第二章 综合与实践　进位制的认识与实践 课件 2026-2027 学年人教版数学七年级上册

综合与实践 人教版数学教材七年级上 进位制的认识与探究 （共需三课时：活动1与活动2课各需一课时； 活动3：撰写报告并交流约一课时） 学习目标 1.通过资料查询、小组交流探究，类比十进制数的意义认识二进制数、八进制数等进制数的意义；通过把一个进制的数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积的形式，理解二进制数、八进制数等与十进制数之间的关系，认识进位制，通过不同进制数之间的转换训练，理解不同进位制之间的转换以及进位制的加法运算，挖掘古代灿烂文化与现代科学技术的联系，发展运算能力，提升推理能力；通过问题单等不同的任务驱动，提升“四基四能”，2.通过小组合作探究，类比十进制数的运算，经历从现实情境与数学情境中发现、归纳不同进制下加法的运算规律，掌握二进制数的加法运算法则，发现抽象能力，积累归纳运算规律的经验； 3.通过查阅资料、收集信息、展示交流，了解计算机等电子设备的存储容量与不同存储单位之间的换算，了解计算机选择二进制的优越性，协同发展信息素养，增强团队合作意识与人际交往能力；感受古人的智慧与现代计算机的关联，体会二进制的神奇奥秘，激发学生的探究兴趣，养成求真务实的科学态度； 4.经历交流讨论国际数学教育大会会徽特点的过程，尝试解读会徽中的记数符号，撰写进位制论文，体会数学文化元素，提升应用意识和创新意识. 活动1：认识进位制，探究不同进位制的数之间的转换 　　你不记得自己最早学习加法的时的情景吗？是不是把一双手一伸，掰着手指计算的？手指是世界上最古老的“计算器”，这种掰着手指算数的方式，与目前使用最广泛的“十进制记数法”密切相关.而计算机使用的“二进制记数法”，同样具有划时代的意义. 　　两种不同进位制的意义分别是什么？为什么会有不同的进位制？不同进位制之间能否互相转化？如何转换？二进制数之间能否进行运算？如何运算？是否还有其它的进位制？让我们带着这些问题一起来探究进位制. 导言 　　进位制是人们为了记忆和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一，就是十进制，逢二进一就是二进制.也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几. 1：十进制的认识及表示： 　在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制.使用0～9十个数字记数时，几个数字排成一行，从右起，第一个是个位，个位上的数字是几就表示几个1；第二位是十位，十位上的数字是几就表示几个十；接着依次是百位，千位，…，例如：3721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个1，于是我们就可以将3721表示成：　　　　　 　任务1：二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1.请把二进制数1011表示成各数位上数字与基数的幂的乘积的形式，从而转换成十进制数. (说明：为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如(1011)2表就表示二进制数1011的简单写法，十进制数一般不标注基数） 结论:一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积的形式. 　任务2：把89转换成二进制数和八进制数. 　结论：除K取余法：把十进制数转换为k进制数的算法. 　解法：具体过程如下： （1）根据二进制数“逢二进一”的原则，可以用2连续去除89或所得商，然后取余数. 89÷2＝44……1　代表89由44个2和1个1组成； 44÷2＝22，　　 代表44由22个2组成，因此89由22个 组成和1个1组成； 22÷2＝11，　　 代表89由11个　和1个1组成； 11÷2＝5……1，代表89由5个　 ,1个　和1个1组成； 5÷2＝2……1， 代表89由2个　，1个　 ,1个 和1个1组成； 2÷2＝1，　　　 代表89由1个　, 1个　，1个　 和1个1组成； 因此： 　同理，用除8取余法把89转换成八进制数： （1）根据八进制数“逢八进一”的原则，可以用8连续去除89或所得商，然后取余数. 89÷8＝11……1　代表89由11个8和1个1组成； 11÷8＝1……3， 代表89由1个8的平方，3个8和1个1组成； 因此： 　思考与作业：如何用取余法将89转换成16进制数，并写出你的转换结果. 　任务3：通过研究二进制数及十进制数之间的转换，你有哪些发现？进一步地，你能进行其他不同进制数的转换吗？ 　可以发现：(1)同一个数字，在不同的位置上表示同的值. (2)由于每一种进位制的基数不同，所示不同进位制所用的数字个数不同. (3)一般地，先把二进制数写成不同数位上的数字与2的幂的乘积的形式，再按照十进制数运算规则计算出结果. 活动2：探究进制数的加法运算 　任务1：查阅资料，分析计算机运算机制选择二进制的原因，从多个角度分析选择二进制的优越性. 　可以从技术实现简单、简化运算规则、适合逻辑运算、物理上最易实现存储等角度考虑，如表1： 学科 知识与技能 计算机 逻辑电路通常只有两个状态，开关的接通与断开，电压的高与低转换成了二进制信号；高电平由1表示，低电平由0表示，也就是说将模拟信号转换成数字信号. 物理 易实现存储：元件的两种稳定状态（如晶体管的导通和截止，继电器的接通和断开，电脉冲电平的高与低等），提供了电路中易于实现的二进制存储机制. 逻辑 逻辑代数是逻辑运算的理论依据，二进制只有两个数码，正好与逻辑代数中的“真”和“假”相吻合. 数学 简化运算规则：两个二进制数的和、积运算组合各有三种，其规则的简洁性有待于计算机内部结构的精简和运算速度的提升. 　任务2：小组合作，研究二进制数的加法运算法则，并填写表1中的活动记录单. （1）根据上面的加法运算法则，计算(10010)2+(111)2,并交流一下计算方法； 加数 0 0 1 1 加数 0 1 0 1 和 0 1 1 10 （2）①计算：45＋23； 　　 ②把45,23分别转换为二进制数，利用二进制数的加法运算法则计算它们的和，再把和转换为十进制； ③比较①与②的计算结果是否相同. 表1：活动记录表 解：(1)(11001)2; (2)①45＋23＝68；②把45与23分别转换为二进制数，利用二进制数加法法则计算它们的和，再把和转换为十进制数，具体过程如下： 45＝(101101)2，23＝(10111)2, (101101)2+(10111)2=(1000100)2 ③相同. 　任务3：计算机的存储容量是指存储能存放二进制代码的总位数，用于计量存储容量的基本单位是字节（byte).请研究手机、计算机等电子存储设备的容量以及它们存储的一些电子文件的大小，它们通常以什么单位表示？这些单位之间有什么关系？ 　解：手机、计算机等电子存储齐备的容量表示单位：太字节（TB）、吉字节（GB）、兆字节（MB）、千字节（KB）、字节（B）； 　任务4：古人在研究天文、历法时，也曾经采用七进制、十二进制，六十进制记数法.至今，我们仍然使用一星期七天、一年12个月、一小时60分钟的记时方法.小组合作，从上述进位制中任选一种，类比二进制的加法运算，讨论该进制数的加法运算法则. 　解：以六十进制的加法为例，六十进制逢六十进一；类比二进制数加法运算法则可以列表，但是60×60的表格过于庞大，在需要记位逢六十进一，在一个数位上出现一个两位数x时用（x)表示，即（3（20）1）60表示3个60的平方，20个60的一次幂和1个60的零次幂相加所求得的十进制数. 活动3：任选下列主题之一进行研究 　1.国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高，规模最大的学术盛会，每四年一届.ECME－14于2021年在上海举办，这是国际数学大会第一次在中国举办，大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素经，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深.其中八卦符号（图2）可以用于计数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法. 整体造型：红蓝螺旋构成S形，代表Shanghai（上海），两条螺旋如同张开双臂，寓意欢迎全球学者。 中心图案：赵爽弦图，也就是勾股定理经典证明图，也是中国数学会徽标，代表中国传统数学。 灵感源头：河图。上方白点黑点是河图的数字，突出数字2、7，2×7=14，代表第14届ICME。 右下角卦符：用八卦八进制编码数字。原版是3744（十进制2020）；延期后的2021版本改为3745（十进制2021），改动爻线标红，这是2021版和原2020版会标的核心区别 。 10 　图2：图2中第二组、第三组、第四组符号表示的二进制数分别是多少？ 问题1：用二进制数写出会标八卦图中四个数字；第一个是（011）2；第二个是____,第三个是___,第四个是______. 问题2：将会标中八卦图中二进制数转换成八进制数和十进制数. 　知识拓展及训练：1.八卦与二进制 人类最早记数靠堆积石块、木棍或摆弄指趾，后来使用结绳和契刻.随着记载数目的十六大出现了进位制，受各地自然环境和社会条件的影响，产生出了不同的记数法.其中十进位值制（简称“十进制”）记数法使用0～9这十个数字，是目前使用最广泛的进位制记数法.以5234为例，用十进制解释为：“5”是在千位，说明有5个1000,1000是10的3次方，“2”在百位，说明有2个100,100是10的2次方；“3”在十位，说明3个十位，就是有3个10的一次方；而4是在个位，就是有4个10的零次方.5324表示的十进制数含义是： 易经八卦中阴爻用中断线—　—表示或数字“0”表示，阳爻用“——”表示或用“1”表示，这样八卦可以用二进制来解释.　八卦与二进制的关系如表1所示： 问题1：将下图八卦表示的二进制数转换成十进制数和八进制数，并写出你的结果. 　2.十二进制 我国古代设有十二地支，将地支与十二种动物相对应，成为十二生肖，来表示12年为一周期的循环.这一规律可以用十二进制来解释.天文学中有一个术语“黄道”（注：地球一年绕太阳转一周，我们从地球上看成太阳一年在天空中移动一圈，太阳这样移动的路线叫作“黄道”.）.古巴比伦人认真研究了黄道，把黄道分为12个区域，即“黄道12宫”，这种划分方式一方面与一年12个月对应，另一方面与天空中的星座对应.现在欧洲的语言和习惯上仍保留有十二进制的痕迹，比如12个是“一打”，12英寸是一英尺.法国生物学家布封提倡使用十二进制，他除了用0～9的数字，还用X代表10，Z代表11，构成了十二进制表示法.例如，布封出生于1707年，用十二进制为ZX3，， 即： 又如，第24届国际数学大会于2002年在中国举办，用十二进制表示2002为11XX， 即： 　问题2：试将2026用十二进制数表示出来. 　3.十六进制 我国传统的质量单位有公斤、斤、两.为了与国际单位制接轨，同时结合人们的使用习惯，规定了不同单位之间的换算方法.例如，1公斤等于1千克；公斤与斤之间采用二进制，也就是一公斤等于2斤；而斤与两之间采用的是十进制.追溯到秦始皇统一度量衡时期，以铢、两、斤、钓、石为单位，二十四铢为一两，十六两为一斤，三十斤为一钓，四钓为一石.又如，我们平时用到的“半斤八两”，意思是彼此不相上下，实力相当，按照当时的规定，斤和两的换算属于十六进制，半斤即八两.因此，当时的秤也叫十六星枰. 虽然计算机内部使用二进制数字系统来进行计算和存储数据，但在计算机编程和数据表示的实际应用中，人们通常使用十六进制来代替二进制进行书写和表示，这是因为它提供了一种比二进制更紧凑的表示方法.例如，一个四位二进制数可以转换成一个十六进制数，这样使得数的处理和显示比二进制数容易，因此使用十六进制能够更好地与　计算机系统进行交互.又如，程序员经常使用十六进制来指定内存地址、颜色值、日期和时间戳等.在操作系统中，十六进制时间戳可以表示日期和时间，而十六进制内存地址可以指定计算机中的特定存储位置.另外，十六进制还可以用于处理较大的数据量.例如，在加密和网络传输中，十六进制可以用于表示大的数字和密钥，这些数字和密钥可能包含数百或数千位，使用十六进制可以使这些数字更易于存储和处理，同时保证数据的安全性和完整性. 当堂训练： 1.阅读材料：我们平常用的是十进制，如表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1，如二进制中的，相当于十进制中的7，1，相当于十进制中的27. 请你计算：(1)二进制中的1011相当于十进制中的哪个数? 　　　　　 (2)二进制中的哪个数相当于十进制中的8与5? 二进制与十进制互化的简单口诀： 1.二进制转十进制：按位数展开，1加0不算：从右起，位乘2的位次方，有1就加，有0不算； 二进制数的最右边是第0位，每往左一位，2的指数＋1；数字是1，就加上2的位次幂；数字是0，直接跳过不用算；例如上例（1）的计算 2.十进制转二进制：除2取余，逆序排列；用十进制数直除2，每次记余数，商到0为止，（除2取余，用的是整数除法，只看商数部分）余数倒着写.例如：8÷2＝4，余0，把余数记下，等到商变成0，把余数从下往上倒过来写，就是二进制.8×2＝4余0；4÷2＝2余0；2÷2＝1余0；1÷2＝0余1（被除数比除数小的时候，商就是0，余数是被除数本身，如1÷2，1不够2除，商为0，剩下1当余数），余数依次是0,0，0,1，倒过来：1000. 2.【阅读理解】N进制数与十进制数之间的转换． 将N进制数转化为十进制数，只要将N进制数的每个数字依次乘基数n的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数．规定：规定： 如： ； 将十进制数化为与其相等的N进制数，用十进制数除以基数n，然后将商继续除以n，直到商为0，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．例如：将十进制数转化为二进制数，将532转化为8进制数. 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法．即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．十进制数转化为K进制数可用除K取余法. 【类比应用】 （1）十进制数改写成二进制数是多少？ （2）类比二进制数的算法，试求 八进制数所表示的十进制数； 【迁移拓展】有一种密钥破解方式，先 将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，破解公式为当x为偶数时，破解公式为．按上述规定，请将二进制明码“”译成密码． 进位制的认识与探究 数学核心素养 运算能力＋推理能力 课堂小结 团队协作素养 信息素养 科普学习 原理探秘 实践应用 计 算 机 运 算 存 储 设 备 进 位 制 的 认 识 不 同 进 位 制 的 转 换 进 制 数 的 加 法 运 算 会 徽 解 密 进 位 制 小 论 文 $