江苏省常州市2026-2027学年高三上学期期中数学模拟卷（四）

江苏省常州市2027届高三上学期期中数学模拟卷（四） 参考答案 1．B 【详解】由已知，故. 2．D 【详解】由，则，， ， 则复数z在复平面内对应的点的坐标为． 3．A 【详解】因为，， 所以向量. 当时，，所以，则向量共线成立. 由向量共线，得，解得， 所以“”是“向量共线”的充分不必要条件． 4．D 【详解】令，则， 令，则， 两式相加可得， 两式相减可得， 再令，得，则， 则. 5．C 【详解】作图如下图所示， 选取基底，由题意知， ，. ， 于是 则. 6．C 【分析】利用函数对称性与偶函数性质转化自变量，再结合单调性比较函数值的大小. 【详解】由，可知函数关于直线对称，即. 因为是定义在上的偶函数，所以. 因为在上单调递减，偶函数的图像关于轴对称，所以在上单调递增， 又，所以，即. 7．B 【分析】根据正相关的定义、百分位数的定义，结合线性回归方程、拟合误差的定义逐一判断即可. 【详解】A：因为，， 所以样本中心点为， 把中心点代入中，得， 因为，所以变量x、y之间呈正相关，因此本选项说法正确； B：因为， 所以样本数据y的第百分位数为，因此本选项说法不正确； C：把代入中，得，因此本选项说法正确； D：把分别代入中，得， 所以拟合误差，因此本选项说法正确. 8．B 【分析】由题意得，得出函数的单调性，再利用函数的单调性和奇偶性解不等式. 【详解】由，可得， 设函数，，则在上单调递增， 又因为为定义在上的奇函数，，所以为偶函数， 在上单调递减，而不等式， 又因为，所以， 所以不等式的解集为. 9．BC 【分析】对A，利用互斥事件的定义，即可求解；对B，先求出，再由独立事件的判断方法，即可求解；对C，由选项B可直接判断，对D，由条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】对于A，易知事件和事件可以同时发生，所以与不互斥，故A错误， 对于B，因为，，， 则，所以与不独立，故B正确， 对于C，由选项B知，所以C正确， 对于D，由选项B知，，，所以，则D错误. 10．BC 【分析】A项利用正弦定理边化角进行判定；B项由正弦定理判定直角三角形； C项利用余弦定理和勾股定理进行判定；D项正弦定理和二倍角公式进行判定. 【详解】对于A，由正弦定理可知，，， . 所以，且，，，得， 所以三角形为等边三角形，故A错误； 对于B，根据正弦定理：且， 所以,， 又因为，， 所以，，故三角形为直角三角形，故B正确； 对于C，由余弦定理得. 又，所以，满足勾股定理，三角形为直角三角形，C正确； 对于D，由正弦定理得： . 当，即，此时三角形为等腰三角形； 当时，即，所以，所以此时为直角三角形. 故可能为等腰三角形，可能为直角三角形，故D错误. 11．ABC 【分析】根据两人的角速度差得到的表达式，推导得出两人距离的函数，再围绕的性质、相遇条件、三角形面积公式逐一分析各选项即可. 【详解】由题意知以为终边的角为，以为终边的角为， 故，A正确． 由，对任意，都有，B正确． 两人相遇即为，解得，且恰好是的第个零点，C正确． ，当时，的最大值为， 此时，，故有四个时刻可以取到最大值，D错误． 12． 【分析】根据对数的运算法则和对数的换底公式计算，即可求解. 【详解】                                                                 13． 【分析】先化简等式左侧，通分化简等式右侧，约去公共分母后利用正弦定理将边角关系转化为边的关系，再结合余弦定理求出，最终得到角的值. 【详解】化简等式左侧： ， 由两角和的正弦公式，， 又内角和为，即，故， 因此左侧可化简为： ， 对右侧通分可得： ， ，故，左右两侧同乘得： ， 由正弦定理可得：，得， 代入上式并消去得： ， 根据余弦定理，联立上式得： ， 化简得，又，故. 14．②④⑤ 【分析】先确定函数的定义域，注意为间断点；再求导，根据导数正负判断不同区间的单调性，得到极小值点和极小值，分析在、的取值范围，为后续判断做基础. 对于②，利用在的单调性，结合和的等量关系，比较与的大小. 对于③，将有3个零点转化为有个不同实根，结合的图像，根据的取值范围求解的范围. 对于④，先对二次方程因式分解，得到或，结合的图像，判断两个方程的实根个数之和为时的取值范围. 对于⑤，将不等式在时变形为，构造新函数，通过研究单调性判断不等式是否恒成立. 【详解】先确定函数的定义域为，求导得， 令，解得. 对于①，当时，单调递减；当时，单调递减； 当时，，单调递增. 且包含和两个不连续的单调递减区间，表述错误，故①错误. 对于②，，因为在单调递增，且， 因此，即，故②正确. 对于③，有个不同的零点,等价于方程有个不同实根. 在处取得极小值，在上， 因此在上的取值范围为，在上的最小值为. 要使方程有个不同实根，需，解得.故③错误. 对于④，对因式分解得， 即或. 结合图像可知有个不同实根，要使原方程共有个不同的实数根， 需也有个不同实根，因此且. 故④正确. 对于⑤，当时，，不等式等价于. 令，求导得. 令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 因此恒成立，在上单调递增， ，即恒成立.故⑤正确. 15．（1）由题意，设该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度为事件， 显然满足题意共有7年，故， 故该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率为． （2）经分析应选择散点图，因相关系数的取值范围是，所以可以排除区间， 通过所给数据可知随着颗粒物密度的减少，二氧化硫密度也呈现减少的趋势，二者变化方向一致，属于正相关，因此， 综上，相关系数的取值区间为． （3）由题意，设样本中心， ， 故，则， 所以. 故时，此时，差值绝对值为2.20， ，差值绝对值为， 因为， 故对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小． 16．（1）当时，. 因为，所以. 根据正弦函数的单调性：当即时，取最大值； 当即时，取最小值. 因此的值域为. （2）由的最小正周期，且，解得，故. 令，当时，. 在上有且仅有3个零点等价于在上有且仅有3个零点. 正弦函数的零点为，满足的前4个零点依次为， 要恰有3个零点，需满足. 解不等式得： . 因此实数的取值范围为. 17．