精品解析：湖南永州市道县敦颐学校2026-2027学年八年级上学期第一次学情自测数学试题

2026年八年级上册数学月考检测卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算，结果是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 对任意整数n，都能（ ） A. 被3整除 B. 被4整除 C. 被5整除 D. 被6整除 5. 将分式中的x，y同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 缩小为原来的2倍 C. 扩大为原来的3倍 D. 缩小为原来的3倍 6. 若，，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 0 7. 已知多项式，当时，该多项式的值为，当时，该多项式的值为，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 如图，有型，型，型三种不同的纸板．其中型是边长为的正方形，共有1块；型为边长为2的正方形，共有2块；型是长为，宽为2的长方形，共有4块．现用这7块纸板去拼出一个大的长方形（不重叠，不留空隙），则下列操作可行的是（ ） A. 用全部7块纸板 B. 加上3块型纸板 C. 拿掉2块型纸板 D. 加上1块型纸板 9. 已知三个实数a，b，c满足，且，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 计算：（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，18分） 11. 因式分解：______． 12. 要使分式有意义，则的取值范围是___________． 13. 请写出一个满足条件的m值，使得分式的值为整数：____． 14. 若，则______． 15. 分解因式______． 16. 若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以13是“完美数”；再如：因为（是整数），所以是“完美数”． 根据上面的材料，解决下列问题： （1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是____________． （2）已知（是整数，为常数），要使为“完美数”，则符合条件的值为____________． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 17. 当x取55，y取15时，求分式的值． 18. 因式分解： （1） （2） 19. 计算 （1） （2） 20. 先化简，再求值：，当时代入求值． 21. 如图，在一块边长为米的正方形空地的四角均留出一块边长为米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪． （1）用代数式表示草坪的面积． （2）利用因式分解计算当，时，草坪的面积． 22. 实践教学：某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院．同学们分别对两个建筑物的占地面积（图中阴影）进行了数据测量，数据如图所示． 数据应用： （1）请分别计算这两个建筑物的占地面积； （2）若，则图______的面积更大（填“1”或“2”） 23. 阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ， 当时，的值最小，最小值为0， ， 当时，的值最小，最小值为1984， 代数式：的最小值是1984． 例如：分解因式： 解：原式 ． （1）分解因式； （2）若，求的最大值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年八年级上册数学月考检测卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的概念及判断方法，解题的关键是掌握最简分式的定义（分子与分母没有公因式的分式），并能对分式的分子和分母进行因式分解以寻找公因式． 明确最简分式的定义：分子与分母没有公因式．对每个选项的分子和分母进行因式分解．检查分子分母是否存在公因式，若没有则为最简分式． 【详解】解：的分子分母有公因数 2，可化简为，因此不是最简分式，A错误． 的分母可因式分解为，分子分母有公因式，可化简为，因此不是最简分式，B错误． 的分母可提取公因式a，化为，分子分母有公因式a，可化简为，因此不是最简分式，C错误． 的分母无法因式分解，分子分母没有公因式，因此是最简分式，D正确． 故选：D． 2. 计算，结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值． 将分子因式分解后约分化简即可． 【详解】解：， 故选：B． 3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 【分析】A. ，左边为乘积形式，右边为多项式，属于整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B. ，左边为，正确分解应为，而选项B的分解结果为，与原式不等，故本选项不符合题意； C. ，右边为与的和，未形成整式的积，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D. ，左边为完全平方式，正确分解为两个的乘积，符合因式分解的定义，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 对任意整数n，都能（ ） A. 被3整除 B. 被4整除 C. 被5整除 D. 被6整除 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及平方差公式因式分解，根据平方差公式，分解因式后判断，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴故一定能被3整除， 故选：A． 5. 将分式中的x，y同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 缩小为原来的2倍 C. 扩大为原来的3倍 D. 缩小为原来的3倍 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的性质，将原分式中的和同时扩大为原来的3倍，代入后化简新分式，与原分式比较即可得出结论． 【详解】解：将原分式为．当和均扩大为原来的3倍， 代入得新分式： 原分式为，新分式化简后为原分式的3倍，即． 因此，分式的值扩大为原来的3倍， 故选C． 6. 若，，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的除法运算，解分式方程， 将分式除法转化为乘法，化简后分析可能的取值即可． 【详解】解：由题，，，则 ， 需满足 ， 令 ，解得 ，此时不符合条件， 令 ，解得 ，此时不符合条件， 令 ，解得 ，此时分母均非零，符合条件， 令 ，无解，此时不符合条件， 故选C． 7. 已知多项式，当时，该多项式的值为，当时，该多项式的值为，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，根据题意得到，，两式相减，将左边进行因式分解后得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意得：①，②， 将得：， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ 解得：； 故选D． 8. 如图，有型，型，型三种不同的纸板．其中型是边长为的正方形，共有1块；型为边长为2的正方形，共有2块；型是长为，宽为2的长方形，共有4块．现用这7块纸板去拼出一个大的长方形（不重叠，不留空隙），则下列操作可行的是（ ） A. 用全部7块纸板 B. 加上3块型纸板 C. 拿掉2块型纸板 D. 加上1块型纸板 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，根据各选项，列出代数式，进行因式分解即可． 【详解】解：A、用全部7块纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形； B、加上3块型纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形； C、拿掉2块型纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形； D、加上1块型纸板，总面积为：，即可以拼出一个长为，宽为的大长方形； 故选D． 9. 已知三个实数a，b，c满足，且，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，因式分解．根据已知条件，结合各选项中的条件，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、若，则，即，本选项不符合题意； B、当时，，代入得，即，整理为，本选项不符合题意； C、由得， ∵， ∴，即， ∵， ∴，本选项不符合题意； D、若，由得，解得或，本选项不符合题意； 故选：D． 10. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、平方差公式等知识点，灵活运用平方差公式进行简便运算成为解题的关键． 先利用平方差公式将原式分解，然后再计算即可． 【详解】解： ． 故选 D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，18分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：． 12. 要使分式有意义，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不能为0，即可求解． 【详解】解：要使分式有意义，则， 解得， 故答案为：． 13. 请写出一个满足条件的m值，使得分式的值为整数：____． 【答案】1（不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了求分式的值， 将的值代入分式，求出结果为整数即可． 【详解】解：当时，，其值为整数， 所以． 故答案为：1（答案不唯一）． 14. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知得，再代入分式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 15. 分解因式______． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：． 16. 若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以13是“完美数”；再如：因为（是整数），所以是“完美数”． 根据上面的材料，解决下列问题： （1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是____________． （2）已知（是整数，为常数），要使为“完美数”，则符合条件的值为____________． 【答案】 ①. 2（答案不唯一） ②. 18 【解析】 【分析】本题考查了用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据“完美数”的定义判断，并写出一个小于10的“完美数”即可说明； （2）（3）先运用完全平方公式将进行变形得到，再根据“完美数”的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴2是“完美数”， 故答案为：2（答案不唯一）； （2）解： ， 为“完美数”， ， ． 故答案为：18． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 17. 当x取55，y取15时，求分式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平方差公式和完全平方公式将所求分式进行化简，再将、的值代入化简后的式子计算即可得出结果． 【详解】解： ， 当x取55，y取15时， 原式 ． 18. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 19. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先对分母因式分解，通分后进行分式减法，再约分化简； （2）分式乘法，系数、同底数幂分别相乘，最后约分． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，再求值：，当时代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】利用分式的性质和运算法则先化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 21. 如图，在一块边长为米的正方形空地的四角均留出一块边长为米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪． （1）用代数式表示草坪的面积． （2）利用因式分解计算当，时，草坪的面积． 【答案】（1）平方米 （2）平方米 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）正方形空地面积减去四个小正方形面积求出草坪的面积， （2）因式分解后将a与b的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意，草坪的面积为平方米． 【小问2详解】 当，时， 草坪的面积为平方米 22. 实践教学：某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院．同学们分别对两个建筑物的占地面积（图中阴影）进行了数据测量，数据如图所示． 数据应用： （1）请分别计算这两个建筑物的占地面积； （2）若，则图______的面积更大（填“1”或“2”） 【答案】（1）图1中建筑物的占地面积为，图2中建筑物的占地面积为 （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的乘法、因式分解，能根据题意用含a，b的代数式分别表示出两个建筑物的占地面积是解题的关键． （1）根据所给图形，用含a，b的代数式分别表示出两个建筑物的占地面积即可． （2）根据（1）中所得代数式，结合即可解决问题． 【小问1详解】 解：由题意得， 图1中建筑物的占地面积为：； 图2中建筑物的占地面积为：． 【小问2详解】 解：， 因为， 所以， 所以图1的面积更大． 故答案为：1． 23. 阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ， 当时，的值最小，最小值为0， ， 当时，的值最小，最小值为1984， 代数式：的最小值是1984． 例如：分解因式： 解：原式 ． （1）分解因式； （2）若，求的最大值； 【答案】（1） （2）1314 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，准确理解题意是解题的关键． （1）根据题例进行配方，继而利用平方差公式因式分解即可； （2）根据题例进行配方，根据平方大于等于0的性质进行判断即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ， ， 的最大值1314． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $