第三章整式及其加减作业题2026-2027学年北师大版数学七年级上学期

代数式作业题 1．下列代数式中：x，a2﹣b3，，﹣4，，单项式的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．下列式子中，符合书写规范的是（　　） A． B．a÷c C．x+2克 D． 3．对于多项式﹣2x2+3xy2+5y﹣4，下列说法正确的是（　　） A．最高次项是3xy2 B．一次项系数是3 C．常数项是4 D．多项式是二次四项式 4．多项式3x|m|y2+xy2+2的次数是四次，则m的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．0 5．下列代数式中整式有（　　） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 6．多项式﹣7x4y﹣xy6﹣x3+1按x的降幂排列正确的是（　　） A．﹣7x4y﹣xy6﹣x3+1 B．﹣xy6﹣7x4y﹣x3+1 C．﹣7x4y﹣x3﹣xy6+1 D．﹣7x4y+x3﹣xy6+1 7．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是最大的负整数，﹣3x2yn与2x2y3是同类项，则a+b﹣cd﹣（m+n）＝　 　 ． 8．若单项式﹣2a1﹣xb3y与a3b3是同类项，则x﹣3y＝　 　 ． 9．若关于x，y的单项式﹣2x5yb﹣1与﹣xa+7y2是同类项，则ab＝　 　 ． 10．已知代数式3x2+2bx﹣y+4﹣ax2+8x+5y的值与x的取值无关，则ab＝　 　 ． 11．若多项式2x2+5xy﹣kxy+y2﹣1不含xy的项，则k＝　 　 ． 12．若单项式﹣2x2ya与的差仍为单项式，则ab＝　 　 ． 13．已知5a2m+nb和﹣7b3﹣na4的和是六次单项式，则m的值是　 　 ． 14．如果单项式与相加以后结果仍是单项式，那么mn＝ 　 　 ． 15．把多项式x5﹣（﹣4x4y+5xy4）﹣6（﹣x3y2+x2y3）去括号后按字母x的降幂排列为　 　 ． 16．已知A＝x﹣xy﹣1，B＝x+y， （1）求整式A+2B； （2）已知代数式A+2B的值与y的取值无关，求x的值． 17．已知：A＝4x2+3xy+4y﹣1，B＝2x2﹣2xy． （1）计算：A﹣2B； （2）若3（A+B）﹣（2A+5B）的值与y的取值无关，求x的值． 18．已知多项式3x2+my﹣8与多项式﹣nx2+2y+7的差中，不含有x2、y的项，求nm+mn的值． 19．如图，将6个大小形状完全相同的小长方形A，B，C，D，E，F放置在一个大长方形内（无重叠），其中G，H为空余部分．设每个小长方形的长为x，宽为y． （1）请用含x，y的代数式分别表示空余部分G，H的周长，直接写出化简后的结果：G的周长为　 　 ，H的周长为　 　 ； （2）将空余部分G，H的周长之和记为m，图形左上方A，B组成的大长方形的周长记为n，则m，n之间有什么数量关系？请计算并加以说明． 20．先列式，再根据条件求值： （1）一个数比a的6倍大5，另一个数比a的4倍小7，请用含a的代数式表示这两个数的和，并求当a＝15时，这两个数的和． （2）如图，正方形ABCD的边长为a，根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积，并求当a＝5，b＝2时，阴影部分的面积． 21．如图，长方形的一组邻边长分别为10，m（10＜m＜15），在长方形的内部放置4个完全相同的小长方形纸片（图中阴影所示），这样得到长方形ABCD和长方形EFGH． （1）线段FG，EF之间的等量关系是　 　 ； （2）记长方形ABCD的周长为C1，长方形EFGH的周长为C2，对于任意的m值，C1+C2的值是否为一个确定的值？若是一个确定的值，请求出这个值；若不是一个确定的值，并说明理由． 22．（1）已知m+n＝12，3a﹣2b＝8，求2m+6a﹣（4b﹣2n）的值． （2）已知m2+2mn＝2，mn+3n2＝3，求的值． 23．某两位数十位上的数字是a、个位上的数字是b，把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，得到一个新的两位数． （1）用代数式表示原数与所得数； （2）计算所得数与原数的和，判断这个和是否能被11整除？ 24．给定有理数a，b，对整式A，B，定义新运算“⊕”：A⊕B＝aA+bB；对正整数n（n≥2）和整式A，定义新运算“⊗”（按从左到右的顺序依次做“⊕”运算）．1⊗A＝A． 例如，当a＝1，b＝2时，若A＝x，B＝﹣y，则A⊕B＝A+2B＝x﹣2y，2⊗A＝A⊕A＝3x． （1）当a＝2，b＝1时，若A＝x+y，B＝x﹣2y，则A⊕B＝　 　 ，3⊗B＝　 　 ； （2）对每一个正整数n和整式A，均有n⊗A＝A，直接写出a，b满足的关系； （3）当a＝2，b＝1时，若A＝3x2+15xy，B＝2x2﹣62xy﹣y2，p，q是正整数，令P＝p⊗A，Q＝q⊗B，且P⊕Q不含xy项，直接写出p和q的值． 25．已知两个正整数m和n各个数位上的数字均不为0，若它们的位数相同且对应数位上的数字之和为10，称这两个数互为“互补数”．例如：4和6互为“互补数”，119与991互为“互补数”．若m的“互补数”为n，记P（m）＝|m﹣n|为m的“互补差”，例如：81的“互补数”为29，P（81）＝|81﹣29|＝52． （1）42的“互补差”为　 　 ； （2）已知两位数m的个位数字比十位数字大3，且它的“互补数”n等于它的倍，求这个两位数的“互补差”P（m）； （3）已知某三位数（其中1≤a，b≤9，且a，b为整数），若能被19整除，直接写出这个三位数所有可能的值． 探索规律作业题 1．按一定规律排列的单项式：，…，第9个单项式是　． 2．观察下列式子的变形规律： ，． （1）类比思考：　 　 ； （2）归纳猜想：若n为正整数，那么　 　 ； （3）运用上面的知识计算：． 3．观察下列等式，，， 以上三个等式两边分别相加得：． （1）猜想并写出　 　 ； （2）直接写出计算结果：　 （3）探究并计算：　 　 ； （4）若|ab+2|与（b﹣1）2互为相反数，计算　 　 ． 4．观察下面的变形规律： ； ； ； … 解答下面的问题： （1）第5个式子为 　 　 ； （2）若n为奇数正整数，请你猜想　 　 ； 根据你得到的启示，试解答下题：若有理数a，b满足|a﹣1|+（b﹣3）2＝0，求的值． 5．在科学研究中，发现问题并解决问题是推动人类文明进步的重要动力．请先观察下列等式，找出规律，并解答问题． ①13＝12；②13+23＝32；③13+23+33＝62；④13+23+33+43＝102；⑤… （1）等式⑤是 　 ； （2）应用规律求63+73+83+93+103的值． 6．按一定规律排列的单项式：2x，4x3，8x5，16x7，32x9，64x11，…，则第n个单项式是（　　） A．2nxn+1 B．2nxn﹣1 C．2nx2n﹣1 D．2nx2n+1 7．我们知道若干个相同数相加可以用乘法来计算，现在我们来研究若干个相同数相减． 我们规定：（n为正整数）， 例如：，F（﹣1，4）＝（﹣1）﹣（﹣1）﹣（﹣1）﹣（﹣1）＝2． 根据上述信息完成下列问题： （1）请直接填写具体值： ①F（2，4）＝2﹣2﹣2﹣2＝　　 ； ② 　 ． ③F（a，2）＝　　 ． （2）若F（a，6）＝2，求a的值； （3）若F（﹣2，n）＝10，则直接写出n的值为 　 　 ． 8．仔细观察，探索规律： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1， （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1， （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1， （x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1， …… 则32020+32019+32018+…+32+3＝　 　 ． 9．观察下列各式：12+1＝1×2，22+2＝2×3，32+3＝3×4，…，请你将猜测到的规律用含自然数n（n≥1 ）的等式表示出来为 　 ． 二．规律型：图形的变化类 10．用黑、白两种颜色的正六边形地板砖有规律地拼成若干个图案（如图），那么，第6个图案中有白色地板砖（　　 ）块，第n个图案中有白色地板砖（　　 ）块． 11．如图是一组有规律的图案，第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有7个三角形，第③个图案中有10个三角形…依此规律．第⑨个图案中有（　　）个三角形． A．22 B．25 C．26 D．28 12．下面是用棋子摆成的“小屋子”．摆第1个这样的“小屋子”需要5枚棋子，摆第2个这样的“小屋子”需要11枚棋子，……，摆第10个这样的“小屋子”需要的棋子数为（　　） A．53 B．59 C．65 D．50 13．观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（　　） A．2n+2 B．4n+4 C．4n﹣4 D．4n 14．一根绳子弯曲成如图1所示的形状．当用剪刀像图2那样沿虚线a把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图3那样沿虚线b（b∥a）把绳子再剪一次时，绳子就被剪为9段．若用剪刀在虚线a，b之间把绳子再剪（n﹣2）次（剪刀的方向与a平行），这样一共剪n次时绳子的段数是（　　） A．4n+1 B．4n+2 C．4n+3 D．4n+5 第三章 代数式 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B． D． A C B． C． 一．试题（共25小题） 1．下列代数式中：x，a2﹣b3，，﹣4，，单项式的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：式子x，，﹣4，符合单项式的定义，是单项式； 式子a2﹣b3，是多项式． 故单项式有3个． 故选：B． 2．下列式子中，符合书写规范的是（　　） A． B．a÷c C．x+2克 D． 【解答】解：选项A正确的书写格式是，故此选项不符合题意； 选项B正确的书写格式是，故此选项不符合题意； 选项C正确的书写格式是（x+2）克，故此选项不符合题意； 选项D正确，故此选项符合题意． 故选：D． 3．对于多项式﹣2x2+3xy2+5y﹣4，下列说法正确的是（　　） A．最高次项是3xy2 B．一次项系数是3 C．常数项是4 D．多项式是二次四项式 【解答】解：∵多项式的项为：﹣2x2（次数2）、3xy2（次数3）、5y（次数1）、﹣4（次数0）， ∴最高次项是 3xy2，故A正确，符合题意； 一次项是 5y，系数为5，不是3，故B错误，不符合题意； 常数项是﹣4，不是4，故C错误，不符合题意； 多项式是三次四项式，不是二次四项式，故D错误，不符合题意； 故选：A． 4．多项式3x|m|y2+xy2+2的次数是四次，则m的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．0 【解答】解：∵第二项xy2的次数为3，第三项常数项次数为0， ∴第一项3x|m|y2的次数|m|+2＝4， ∴m＝±2． 故选：C． 5．下列代数式中整式有（　　） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【解答】解：式子，﹣m，﹣0.3，，ax+b，0，，符合整式的定义，是整式； 式子，分母中含有字母，不是整式． 故整式有7个． 故选：B． 6．多项式﹣7x4y﹣xy6﹣x3+1按x的降幂排列正确的是（　　） A．﹣7x4y﹣xy6﹣x3+1 B．﹣xy6﹣7x4y﹣x3+1 C．﹣7x4y﹣x3﹣xy6+1 D．﹣7x4y+x3﹣xy6+1 【解答】解：多项式﹣7x4y﹣xy6﹣x3+1按x的降幂排列：﹣7x4y﹣x3﹣xy6+1． 故选：C． 7．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是最大的负整数，﹣3x2yn与2x2y3是同类项，则a+b﹣cd﹣（m+n）＝　﹣3　 ． 【解答】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是最大的负整数，﹣3x2yn与2x2y3是同类项， ∴a+b＝0，cd＝1，m＝﹣1，n＝3， ∴a+b﹣cd﹣（m+n）＝0﹣1﹣（﹣1+3）＝﹣3． 故答案为：﹣3． 8．若单项式﹣2a1﹣xb3y与a3b3是同类项，则x﹣3y＝　﹣5　 ． 【解答】解：由同类项的定义可知1﹣x＝3，3y＝3， 解得x＝﹣2，y＝1， ∴x﹣3y＝（﹣2）﹣3×1＝﹣5． 故答案为：﹣5． 9．若关于x，y的单项式﹣2x5yb﹣1与﹣xa+7y2是同类项，则ab＝　﹣8　 ． 【解答】解：由同类项的定义可知a+7＝5，b﹣1＝2， 解得a＝﹣2，b＝3， ∴ab＝（﹣2）3＝﹣8． 故答案为：﹣8． 10．已知代数式3x2+2bx﹣y+4﹣ax2+8x+5y的值与x的取值无关，则ab＝　﹣12　 ． 【解答】解：3x2+2bx﹣y+4﹣ax2+8x+5y＝（3﹣a）x2+（2b+8）x+4y+4， 由题意得：3﹣a＝0，2b+8＝0， 解得：a＝3，b＝﹣4， ∴ab＝3×（﹣4）＝﹣12， 故答案为：﹣12． 11．若多项式2x2+5xy﹣kxy+y2﹣1不含xy的项，则k＝　5　 ． 【解答】解：∵多项式2x2+5xy﹣kxy+y2﹣1＝（5﹣k）xy+2x2+y2﹣1不含xy项， ∴5﹣k＝0， 解得k＝5． 故答案为：5． 12．若单项式﹣2x2ya与的差仍为单项式，则ab＝　9　 ． 【解答】解：由同类项的定义可知b＝2，a＝3， ∴ab＝32＝9． 故答案为：9． 13．已知5a2m+nb和﹣7b3﹣na4的和是六次单项式，则m的值是　1　 ． 【解答】解：由同类项的定义可知2m+n＝4，3﹣n＝1， 解得m＝1，n＝2． 故答案为：1． 14．如果单项式与相加以后结果仍是单项式，那么mn＝ 　2　 ． 【解答】解：由同类项的定义可知m﹣1＝3，2n＝1， 解得m＝4，n， ∴mn＝2． 故答案为：2． 15．把多项式x5﹣（﹣4x4y+5xy4）﹣6（﹣x3y2+x2y3）去括号后按字母x的降幂排列为x5+4x4y+6x3y2﹣6x2y3﹣5xy4 ． 【解答】解：x5﹣（﹣4x4y+5xy4）﹣6（﹣x3y2+x2y3） ＝x5+4x4y﹣5xy4﹣6（﹣x3y2+x2y3） ＝x5+4x4y﹣5xy4+6x3y2﹣6x2y3 ＝x5+4x4y+6x3y2﹣6x2y3﹣5xy4． 故答案为：x5+4x4y+6x3y2﹣6x2y3﹣5xy4． 16．已知A＝x﹣xy﹣1，B＝x+y， （1）求整式A+2B； （2）已知代数式A+2B的值与y的取值无关，求x的值． 【解答】解：（1）∵A＝x﹣xy﹣1，B＝x+y， ∴A+2B＝x﹣xy﹣1+2（x+y） ＝x﹣xy﹣1+2x+2y ＝3x+2y﹣xy﹣1； （2）由（1）得A+2B＝3x+2y﹣xy﹣1＝3x+（2﹣x）y﹣1， ∵代数式A+2B的值与y的取值无关， ∴2﹣x＝0， ∴x＝2． 17．已知：A＝4x2+3xy+4y﹣1，B＝2x2﹣2xy． （1）计算：A﹣2B； （2）若3（A+B）﹣（2A+5B）的值与y的取值无关，求x的值． 【解答】解：（1）A﹣2B＝（4x2+3xy+4y﹣1）﹣2（2x2﹣2xy） ＝4x2+3xy+4y﹣1﹣4x2+4xy ＝7xy+4y﹣1； （2）3（A+B）﹣（2A+5B）＝3A+3B﹣2A﹣5B ＝A﹣2B ＝7xy+4y﹣1 ＝（7x+4）y﹣1， 由条件可知7x+4＝0， 解得． 18．已知多项式3x2+my﹣8与多项式﹣nx2+2y+7的差中，不含有x2、y的项，求nm+mn的值． 【解答】解：3x2+my﹣8﹣（﹣nx2+2y+7） ＝3x2+my﹣8+nx2﹣2y﹣7 ＝（3+n） x2+（m﹣2）y﹣15 因为不含x2，y项 所以3+n＝0，得：n＝﹣3，m﹣2＝0，得：m＝2， 所以nm+mn＝（﹣3）2+2×（﹣3）＝3． 19．如图，将6个大小形状完全相同的小长方形A，B，C，D，E，F放置在一个大长方形内（无重叠），其中G，H为空余部分．设每个小长方形的长为x，宽为y． （1）请用含x，y的代数式分别表示空余部分G，H的周长，直接写出化简后的结果：G的周长为　4x﹣2y ，H的周长为　10y ； （2）将空余部分G，H的周长之和记为m，图形左上方A，B组成的大长方形的周长记为n，则m，n之间有什么数量关系？请计算并加以说明． 【解答】解：（1）G的周长为2（x+x﹣y）＝4x﹣2y，H的周长为2（3y+2y）＝10y， 故答案为：4x﹣2y；10y； （2）m＝2n，理由如下： 由题意得m＝4x﹣2y+10y＝4x+8y， n＝2（x+2y）＝2x+4y， ∵4x+8y＝2（2x+4y）， ∴m＝2n． 20．先列式，再根据条件求值： （1）一个数比a的6倍大5，另一个数比a的4倍小7，请用含a的代数式表示这两个数的和，并求当a＝15时，这两个数的和． （2）如图，正方形ABCD的边长为a，根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积，并求当a＝5，b＝2时，阴影部分的面积． 【解答】解：（1）∵一个数比a的6倍大5，另一个数比a的4倍小7， ∴这两个数分别为6a+5，4a﹣7， 则6a+5+4a﹣7＝10a﹣2， 当a＝15时， 10a﹣2＝10×15﹣2＝148； （2）由题意可得阴影部分的面积为a2ab， 当a＝5，b＝2时， a2ab525×2＝7.5． 21．如图，长方形的一组邻边长分别为10，m（10＜m＜15），在长方形的内部放置4个完全相同的小长方形纸片（图中阴影所示），这样得到长方形ABCD和长方形EFGH． （1）线段FG，EF之间的等量关系是EF＝2FG ； （2）记长方形ABCD的周长为C1，长方形EFGH的周长为C2，对于任意的m值，C1+C2的值是否为一个确定的值？若是一个确定的值，请求出这个值；若不是一个确定的值，并说明理由． 【解答】解：（1）∵FG等于一个小长方形的宽， EF等于两个小长方形宽， ∴EF＝2FG， 故答案为：EF＝2FG； （2）设长方形ABCD的AB为a、AD为b；长方形EFGH的EF为c、EH为d，小长方形的宽为x． ∴C1+C2＝2a+2b+2c+2d， ∵c＝2x，d＝x， ∴C1+C2＝2a+2b+4x+2x， 又∵BE+EH＝10， AB＝BE， ∴AB+EH＝10， 即a+x＝10， 又∵b+2x＝10， ∴C1+C2 ＝2a+2b+2c+2d ＝2a+2b+4x+2x ＝2（a+x）+2（b+2x） ＝2×10+2×10 ＝40． 所以C1+C2的值是一个确定的值，为40． 22．（1）已知m+n＝12，3a﹣2b＝8，求2m+6a﹣（4b﹣2n）的值． （2）已知m2+2mn＝2，mn+3n2＝3，求的值． 【解答】解：（1）∵m+n＝12，3a﹣2b＝8， ∴2m+6a﹣（4b﹣2n） ＝2m+6a﹣4b+2n ＝2（m+n）+2（3a﹣2b） ＝2×12+2×8 ＝24+16 ＝40； （2）∵m2+2mn＝2，mn+3n2＝3， ∴原式＝3m2+6mnmn﹣7n2 ＝3（m2+2mn）（mn+3n2） ＝3×23 ＝6﹣7 ＝﹣1． 23．某两位数十位上的数字是a、个位上的数字是b，把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，得到一个新的两位数． （1）用代数式表示原数与所得数； （2）计算所得数与原数的和，判断这个和是否能被11整除？ 【解答】解：（1）原数为10a+b，新的两位数为10b+a； （2）10a+b+10b+a＝11a+11b， ∵（11a+11b）÷11＝11（a+b）÷11＝a+b，其结果为整数， 则这个和能被11整除． 24．给定有理数a，b，对整式A，B，定义新运算“⊕”：A⊕B＝aA+bB；对正整数n（n≥2）和整式A，定义新运算“⊗”（按从左到右的顺序依次做“⊕”运算）．特别地，1⊗A＝A． 例如，当a＝1，b＝2时，若A＝x，B＝﹣y，则A⊕B＝A+2B＝x﹣2y，2⊗A＝A⊕A＝3x． （1）当a＝2，b＝1时，若A＝x+y，B＝x﹣2y，则A⊕B＝　3x ，3⊗B＝　7x﹣14y ； （2）对每一个正整数n和整式A，均有n⊗A＝A，直接写出a，b满足的关系； （3）当a＝2，b＝1时，若A＝3x2+15xy，B＝2x2﹣62xy﹣y2，p，q是正整数，令P＝p⊗A，Q＝q⊗B，且P⊕Q不含xy项，直接写出p和q的值． 【解答】解：（1）当a＝2，b＝1时，若A＝x+y，B＝x﹣2y， ∴AB＝aA+bB＝2（x+y）+1（x﹣2y）＝2x+2y+x﹣2y＝3x， ∴3⊗B＝B⊕B⊕B ＝[2（x﹣2y）+1（x﹣2y）]（x﹣2y） ＝（3x﹣6y）⊕（x﹣2y） ＝2（3x﹣6y）+（x﹣2y） ＝6x﹣12y+x﹣2y ＝7x﹣14y． 故答案为：3x，7x﹣14y． （2）要使对每一个正整数n和整式A，均有n⊗A＝A，我们先分析n⊗A的规律： 当n＝1时，1⊗A＝A（符合要求）； 当n＝2时，2⊗A＝A⊕A＝aA+bA＝（a+b）A， 由2⊗A＝A，得a+b＝1； 当n＝3时，3⊗A＝（2⊗A）A＝（a+b）AA＝a×（a+b）A+bA＝（a（a+b）+b）A，代入a+b＝1，得a×1+b＝a+b＝1，即3⊗A＝A； 以此类推，可得 a+b＝1． （3）分析p⊗A， 当a＝2，b＝1时，2⊗A＝AA＝2A+A＝3A； 3⊗A＝（2⊗A）⊕A＝3A⊕A＝2×（3A）+A＝7A． 观察规律可得，p⊗A＝（2p﹣1）A即P＝（2p﹣1）A， 同理，Q＝q⊗B＝（2q﹣1）B． ∴P⊕Q＝2P+Q＝2（2p﹣1）A+（2q﹣1）B， 将A＝3x2+15xy，B＝2x2﹣62xy﹣y2代入，得： 2（2p﹣1）A+（2q﹣1）B ＝2（2p﹣1）（3x2+15xy）+（2q﹣1）（2x2﹣62xy﹣y2） ＝（6×2p﹣6+2×2q﹣2）x2+（30×2p﹣30﹣62×2q+62）xy+（﹣2q+1）y2 ＝（6×2p﹣6+2×2q﹣2）x2+（30×2p﹣62×2q+32）xy+（﹣2q+1）y2， ∵P⊕Q不含xy项， ∴30×2p﹣62×2q+32＝0， ∴15×2p﹣31×2q+16＝0， 试q＝2，则31×4＝124，15×2p＝124﹣16＝108，2p＝108÷15＝7.2不是整数； 试q＝3，则31×8＝248，15×2p＝248﹣16＝232，2p＝232÷15≈15.47，不是整数； 试q＝4，则31×16＝496，15×2p＝496﹣16＝480，2p＝480÷15＝32，2p＝32，则 p＝5； 验证p＝5，q＝4时： 30×25﹣62×24+32＝30×32﹣62×16+32＝960﹣992+32＝0，符合要求． 所以p＝5，q＝4． 25．已知两个正整数m和n各个数位上的数字均不为0，若它们的位数相同且对应数位上的数字之和为10，称这两个数互为“互补数”．例如：4和6互为“互补数”，119与991互为“互补数”．若m的“互补数”为n，记P（m）＝|m﹣n|为m的“互补差”，例如：81的“互补数”为29，P（81）＝|81﹣29|＝52． （1）42的“互补差”为　26　 ； （2）已知两位数m的个位数字比十位数字大3，且它的“互补数”n等于它的倍，求这个两位数的“互补差”P（m）； （3）已知某三位数（其中1≤a，b≤9，且a，b为整数），若能被19整除，直接写出这个三位数所有可能的值． 【解答】解：（1）42的“互补数”为68，则42的“互补差”为： P（42）＝|42﹣68|＝26， 故答案为：26； （2）设数m的十位数字为x，则个位数字为x+3， m＝10x+x+3＝11x+3， 它的“互补数”n为：10（10﹣x）+（10﹣x﹣3）＝﹣11x+107， ∵它的“互补数”n等于它的倍， ∴， 解得：x＝2， 则m＝25，n＝85， ∴P（m）＝|25﹣85|＝60． （3）三位数为600+10a+b， 三位数的“互补数”为：400+10（10﹣a）+（10﹣b）＝510﹣10a﹣b， P（）＝|600+10a+b﹣（510﹣10a﹣b）|＝|90+20a+2b|， ， ∵能被19整除， ∴为整数， ∵1≤a≤9，1≤b≤9，且a，b为整数， ∴a＝1，b＝2时，符合题意； a＝3，b＝1时，符合题意； a＝6，b＝9时，符合题意； a＝8，b＝8时，符合题意； ∴这个三位数所有可能的值为：612，631，669，688． 探索规律作业题 1．按一定规律排列的单项式：，…，第9个单项式是　　 ． 【分析】观察每个单项式的排列规律即可进行解答． 【解答】解：第1个单项式：， 第2个单项式：， 第3个单项式：， ......， ∴第9个单项式是， 故答案为：． 【点评】本题考查了单项式，数字的变化类，准确找出排列规律是解题的关键． 2．观察下列式子的变形规律： ，． （1）类比思考：　　 ； （2）归纳猜想：若n为正整数，那么　　 ； （3）运用上面的知识计算：． 【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题； （2）根据题目中的例子可以写出所求式子相应的结果； （3）根据（2）中的结果可以解答本题． 【解答】解：（1）根据规律可得：； 故答案为：． （2）根据规律可得：； 故答案为：． （3）原式 ． 【点评】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，求出相应的式子的值． 3．观察下列等式，，， 以上三个等式两边分别相加得：． （1）猜想并写出　　 ； （2）直接写出计算结果：　　 ； （3）探究并计算：　　 ； （4）若|ab+2|与（b﹣1）2互为相反数，计算　　 ． 【分析】（1）根据已知等式得出一般性规律，写出即可； （2）原式各项利用拆项法变形，计算即可得到结果； （3）原式变形后，利用拆项法计算即可得到结果； （4）先根据非负数的性质求出a＝﹣2，b＝1，再将a＝﹣2，b＝1代入求出结果即可． 【解答】解：（1）∵，，， ∴； 故答案为：； （2） ； 故答案为：； （3） ； 故答案为：； （4）由条件可知|ab+2|+（b﹣1）2＝0， ∴ab+2＝0，b﹣1＝0， ∴a＝﹣2，b＝1， ∴原式 ． 故答案为：． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，数字规律探索，绝对值的非负性，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．观察下面的变形规律： ； ； ； … 解答下面的问题： （1）第5个式子为 　；　 ； （2）若n为奇数正整数，请你猜想　　 ； 根据你得到的启示，试解答下题：若有理数a，b满足|a﹣1|+（b﹣3）2＝0，求的值． 【分析】（1）先寻找规律后正确用裂项法即可； （2）先寻找规律后正确用裂项法即可； （1）先求出a和b的值，再用裂项法即可； 【解答】解：（1）第5个式子为； 故答案为：； （2）若n为正整数，猜想； 故答案为：； （3）由已知得 a＝1，b＝3， ∴原式 ． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是先寻找规律后正确用裂项法． 5．在科学研究中，发现问题并解决问题是推动人类文明进步的重要动力．请先观察下列等式，找出规律，并解答问题． ①13＝12；②13+23＝32；③13+23+33＝62；④13+23+33+43＝102；⑤… （1）等式⑤是 　13+23+33+43+53＝152 ； （2）应用规律求63+73+83+93+103的值． 【分析】（1）观察题中所给等式，发现规律即可得出等式⑤． （2）根据发现的规律即可解决问题． 【解答】解：（1）观察所给等式发现， 等式左边是连续的正整数的立方和，等式右边是一个平方数，且其底数为左边所有乘方的底数之和， 所以等式⑤是：13+23+33+43+53＝152． 故答案为：13+23+33+43+53＝152． （2）根据（1）中的发现， 原式＝13+23+…+93+103﹣（13+23+33+43+53） ＝（1+2+…+10）2﹣（1+2+3+4+5）2 ＝552﹣152 ＝2800． 【点评】本题考查数字变化的规律，能根据所给等式发现其变化的规律是解题的关键． 6．按一定规律排列的单项式：2x，4x3，8x5，16x7，32x9，64x11，…，则第n个单项式是（　　） A．2nxn+1 B．2nxn﹣1 C．2nx2n﹣1 D．2nx2n+1 【分析】通过观察题意可得：单项式的系数为2的n次方，次数为连续的奇数，从而得出结论． 【解答】解：第1个单项式是2x＝（2×1）x2×1﹣1＝21x2×1﹣1， 第2个单项式是4x3＝（2×2）x2×2﹣1＝22x2×2﹣1， 第3个单项式是8x5＝（2×2×2）x2×3﹣1＝23x2×3﹣1， •••， 第n个单项式是2nx2n﹣1， 故选：C． 【点评】本题考查了数字变化类，单项式的有关概念．确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键． 7．我们知道若干个相同数相加可以用乘法来计算，现在我们来研究若干个相同数相减． 我们规定：（n为正整数）， 例如：，F（﹣1，4）＝（﹣1）﹣（﹣1）﹣（﹣1）﹣（﹣1）＝2． 根据上述信息完成下列问题： （1）请直接填写具体值： ①F（2，4）＝2﹣2﹣2﹣2＝　﹣4　 ； ②　　 ． ③F（a，2）＝　0　 ． （2）若F（a，6）＝2，求a的值； （3）若F（﹣2，n）＝10，则直接写出n的值为 　7　 ． 【分析】（1）根据若干个相同数相减的运算法则求解即可； （2）根据若干个相同数相减的运算法则列出方程求解即可； （3）根据以上发现的规律求解即可． 【解答】解：（1）①F（2，4）＝2﹣2﹣2﹣2＝﹣4； ②； ③F（a，2）＝a﹣a＝0； （2）∵F（a，6）＝2， ∴a﹣a﹣a﹣a﹣a﹣a＝2， 解得； （3）∵F（﹣2，n）＝10， ∴， ∴， ∴﹣2+2（n﹣1）＝10， 解得n＝7． 【点评】此题考查的是新定义类问题，掌握定义新运算公式、有理数的各个运算法则和一元一次方程的解法是解题关键． 8．仔细观察，探索规律： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1， （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1， （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1， （x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1， …… 则32020+32019+32018+…+32+3＝　　 ． 【分析】首先在算式前面乘以，再根据规律进行计算，即可得出结果． 【解答】解：32020+32019+32018+…+32+3 （32020+32019+32018+…+32+3+1）﹣1 1， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了数字的变化规律，根据已知等式得出（x﹣1）（xn+xn﹣1+...+x2+x+1）＝xn+1﹣1并会将算式灵活变形是解决问题的关键． 9．观察下列各式：12+1＝1×2，22+2＝2×3，32+3＝3×4，…，请你将猜测到的规律用含自然数n（n≥1 ）的等式表示出来为n2+n＝n（n+1）　 ． 【分析】观察等式的左边：第几个式子即为几的平方加几，等式的右边即为它和比它大1的数的积． 【解答】解：观察等式，推而广之，即 第n个等式是n2+n＝n（n+1）． 【点评】此题要注意分别观察等式的左边和右边的规律． 二．规律型：图形的变化类 10．用黑、白两种颜色的正六边形地板砖有规律地拼成若干个图案（如图），那么，第6个图案中有白色地板砖（　26　 ）块，第n个图案中有白色地板砖（　4n+2　 ）块． 【分析】依次列出第1个图案中白色地砖有6＝4×1+2（块），第2个图案中白色地砖有10＝4×2+2（块），第3个图案中白色地砖有14＝4×3+2（块），⋯，即可得出规律解答． 【解答】解：第1个图案中白色地砖有6块， 第2个图案中白色地砖有10块， 第3个图案中白色地砖有14块， ⋯， 第6个图案中白色地砖有4×6+2＝26（块）， 第n个图案中白色地砖有（4n+2）块， 故答案为：26；（4n+2）． 【点评】本题考查图形规律的探索，找到图形规律是解题的关键． 11．如图是一组有规律的图案，第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有7个三角形，第③个图案中有10个三角形…依此规律．第⑨个图案中有（　　）个三角形． A．22 B．25 C．26 D．28 【分析】根据第①图形中三角形个数为（3+1）；第②图形三角形个数为（3×2+1）；第③个图形中三角形个数为（3×3+1）；可确定第ⓝ个图形中三角形个数为3n+1，从而可以解答． 【解答】解：第①图形中三角形个数为（3+1）， 第②图形三角形个数为（3×2+1）， 第③个图形中三角形个数为（3×3+1）， ……， 第ⓝ个图形中三角形个数为3n+1， 故第⑨个图形中三角形个数为（3×9+1）＝28． 故选：D． 【点评】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化规律归纳出第ⓝ个图形有（3n+1）个三角形是解题的关键． 12．下面是用棋子摆成的“小屋子”．摆第1个这样的“小屋子”需要5枚棋子，摆第2个这样的“小屋子”需要11枚棋子，……，摆第10个这样的“小屋子”需要的棋子数为（　　） A．53 B．59 C．65 D．50 【分析】根据所给图形，依次求出图形中棋子的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 摆第1个这样的“小屋子”需要的棋子数为：5＝1×6﹣1； 摆第2个这样的“小屋子”需要的棋子数为：11＝2×6﹣1； 摆第3个这样的“小屋子”需要的棋子数为：17＝3×6﹣1； 摆第4个这样的“小屋子”需要的棋子数为：23＝4×6﹣1； …， 所以摆第n个这样的“小屋子”需要的棋子数为（6n﹣1）个， 当n＝10时， 6n﹣1＝59（个）， 即摆第10个这样的“小屋子”需要的棋子数为59个． 故选：B． 【点评】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现所需棋子的个数依次增加6是解题的关键． 13．观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（　　） A．2n+2 B．4n+4 C．4n﹣4 D．4n 【分析】由已知的三个图可得到一般的规律，即第n个图形中三角形的个数是4n，根据一般规律解题即可． 【解答】解：根据给出的3个图形可以知道： 第1个图形中三角形的个数是4， 第2个图形中三角形的个数是8， 第3个图形中三角形的个数是12， 从而得出一般的规律，第n个图形中三角形的个数是4n． 故选：D． 【点评】此题考查了学生由特殊到一般的归纳能力．解此题时要注意寻找各部分间的联系，找到一般规律． 14．一根绳子弯曲成如图1所示的形状．当用剪刀像图2那样沿虚线a把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图3那样沿虚线b（b∥a）把绳子再剪一次时，绳子就被剪为9段．若用剪刀在虚线a，b之间把绳子再剪（n﹣2）次（剪刀的方向与a平行），这样一共剪n次时绳子的段数是（　　） A．4n+1 B．4n+2 C．4n+3 D．4n+5 【分析】本题作为一道选择题，学生可把n＝1，x＝5；n＝2，x＝9代入选项中即可得出答案．而若作为常规题，学生则需要一一列出n＝1，2，3…的情形，再对x的取值进行归纳． 【解答】解：设段数为x 则依题意得：n＝0时，x＝1， n＝1，x＝5， n＝2，x＝9， n＝3，x＝13， … 所以当n＝n时，x＝4n+1． 故选：A． 【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．而作为选择题，将已知代入求解能节省很多时间和避免计算错误． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/1 13:52:29；用户：董美佳；邮箱：15640226568；学号：66466340 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/24 15:33:14；用户：董美佳；邮箱：15640226568；学号：66466340 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $