专题05 不规则图形面积与隐圆问题9大题型60题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材人教版五四制

专题05不规则图形面积与隐圆问题 基础·固本强基 题型1 割补法基础（扇形—三角形组合，弓形） 题型2 等边扇形面积（直接公式） 提升·进阶突破 题型3 整体减空白 题型4 等积变换 拔高·压轴破难 题型5 定点定长（圆的定义）→ 求最值 题型6 定直角（直径所对圆周角 90°） 题型7 定弦定角 → 面积最值 题型8 四点共圆（对角互补 90°） 题型9 圆外一点到圆上距离最值（中点轨迹） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 割补法基础（扇形—三角形组合，弓形）（共6小题） 【模型】割补法求弓形面积 特征：阴影部分是一个弓形（圆弧与弦围成）。 方法：弓形面积 = 扇形面积 − 三角形面积。 【易错】割补时注意半径别代入成直径；扇形面积公式中圆心角 n 用角度制；弓形只减一个三角形，不要多减。 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 故选：B． 2．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图是一个的正方形网格，的顶点均在格点上，请按要求画图：①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺的直角；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母． (1)在图1中画出的外接圆圆心O位置． (2)若每个小正方形网格的边长为1，则图2中阴影部分（弓形）的面积是___________． 【详解】(1)点O即为所求作． （2） 连接、， ，，， ∵， 即， ∴为直角三角形，， ∴． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点求； (1)求弧的长； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长， 弧的长是． （2）解： ， 阴影部分的面积是． 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图．在中．弦垂直于半径．垂足为E．D是优弧上一点．连接、、，．    (1)求的度教； (2)若弦．求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图所示，连接，    ∵， ∴，， 又∵， ∴； （2）∵，，   ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得（负值舍去）， ∴，， ∴． 5．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横截面如图所示，半径，水的最大深度为． (1)求水面宽的长； (2)求阴影部分面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图所示： 由题意，结合圆的对称性可知，，， 在中，，， 由勾股定理可得， ； （2）解：由（1）可知，，， 在中，，则， ， 则， ． 6．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图，内接于，，点在线段的延长线上，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求图中阴影部分的面积． 【详解】(1)证明：连接并延长交于点E，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：连接， 在中，， ， ， 是等边三角形， ， ∵，， ， 是直径， ， ， ， ， ， ． 题型2 等边扇形面积（直接公式）（共4小题） 【模型】直接套用扇形面积公式 特征：阴影是一个扇形，已知圆心角与半径。 方法：S＝，n 为圆心角度数。 【易错】等边三角形每个内角是 60°，不是 30°；圆心角必须是半径所夹的角，别误用边所对的外角。 7．（25-26九年级上·山东滨州·期中）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，是的中点，连接、，以点为圆心，以长为半径在内画弧，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，连接，   ∵是等边三角形， ， ， ， ∵点为弧的中点， ， ∴垂直平分线段， ∴经过点O，， ， ， ， ． 故选：C． 8．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，是的内切圆，连接，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设与分别相切于E、F、H，连接， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ，，， ，， ，， ， ， ， ∵是的内切圆， 平分，平分， ，， ， ， 阴影部分扇形的圆心角为， ， 故选：D． 9．（25-26九年级上·浙江温州·期中）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的外圈由6个相同盘子摆成，单个摆盘可看成扇形的一部分，图2是其示意图（其中阴影部分为摆盘），通过测量得到，，圆心角为，则图2中摆盘的面积是______． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，点A、B、C均在上，直径，，则图中阴影部分的面积为______ ． 【答案】 【详解】解：∵ 为公共弧，直径，， ∴，半径， ∴ 故答案为． 提升·进阶突破 题型3 整体减空白（共10小题） 【模型】整体减空白 特征：阴影是半圆的一部分，被弦、直径分割。 方法：阴影 = 半圆面积 − 空白三角形面积。 11．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，已知扇形的圆心角，为弧的中点，以为直径作半圆，得到甲、乙两个新图形（阴影部分），则阴影部分甲的面积与乙的面积的大小关系是（  ） A．甲乙 B．甲乙 C．甲乙 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：设． ∵扇形的圆心角为，是弧中点， ∴扇形的圆心角为，半径为； 以为直径的半圆半径为． ∵，， ∴比较与即可． ∵，， ∴， ∴． 故选：． 12．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，在中，，，，分别以点，为圆心，的长为半径作圆，将截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为________． 【答案】 【详解】解：在中，，， ，， 剩余（阴影）部分的面积为． 故答案为：． 13．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在菱形中，点是对角线的中点，分别以点、为圆心，长为半径画弧，分别交、于点、，交、于点、．若，，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【详解】解：∵在菱形中，点是对角线的中点，，， ∴与交于点，，，，， ∴，， ∴，， ∴菱形的面积为， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，是上一点，是的中点，于点，与相交于点． (1)求证：． (2)若，求阴影部分的面积（结果保留和根号）． 【详解】(1)证明：如图，延长交于点， ∵ ∴ ∵是的中点， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：如图，连接 ∵，， ∴ 又∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴， 在中， ∴ 15．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长和图中阴影部分的面积． 【详解】(1)证明：如图，连接，则， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （2）解：如图，连接， 是的直径， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ，解得舍负， ，， 是等边三角形，， ， 的长， ∴图中阴影部分的面积 16．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图， 是的外接圆，是直径，过点作直线，过点作直线，两直线交于点，如果， 的半径是． (1)求证：是的切线． (2)求图中阴影部分的面积（结果用表示）． 【详解】(1)证明：如图，连接， ， ， ， ， ，是的半径 是的切线； （2）解：∵的半径是， ，， ， 四边形为平行四边形， ， ，， ． 17．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）如图，是的直径，是的弦，延长到点，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【详解】(1)证明：如图，连接， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过D作， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积， 又∵扇形的面积， ∴阴影部分面积． 18．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，以边为直径的经过点，是上一点，连接交于点，且，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求阴影部分面积． 【详解】(1)与相切，理由如下： 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； （2）解：如图所示，过点O作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 19．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，，，，与直角边，相切于点，． (1)连接，，则四边形的形状为______； (2)若与相切于点，求的半径； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】(1)正方形 (2)1 (3) 【详解】（1）解：∵与直角边，相切于点，，， ∴，， ∴四边形的形状为正方形， 故答案为：正方形； （2）解：如图，连接、、， ∵与直角边，相切于点，，与相切于点， ∴，，，， ∴， ∵在中，，，， ∴， 由（1）知四边形的形状为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； （3）解：阴影部分的面积为： ． 20．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，在中，，，是边上一点，以点为圆心的半圆与边相切于点，与边，分别交于点，，，连接，．已知，，． (1)的半径为________． (2)求证：是的切线． (3)求图中两阴影部分面积的和． 【详解】（1）解：∵以点为圆心的半圆与边相切于点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴，即的半径为； 故答案为：． (2)证明：∵，即， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴是的半径， ∴是的切线． （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴ ． 题型4 等积变换（共5小题） 【模型】等积变换 特征：以直角三角形三边为直径作三个半圆，求两边半圆与斜边半圆围成的月牙形面积和。 方法：由勾股定理，两个小半圆面积之和 = 大半圆面积，从而月牙形面积和 = 直角三角形面积。 【易错】结论“月牙面积和 = 直角三角形面积”仅在直角三角形且三边为直径时成立，别套用到一般三角形；三角形面积用两直角边乘积的一半。 21．（24-25九年级下·河南商丘·期中）如图，半径为的扇形中，为的中点，连接，．已知的长度为，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，设交于点， ∵为的中点， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵半径为的扇形中，的长度为，设 ∴， 解得： ∴ ∴图中阴影部分的面积为 故选：A． 22．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点D，E分别在，上，点C在上．若，，则图中阴影部分面积的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 23．（24-25九年级下·河南南阳·期中）如图，是的直径，弦于点，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：和都对着，， ， ， ， ， ， 是的直径，弦于点， ，， 与等底等高，即，， ， ， 故选：D． 24．（24-25九年级下·重庆·期中）如图，在等边中，，分别以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B．9 C．6 D． 【答案】A 【详解】解：如图，设、、分别是各边中点， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 25．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）如图，在扇形AOB中，，半径，点是AO的中点过点作交于点，过点作，垂足为点．图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【详解】点是AO的中点，且， ，即， ， ， ， ， 又， 所以四边形为矩形， 则与的面积相等， 故阴影部分面积为扇形的面积， ． 故答案为：． 拔高·压轴破难 题型5 定点定长（圆的定义）→ 求最值（共4小题） 【模型】定点定长（圆的定义） 特征：动点 P 到某定点距离等于定长。 方法：P 在以该定点为圆心、定长为半径的圆上；结合“圆外一点到圆上点距离最值”求最值。 【易错】定点定长要找准“定点”与“定长”；最值在三点共线或垂直方向取得，别把面积公式的底高弄错。 26.如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的半圆上移动， 如图，设的中点为O， 作正方形关于直线对称的正方形， 则点D的对应点是F， 连接交于P，交半圆O于E， 根据对称性有：， 则有：， 则线段的长即为的长度最小值，E ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故的长度最小值为， 故选：A． 27．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，正方形ABCD中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为________． 【答案】 【详解】解：取点关于直线的对称点，连接、两线交于点，连接，，，过作于点，    正方形ABCD中，，E是的中点， ， 点是的中点，点是的中点， ， 点在以为圆心，为半径的上运动， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 当、、、四点共线时，的值最小， 的最小值为． 故答案为：． 28．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，在矩形中，，，点E、F分别是上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点C落在点G处，点D落在H处．在点E从A移动到中点P的过程中，线段的最大值为___．    【答案】 【详解】解：连接与交于点O，连接，    四边形是矩形， ， ， 又， ， ， 点O为的中点， 连接，则与交于点O， 由折叠得，， 又， ， ， 又， ， G在以O为圆心，为半径的圆弧上运动，E在A处时，G与C重合，E在P处时，G与B重合， G的运动轨迹为， 连接并延长，交于时，最大， 当O，P，G共线时，即G与重合时，最大， ， P为的中点，O为的中点， ， ， 即的最大值为， 故答案为：． 29．（25-26九年级上·贵州安顺·期末）如图，在矩形中，，E，F分别是边，上的动点，且，为的中点，为上的一动点，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，则， ∴． ∵为直角三角形，为中点，， ∴，即点在以为圆心、为半径的圆上， ∴当三点共线时，取得最小值，且最小值为的最小值． ∵在矩形中，，， ∴，， ∴， 由勾股定理得， ∴的最小值为， 即的最小值为； 故答案为：． 题型6 定直角（直径所对圆周角 90°）（共4小题） 【模型】定直角（直径） 特征：动点 P 使 ∠APB＝90°（或 ∠APB 恒为直角）。 方法：P 在以 AB 为直径的圆上，半径 r＝。 【易错】∠APB＝90°时 P 在“以 AB 为直径”的圆上，圆心是 AB 中点，半径是 AB 的一半，不是整条 AB。 30．（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，在矩形中，为矩形内一点，连接，，，，，，则的最小值为_____． 【答案】4 【详解】解：以的中点O为圆心，长为半径作圆，连接交于点，如图， ∵， ∴点P在圆上， ∴当点P在的位置时，取得最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 31．（25-26九年级上·北京·期中）如图，点是边长为2的正方形内一点，且，将线段以点为中心逆时针旋转得到线段，点是的中点，连接，则的最大值为______． 【答案】 【详解】解：连接，取的中点H， 由旋转的性质知，， ∵， ∴， ∴， 则点F在以为直径的圆H上，连接、， 当G、H、F共线时，最大， 则，， 则的到最大值为， 故答案为：． 32．（26-27九年级上·天津·期中）如图，在四边形中，，，，，点在线段上运动，点在直线上，，则线段的最小值为____________． 【答案】 【详解】解：如图：设的中点为，以为直径画圆，连接交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴点在以为直径的半圆上运动， 则当点运动到与的交点处时，线段有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴线段的最小值为． 33．（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，在矩形中，，点在矩形的内部，连接，若，则的最小值是________． 【答案】 【详解】解：四边形是矩形， ，． ，， ， 点在以为直径的半圆上运动， 如图，设圆心为，连接交于点，此时最短． ， ， 的最小值为． 故答案为：． 题型7 定弦定角 → 面积最值（共4小题） 【模型】定弦定角 特征：弦 AB 固定，∠APB 为定值（非 90°）。 34．（24-25九年级上·天津·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，点B，点E是边的中点，把绕点A顺时针旋转得，点O，B旋转后的对应点分别为D，C． 连接，，，在旋转的过程中，面积的最大值为 ___． 【答案】 【详解】以A为圆心，为半径画，过点作交的延长线于点， 点A，点B ， 在， , ， 为中点，是直角三角形， ， ， 圆中最长的弦是直径， ∴当点旋转到如图所示的位置时，即三点共线时，此时高最大，面积最大， ∵， ∴在中， ∵， ∴， ∴， 此时，； 35.如图，在矩形中，，，点分别是边上的动点，且，点是的中点，连接，则四边形面积的最小值为______ 【答案】142 【详解】如图，连接，过作于，以为圆心，为半径作圆，交于，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴在以为圆心，为半径的弧上，当运动到时， 最小，此时四边形面积的最小值，最小值即为四边形的面积， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，，即四边形面积的最小值是， 故答案为：． 36．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中， ，点E是外一动点(点B，点E位于异侧)，当时，点F为线段上一点，，连接，求面积的最大值_______． 【答案】 【详解】取的中点O，连接，如图所示： ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵O为的中点， ∴， ， ∴， 根据勾股定理得：， ∵为定值， ∴点E到的距离最大时，的面积最大， ∵， ∴， ∴A、B、C、E四点共圆， ∵， ∴是圆的直径，的中点O为圆心， 过点O作于点N，延长交圆O于点E， 此时点E到的距离最大，的面积最大， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积最大值为：． 故答案为：． 37．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在半径为1的中，弦，为弦所对优弧上的动点．连接，，过点作的垂线与所在的直线交于点． （1）的度数为_______． （2）在点运动的过程中，的面积的最大值为_______． 【答案】 /90度 【详解】解：（1）连接、， ∵， ∵，满足， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴的度数为， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 作的外接圆，可知点在上，则， ∵， ∴当点到的距离最大时，的面积最大， 设为中点，连接并反向延长，与圆交于点，此时点到的距离最大， 连接、， ∵，，， ∴， 即， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵点为中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． 故答案为：． 题型8 四点共圆（对角互补 90°）（共8小题） 【模型】四点共圆 特征：四边形中有两个对角都是 90°（∠ABC＝∠ADC＝90°）。 方法：∠ABC 与 ∠ADC 都对着 AC，且均为 90°，故 B、D 在以 AC 为直径的圆上，四点共圆。 【易错】两角同为 90° 且对同一条线段，才说四点共圆；BD 是圆内弦，最大等于直径 AC，不是等于某条边长。 38．（25-26九年级上·福建莆田·期中）如图，在四边形中，，，，求的最大值为______． 【答案】 【详解】解：在四边形中，，， ∴， ∴四点共圆，设圆心为O，过点O作交于点E，连接、如图： ∵圆周角， ∴圆心角， ∴为顶角的等腰三角形， ∴为锐角的直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴，由勾股定理可得方程，解得， 为圆内的弦，而圆内长度最大的弦为直径，故． 故答案为：． 39．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，为等腰直角三角形，，，点D为所在平面内一点，，以为边作平行四边形，则的最大值为________． 【答案】 【详解】解：如图，当点位于内部时，延长交于点，连接， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴由勾股定理得， ∵，， ∴点共圆，且直径为线段， 如图所示，假设该四点所在圆为，点为线段的中点，连接，则，， 作线段的垂直平分线，在垂直平分线上找一点，以点为圆心，长为半径画圆，连接，连接并延长交于点， ∵， ∴点E的运动轨迹为圆， 则根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得：即为的最大值， ∵当点位于内部时，， ∴当点位于外部时，即为点时，根据圆内接四边形的性质得， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 由勾股定理得， ∴． 故答案为：． 40．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【推理证明】（1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明的思路完成证明过程； 【尝试应用】（2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使是直角三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】（3）在（2）的基础上，若，，求线段的长． 【详解】（1）证明：连接，取的中点，连接、， ∵， ∴， ∴、、、四点在以点O为圆心，以为半径的圆上． （2）如图，为所求直角三角形； （3）∵在正方形中，，， ∴，，， ， ∴， ∵， ∴， 又∵是直角三角形，， ∴， ∴ 又∵， ∴即 ∴． 41．（23-24九年级上·云南昆明·期中）综合与实践： “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1所示，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．    探究展示： 如图2所示，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，，    则，（依据 ， ， 点，，，四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上，（依据 点，，，四点在同一个圆上； 反思归纳： （1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：______；（从右边框内选一个选项，直接填序号） 依据2：______．（从右边框内选一个选项，直接填序号） ①圆内接四边形对角互补； ②对角互补的四边形四个顶点共圆； ③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； ④经过两点的圆的圆心在这两点所连线段的垂直平分线上； （2）如图3所示，在四边形中，，，则的度数为______．    【答案】（1）①，③（2） 【详解】解：（1）由探究展示过程可知，的依据是：①圆内接四边形对角互补； 点，在点，，所确定的上的依据是：③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； 故答案为：①，③； （2）作过，，的，在劣弧上取点，连接，，如图：   ， ， ， ， ，，，共圆，即在过，，的上， 在过，，的上， ，，，，共圆， ， ， 故答案为：． 42．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．在教材中学习了定理“圆内接四边形的对角互补”后，学习小组继续探究，提出猜想“对角互补的四边形四个顶点共圆”并尝试用反证法进行验证． 【验证猜想】 已知：四边形中， 求证：A、B、C、D四点共圆 证明：过点A、B、D作，假设点C不在上，则点C在外或内 若点C在外，如图1，设交于，连接，则． 四边形是的内接四边形， ． ， 与矛盾，故点C不可能在圆外； 若点C在圆内， …… （1）在图2中，用直尺和圆规作出过点A，B，D的圆，参考以上思路补全图形并完成后续证明； 【深入探究】 得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”是真命题后，继续思考，四点共圆还可以有其他的条件吗？请你在此基础上展开探究： （2）如图3，在线段同侧有两点C，D，连接，，，．如果，那么A、B、C、D四点共圆，请完成证明（如需辅助圆，画出示意图即可）； 【结论应用】 应用以上结论，解决下列问题： （3）如图4，在四边形中，，，则________； （4）如图5，中，点E在上，连接，作点B关于的对称点，连接，，求的度数； 【拓展延伸】 （5）如图6，，，点D为平面内一动点，连接、，若始终有，当四边形周长最大时，与的数量关系是多少？（直接写出答案）． 【答案】 （1）如图， ∴点A、B、C、E四点在同一个圆上； （2）如图，作经过点A、B、D的， 在劣弧上取一点E（不与A、B重合），连接，， 则， ， ． 点A、B、C、E四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点C在点A、B、E所确定的上，也就是在点A、B、D所确定的上， 点A、B、C、D四点共圆； （3）30；（4）；（5） 【详解】解：（1）若点C在内，如图，延长设交于， 连接，则． 四边形是的内接四边形， ， ， 与矛盾，故点C不可能在圆内， ∴点C在圆上， ∴点A、B、C、E四点在同一个圆上； （2）如图，作经过点A、B、D的， 在劣弧上取一点E（不与A、B重合），连接，， 则， ， ． 点A、B、C、E四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点C在点A、B、E所确定的上，也就是在点A、B、D所确定的上， 点A、B、C、D四点共圆； （3）∵， ∴点A，点B，点C，点D四点共圆， ∴， 故答案为：30； （4）由对称可知，， ， ， 由（2）可知，点A、、E、C四点共圆． ， 中，， ； （5）如图，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点A，点B，点C，点D四点共圆， ∴，弦最大值是直径长， 以为边在上方作等边三角形，连接， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴A，E，D三点共线， ∴， ∵四边形周长， ∴当是直径时，四边形的周长有最大值， ∴， ∴， ∴． 43．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？ ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）； ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图③）； ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图④）． (1)在图①、②中，取的中点O，根据 得，即A，B，C，D共圆， (2)在图③中，画经过点A，B，C（图⑤）．假设点D落在外，交于点 E，连接，可得，得出矛盾；同理点D也不会落在内（图⑥），即A，B，C，D共圆．结论同理可证．请你利用“反证法”证明结论，在图⑦和图⑧中选择一个证明点C在圆上； (3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点； 已知：如图⑨，锐角三角形的高相交于点H，射线交于点F． 求证：是的高．（连接，补全以下证明框图） (4)如图⑩，点P是外部一点，过P作直线的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上，求证：点P在的外接圆上． 【详解】（1）解：由题意可得：根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得，即A，B，C，D共圆， 故答案为：直角三角形斜边中线等于斜边的一半； (2)证明：假设点C落在⊙O外，交于点E，连接， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角． ∴，相互矛盾，故点在圆上； （3）证明：以A、E、H、D四点作圆，以B、E、四点作圆，连接，如图： ∵A、E、H、D四点共圆， ∴， ∵B、E、D、C四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即是的高， 故答案为：，B、E、D、C，； (4)证明：如图，连接由结论可得：点P、D、F、C四点共圆，点P、E、B、F四点共圆， 又∵点D，E，F在同一条直线上， ∴， ∴， 由结论可得点A、B、C、P四点共圆即点P在的外接圆上． 44．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图像经过点A、B．    (1)　　，　　； (2)若点M是第三象限内抛物线上的一动点，过点M作垂直于x轴，垂足为点C，交直线于点D，连接，当时： ①求点M的坐标； ②直线上是否存在点E，使为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． (3)抛物线上是否存在点N（不与点A、B重合），使得O、A、B、N四点共圆，如果存在求出点N的坐标，如果不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴, ∵二次函数的图像经过点A、B， ∴，解得：． 故答案为：1，． （2）解：由（1）可知，二次函数表达式为， ①设，则 由题意可知， 则， ． ， ，解得（不符合题意，舍去）， 当时， ∴； ②设，则，，, 当时，, ∴，即，解得：或， ∴点E的坐标为或； 当时，, ∴，即，解得：， ∴点E的坐标为； 当时，, ∴，即，解得：， ∴点E的坐标为； 综上，点E的坐标为或或或． (3)解：不存在，理由： 设抛物线上存在点使得四点共圆，中点为． 过点作轴，过点作轴，、交于点．   点， ， 是直径，点是圆心． 由于中， ，化简得，解得值为0或， 的坐标为或，此时点与点A，B重合，不符合题意， 故假设不成立，抛物线上不存在点使得四点共圆． 45．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）综合与实践 数学活动课上，小聪在老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动． 【提出问题】如图，在线段同侧有两点，连接，，如果，那么四点在同一个圆上． 探究展示： 设是的外接圆 如图，假设点在内，延长交于点，连接 点在上，（    ） 在中， 这与已知条件矛盾 ∴点不在内如图，假设点在外，……； 综上所述，作的外接圆，点在上，即，，，四点共圆． 【归纳结论】 （1）上述探究过程中的括号内填的依据是______； （2）如图，请你帮助小聪按照上面的思路，写出该证明的省略部分； 【结论运用】 （3）已知四边形中， ①如图，点和点在同侧，交于点的延长线交于点，若，请判断与的数量关系，并说明理由； ②如图，若平分，记的值是否会发生改变，如果不发生改变，请求出其值，如果发生改变，请求出的取值范围． 【详解】解：归纳结论（1）如图，假设点在内，延长交于点，连接 点在上， （同弧所对的圆周角相等）， 在中，， ， 这与已知条件矛盾； ∴点不在内； 故答案为：同弧所对的圆周角相等； （2）如图，假设点在外，设交于点，连接， ∵点在上， ∴， ∵在中，， ∴， ∴这与已知条件矛盾； ∴点不在外； （3）①，理由见解析； ∵， ∴，，，四点在同一个圆上，记为， 设，， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ ； ∵，， ∴， ∴； ②的大小不会发生变化 理由∶延长至点，使得，过点作于， ∵， ∴，，，四点在同一个圆上， ∵平分， ∴， ∴； ∵，，，四点在同一个圆上， ∴， ∵， ∴； 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 题型9 圆外一点到圆上距离最值（中点轨迹）（共15小题） 【模型】圆外一点与圆上动点的中点轨迹 特征：P 在圆外，M 为圆上动点，Q 为 PM 的中点。 方法：Q 的轨迹是一个以 OP 中点为圆心、半径 r/2 的圆；OQ 的最小值＝|O 到新圆心距离 − 新半径|。 【易错】中点的轨迹圆半径是原圆半径的一半、圆心是 OP 中点，二者都易写错；外离情形最小值取“两心距减半径”。 46．（25-26九年级上·河南商丘·期中）如图，在正方形中，，，分别是边和上的动点，且，与交于点，连接，则的最小值是_________． 【答案】 【详解】解：在正方形中，，且， ， 又 ，， ， ， ， ， ， 点在以为直径的圆弧上运动， ∵，分别是边和上的动点， ∴当点E与点D重合、点F与点A重合时，取得最小值， 由勾股定理得， ， 即的最小值是， 故答案为：． 47．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在正方形中，，点E，F分别在上，相交于点G，连结．当点E从点C运动到点D的过程中，的最小值为_____． 【答案】 【详解】解：如图，以为直径作，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点G的运动轨迹是以为直径的，当O，G，D共线时，的值最小， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 48．（24-25九年级下·河南商丘·期中）如图，在等腰三角形中，，，D为平面内一点，连接，，且，连接，则的最小值为______，最大值为______． 【答案】 1 7 【详解】解：∵，， ∴点D的运动轨迹是以为直径的，且的半径为3， 如图所示，连接，并延长交于点E，F， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴当点D与点E重合时，有最小值1，当点D与点F重合时，有最大值7， 故答案为：1，7． 49．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，，点C是平面内一动点，且，连接，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为________． 【答案】 【详解】解：将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，则：， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转后得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心，5为半径的圆上运动， ∴当点在线段上时，的值最小为的长，即的最小值为. 故答案为：． 50．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，，，点是内部一点，且，连接，则长的最小值为________ 【答案】 【详解】解： ， ， ， ， ， 点的轨迹是以为直径的圆的一部分． 设的中点为，连接，易知当点在上时，的值最小，过点作，交的延长线于点， 则， ， ， ， ， ． 故答案为：． 51．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，中，，，则的最大面积是______，若的中点是，那么中线的最大值是______． 【答案】 / / 【详解】解：作的外接圆，分别连接，，，过作，交所在直线于点，如图， ∴， ∴当最大时，有最大值， 根据圆的性质可得当三点共线时，最大，如图， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为， 如图，取中点，连接，，，， ∵的中点是， ∴是中位线， ∴， ∴点在以为圆心，半径为的圆上运动， 当点三点共线时，有最大值，如图， 同上理：， ∴中线的最大值是， 故答案为：，． 52．（25-26九年级上·贵州黔南·期中）如图，P为矩形外一点，且点P到的中点O的距离为1，，当线段绕点O旋转时，的最大值为______． 【答案】 【详解】解：∵点P到的中点O的距离为1，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴如图：点P的轨迹是以的中点O为圆心，以半径为1的圆，连接并延长交于点，即为的最大值， ∵矩形，， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 53．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，为矩形内一点，连接，，，，，，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：如图所示， ∵，为矩形内一点， ∴点相等于是以为直径，点为圆心的圆上运动（下半圆）， ∴的最小值就是连接，交半圆与点，即此时为最小值， 在矩形中， ∴， 又∵， ， ∴， ∴． 54．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在矩形中，，点E在上，，在矩形内找一点P．使得，则_____，线段的最小值为____． 【答案】 【详解】解：如图，在的上方，作，使得，连接，过点O作于Q，于J． ∵， ∴点P的运动轨迹是以O为圆心，为半径的上， ∴当点P落在线段上时，的值最小， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即 ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值， 故答案为：，． 55．（24-25九年级上·广东汕尾·期中）如图，已知正方形中，两动点和分别从顶点、同时出发，以相同的速度沿、向终点、运动，连接、，交于点，再连接，若，则长的最小值为_____． 【答案】 【详解】解：四边形是正方形， ，， 点和分别从顶点、同时出发，以相同的速度沿、向终点、运动， ， ， ， ， ， ， 点在以为直径的圆上运动，运动路径为，是这个圆的， 如图所示，连接交圆于点，即当、、三点共线时，的值最小， ， ， 由勾股定理得：， ， 故答案为：． 56．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图中，，是射线上的动点，连接，以为斜边向上作直角，使得，则的最小值是______． 【答案】 【详解】解：如图，取中点O，连接，，，作的延长线， ∵，， ∴， ∴A、E、C、D在以O为圆心，为半径是圆上， ∴， 又， ∴， ∴， ∴点E在定直线（）上运动， ∴当时，取最小值， 如图， ∴， ∵，，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 57．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知，等腰三角形中，底角，边，取底边上的一个动点D，连接．将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接、和．当线段取得最小值时，在直线上取一点M，连接，将沿直线翻折，得到，点A的对应点为H，则线段的最小值为_______． 【答案】 【详解】解：如图，将等腰三角形绕着点A逆时针旋转得到等腰三角形， ∵取底边上的一个动点D，连接．将线段绕着点A逆时针旋转得到线段， ∴在上运动， 即当时，取得最小值， ∵将等腰三角形绕着点A逆时针旋转得到等腰三角形， ∴，， ∴， 即当时，G为与交点， ∵直线上取一点M，连接，将沿直线翻折，得到，点A的对应点为H， ∴点H在以G为圆心，为半径的圆上运动， 连接，可知此时线段有最小值， ∵， ∴， 即， ∵ ∴， ∴， 作，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 58．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，，线段绕点B旋转到，连接，E为的中点，连接，则的最大值是______ ． 【答案】 【详解】解：如图，作的中点，连接， 由旋转的性质得：，点为的中点，点为中点， 是△的中位线，，点的轨迹是以为圆心， 为半径的圆，当点在延长线上时，最大， ，，， 点为中点，， 最大为，故答案为：． 59．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形，以为腰向正方形内部作等腰，且，过点E作于点F，点P是的内心，连接，，，若，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解： ， ． ． 点P是的内心，即，分别平分和， ，． ． ，，， ≌． ． 如图，作出的外接圆，设圆心为Q，圆的半径为r，则的最小值即为． ， 设所对的圆心角优角为，则， ． ， ． ， ． ∵四边形是正方形， ． 过点Q作，则， ． ∴是等腰直角三角形． ． ． ． ． 的最小值为． 故答案为：． 60．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，已知正方形，以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点E作于点F，若点P是的内心，，连接，则的最小值是______． 【答案】 【详解】解：， ， ， 点P是的内心， 分别是和的平分线， ， ， ∵，，， ∴， 点P在以为弦，所对的圆周角为的圆上运动，作的外接圆，如图所示： 圆心记作点O，连接，在优弧上取一点Q，连接，则， ， ， 连接，交于点，当点P与点重合时，的值最小，分别过点O作于点M，交的延长线于点N，如图所示： ∴，， ∴四边形是正方形， ， ， 在中，， 即的最小值为 故答案为：． $专题05不规则图形面积与隐圆问题 基础·固本强基 题型1 割补法基础（扇形—三角形组合，弓形） 题型2 等边扇形面积（直接公式） 提升·进阶突破 题型3 整体减空白 题型4 等积变换 拔高·压轴破难 题型5 定点定长（圆的定义）→ 求最值 题型6 定直角（直径所对圆周角 90°） 题型7 定弦定角 → 面积最值 题型8 四点共圆（对角互补 90°） 题型9 圆外一点到圆上距离最值（中点轨迹） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 割补法基础（扇形—三角形组合，弓形）（共6小题） 【模型】割补法求弓形面积 特征：阴影部分是一个弓形（圆弧与弦围成）。 方法：弓形面积 = 扇形面积 − 三角形面积。 【易错】割补时注意半径别代入成直径；扇形面积公式中圆心角 n 用角度制；弓形只减一个三角形，不要多减。 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图是一个的正方形网格，的顶点均在格点上，请按要求画图：①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺的直角；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母． (1)在图1中画出的外接圆圆心O位置． (2)若每个小正方形网格的边长为1，则图2中阴影部分（弓形）的面积是___________． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点求； (1)求弧的长； (2)求阴影部分的面积． 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图．在中．弦垂直于半径．垂足为E．D是优弧上一点．连接、、，．    (1)求的度教； (2)若弦．求图中阴影部分的面积． 5．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横截面如图所示，半径，水的最大深度为． (1)求水面宽的长； (2)求阴影部分面积． 6．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图，内接于，，点在线段的延长线上，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求图中阴影部分的面积． 题型2 等边扇形面积（直接公式）（共4小题） 【模型】直接套用扇形面积公式 特征：阴影是一个扇形，已知圆心角与半径。 方法：S＝，n 为圆心角度数。 【易错】等边三角形每个内角是 60°，不是 30°；圆心角必须是半径所夹的角，别误用边所对的外角。 7．（25-26九年级上·山东滨州·期中）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，是的中点，连接、，以点为圆心，以长为半径在内画弧，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，是的内切圆，连接，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·浙江温州·期中）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的外圈由6个相同盘子摆成，单个摆盘可看成扇形的一部分，图2是其示意图（其中阴影部分为摆盘），通过测量得到，，圆心角为，则图2中摆盘的面积是______． 10．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，点A、B、C均在上，直径，，则图中阴影部分的面积为______ ． 提升·进阶突破 题型3 整体减空白（共10小题） 【模型】整体减空白 特征：阴影是半圆的一部分，被弦、直径分割。 方法：阴影 = 半圆面积 − 空白三角形面积。 11．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，已知扇形的圆心角，为弧的中点，以为直径作半圆，得到甲、乙两个新图形（阴影部分），则阴影部分甲的面积与乙的面积的大小关系是（  ） A．甲乙 B．甲乙 C．甲乙 D．无法确定 12．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，在中，，，，分别以点，为圆心，的长为半径作圆，将截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为________． 13．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在菱形中，点是对角线的中点，分别以点、为圆心，长为半径画弧，分别交、于点、，交、于点、．若，，则图中阴影部分的面积为_____． 14．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，是上一点，是的中点，于点，与相交于点． (1)求证：． (2)若，求阴影部分的面积（结果保留和根号）． 15．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长和图中阴影部分的面积． 16．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图， 是的外接圆，是直径，过点作直线，过点作直线，两直线交于点，如果， 的半径是． (1)求证：是的切线． (2)求图中阴影部分的面积（结果用表示）． 17．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）如图，是的直径，是的弦，延长到点，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 18．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，以边为直径的经过点，是上一点，连接交于点，且，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求阴影部分面积． 19．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，，，，与直角边，相切于点，． (1)连接，，则四边形的形状为______； (2)若与相切于点，求的半径； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 20．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，在中，，，是边上一点，以点为圆心的半圆与边相切于点，与边，分别交于点，，，连接，．已知，，． (1)的半径为________． (2)求证：是的切线． (3)求图中两阴影部分面积的和． 题型4 等积变换（共5小题） 【模型】等积变换 特征：以直角三角形三边为直径作三个半圆，求两边半圆与斜边半圆围成的月牙形面积和。 方法：由勾股定理，两个小半圆面积之和 = 大半圆面积，从而月牙形面积和 = 直角三角形面积。 【易错】结论“月牙面积和 = 直角三角形面积”仅在直角三角形且三边为直径时成立，别套用到一般三角形；三角形面积用两直角边乘积的一半。 21．（24-25九年级下·河南商丘·期中）如图，半径为的扇形中，为的中点，连接，．已知的长度为，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 22．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点D，E分别在，上，点C在上．若，，则图中阴影部分面积的和为（　　） A． B． C． D． 23．（24-25九年级下·河南南阳·期中）如图，是的直径，弦于点，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 24．（24-25九年级下·重庆·期中）如图，在等边中，，分别以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B．9 C．6 D． 25．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）如图，在扇形AOB中，，半径，点是AO的中点过点作交于点，过点作，垂足为点．图中阴影部分的面积是________． 拔高·压轴破难 题型5 定点定长（圆的定义）→ 求最值（共4小题） 【模型】定点定长（圆的定义） 特征：动点 P 到某定点距离等于定长。 方法：P 在以该定点为圆心、定长为半径的圆上；结合“圆外一点到圆上点距离最值”求最值。 【易错】定点定长要找准“定点”与“定长”；最值在三点共线或垂直方向取得，别把面积公式的底高弄错。 26.如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，正方形ABCD中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为________． 28．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，在矩形中，，，点E、F分别是上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点C落在点G处，点D落在H处．在点E从A移动到中点P的过程中，线段的最大值为___．    29．（25-26九年级上·贵州安顺·期末）如图，在矩形中，，E，F分别是边，上的动点，且，为的中点，为上的一动点，则的最小值为__________． 题型6 定直角（直径所对圆周角 90°）（共4小题） 【模型】定直角（直径） 特征：动点 P 使 ∠APB＝90°（或 ∠APB 恒为直角）。 方法：P 在以 AB 为直径的圆上，半径 r＝。 【易错】∠APB＝90°时 P 在“以 AB 为直径”的圆上，圆心是 AB 中点，半径是 AB 的一半，不是整条 AB。 30．（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，在矩形中，为矩形内一点，连接，，，，，，则的最小值为_____． 31．（25-26九年级上·北京·期中）如图，点是边长为2的正方形内一点，且，将线段以点为中心逆时针旋转得到线段，点是的中点，连接，则的最大值为______． 32．（26-27九年级上·天津·期中）如图，在四边形中，，，，，点在线段上运动，点在直线上，，则线段的最小值为____________． 33．（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，在矩形中，，点在矩形的内部，连接，若，则的最小值是________． 题型7 定弦定角 → 面积最值（共4小题） 【模型】定弦定角 特征：弦 AB 固定，∠APB 为定值（非 90°）。 34．（24-25九年级上·天津·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，点B，点E是边的中点，把绕点A顺时针旋转得，点O，B旋转后的对应点分别为D，C． 连接，，，在旋转的过程中，面积的最大值为 ___． 35.如图，在矩形中，，，点分别是边上的动点，且，点是的中点，连接，则四边形面积的最小值为______ 36．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中， ，点E是外一动点(点B，点E位于异侧)，当时，点F为线段上一点，，连接，求面积的最大值_______． 37．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在半径为1的中，弦，为弦所对优弧上的动点．连接，，过点作的垂线与所在的直线交于点． （1）的度数为_______． （2）在点运动的过程中，的面积的最大值为_______． 题型8 四点共圆（对角互补 90°）（共8小题） 【模型】四点共圆 特征：四边形中有两个对角都是 90°（∠ABC＝∠ADC＝90°）。 方法：∠ABC 与 ∠ADC 都对着 AC，且均为 90°，故 B、D 在以 AC 为直径的圆上，四点共圆。 【易错】两角同为 90° 且对同一条线段，才说四点共圆；BD 是圆内弦，最大等于直径 AC，不是等于某条边长。 38．（25-26九年级上·福建莆田·期中）如图，在四边形中，，，，求的最大值为______． 39．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，为等腰直角三角形，，，点D为所在平面内一点，，以为边作平行四边形，则的最大值为________． 40．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【推理证明】（1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明的思路完成证明过程； 【尝试应用】（2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使是直角三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】（3）在（2）的基础上，若，，求线段的长． 41．（23-24九年级上·云南昆明·期中）综合与实践： “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1所示，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．    探究展示： 如图2所示，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，，    则，（依据 ， ， 点，，，四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上，（依据 点，，，四点在同一个圆上； 反思归纳： （1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：______；（从右边框内选一个选项，直接填序号） 依据2：______．（从右边框内选一个选项，直接填序号） ①圆内接四边形对角互补； ②对角互补的四边形四个顶点共圆； ③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； ④经过两点的圆的圆心在这两点所连线段的垂直平分线上； （2）如图3所示，在四边形中，，，则的度数为______．    42．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．在教材中学习了定理“圆内接四边形的对角互补”后，学习小组继续探究，提出猜想“对角互补的四边形四个顶点共圆”并尝试用反证法进行验证． 【验证猜想】 已知：四边形中， 求证：A、B、C、D四点共圆 证明：过点A、B、D作，假设点C不在上，则点C在外或内 若点C在外，如图1，设交于，连接，则． 四边形是的内接四边形， ． ， 与矛盾，故点C不可能在圆外； 若点C在圆内， …… （1）在图2中，用直尺和圆规作出过点A，B，D的圆，参考以上思路补全图形并完成后续证明； 【深入探究】 得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”是真命题后，继续思考，四点共圆还可以有其他的条件吗？请你在此基础上展开探究： （2）如图3，在线段同侧有两点C，D，连接，，，．如果，那么A、B、C、D四点共圆，请完成证明（如需辅助圆，画出示意图即可）； 【结论应用】 应用以上结论，解决下列问题： （3）如图4，在四边形中，，，则________； （4）如图5，中，点E在上，连接，作点B关于的对称点，连接，，求的度数； 【拓展延伸】 （5）如图6，，，点D为平面内一动点，连接、，若始终有，当四边形周长最大时，与的数量关系是多少？（直接写出答案）． 43．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？ ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）； ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图③）； ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图④）． (1)在图①、②中，取的中点O，根据 得，即A，B，C，D共圆， (2)在图③中，画经过点A，B，C（图⑤）．假设点D落在外，交于点 E，连接，可得，得出矛盾；同理点D也不会落在内（图⑥），即A，B，C，D共圆．结论同理可证．请你利用“反证法”证明结论，在图⑦和图⑧中选择一个证明点C在圆上； (3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点； 已知：如图⑨，锐角三角形的高相交于点H，射线交于点F． 求证：是的高．（连接，补全以下证明框图） (4)如图⑩，点P是外部一点，过P作直线的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上，求证：点P在的外接圆上． 44．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图像经过点A、B．    (1)　　，　　； (2)若点M是第三象限内抛物线上的一动点，过点M作垂直于x轴，垂足为点C，交直线于点D，连接，当时： ①求点M的坐标； ②直线上是否存在点E，使为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． (3)抛物线上是否存在点N（不与点A、B重合），使得O、A、B、N四点共圆，如果存在求出点N的坐标，如果不存在，请说明理由． 45．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）综合与实践 数学活动课上，小聪在老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动． 【提出问题】如图，在线段同侧有两点，连接，，如果，那么四点在同一个圆上． 探究展示： 设是的外接圆 如图，假设点在内，延长交于点，连接 点在上，（    ） 在中， 这与已知条件矛盾 ∴点不在内如图，假设点在外，……； 综上所述，作的外接圆，点在上，即，，，四点共圆． 【归纳结论】 （1）上述探究过程中的括号内填的依据是______； （2）如图，请你帮助小聪按照上面的思路，写出该证明的省略部分； 【结论运用】 （3）已知四边形中， ①如图，点和点在同侧，交于点的延长线交于点，若，请判断与的数量关系，并说明理由； ②如图，若平分，记的值是否会发生改变，如果不发生改变，请求出其值，如果发生改变，请求出的取值范围． 题型9 圆外一点到圆上距离最值（中点轨迹）（共15小题） 【模型】圆外一点与圆上动点的中点轨迹 特征：P 在圆外，M 为圆上动点，Q 为 PM 的中点。 方法：Q 的轨迹是一个以 OP 中点为圆心、半径 r/2 的圆；OQ 的最小值＝|O 到新圆心距离 − 新半径|。 【易错】中点的轨迹圆半径是原圆半径的一半、圆心是 OP 中点，二者都易写错；外离情形最小值取“两心距减半径”。 46．（25-26九年级上·河南商丘·期中）如图，在正方形中，，，分别是边和上的动点，且，与交于点，连接，则的最小值是_________． 47．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在正方形中，，点E，F分别在上，相交于点G，连结．当点E从点C运动到点D的过程中，的最小值为_____． 48．（24-25九年级下·河南商丘·期中）如图，在等腰三角形中，，，D为平面内一点，连接，，且，连接，则的最小值为______，最大值为______． 49．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，，点C是平面内一动点，且，连接，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为________． 50．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，，，点是内部一点，且，连接，则长的最小值为________ 51．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，中，，，则的最大面积是______，若的中点是，那么中线的最大值是______． 52．（25-26九年级上·贵州黔南·期中）如图，P为矩形外一点，且点P到的中点O的距离为1，，当线段绕点O旋转时，的最大值为______． 53．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，为矩形内一点，连接，，，，，，则的最小值为______． 54．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在矩形中，，点E在上，，在矩形内找一点P．使得，则_____，线段的最小值为____． 55．（24-25九年级上·广东汕尾·期中）如图，已知正方形中，两动点和分别从顶点、同时出发，以相同的速度沿、向终点、运动，连接、，交于点，再连接，若，则长的最小值为_____． 56．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图中，，是射线上的动点，连接，以为斜边向上作直角，使得，则的最小值是______． 57．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知，等腰三角形中，底角，边，取底边上的一个动点D，连接．将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接、和．当线段取得最小值时，在直线上取一点M，连接，将沿直线翻折，得到，点A的对应点为H，则线段的最小值为_______． 58．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，，线段绕点B旋转到，连接，E为的中点，连接，则的最大值是______ ． 59．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形，以为腰向正方形内部作等腰，且，过点E作于点F，点P是的内心，连接，，，若，则的最小值为______． 60．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，已知正方形，以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点E作于点F，若点P是的内心，，连接，则的最小值是______． $