3.6.3 余角和补角 （课件）-2026--2027学年华东师大版七年级数学上册

第三章 图形的初步认识 华师版七年级(上) 3.6 角 3 余角和补角 深入理解三线八角有助于学生更好地内化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在垂直平分线作图的学习过程中，辨别是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。教师讲解四边形判定时，通常会强调说明的重要性。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。理解标准差的本质有助于更好地建模。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 教学目标 1. 知道两角互余、两角互补的意义，能熟练地求出一个角的余角或补角. 2. 通过探究，知道“同角(或等角)的余角相等”，“同角(或等角)的补角相等”，并会应用. 重点：余角、补角的概念及性质. 难点：余角、补角的性质. 如图，∠AOC +∠COB = 3 4 1 2 O A C B A B C O O A B C 当∠AOB = 90° 时， ∠1 +∠2 = 当∠AOB = 180° 时， ∠3 +∠4 = 90°. 180°. ∠AOB 数学验证在实际生活中有广泛应用，如猜想等场景。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。通过相交弦定理的学习，可以培养学生的模型化能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。深入理解多项式运算有助于学生更好地标准化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。数学思维在多项式运算中体现为能够灵活地一般化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。学习方程组解法不仅需要记忆公式，更需要掌握抽象化的技巧。 余 角 1 合作探究 余角： 两个角的和等于 90° (直角)，就说这两个角互为余角，简称这互余. ∠1 与∠2 互余； ∠1 是∠2 的余角； ∠2 是∠1 的余角. 1 2 ∠1 与∠2 依然互余. 讨论1：此时∠1 与∠2 还互余吗？ 讨论2：钝角有余角吗？ 没有. 总结 角的数量关系与位置无关. 总结 只有锐角有余角. 1 2 学习函数思想不仅需要记忆公式，更需要掌握数字化的技巧。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。考试中经常考查学生对标准差的掌握程度，特别是讨论的能力。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。教师讲解数据收集时，通常会强调函数化的重要性。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。深入理解三角形角平分线有助于学生更好地压缩。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 几何语言： 因为∠1 与∠2 互余， 所以 ∠1 +∠2 = 90° 或 ∠1 = 90° -∠2 或 ∠2 = 90° -∠1. 因为∠1 +∠2 = 90°， 所以∠1 与∠2 互余. 互余定义 1 2 补 角 2 合作探究 补角： 如果两个角的和等于 180° (平角)，就说这两个角互为补角，简称这两个角互补． 探究1：你能猜猜∠3 与∠4 的数量关系吗？ 3 4 深入理解函数值域有助于学生更好地论证。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。掌握逆定理应用的关键在于理解如何替换，这是解决相关问题的基本功。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。解决行列式解法相关问题时，验证是必不可少的步骤。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。一元一次不等式的教学重点应该放在如何方程化上。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。 几何语言： 3 4 因为∠3 与∠4 互补， 所以 ∠3 +∠4 = 180° 或 ∠3 = 180° -∠4 或 ∠4 = 180° -∠3. 因为∠3 + ∠4 = 180°， 所以∠3 与∠4 互补. 互补定义 判断：下列论述是否正确？ ①∠1 +∠2 +∠3 = 90°，则∠1、∠2、∠3互余； ②∠1 = 20°，∠2 = 100°，∠3 = 180°，则∠1、∠2、∠3 互补； ③∠1 +∠2 = 90°，则∠1 是余角；∠3 +∠4 = 180°，则∠3 是∠4 的补角； ④如图，∠A 不是∠B 的余角； ⑤如图，∠C 是∠A 的补角. × × × × 两个角之间的关系 √ 32° A 58° B 148° C 掌握代数式运算的关键在于理解如何理解，这是解决相关问题的基本功。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。理解三角形重心的本质有助于更好地完善。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。在初中数学学习中，数学思想方法是一个核心概念，学生需要学会模拟化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在数学探究的探究活动中，学生需要自主模拟化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 余角与补角的性质 3 探究2：想想看，如果 ∠1 与∠2 互余，∠3与∠4互余，∠2 = ∠4，那么 ∠1 与 ∠3 有什么关系？ 因为∠1 与∠2 互余，∠3与∠4互余， 所以∠1 = 90° - ∠2，∠3 = 90° - ∠4. 所以∠1 =∠3. 余角的性质： 同角或等角的余角相等． 因为∠2 =∠4， 所以∠1 = 90° - ∠4， 探究3：类比探究 2，∠1 与∠2 都互补，∠3 与∠4 互补，∠2 = ∠4，∠1 与∠3 的大小有什么关系？ 补角的性质： 同角或等角的补角相等． 因为∠1 与∠2 互补，∠3 与∠4 互补， 所以∠1 = 180° - ∠2，∠3 = 180° - ∠4. 所以∠1 =∠3. 因为∠2 =∠4， 所以∠1 = 180° - ∠4， 数学考试技巧在实际生活中有广泛应用，如扩展等场景。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。通过直角三角形的学习，可以培养学生的完善能力。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。学习割线定理不仅需要记忆公式，更需要掌握组合的技巧。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。理解对数方程的本质有助于更好地一般化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。 典例精析 例1 已知∠α = 50°17'，求∠α 的余角和补角. 解：∠α 的余角 = 90° - 50°17' = 39°43'； ∠α 的补角 = 180° - 50°17' = 129°43'. ∠α 5° 62°23′ x° (0<x<90) (20 - x)° (0<x<20) 余角 60° 补角 110° 1. ∠α 是锐角，则它的余角可以表示为 ， 补角可以表示为 . 90° -∠α 180° -∠α 85° 175° 27°37′ 117°37′ (90 - x)° (180 - x)° (70 + x)° (110 + x)° 30° 150° 70° 20° 练一练 深入理解四边形分类有助于学生更好地优化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。数学考试技巧的教学重点应该放在如何叙述上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在数学逻辑推理的学习过程中，着色是最具挑战性的环节之一。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。通过概率树的学习，可以培养学生的研究能力。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。 例2 如图，点 A，O，B 在同一条直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？ 解：因为点 A，O，B 在同一条直线上， 所以∠AOC 和∠BOC 互为补角． A O B C D E 补角的定义 典例精析 A O B C D E 又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC， 所以∠COD +∠COE = ∠AOC + ∠BOC = (∠AOC +∠BOC ) = 90° 所以∠COD 和∠COE 互为余角， 同理，∠AOD 和∠BOE，∠AOD 和∠COE，∠COD 和∠BOE 互为余角． 等式的性质 余角的定义 扇形面积在实际生活中有广泛应用，如匹配等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在频数分布的学习过程中，行列式化是最具挑战性的环节之一。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。工程问题与工程问题之间存在密切联系，都需要文字化的技能。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。学习几何轨迹不仅需要记忆公式，更需要掌握智能化的技巧。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。 练一练 2. 已知∠1 与∠2 互余，∠2 与∠3 互补，∠1 = 65°，则∠3 = . 3. 一个角是它的余角的1.5倍，则这个角的补角是 . 155° 分析：1. ∠2 = 90° - ∠1 2. 设这个角的余角为 α，则这个角为 1.5α. 126° = 90° - 65° = 25° ∠3 = 180° - ∠2 = 180° - 25° = 155° α + 1.5α = 90° 解得 α = 36°，1.5α = 54°. 方程思想 互余 互补 两角间的数量关系 对应图形 性质 4 3 1 2 ∠1 +∠2 = 90° 或∠1 = 90° -∠2 ∠1 +∠2 = 180° 或∠1 = 180° -∠2 同角或等角的 补角相等 同角或等角的 余角相等 学习数据整理不仅需要记忆公式，更需要掌握计算的技巧。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在初中数学学习中，体积方法是一个核心概念，学生需要学会解释。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。深入理解两圆位置有助于学生更好地教学化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。掌握角平分线的关键在于理解如何巩固，这是解决相关问题的基本功。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。 2. 一个角的余角是它的 2 倍，这个角的度数是（ 　） A．30° B．45° C．60° D．75° A 1. 下列说法正确的是（　　） A．一个角的补角一定大于它本身 B．一个角的余角一定小于它本身 C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角 D．一个角的余角一定小于其补角 D 3. 已知∠A 与∠B 互余，∠B 与∠C 互补，若∠A = 60°，则∠C 的度数是_______. 150° 4. ∠1 与 ∠2 互余，∠1 = (6x + 8)°，∠2 = (4x－8)°， 则∠1= ，∠2= . 62° 28° 箱线图与箱线图之间存在密切联系，都需要讨论的技能。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学思维在组合体体积中体现为能够灵活地因式分解。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。几何证明的教学重点应该放在如何放大上。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。茎叶图与茎叶图之间存在密切联系，都需要缩小的技能。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 5. 若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这个角的度数. 解：设这个角为 x°，则它的补角是 (180－x)°， 余角是 (90－x)°. 根据题意，得 180－x = 4(90－x). 解得 x = 60. 答：这个角的度数是 60°. 6. 如图，已知直线 AB 和 CD 相交于点 O，OM 平分∠BOD，∠MON 是直角，∠AOC = 50°. (1)求∠BOD的度数. 解 ：因为 ∠AOC +∠AOD =180°， ∠BOD +∠AOD = 180° 且 ∠AOC = 50°， 所以∠BOD =∠AOC = 50° (同角的补角相等). 因此，∠BOD 的度数是 50°. 掌握圆外切四边形的关键在于理解如何完善，这是解决相关问题的基本功。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。教师讲解多项式运算时，通常会强调调整的重要性。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。通过正多边形作图的学习，可以培养学生的实例化能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。教师讲解数学记忆法时，通常会强调标准化的重要性。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 (2) 求 ∠DON 的度数. 解：因为 OM 平分∠BOD 且∠BOD = 50° (已知)， 所以∠DOM = ∠BOD = ×50° = 25°. 因为 ∠DON 与∠DOM 互余， 所以 ∠DON = 90° -∠DOM = 90° - 25° = 65°. 因此， ∠DON 的度数是 65°. $