（1）设事件“质点移动2次后移动到顶点”， 事件“质点移动2次后移动到顶点”， 事件包括下列三种情况：；；， 所以； 事件包括下列两种情况：；，所以， 则， 即这两个质点移动2次后都移动到顶点的概率为； （2）设事件“质点移动3次后移动到顶点”， 事件“质点移动3次后移动到顶点”， 事件包含下列6种情况：，， ，， ，，则； 事件包含下列7种情况：，， ；，，， ，所以， 则， 即这两个质点移动3次后至少有一个移动到顶点的概率为． 18．(1)由，为的中点，得， 由平面，平面，得， 且，所以平面，平面， 所以平面，又平面， 则． （2）取的中点，连接，以点为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， ，，则，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为， 则，， 所以直线与平面所成角的正切值为． （3）由（2）知，， 所以点到平面的距离． 19．（1）当时，， ，所以，即切线的斜率为， 因为，所以切点为，代入点斜式得，， 所以曲线在处的切线方程为. （2）因为函数的定义域为， ， 因为函数在定义域内不存在极值点，且函数图象是连续的， 所以函数在定义域内是单调的． （i）当时，在时恒成立，即， 所以函数在定义域内单调递减，符合题意； （ii）当时，设， 因为，且的图象开口向上， 所以存在，使得，于是， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以是函数的极小值点，不符合题意， 综上，的取值范围是. （3）由（2）知，当时，存在极小值点， 因为，所以． 因为的极小值不小于3，所以恒成立， 所以，即. 设函数， 所以，即函数在上单调递减， 因为，所以的解为，即， 因为，所以，设， 则，所以， 所以的最小值为2. 【点睛】本题的第（3）小问是一道典型的“隐零点问题”，原题虽然求的是的最小值（范围），但却需要先消去，保留，得到关于的不等式，求出的范围，再将视作关于的函数去求的最小值（范围）. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省常州市2027届高三上学期期中数学模拟卷（四） 一、单选题 1．设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知i为虚数单位，复数，则复数z在复平面内对应的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，则“”是“向量共线”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 6．已知是定义在上的偶函数，满足，且在上单调递减，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 7．某书店为了分析书籍销量与宣传投入之间的关系，对宣传投入x（千元）和书籍销量y（百本）的情况进行了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（    ） x 3 4 5 6 y 5 6.2 7.4 9.4 A．变量x、y之间呈正相关 B．样本数据y的第百分位数为 C．预测投入2千元时，书籍销量约为400本 D．拟合误差 8．已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．袋中有形状、大小相同的3个红球和2个白球，从袋中随机取出一个球观察颜色后不再放回袋中，接着再取出一个球．设事件：第一次取出的球是红球，事件：第二次取出的球是白球，则（    ） A．与互斥 B．与不独立 C． D． 10．已知的内角，，的对边分别为，，，则下列关系中能确定的形状为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，圆形舞台可视为单位圆，舞者甲、乙从点同时出发，都沿舞台边缘逆时针匀速旋转，角速度分别为与．运动秒后，甲位于点、乙位于点，两人之间的距离为．下列说法正确的是（    ） A． B．对任意，均有 C．两人自出发后第次相遇的时刻为（） D．记的面积为，则的最大值为，且在区间内恰有两个时刻取到该最大值 三、填空题 12．若__________. 13．已知的内角，，所对的边分别为，，，若，则______. 14．对于函数，下列说法正确的序号是___________. ①在上单调递减，在上单调递增 ② ③设有3个不同的零点，则 ④若方程有四个不同的实数根，则 ⑤不等式在时恒成立 四、解答题 15．某工厂为进行环境保护与改善，对九年间空气中某颗粒物密度与二氧化硫密度进行了监测与记录，数据如下： 某颗粒物密度 101.02 87.02 57.46 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86 二氧化硫密度 119.47 51.84 53.2 9.16 6.6 4.4 3.31 3.35 3.86 (1)为进一步研究，从这9年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？ (2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在，，哪个区间内？ (3)2023年之前9年的年份的平均数为2018，（颗粒物密度）关于（年份）的回归方程拟采用或．若知2023年实际颗粒物浓度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差的绝对值更小（精确到0.01）？ 16．已知函数，. (1)若，当时，求的值域； (2)若的最小正周期是，在（）上有且仅有三个零点，求实数a的取值范围. 17．如图所示，质点，在随机外力的作用下，分别从正四面体的顶点，同时出发，每次等可能地沿棱移动到其他顶点处，其中这两个质点移动互不影响，并且可以在一条棱上同向或反向同时移动．一个质点从一个顶点移动到另一个顶点叫移动一次． (1)求质点与各移动2次后均移动到顶点的概率； (2)求质点与各移动3次后至少有一个移动到顶点的概率． 18．如图，在直三棱柱中，为的中点，且，，． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正切值； (3)点到平面的距离． 19．已知，函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数在定义域内不存在极值点，求的取值范围； (3)若函数的极小值不小于3，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $