ， D的对应点分别为，，直线经过点．特例探究： （1）如图1，当，点与点重合时，证明：； 【详解】（1）由题意得是等腰直角三角形，是边的中点，点与点重合时 ，，，， 由旋转的性质，得，， ， 四边形是菱形， 又， 四边形是正方形， ； 53 综合进阶练 9．（25-26九年级上·广东东莞·期中）综合与实践 问题情境： 在数学活动课上，老师出示了这样一个问题： 在中，，，是边的中点， 是所在平面内的一点，，将 绕点逆时针旋转得到， ， D的对应点分别为，，直线经过点．特例探究： 操作探究： （2）如图2，当，点与点不重合时，判断，和之间的数量关系，并说明理由； （2），理由如下：如图，延长至，使，连接， ∵，，， ，， 将绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ，，，， ，，， ，即：； 54 综合进阶练 9．（25-26九年级上·广东东莞·期中）综合与实践 问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题： 在中，，，是边的中点， 是所在平面内的一点，，将 绕点逆时针旋转得到， ， D的对应点分别为，，直线经过点．特例探究： 类比探究： （3）如图3，当， 点与点不重合时，直接写出、和之间的数量关系． （3），理由如下， 如图，连接并延长，使，连接，，过点作，交的延长线于点，连接，并延长交的延长线于点，作于点， 由题意得，是等边三角形，则四边形是菱形，， 将绕点逆时针旋转得到， ，，，， ，都是等边三角形，，， ，，，又，， ，，，四边形是菱形，， ，，，， ，，， ，，，，又，， ，， ． 55 综合进阶练 10．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，已知四边形是正方形，将线段绕点逆时针旋转得 到线段，旋转角为，连接，． (1)若，则 ； ； (2)过点作，交的延长线于点，连接． 如图，若，求的长； （2）解：如图中，过点作，交的延长线于点，交于点， 过点作于点， ，，四边形为平行四边形，，， 四边形为矩形，，，， 四边形是正方形，，， ，， 在和中，，，， 四边形为正方形，．，，，， ．，°， ．在和中，，， ，； 56 综合进阶练 10．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，已知四边形是正方形，将线段绕点逆时针旋转得 到线段，旋转角为，连接，． (2)过点作，交的延长线于点，连接． 在图中，取的中点， 作射线交的延长线于点，连接． 请探究线段、、之间的数量关系，并给出证明． ②结论：． 证明：如图，过点作于点． ， ， 在中，，， ， ， ，，，点是的中点， ，，，垂直平分， ，， ，． 57 $