专题02常见的隐圆模型专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题02隐圆模型 1、 到定点的距离等于定长 1．已知是坐标原点，若圆上有2个点到的距离为2，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，若点满足，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D． 2、 阿波罗尼斯圆模型(简称阿氏圆)：平面内到两个定点，的距离之比为常数（且）的动点的轨迹是圆 ，且 3．已知圆的直径，动点与的距离是它与的距离的倍，当面积最大时，（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 4．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为________ 3、 到两定点距离的平方和为定值（） 5．已知点，若直线上存在点M，使则实数k的取值范围是______. 6.已知四点共面，，，，则的最大值为_____ 4、 到两定点的夹角为90（常结合直线垂直的斜率关系或向量数量积为0） 7．已知直线和，和的交点记为，若点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知平面向量满足，则的取值范围是__________. 5、 边与对角为定值、对角互补、数量积定值 9．在平面直角坐标系xOy中，设，点P满足，动点Q满足，当时，点P的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 10．在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为（    ） A．27 B．16 C．10 D．25 11．设向量，，满足：，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 12．在平面直角坐标系中，点M在圆心为C的圆上．若动点P满足，则对于，点P到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 专题02常见隐圆模型答案解析 1．A【详解】将圆的方程化为标准方程得，所以. 到原点的距离为2的轨迹方程为，因为圆上有2个点到的距离为2，所以圆与圆相交，所以，又， 解得，即实数的取值范围为.故选：A. 2．D【详解】设，则，而，可得，而，，，则，， 即表示到点的距离，而由两点间距离公式得点到圆心的距离为，得到的最大值为，故D正确. 3．D【详解】以所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系如图所示.则由题可知，，则圆的方程为：.设动点，则根据可得，化简可得：，即动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.因为，所以当面积最大时，点坐标，当点的坐标为时，，，所以.当点的坐标为时，，，所以.故选：D. 4．【详解】如图所示，以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，不妨取，．设，则，整理得， 所以点的轨迹方程．， 其中可看作圆上的点到原点的距离的平方，所以，所以，即的最大值为.故答案为： 5．或【详解】设点，由，则，整理得，即点M在以原点为圆心，以2为半径的圆上，若直线上存在点M，使，则直线与圆有交点，故圆心到直线的距离小于等于半径；即，解得：或， 故答案为：或 6.以BC为x轴，BC中点O为原点建立平面直角坐标系，B（-1,0），C（1,0）设A（x,y），即+++=20,解得+=9,,（-1，）=3（x-1,y）,即,,代入得，+=81,点D是以（-2,0）为圆心，1为半径的圆，的最大值就是B点到圆心的距离加半径长，即+9=10 7．B【详解】直线过定点，直线过定点， 因为两直线始终保持相互垂直，因此交点的轨迹是以为直径的圆，且为圆心，半径，如下图所示：由于不包含直线，不包含直线，所以点轨迹不经过点，圆上的点到点距离最大值为，此时点的位置不在处，满足题意，故的最大值为.故选：B. 8． 【详解】因为，所以，，所以， 不妨取，，设，则，整理得，所以点在以为圆心，为半径的圆上， ，表示点到点的距离，又，所以的取值范围是． 9．A【详解】由题意，，设，则，化简得，所以点的轨迹是以圆心为，半径为的圆，设，由，得，化简得，故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆.由，得，代入，得，联立，解得，即点的纵坐标为.故选：A 10．A【详解】以D为坐标原点，DB,DC分别为x,y轴建立如图所示直角坐标系，则,因为，，所以由平面几何知识得A点轨迹为圆弧（因为为平面四边形，所以取图中第四象限部分的圆弧），设圆心为E,则由正弦定理可得圆半径为，因此对角线的最大值为故选：A 11．A【详解】由题意可得，，， ，又，， 设，，，则，， 又，， 、、、四点共圆， 当最大时，有，为该圆的半径，由，所以，在中，由正弦定理可得，当且仅当是的平分线时，取等号，此时的最大值为圆的直径大小为. 故选：A． 12．A【详解】圆C的方程变形为，圆心，半径， 又，，所以，即在方向上的投影为，所以，又，所以，则点P的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆，又直线恒过定点，所以， 则P到直线的距离的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $