6.7 格点多边形的面积（教案）-2026-2027学年人教版数学五年级上册

任务七　格点多边形的面积 教学目标 1．通过探究过程，认识格点多边形面积的含义，理解和掌握计算格点多边形面积的方法，能运用分割法、填补法进行检验，形成量感。 2．经历猜想—验证—总结的过程，拓展多边形面积的认知，初步认识皮克定理并能简单应用，培养几何直观与逻辑推理能力。 3．丰富学生数学学习的经验，激发探究多种多边形面积的兴趣，培养认真观察、理性严谨、多角度思考问题的学习品质。 教学重难点 1．认识格点多边形面积的含义，理解和掌握计算格点多边形面积的方法，形成量感。 2．激发探究多种多边形面积的兴趣，培养严谨理性、多角度思考问题的学习品质。 教学准备 课件、钉子板、学习任务单、点子图、直尺等。 目标落实 教师活动 学生活动 二次备课 通过已有多边形面积知识和方法经验，认识格点、边界格点、格点多边形、格点多边形面积的含义，理解边界格点数与面积格数的关系，提出研究问题，激发参与探究的兴趣。 一、谈话导入 1．观察钉子板上的图，这些图案都有什么共同特点？这样的多边形，应该叫什么名字？ 引导学生理解图中的点子，称为格点。顶点和边线都在格点上的图，也就是以格点为顶点画的多边形，称为格点多边形。 2．谁再说说，什么叫格点多边形？ 仔细观察，图形一周的格点数叫作边界格点数，每个图形的边界格点数分别是多少？每个图形的面积是几格？ 追问：由4个格点围成的正方形面积是1格，由4个格点围成的平行四边形的面积与它相等吗？ 师：平行四边形与正方形面积知识学得很扎实。继续汇报后面图形，边界格点数与面积格数是多少？ 3．发现格点数与面积格数有什么关系？ 4．下面这个格点多边形的面积是多少？想怎么解决？ 师：这想法真好，今天就研究格点多边形面积计算公式。 一、发现问题 预设1： 生1：这些图形的顶点和边线都在点子上。 生2：这些点子的分布同方格图的分布一样，都是由横线、竖线相交形成。 生3：点子图可以看成擦掉方格图的线段只留下交点的图。 生4：在点子图上的图形，就叫点子多边形。 生5：这些点子是按照方格规律排列的，应该叫格点多边形更合适。 预设2： 生1：多边形的顶点都在格点上的多边形，称为格点多边形。 生2：图（1）边界格点数是4，面积是1格。由4个格点围成的正方形与平行四边形的面积相等，因为它们等底等高，所以二者面积相等。 生3：图（2）边界格点数是6，面积是2格。 图（3）边界格点数是8，面积是3格。 图（4）边界格点数是10，面积是4格。 图（5）边界格点数是4，面积是1格。 图（6）边界格点数是6，面积是2格。 图（7）边界格点数是8，面积是3格。 图（8）边界格点数是14，面积是6格。 预设3：边界格点数÷2－1＝面积格数 预设4：生1：图形不规范，没法直接数面积格；可以通过分割平移、添补等方法计算。 生2：这些方法的过程比较繁琐。如果可以推导出格点多边形的面积计算公式，就会简单很多。 经历格点多边形面积计算公式的推导过程，理解多边形面积与它的边界格点数、内部格点数之间的关系，掌握求格点多边形面积的方法，拓宽多边形面积的视野，激发探究数学的乐趣，提升量感、几何直观和推理意识。 二、引导合作 活动一：探究格点多边形面积计算公式 1．你认为格点多边形的面积计算公式与什么有关？想怎么研究？ 引导学生独立思考解决路径和方法，提升探究能力。 2．小组合作。首先在点子图上，任意画出内部格点数分别为1、2、3……的格点多边形。也可以选择老师给的图，数一数，算一算，面积数、边界格点数、内部格点数间存在什么关系？计算公式是什么？ 3．哪一组研究内部格点数是1的多边形，研究成果是什么？ 适时板书： 内部格点数是1： 4．哪一组研究内部格点数是2和3的多边形？研究成果又是什么？ 适时板书： 内部格点数是2或3： 5．能推理出计算公式了吗？如果用a表示多边形内部格点数，用b表示边界格点数，那么格点多边形的面积公式用字母怎么表示？ 适时板书： 面积＝内部格点数＋边界格点数÷2－1 S＝a＋b÷2－1 二、探究问题 活动一：探究格点多边形面积计算公式 预设1： 生1：面积应该与边界格点数和内部格点数有关。 生2：想画一些图，有边界格点数、有内部格点数的图，数一数、算一算，看看存在什么规律。 预设2：小组合作开展活动，先画图，再计算，然后发现规律，完成学习任务单： 预设3： 生1：图（1）的边界格点数是9，内部格点数是1，面积是4．5格，关系是面积数＝内部格点数＋边界格点数÷2－1＝1＋9÷2－1＝4．5。 生2：图（2）的边界格点数是6，内部格点数是1，面积是3格。关系是面积数＝内部格点数＋边界格点数÷2－1＝1＋6÷2－1＝3。 生3：图（3）的边界格点数是12，内部格点数是1，面积是6格。关系是面积数＝内部格点数＋边界格点数÷2－1＝1＋12÷2－1＝6。 生4：图（4）的边界格点数是14，内部格点数是1，面积是7格。关系是面积数＝内部格点数＋边界格点数÷2－1＝1＋14÷2－1＝7。预设4： 生1：图（1）的边界格点数是4，内部格点数是2，面积是3格，关系是面积数＝内部格点数＋边界格点数÷2－1＝2＋4÷2－1＝3。 图（2）的边界格点数是6，内部格点数是2，面积是4格。关系是面积数＝内部格点数＋边界格点数÷2－1＝2＋6÷2－1＝4。 图（3）的边界格点数是8，内部格点数是2，面积是5格。关系是面积数＝内部格点数＋边界格点数÷2－1＝2＋8÷2－1＝5。 图（4）的边界格点数是14，内部格点数是2，面积是8格。关系是面积数＝内部格点数＋边界格点数÷2－1＝2＋14÷2－1＝8。 生2：图（5）的边界格点数是7，内部格点数是3，面积是5．5格，关系是面积数＝内部格点数＋边界格点数÷2－1＝3＋7÷2－1＝5．5。 图（6）的边界格点数是8，内部格点数是3，面积是6格。关系是面积数＝内部格点数＋边界格点数÷2－1＝3＋8÷2－1＝4。 图（7）的边界格点数是11，内部格点数是3，面积是7．5格。关系是面积数＝内部格点数＋边界格点数÷2－1＝3＋11÷2－1＝7．5。 图（8）的边界格点数是12，内部格点数是3，面积是8格。关系是面积数＝内部格点数＋边界格点数÷2－1＝3＋12÷2－1＝8。 预设5：格点多边形面积计算公式就是：面积＝内部格点数＋边界格点数÷2－1。 通过解决问题、验证问题的过程，巩固格点多边形面积计算公式，养成严谨理性的学习品质，提升综合素养。 活动二：运用格点多边形面积计算公式解决问题 1．这个格点多边形的面积会计算了吗？ 引导学生先数，再算。注意是边界格点数除以2，不要混淆。 2．能否验证以下这个公式的正确性？用什么方法？怎么验证？ 分割法： S1＋S2＋S3＋S4＝14．5 添补法： 24－S1－S2－S3－S4＝14．5 活动二：运用格点多边形面积计算公式解决问题 预设1：先数一数，边界格点数是7，内部格点数是12。S＝a＋b÷2－1＝12＋7÷2－1＝14．5。 预设2： 生1：我采用分割法验证，把它分割成四部分，S1＝2×3÷2＝3；S2＝1×3÷2＝1．5；S3＝（3＋2）×1÷2＝2．5；S4＝（2＋3）×3÷2＝7．5；S1＋S2＋S3＋S4＝14．5。与公式求法答案一致，正确。 生2：还可以采用添补法，先计算外侧长方形的面积4×6＝24，再减去外沿部分的4个小三角形面积，S1＝2×3÷2＝3；S2＝4×1÷2＝2；S3＝2×3÷2＝3；S4＝3×1÷2＝1．5；24－S1－S2－S3－S4＝24－3－2－3－1．5＝14．5。与公式求法答案一致，正确。 通过分层练习，巩固格点多边形面积计算公式应用，提升分析问题、解决问题的能力和应用意识。 三、辅导练习 1．基础练习 一个格点多边形，内部格点数a＝5，边界格点数b＝4，求面积。 2．变式练习 某格点五边形，内部格点数a＝4，边界格点数b＝10，求面积。 3．提升练习 一个格点多边形面积为8，内部格点数a＝5，求其边界格点数b。 引导学生逆向思维，运用公式解决问题，提升举一反三的能力。 三、解决问题 1．基础练习 预设：5＋4÷2－1＝6 2．变式练习 预设：4＋10÷2－1＝8 3．提升练习 预设：8＋1－5＝4 4×2＝8 通过回顾反思，引导学生养成自觉反思的良好学习习惯。 四、引导反思 通过本节课的学习，有什么收获？ 学生回顾总结格点多边形面积的推导过程，并展示自学材料，了解这个方法于1899年由奥地利数学家皮克证明，因此被称为皮克定理。 四、提升问题 预设1：认识格点多边形，并知道了利用公式S＝a＋b÷2－1，可以计算格点多边形的面积。 预设2：学会了分割、添补的验证方法。 板书设计 格点多边形的面积 内部格点数是1： 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $