专题03 旋转（知识&考点&公式&12高频&3易错&4重难&4模型，期中知识清单）九年级数学上学期新教材人教版五四制

专题03 旋转 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(8类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(12类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(4类) 答题类 解题模型清单(3类) 答题技巧清单 知识点01 旋转的概念 1.旋转：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角． 2.旋转的三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向． 3.如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 知识点02 旋转的性质 1.对应点到旋转中心的距离相等． 2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 3.旋转前、后的图形全等． 4.旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置． 知识点03 旋转作图 1.旋转作图的三个关键步骤：确定旋转中心、旋转角和旋转方向； 作出原图形各关键点的对应点；按原图形的连接方式连接各对应点，得到旋转后的图形． 2.找旋转中心的方法：作对应点连线段的垂直平分线，其交点即为旋转中心． 知识点04 中心对称 1.中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称，这个点叫做对称中心． 2.中心对称的性质：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分；两个图形全等． 知识点05 中心对称图形 1.中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 2.中心对称与中心对称图形的区别：中心对称是对两个图形而言，中心对称图形是对一个图形而言． 3.常见的中心对称图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、正偶数边形、线段等． 知识点06 关于原点对称的点的坐标与图案设计 1.关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P′（－x，－y）． 2.图案设计：利用平移、旋转、轴对称（或它们的组合）可以设计出许多美丽的图案． 3.旋转对称图形：绕着某点旋转一定角度后能与自身重合的图形，称为旋转对称图形． 考点01 旋转的概念与识别 考点内容：旋转的定义；旋转的三要素；识别一个图形变换是否为旋转． 常见考法： ①判断图形变换是否属于旋转，确定旋转中心、旋转角和旋转方向； ②由旋转角、对应点关系求角度或线段长度； ③判断旋转后的图形与原图形的关系． 考点02 旋转的性质 考点内容：对应点到旋转中心距离相等；对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角；旋转前后图形全等． 常见考法： ①利用对应点到旋转中心距离相等求线段； ②利用对应点连线夹角等于旋转角求角度； ③结合全等求线段长、面积或证明． 考点03 旋转作图 考点内容：按要求作出旋转后的图形；找旋转中心． 常见考法： ①按给定旋转中心、旋转角、方向作旋转后的图形； ②由对应点确定旋转中心和旋转角； ③旋转与网格、坐标系结合作图． 考点04 中心对称 考点内容：中心对称的定义；中心对称的性质（对称点连线过对称中心且被平分）． 常见考法： ①判断两个图形是否关于某点中心对称； ②求对称中心的坐标或对称点的坐标； ③利用中心对称性质证明或求线段、面积． 考点05 中心对称图形 考点内容：中心对称图形的概念；常见中心对称图形的识别；与中心对称的区别． 常见考法： ①判断一个图形是否为中心对称图形； ②区分中心对称与中心对称图形； ③中心对称图形与轴对称图形综合判断． 考点06 关于原点对称的点的坐标 考点内容：关于原点对称的点的坐标规律；坐标系中的旋转与图案设计． 常见考法： ①求某点关于原点对称的点的坐标； ②结合坐标系求旋转90°、180°后的点的坐标； ③利用旋转设计或识别图案． 1. 旋转的性质与中心对称 序号 名称 结论（几何语言） 说明 1 旋转的定义 图形绕某点O转动一个角度 点O为旋转中心，转动的角为旋转角 2 旋转三要素 旋转中心、旋转角、旋转方向 三者缺一不可 3 旋转的性质① 对应点到旋转中心距离相等 对应点都在以旋转中心为圆心的圆上 4 旋转的性质② 对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角 可用来求角度 5 旋转的性质③ 旋转前后图形全等 形状、大小不变，位置改变 6 中心对称 图形绕某点旋转180°后与另一图形重合 对称点连线过对称中心且被平分 2. 中心对称图形、坐标与图案 序号 名称 结论（几何语言） 说明 7 中心对称图形 图形绕对称中心旋转180°后与自身重合 对称中心在图形内部或边上 8 原点对称的坐标 点P（x，y）关于原点的对称点为P′（－x，－y） 横、纵坐标都变为相反数 辨析01 旋转必须明确三要素 图形的旋转由旋转中心、旋转角、旋转方向三个要素决定，三者缺一不可．只说明“旋转”而不指明旋转中心、旋转角与方向，不能确定旋转后的图形． 辨析02 对应点到旋转中心距离相等 旋转前后，任意一对对应点到旋转中心的距离都相等．据此可在旋转图形中找出相等线段，注意对应点与旋转中心的连线夹角等于旋转角． 辨析03 旋转不改变图形的形状与大小 旋转前后的两个图形全等，只是位置发生改变．旋转不是“对称”，也不能只改变图形的一部分，它是对整个图形的变换． 辨析04 旋转角是所有对应点连线夹角的统称 旋转角等于任意一对对应点与旋转中心连线所夹的角．不要误以为旋转角是某个具体线段的夹角，所有对应点的旋转角都相等． 辨析05 中心对称是特殊的旋转 中心对称就是旋转角为180°的旋转．两个图形关于某点中心对称，实际是绕该点旋转180°后重合，因此中心对称具备旋转的一切性质． 辨析06 对称点连线被对称中心平分 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分．据此可求对称中心的坐标（对应点连线的中点）． 辨析07 中心对称与中心对称图形不要混淆 中心对称是对两个图形而言，指两个图形关于某点对称；中心对称图形是对一个图形而言，指一个图形绕某点旋转180°后与自身重合． 辨析08 关于原点对称的坐标规律 点P（x，y）关于原点的对称点坐标为（－x，－y），横、纵坐标都变为相反数．注意与关于x轴、y轴对称的区别：关于x轴对称是纵坐标变号，关于y轴对称是横坐标变号． 辨析09 中心对称图形与轴对称图形不要混淆 轴对称图形是沿一条直线折叠后两部分重合，中心对称图形是绕一个点旋转180°后与自身重合．菱形、正方形、圆既是轴对称图形又是中心对称图形；等边三角形只是轴对称图形． 辨析10 旋转作图要按三要素进行 旋转作图必须先确定旋转中心、旋转角和旋转方向，再依次作出各关键点的对应点，最后按原图形顺序连接．找旋转中心可作对应点连线段的垂直平分线，其交点即旋转中心． 【题型一】判断生活中的旋转现象 【例1】（25-26七年级下·河南周口·期末）下列图形的运动，属于旋转的是（     ） A．电梯上下运行 B．推拉窗户 C．钟表指针转动 D．滑雪板直线滑行 【答案】C 【详解】解：旋转是图形绕定点转动的图形变换，平移是图形沿直线移动的变换， A：电梯上下运行，属于平移变换，故该选项不合题意； B：推拉窗户，属于平移变换，故该选项不合题意； C：钟表指针绕钟表中心定点转动，属于旋转，故该选项符合题意； D：滑雪板直线滑行，属于平移变换，故该选项不合题意． 【变式1-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列运动属于旋转的有（   ） A．钟表上的时针运动 B．国旗上升的过程 C．传输带运输的东西 D．飞驰的火车 【答案】A 【详解】解：A．钟表上的时针运动，属于旋转，符合题意； B．国旗上升的过程，属于平移，不符合题意； C．传输带运输的东西，属于平移，不符合题意； D．飞驰的火车沿轨道移动，属于平移，不符合题意． 【变式1-2】有以下现象： ①温度计中，液柱的上升或下降； ②打气筒打气时，活塞的运动； ③钟摆的摆动； ④风车轮的每个叶片在风的吹动下移动到新的位置． 其中不属于旋转的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】A 【分析】旋转定义：在平面内，把一个图形绕某一定点转动一个角度的图形变换叫做旋转，根据旋转定义逐一判断各现象，即可找出不属于旋转的选项. 【详解】解：①温度计中液柱的上升或下降是沿直线的平移运动，不属于旋转； ②打气筒活塞的运动是沿直线的平移运动，不属于旋转； ③钟摆的摆动是绕悬挂定点转动，属于旋转； ④风车轮叶片绕中心转动移动到新位置，属于旋转.， 故不属于旋转的是①②. 【题型二】判断由一个图形旋转而成的图案 【例2】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）下列选项所示的图案中，可以看作由某个“基本图案”绕某个点旋转得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察各选项图形，判断是否存在一个基本图案绕某点旋转一定角度后能与自身重合即可． 【详解】解：A. 该图形可以看作由一个菱形绕中心旋转，后得到，符合题意； B、C、D均不能由某个基本图案绕某点旋转得到，不符合题意． 【变式2-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列选项中，不能由如图在同一平面内经过旋转得到的 是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换．根据把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换，可得答案． 【详解】解：A由图顺时针旋转得到，故A正确； B由图逆时针旋转得到，故B正确； C由图无法旋转得到，故C错误； D由图顺时针旋转得到，故D正确． 故选：C． 【变式2-2】在下列绿色食品，回收，节能，节水四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的 是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了运用旋转设计图案，通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转，进而判断得出即可，正确理解旋转图形的特点是解题的关键． 【详解】解：、不是通过一个基本图形旋转得到的，不符合题意； 、是通过一个基本图形经过旋转得到的，符合题意； 、不是通过一个基本图形旋转得到的，不符合题意； 、不是通过一个基本图形旋转得到的，不符合题意； 故选：． 【题型三】 确定旋转中心、旋转角、对应点 【例3】如图，图形F（     ）得到图形 A．先绕点O顺时针旋转，再向左平移5格 B．先绕点O逆时针旋转，再向右平移5格 C．先向左平移5格，再绕点O逆时针旋转 D．先向左平移5格，再绕点O顺时针旋转 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，平移的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 由平移的性质和旋转的性质可求解． 【详解】解：图形先向左平移5格，再绕点逆时针旋转可得图形， 故选：C． 【变式3-1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，顺时针旋转到的位置（点，，的对应点为点，，），则旋转中心及旋转角分别是（     ） A．点， B．点， C．点， D．点， 【答案】D 【分析】根据两组对应点连线的交点是旋转中心，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即可得出答案． 【详解】解：由图形可知：绕着点顺时针旋转得到， ∴旋转中心及旋转角分别是点，旋转角为． 【变式3-2】（25-26八年级下·山东潍坊·期末）游乐园中“海盗”船（图1）围绕顶端横梁左右摇摆，给游客带来奇妙的运动体验．小莹同学绘制了“海盗”船在两个不同时刻摇摆状态的侧面示意图（图2），横梁可视为一点，那么在小莹的绘画中横梁应是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】根据旋转中心在对应点所连线段的中垂线上进行逐一判断即可． 【详解】解：由题意可知，四边形与四边形成旋转对称，其旋转中心为M． 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，的坐标为，点的坐标为，线段绕点旋转一定的角度后与线段重合均为格点，的对应点是点，则旋转中心点的坐标为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形变换旋转，画出平面直角坐标系，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心点． 【详解】解：作的垂直平分线交于点， 点即为旋转中心，． 【题型四】 求旋转图形中相关角度的大小 【例4】（25-26七年级下·湖南湘潭·期末）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得旋转角，再根据三角形的内角和求解即可． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转，得到， ∴， 又∵， ∴． 【变式4-1】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，将绕点顺时针旋转一定度数得到，连接，若，，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】利用旋转的性质得到对应边和对应角的关系，由此得到是等腰三角形，再利用三角形外角定理得到的度数，然后可计算得到的度数，最终求得的度数． 【详解】解：，， ． 由绕点顺时针旋转一定度数得到可得，， , ． 【变式4-2】（26-27九年级上·北京·开学考试）如图，在中，，将绕着点逆时针旋转得到，使点落在上．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，由旋转的性质得出，，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵将绕着点逆时针旋转得到， ∴，， ∵点落在上， ∴， ∴． 【题型五】求旋转图形中线段的长度 【例5】如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转度得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，则的长为（    ）    A．1.4 B．1.6 C．1.8 D．2 【答案】B 【分析】根据旋转变换的性质得到，根据等边三角形的性质解答即可． 【详解】解：由旋转的性质可知，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键． 【变式5-1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，此时点A′恰好落在AB边上，则点B′与点B之间的距离为（　　） A． B． C．4 D．2 【答案】B． 【分析】先由旋转性质得AC＝A′C，BC＝B′C，∠B′CB＝∠A′CA，再证明△ACA′、△BCB′是等边三角形，得到BB′＝BC，再根据含30度角的直角三角形的性质求解BC即可． 【详解】解：由旋转性质得AC＝A′C，BC＝B′C，∠B′CB＝∠A′CA， ∵∠A＝60°， ∴△ACA′是等边三角形， ∴∠A′CA＝60°，则∠B′CB＝60°， ∴△BCB′是等边三角形， ∴BB′＝BC， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝4， ∴， ∴，即， 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质和等边三角形的性质是解答的关键． 【变式5-2】如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，连接CC'，DC'，若∠CC'D＝90°，C'D＝2，则线段BC的长度为（　　） A．4 B．5 C． D． 【答案】D． 【分析】过点B作BE⊥CC'于点E，证明△BCE≌△CDC'（AAS），由全等三角形的性质得出CE＝C'D，由旋转的性质及等腰三角形的性质求出CC'＝4，由勾股定理可得出答案． 【详解】解：过点B作BE⊥CC'于点E， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝90°， ∴∠BCE+∠C'CD＝90°， ∵∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠C'CD＝∠CBE， 又∵∠BEC＝∠CC'D， ∴△BCE≌△CDC'（AAS）， ∴CE＝C'D， ∵将边BC绕点B逆时针旋转至BC'， ∴BC＝BC'， 又∵BE⊥CC'， ∴CE＝C'E＝C'D＝2， ∴CC'＝4， ∴CD2， ∴BC＝2． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 题型六 在平面直角系中根据旋转求坐标 【例6-】如图，已知，将先向左平移4个单位，再绕原点O顺时针旋转得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的平移和旋转．根据平移和旋转的性质作图后即可得到答案． 【详解】解：如图，即为所求， 将先向左平移4个单位后坐标为，再绕原点O顺时针旋转得到点的坐标是 故选：A． 【变式6-1】如图所示，在正方形网格中，格点的三个顶点坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转，得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，坐标与图形．先根据的三个顶点坐标画出平面直角坐标系，再根据旋转方向、旋转中心及旋转角，找到，结合直角坐标系可得出点的坐标． 【详解】解：如图所示： 结合图形可得点的坐标为． 故选：A． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，，点为坐标原点，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，结合旋转的性质，构造，推出，，结合点B所在象限，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D， 则， ， ，， 由旋转得，， ， ， ， ， 在和中， ， ，， 点B在第四象限， 点的坐标为． 题型七 中心对称的概念和性质 【例7-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的定义． 把一个图形绕着某个点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，由此即可判断． 【详解】解：A、两个三角形成中心对称，符合题意； B、两个三角形不成中心对称，不符合题意； C、两个三角形不成中心对称，不符合题意； D、两个三角形不成中心对称，不符合题意； 故选：A． 【变式7-1】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图所示，下列四组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据中心对称的定义逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， A选项图形不是中心对称图形，不符合题意， B选项图形不是中心对称图形，不符合题意， C选项图形不是中心对称图形，不符合题意， D选项图形是中心对称图形，符合题意， 故选：D； 【点睛】本题考查中心对称的定义：将一个图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形． 【变式7-2】（23-24九年级上·云南曲靖·阶段检测）下列各组图形中，不成中心对称的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题重点考查了两个图形成中心对称的定义，欲分析两个图形是否成中心对称，主要把题目中一个图形绕一个点旋转，观察是否能和另一个图形重合即可，熟练掌握其定义是解决此题的关键． 【详解】根据中心对称的概A、B、C都是中心对称，不符合题意； D是轴对称，不成中心对称，符合题意． 故选：D． 【变式7-3】（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（     ） ①点与点关于点对称；②；③；④ A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】根据中心对称的性质求解即可． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点对称，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴符合题意的有①②③． 题型八 中心对称图形的识别 【例8】（26-27九年级上·云南昆明·阶段检测）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的 是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A选项、它是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B选项、它既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C选项、它不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D选项、它是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 【变式8-1】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人艺术与智慧的结晶，下面纹样的示意图中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断．轴对称图形是指一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；中心对称图形是指一个图形绕着一个点旋转，旋转后的图形能与原来的图形重合． 【详解】解：选项A：该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 选项B：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意； 选项C：该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 选项D：该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意． 故选：． 【变式8-3】（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 题型九 中心对称图形的性质 【例9】如图，与关于点成中心对称，连接、，以下结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据与关于点成中心对称，即可得到，进而得到正确结论． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，故选项B不符合题意； ∴，，故选项C不符合题意； ∴， ∴，故选项D不符合题意； 而和不是对应边，不一定相等，故选项A符合题意； 故选：A． 【变式9-1】如图，在矩形中，，，是矩形的对称中心，点、分别在边、上，连接、，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接AC，BD，过点O作于点，交于点，利用勾股定理求得的长即可解题． 【详解】解：如图，连接AC，BD，过点O作于点，交于点， 四边形ABCD是矩形， 同理可得 故选：D． 【点睛】本题考查中心对称、矩形的性质、勾股定理等知识，学会添加辅助线，构造直角三角形是解题关键． 【变式9-2】（25-26八年级下·湖南湘西·期中）在平行四边形中，、为对角线，、、都经过对角线的交点，若，边上的高为，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的中心对称性得到经过对角线交点的直线平分平行四边形面积，进而求出阴影部分的面积. 【详解】解：， 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心， 根据中心对称的性质：经过对称中心的直线，会把平行四边形分成完全全等（面积相等）的两部分，且关于对称中心对称的两个图形，面积一定相等， 本题中、、都经过对角线的交点（对称中心），因此每一块阴影区域，都存在一块和它关于对称中心中心对称的空白区域，二者面积相等； 由此可推：所有阴影部分的面积之和平行四边形面积的一半， . 【变式9-3】（2026·江西上饶·三模）如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是5和3，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由正方形和正方形的对称中心都是点O，可得四边形，四边形，四边形，四边形的面积相等，与的面积相等，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，连接， ∵正方形和正方形的对称中心都是点O， ∴四边形，四边形，四边形，四边形的面积相等，与的面积相等， ∴阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形面积的， ∴阴影部分的面积是. 题型十 求关于原点对称的点的坐标 【例10】（26-27九年级上·湖北·期中）如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质和关于原点对称的点的坐标特点，即可求解． 【详解】解：∵平行四边形的对角线交点在原点， ∴， 即A、C两点关于原点对称， ∵， ∴． 【变式10-1】（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知点，那么点关于原点的对称点的坐标 是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点的坐标为， 点关于原点的对称点的坐标为． 【变式10-2】已知，，则点关 于原点对称的点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．利用非负数的性质求出和的值，再根据关于原点对称的点的坐标特征求解． 【详解】解：∵， 且，， ∴且， ∴，， ∴点的坐标为． 点关于原点对称的点的坐标为． 故选：B． 题型十一 利用关于原点对称的点的坐标特征求字母的值 【例11】（26-27九年级上·全国·单元复习）若点与点关于原点对称，则的值为（     ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】先根据关于原点对称的点的坐标特点，得到，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， 解得， ∴． 【变式11-1】平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是，则 ． 【答案】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出x，y的值即可答案． 【详解】解：与点关于原点对称的点的坐标是：． ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了关于点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键． 【变式11-2】已知、两点，若A、B两点关于原点对称，则______． 【答案】0 【分析】根据A、B两点的关系求出m和n，然后可以得解．　 【详解】解：由题意可得： ∴ ∴ 故答案为0． 【点睛】本题考查幂的综合应用，熟练掌握幂的意义及关于原点对称的点的坐标关系是解题关键. 题型十二 综合利用平移、轴对称、旋转设计图案 【例12】认真观察图中阴影部分构成的图案，回答下列问题． (1)请你写出这四个图案都具有的三个共同特征； (2)请在下面所给的两个网格纸中分别设计出一个图案（用阴影表示），使它也具备你所写出的上述三个特征． 【答案】(1)特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些阴影图案的面积都等于4个小正方形的面积（只要答案正确即可） (2)见解析 【分析】本题考查图形的设计，轴对称图形，图形的折叠，中心对称图形． （1）根据轴对称图形以及中心对称的定义解答：沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；绕一个点旋转后所得的图形与原图形完全重合的图形叫做中心对称图形； （2）画出同时满足轴对称图形和中心对称图形的图形即可． 【详解】（1）解：特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些阴影图案的面积都等于4个小正方形的面积； （2）解：满足条件的图案有很多，这里画三个，三个都具有上述特征，如图所示： 【变式11-1】在的方格内选5个小正方形，让它们组成一个轴对称图形，请在图中画出你的3种方 案．（每个的方格内限画一种） 要求：    （1）5个小正方形必须相连（有公共边或公共顶点视为相连）； （2）将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形（若两个方案的图形能够重合，视为一种方案） 【答案】见解析 【分析】直接利用轴对称图形的性质以及结合平移的性质、旋转的性质分别分析得出答案． 【详解】解：如图所示：    【点睛】此题主要考查了旋转变换以及轴对称图形的性质，正确掌握相关图形性质是解题关键． 【变式11-2】（24-25九年级上·吉林四平·期末）如图所示，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观 察图（1）中的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题： (1)图（1）中的三个图案都具有以下共同特征：都是 对称图形，都不是 对称图形．（选填“轴”或“中心”） (2)请在图（2）中设计出一个面积为4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图（1）中所给出的图案相同，并将所画图案涂上阴影． 【答案】(1)中心，轴 (2)见解析 【分析】本题考查中心对称图形，利用旋转设计图案，解题的关键是理解中心对称图形的定义，属于中考常考题型． （1）观察三个图形，利用中心对称和轴对称的性质即可解答； （2）根据中心对称的性质设计图案即可． 【详解】（1）图（1）中的三个图案都具有以下共同特征：都是中心对称图形，都不是轴对称图形； 故答案为：中心，轴； （2）如图所示：答案不唯一（或面积是4的平行四边形、正方形等）， ． 【题型一】忽视旋转三要素而致错 【例1】如图，绕点逆时针旋转得到，下列结论正确的是（     ） A．与是对应点 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴点A与点D是对应点，点C与点F是对应点，故A选项错误； 与，与是对应线段，则，，故B选项错误； 与是旋转角，，则，即，故C选项正确； 无法判断，的位置关系，故D选项错误． 易错警示 判断图形变换是否为旋转时，必须确认旋转中心、旋转角、旋转方向三要素是否明确；旋转角不一定是图形转过的“总角度”，而是对应点连线夹角的度数． 【变式1-1】（25-26八年级下·河南平顶山·期末）将下列图形绕其中心旋转，当图形第一次与其自身重合时，旋转角最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出图形绕其中心旋转，当图形第一次与其自身重合时的旋转角即可求出答案． 【详解】解：A. 该图形旋转的整数倍，就可以与自身重合，当图形第一次与其自身重合时，旋转角是； B.该图形旋转的整数倍，就可以与自身重合，当图形第一次与其自身重合时，旋转角是； D.该图形旋转的整数倍，就可以与自身重合，当图形第一次与其自身重合时，旋转角是； 即当图形第一次与其自身重合时，旋转角最大的是D． 【变式1-2】（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，下列角中不是旋转角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：菱形绕点顺时针旋转后得到菱形， ，，为旋转角，不是旋转角． 【题型二】漏解中心对称与中心对称图形混淆 【例2】古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，根据如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，解答本题即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 易错警示 中心对称是对两个图形而言，中心对称图形是对一个图形而言；判断图形是否为中心对称图形，要看它绕某点旋转180°后能否与自身重合，而不是看两个图形的对称关系． 【变式2-1】下列图形中，成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了成中心对称的概念，熟练掌握知识点是解题的关键，把一个图形绕着一个定点旋转后，和另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这点对称，也叫做这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．据此即可求解． 【详解】解：A、两个图形成中心对称，符合题意； B、两个图形不成中心对称，不符合题意； C、两个图形不成中心对称，不符合题意； D、两个图形不成中心对称，不符合题意； 故选：A． 【变式2-2】如图，若与关于某个点对称，则这个点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题主要考查了关于点对称的图形的特点，关于一个点对称的两个图形的对应点连线交于一点，据此求解即可． 【详解】解：∵关于某点对称的两个图形的对应点连线交于一点， ∴若与关于某个点对称，则这个点是点， 故选：A． 【题型三】坐标变换时符号处理错误 【例3】在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，4），那么下列说法正确的是（　　） A．点A与点B（﹣3，﹣4）关于y轴对称 B．点A与点C（3，﹣4）关于x轴对称 C．点A与点E（﹣3，4）关于第二象限的平分线对称 D．点A与点F（3，﹣4）关于原点对称 【答案】D 【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反；关于第二象限角平分线的对称的两点坐标的关系，纵横坐标交换位置且变为相反数可得答案． 【详解】解：A、点A的坐标为（-3，4），∴则点A与点B（-3，-4）关于x轴对称，故此选项错误； B、点A的坐标为（-3，4），∴点A与点C（3，-4）关于原点对称，故此选项错误； C、点A的坐标为（-3，4），∴点A与点E（-3，4）重合，故此选项错误； D、点A的坐标为（-3，4），∴点A与点F（3，-4）关于原点对称，故此选项正确； 故选D． 【点睛】此题主要考查了关于xy轴对称点的坐标点的规律，以及关于原点对称的点的坐标特点，关键是熟练掌握点的变化规律，不要混淆． 易错警示 关于原点对称是横、纵坐标都变为相反数；关于x轴对称是纵坐标变号、横坐标不变；关于y轴对称是横坐标变号、纵坐标不变．三者不要混淆，求坐标时要先看清对称方式． 【变式3-1】在平面直角坐标系中有，，三个点，点的坐标是，点，点关于点中心对称，若将点往右平移个单位，再往上个单位，则与重合，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】假设，关于原点中心对称，则令，则为，由题意可得：，，从而可求得，，再把中心移到点的位置，则可求点的坐标． 【详解】解：设，关于原点中心对称，则令，则为， 将点往右平移个单位，再往上个单位，则与重合， ，， 解得：，， 把中心点平移到点的位置，其操作为向右平移个单位，再向上平移个单位， 点的坐标也随之变动， 点的坐标变为：即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查坐标与图形变化，解答的关键是明确平移和中心对称的特点． 【变式3-2】【变式2】如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（a，b）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（　　） A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a+2，﹣b） C．（﹣a﹣1，﹣b+1） D．（﹣a+1，﹣b﹣1） 【答案】B． 【分析】运用中点坐标公式求答案． 【详解】解：设C（m，n）， ∵线段AB与线段CD关于点P对称， 点P为线段AC、BD的中点． ∴，， ∴m＝2﹣a，n＝﹣b， ∴C（2﹣a，﹣b）， 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称，正确运用中点坐标公式是解题的关键． 【题型一】旋转作图 【例1】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上． (1)将向上平移5个单位长度得到，请画出； (2)如图，可绕某一点逆时针旋转得到，旋转中心是图中的______点（填M或N）． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)N 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）根据网格的特点作的垂直平分线的交点即为． 【详解】（1）略 （2）如图所示， 根据图象可知，是绕旋转中心点N逆时针旋转得到． 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，和的顶点坐标都是整数，已知点，． (1)将先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，其中点分别与点A，B，C对应，请在图中画出； (2)将绕D点逆时针旋转，得到，其中点分别与点E，F对应，请在图中画出； (3)与关于平面内某一点成中心对称，请在图中画出对称中心M，并写出点M的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求， (2)如图，即为所求， (3)如图，点M即为所求， 点M的坐标为. 【分析】（1）先作出点A，B，C平移后的点，，，再顺次连接成三角形即可； （2）先作出点E，F绕点逆时针旋转后的点，，再顺次连接成三角形即可； （3）利用关于一点对称的图形对应点相交于一点，进而连接各对应点得出即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． (1)将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，在图中画出； (2)将绕点C顺时针旋转后得到，在图中画出； (3)若可以看作绕某点旋转得到，则旋转中心的坐标是 ． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，即为所求； (3) 【分析】（1）将三个顶点向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）将点A，B绕点C顺时针旋转得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （3）和的垂直平分线的交点即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，和的垂直平分线交于点， ∴旋转中心的坐标是． 【题型二】 旋转中的规律性问题 【例2】（25-26七年级下·江苏镇江·期末）如图1，点在点正北方．一只机器狗从点按逆时针方向绕着点做匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如图2所示．那么经过2026分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出机器狗运动的周期，再根据周期计算经过分钟时机器狗的位置即可． 【详解】解：由题可知，机器狗分钟转动， 机器狗转动一周，即所需时间为分钟， ， 经过分钟，机器狗转动了周后，又转动了分钟， 相当于机器狗的位置为从点逆时针转动， 点在点正北方， 逆时针转动后，机器狗位于点正西方， 观察选项，只有B选项符合 ． 【变式2-1】（25-26八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形的边与轴正半轴重合，将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，…，按照此规律，先将三角形绕点逆时针旋转，再作关于原点的中心对称图形，则点的坐标是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用题干中的操作步骤，分别求得对应的点的坐标，观察计算结果，找出变化的规律即可求解． 【详解】作轴，轴，垂足分别为， 由题意得，， ， ，， ，， ，， 如图，与关于原点对称，，，，，，，……， 观察可知，点到点为一个变换周期，，即点的坐标为． 【变式2-2】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形依此方式，将正方形绕点O连续旋转2026次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，连接，由勾股定理可得，由旋转的性质可得，求出，，，，，，，，…，由此可得，8次一循环，计算即可得． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 如图，连接， 由勾股定理可得：， 由旋转的性质可得：， ∵将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形依此方式， ∴相当于将线段绕点O逆时针旋转，依次得到， ∴，，，，，，，，…， 由此可得，8次一循环， ∵， ∴点的坐标为． 【变式2-3】（25-26九年级下·河南安阳·期中）李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据每次转动可知，4次一个循环，分别求出第一次到第四次的点的坐标，利用规律解决问题即可． 【详解】解：∵绕原点O逆时针转动至，，， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， 即点与点A重合， ∴点A每旋转4次为一个循环， ∵， ∴在转动2026次后，点A在点的位置，此时点A的坐标为． 【题型三】 利用中心对称探究规律问题 【例3】如图，平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形且，把绕点顺时针旋转得到，把绕点顺时针旋转得到，以此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点，点，是等腰直角三角形且，求出点的坐标为，利用旋转求出的坐标规律，再计算的坐标即可． 【详解】解：∵点，点，是等腰直角三角形且， ∴点的坐标为，根据题意旋转可得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，， 以此类推，点的横坐标为，当为奇数时，点的纵坐标为，当为偶数时，点的纵坐标为2， ∴点的横坐标为， ∵是偶数， ∴纵坐标为， ∴点的坐标为 ． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标规律探究，中心对称，坐标与图形变化对称，利用中心对称找出坐标规律是解题的关键． 首先利用题目所给公式一次求出前几个点的坐标，→→→→→→→…由此得到的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即坐标以6为周期循环，利用这个规律即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点关于点的对称点， ∴， ∴，， ∴， 同理可得点，，，，，… ∴点P每6次一循环， ∵ ∴点与点坐标相同，即． 故选：D． 【变式3-2】已知点，点，点是线段的中点，则，．在平 面直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点（即，，三点 共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，…按此规律继续以，，三点 为对称点重复前面的操作．依次得到点，，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用定义依次求出各点，再总结规律即可求解． 【详解】解：由题意，，，，，，，， …… 可得每6次为一个循环， ∵， ∴点的坐标是， 故选：A． 【点睛】本题考查了数式规律，解题关键是理解题意并能发现规律． 【题型四】 平面直角坐标系中的中心对称图形 【例4】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)画出关于点的中心对称图形； (2)画出关于轴对称的图形； (3)的面积为_________． 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2)解：如图，即为所求； (3) 【分析】（1）分别求出关于点的对称点，再顺次连接三点即可； （2）分别求出关于x轴的对称点，再顺次连接三点即可； （3）利用矩形割补法求解即可． 【详解】（1）解：由网格可知，根据点关于原点对称点为，得，描点顺次连接即可； （2）解：根据点关于轴对称点为，得，描点顺次连接即得图形； （3）解： 【变式4-1】如图，在网格中建立平面直角坐标系，每个小正方形边长都是1，其顶点叫做格点，的顶点都在格点上，，，三点的坐标分别为，，． (1)将向右平移3个单位长度，得到，画出； (2)以点为对称中心，画出的中心对称图形； (3)在（1）问的平移过程中，扫过的图形面积为 ． 【答案】(1) (2) (3)11.5 【分析】（1）平移规律：平面内点向右平移3个单位，横坐标，纵坐标不变，求出平移后三点坐标，即可画出平移后的三角形； （2）关于原点中心对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，求出关于原点对称的对应点，连接得到； （3）平移扫过的图形平行四边形的面积的面积；先算出面积，再算出平行四边形面积，求和即可． 【详解】（1）解：平移规则：向右平移3个单位，横坐标，纵坐标不变． 已知，，： ， ， ， 在网格里标出、、，依次连接三点，得到． （2）解：关于原点中心对称：点对称点为． 由，，可得： ，，， 在坐标系标出三点，依次连接得到． （3）解：先求的面积，用割补法： 包围的矩形范围：横向从到，纵向从到，矩形面积； 减去周围个直角三角形面积： ．平行四边形：底，高为点到轴的距离， ． 平移过程中扫过的图形面积是平行四边形的面积加上的面积：． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，．（画图时字母应标注清楚哦） (1)将绕原点顺时针旋转，请画出旋转后的； (2)若与是中心对称图形，则对称中心的坐标为______． (3)请求出的面积． 【答案】(1)如图，即为所作： (2) (3) 【分析】（1）将三顶点绕原点顺时针旋转得到； （2）和是中心对称图形，连接对应点即可得到答案； （3）利用割补法求出三角形的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接． 由此可知，与的对称中心的坐标为； （3）解：． 【题型一】旋转综合题---线段问题 【例1】（2026八年级上·全国·专题练习）综合与探究 学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 如图1，在中，取的中点O，连接并延长，使得，连接、，四边形为平行四边形． 初步探究： (1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将保持固定，绕点A按逆时针方向旋转，其中，若，当点E落在AB边上时，连接并延长，使得，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图3，当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接、，取的中点P，连接交于点Q，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】(1)解：矩形，理由如下： 根据题意得：，，， ，， 点落在边上， 中，，， 是等边三角形， ，， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ∴E是中点，， 在和中： ，， （）， ，， ， ∴， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． (2)解：，且， 理由：延长至点，使，连接， 是的中点， ， 在和中： ， ， ， （）， ，， ， 是绕点逆时针旋转得到， ，， ， ∴C、B、F共线， ， 在和中： ， ， ， ， ，， ， ，即， ， ， ． 【分析】（1）根据题意得：，，，再由等边三角形的判定和性质得出是等边三角形，再由全等三角形的判定和性质得出（），，，再由矩形的判定即可证明； （2）延长至点，使，连接，利用全等三角形的判定和性质得出（），，，再由旋转的性质得出，，结合图形得出，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-1】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，菱形纸片中，，将菱形沿剪开，不动，绕点逆时针旋转度（）得到，其中点与点对应． (1)如图1，当时，、的延长线交于点． ①用表示的度数； ②如图2，当时，求证：四边形是菱形； (2)如图3，连接、，当______时，． 【答案】(1)①； ②证明：由①可得，， ∵， ∴， ， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）①根据菱形的性质得出，进而利用四边形的内角和等于解答即可； ②把代入，进而利用菱形的判定进行证明即可； （2）根据旋转的性质得出，，，，进而利用平行四边形的判定与性质解答即可． 【详解】（1）①解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵不动，绕点逆时针旋转度（）得到，其中点与点对应， ∴ ， ，， ∴， ∵在四边形中，， ∴ ； ②略； （2）解：∵不动，绕点逆时针旋转度（）得到，其中点与点对应， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）【探究发现】 (1)如图1，的顶点在正方形两条对角线、的交点处，，将绕点旋转，在旋转过程中，的两边分别与正方形的边和边交于点和点（点与点，不重合）．猜想线段，，之间满足什么数量关系，并说明理由； 【类比应用】 (2)如图2，若将（1）中的“正方形”改为“的菱形”，，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由． 【答案】(1)解：，理由： ∵四边形是正方形， ，，，，     ， ， ，     在和中， ，，， ， ，     ，， ． (2)解：（1）中的结论不成立．应为．理由：     如图2，过点作于点，于点，取的中点，连接， 则， ∵四边形是菱形，， ，，     ，，， 是等边三角形，，     ，，即， ，     ， 在和中， ，， ，     ，     ． 【分析】（1）先证明，得出，即可得出结论； （2）过点作于点，于点，取的中点，连接，先证明是等边三角形，再证明得出，证明得出，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【题型二】旋转综合题---角度问题 【例2】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）解决下列问题 (1)如图①，在中，，，P为上一点，连接，若．则的最小值是_____． (2)如图②，在中，，，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，求的度数． (3)如图③．在矩形中，连接，，，点为线段上一动点，连接．将线段绕点B顺时针旋转得线段，连接，取的中点记为F，连接，求的最小值． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）根据垂线段最短及含30度直角三角形的性质，即可求解； （2）利用等腰三角形的性质及旋转的性质证明，即可求解； （3）在线段上取点G，且，连接，取的中点H，连接，先证明，得，，则，由三角形中位线定理得，则可确定点F的运动路径，根据垂线段最短可求得的最小值． 【详解】（1）解：当时，最短， 此时在中，，，， ∴， 即的最小值是3； （2）解：∵，， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得线段， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，在线段上取点G，且，连接，取的中点H，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点H，F是线段的中点， ∴，， ∴， ∴点F的运动路径是以H为其中一个端点的线段，该线段在下方，与所夹的钝角为， 当时，取得最小值， 如图，当点M在的延长线上时，连接，过点B作于点P， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∵当取得最小值时，， ∴点F在线段上， ∵点H为的中点，， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为． 【变式2-1】（25-26九年级上·全国·期末）（1）【特例感知】如图①，在中，，，D是边上一点（点D不与点B，C重合），连接，将绕着点D逆时针旋转得到，连接，过点D作交于点F，可知，则的度数为 ． （2）【探究证明】如图②，在中，，，D是边上一点（点D不与点B，C重合），连接，将绕着点D逆时针旋转得到，连接，求证：． （3）【拓展应用】设图②中的，，连接．当是直角三角形时， ． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）． 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定、旋转的性质、勾股定理及等边三角形的性质与判定，熟练掌握含30度直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定、旋转的性质、勾股定理及等边三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则有，，由旋转的性质可知：，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求解； （2）过点D作，交于点H，则有，，由旋转的性质可知：，然后可得，进而问题可求证； （3）由题意易得，，由（2）可知：，然后可得当是直角三角形时，只有这一种情况，进而问题可求解． 【详解】（1）解：过点D作交于点F，如图①， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）证明：过点D作，交于点H，如图所示： ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 由（2）可知：， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 当是直角三角形时，只有这一种情况， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式2-2】如图1，已知点是等边内一点，且，，． (1)求的度数； 以下是甲，乙，丙三位同学的谈话： 甲：我认为这道题的解决思路是借助旋转，我选择将绕点B逆时针旋转60°或绕点C顺时针旋转60°； 乙：我也赞成旋转，不过我是将进行旋转； 丙：我是将进行旋转． 请你借助甲，乙，丙三位同学的提示，选择适当的方法求的度数； (2)若改成，，，的度数＝______°，点到的距离为______； 类比迁移： (3)如图2，已知，，，，，，求的度数． 【答案】(1) (2)，4. (3) 【分析】（1）甲：将绕点逆时针旋转，得到，连接，分别计算与的度数即可得到的度数．乙：将绕点顺时针旋转，得到，连接，分别计算与的度数即可得到的度数． （2）利用（1）中的方法，同理可得，再由30度直角三角形性质可求点到的距离； （3）利用（1）中的方法，将绕着点顺时针旋转，得到，同理可得，，由此即可求出． 【详解】（1）解：（1）选择甲：如图1，作，且，连接，，则是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ； 乙：如图2，同理可得，，， ； 丙：如图3同理可得，，， ； （2）同理（1）可得：， ∴， 如图4，过点作的垂线，垂足为， ∴， ∴， 故答案为：，4. （3）如图5，将绕着点顺时针旋转，得到，连接， ∴， ，， ∴， ， ∴， ∴ 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和全等三角形，依据图形的性质进行计算求解． 【题型三】旋转综合题--面积问题 【例3】（26-27九年级上·四川达州·开学考试）【问题背景】如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，． (1)【发现问题】猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； (2)【拓展应用】若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由如下： 根据题意可知，，即， 三角形为等边三角形， ，，即， ， 在和中， ， ， ． (2) 【分析】（1）利用旋转得、，结合等边三角形的性质，用证明，进而证得； （2）连接，过点作，先推出为等边三角形，算出其面积，再利用（1）的结论推出，通过勾股逆定理证明是直角三角形，算出它的面积，两个三角形面积相加得到四边形面积． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，过点作， 据（1）可知， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， 在中，， 为直角三角形，， ， ． 【变式3-1】如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点． (1)观察猜想：图中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 【答案】(1)； (2)是等腰直角三角形 (3) 【分析】（1）利用三角形的中位线得出，，再推出，即可得出结论，然后利用三角形中位线的性质推出得，最后根据互余即可得出结论； （2）证明得，利用三角形的中位线得出，，继而得到，结合（1）的方法即可得出结论； （3）先判断出最大时，的面积最大，而最大是，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点，分别是，的中点， ∴，， ∵点，是，的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴图中，线段与的数量关系是，位置关系是； （2）解：是等腰直角三角形．理由如下： ∵把绕点逆时针方向旋转到图的位置， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∵点，是，的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：由（2）知：是等腰直角三角形，且， ∴， ∴最大时，的面积最大， ∵绕点在平面内自由旋转，，， ∴当在的延长线上时，最大 此时， ∴， 即面积的最大值． 【变式3-2】（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）如图，等腰直角和等腰直角，的延长线与直线交于点． (1)如图1，当点在线段上时，求证：，； (2)将等腰直角绕点旋转一周． ①如图2，当点在直线右侧时，判断，，的数量关系并证明； ②当时，若，，求． 【答案】(1)证明：∵等腰直角和等腰直角， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即； (2)①，理由如下： 如图，连接，过点C作交于点G， ∴ ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴； ②或 【分析】（1）证明，得到，，然后等量代换证明即可； （2）①连接，过点C作交于点G，证明，得到，，然后利用勾股定理得到，然后等量代换即可求解； ②过点D作交的延长线于点H，在上取点G，使，连接，设，利用勾股定理和含30度角直角三角形的性质求出，，然后分两种情况讨论，分别利用割补法求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①略； ②如图，过点D作交的延长线于点H，在上取点G，使，连接，当点E在左侧时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 解得（负值舍去）， ∴，， ∵，， ∴ ； 如图，过点D作交的延长线于点H，在上取点G，使，连接，当点E在右侧时， 同理可得，，， ∵，， ∴ ； 综上所述，或． 【题型四】旋转综合题--其它问题 【例4】如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点． (1)线段与线段的数量关系是 _____，位置关系是 _____； (2)如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明； (3)将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围 _______． 【答案】(1)＝，⊥； (2) 线段与线段的关系不发生变化．理由如下： 如图，延长到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交于O，     ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 同理可证，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，； (3)． 【分析】（1）由直角三角形斜边中线定理即可证明，进而可证； （2）如图，延长到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交于O，证明，推出，再利用三角形中位线定理即可解决问题； （3）分别求出的最大值、最小值即可解决问题． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：＝，⊥； （2）略 （3）如图2，连接．     ∵， ∴如图3时取得最大值时，点E落在上时，     ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴的最大值； 如图4中，当点E落在的延长线上时，的值最小，     ∵，， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴的最小值， 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，三角形三边的关系，三角形中位线定理等知识，解题的关键是 学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式4-1】如图（1），在中，为锐角，点D为射线上一动点，连接，以为一边在的右侧作等腰直角，，，解答下列问题： (1)如果． ①当点D在线段上时（与点B不重合），请直接写出线段与之间的数量关系为 ；位置关系为 ；（不用证明） ②当点D在线段的延长线上时，如图（3），①中的结论是否仍然成立，请写出结论并说明理由． (2)如果 ，，点D在线段上运动． 试探究：当满足一个什么条件时，（点C、E重合除外）？请写出条件，并借助图（4）简述成立的理由． 【答案】(1)①，；②，，仍然成立，理由见解析 (2)时，理由见解析 【分析】（1）①根据等腰直角三角形性质得到，推出，得到，得到，，得到，；②根据等腰直角三角形性质得到，推出，推出，得到，，得到，即得； （2）当时，．分当与当，两种情况讨论，过点A作交的延长线于点F，证明，得到， 即，即可证明． 【详解】（1）解：①当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：，； ②，仍然成立，理由： ∵，， ∴, ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：当时，，理由： 当时，如图，过点A作交的延长线于点F， 则， ， ， ∴， ， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； 当时，如图，过点A作交的延长线于点F， 同理可得：， ∴， ∴， ∴当时，； 综上，时，． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的旋转．熟练掌握等腰直角三角形的判断和性质，旋转性质，全等三角形的判断和性质，是解决问题的关键． 【变式4-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）似曾相识 （1）如图①，正方形的边长等于4，中心为，正方形的边长也等于4，在正方形绕着点O旋转的过程中，若将这两个正方形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请直接写出它的变化范围． 类比探索 （2）如图②，等边的边长等于4，中心为，等边的边长也等于4，在等边绕着点O旋转的过程中，若将这两个等边三角形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请求出它的变化范围．    【答案】（1）4（2） 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，，推出，证出，即可得出结果； （2）发生变化，对旋转角分情况讨论即可． 【详解】解：（1）连接，，   四边形和四边形都是正方形， ，，， ， 在与中， ， ， 四边形的面积等于三角形的面积， 即重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的， ； （2）设等边绕着点的旋转角为，等边的边长等于4，则高为， ①如图，当经过点时，若此时开始旋转，，重叠部分的形状为直角三角形， ，    ②如图，当旋转至图中位置时，，重叠部分的形状为菱形， ，    ③如图，当旋转至图中位置时，，重叠部分的形状为等边三角形， ，    ④如图，当旋转至图中位置时，，重叠部分的形状为直角三角形， ，    综上所述，这两个等边三角形重叠部分的面积是变化的，的变化范围是． 【点睛】本题考查正方形的性质和等边三角形的性质，找出面积之间的关系是解题关键． 技巧 一句话要点 判断是否为旋转——“看三要素” 确认旋转中心、旋转角、旋转方向是否明确。 找旋转角——“看对应点连线夹角” 旋转角等于任意一对对应点与旋转中心连线所夹的角。 求线段——“对应点到旋转中心距离相等” 利用旋转性质找相等线段，再结合条件求解。 证明全等——“旋转前后图形全等” 旋转不改变形状大小，前后图形全等，可证边角相等。 作旋转图形——“先定三要素再作对应点” 确定旋转中心、角、方向，依次作出关键点对应点并连接。 找旋转中心——“垂直平分线交点法” 作两对对应点连线的垂直平分线，交点即为旋转中心。 判断中心对称——“绕点旋转180°” 看两图形能否绕某点旋转180°后重合。 求对称中心——“取连线中点” 对称中心是对应点连线的中点，可由两点坐标求得。 判断中心对称图形——“旋转后与自身重合” 一个图形绕对称中心旋转180°后与自身重合即是中心对称图形。 坐标变换——“原点对称都变号” P(x,y)关于原点对称的点是(－x,－y)，注意与关于坐标轴对称区分。 网格题——“先找旋转中心再逐个变换” 在网格中先确定旋转中心，再依次变换各点，注意方向。 图案设计——“组合变换法” 用平移、旋转、轴对称或其组合设计图案，理解旋转对称图形。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 旋转 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(8类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(12类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(4类) 答题类 解题模型清单(3类) 答题技巧清单 知识点01 旋转的概念 1.旋转：把一个平面图形绕着平面内某一点 转动一个角度，叫做图形的旋转．点O叫做 ，转动的角叫做 ． 2.旋转的三要素： ． 3.如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 ． 知识点02 旋转的性质 1.对应点到旋转中心的距离 ． 2.对应点与旋转中心所连线段的夹角 ． 3.旋转前、后的图形 ． 4.旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的 ． 知识点03 旋转作图 1.旋转作图的三个关键步骤：确定 、 和 ； 作出原图形各关键点的对应点；按原图形的连接方式连接各对应点，得到旋转后的图形． 2.找旋转中心的方法：作对应点连线段的 ，其交点即为旋转中心． 知识点04 中心对称 1.中心对称：把一个图形绕着某一点旋转 ，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称，这个点叫做 ． 2.中心对称的性质：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ，而且被对称中心 ；两个图形 ． 知识点05 中心对称图形 1.中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转 后，如果旋转后的图形能与原来的图形 ，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 2.中心对称与中心对称图形的区别：中心对称是对 图形而言，中心对称图形是对 图形而言． 3.常见的中心对称图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、正偶数边形、线段等． 知识点06 关于原点对称的点的坐标与图案设计 1.关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号 ，即点P（x，y）关于原点的对称点为P′ ． 2.图案设计：利用平移、旋转、轴对称（或它们的组合）可以设计出许多美丽的图案． 3.旋转对称图形：绕着某点旋转一定角度后能与自身重合的图形，称为旋转对称图形． 考点01 旋转的概念与识别 考点内容：旋转的定义；旋转的三要素；识别一个图形变换是否为旋转． ①判断图形变换是否属于旋转，确定旋转中心、旋转角和旋转方向； ②由旋转角、对应点关系求角度或线段长度； ③判断旋转后的图形与原图形的关系． 考点02 旋转的性质 考点内容：对应点到旋转中心距离相等；对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角；旋转前后图形全等． ①利用对应点到旋转中心距离相等求线段； ②利用对应点连线夹角等于旋转角求角度； ③结合全等求线段长、面积或证明． 考点03 旋转作图 考点内容：按要求作出旋转后的图形；找旋转中心． ①按给定旋转中心、旋转角、方向作旋转后的图形； ②由对应点确定旋转中心和旋转角； ③旋转与网格、坐标系结合作图． 考点04 中心对称 考点内容：中心对称的定义；中心对称的性质（对称点连线过对称中心且被平分）． ①判断两个图形是否关于某点中心对称； ②求对称中心的坐标或对称点的坐标； ③利用中心对称性质证明或求线段、面积． 考点05 中心对称图形 考点内容：中心对称图形的概念；常见中心对称图形的识别；与中心对称的区别． ①判断一个图形是否为中心对称图形； ②区分中心对称与中心对称图形； ③中心对称图形与轴对称图形综合判断． 考点06 关于原点对称的点的坐标 考点内容：关于原点对称的点的坐标规律；坐标系中的旋转与图案设计． ①求某点关于原点对称的点的坐标； ②结合坐标系求旋转90°、180°后的点的坐标； ③利用旋转设计或识别图案． 1. 旋转的性质与中心对称 序号 名称 结论（几何语言） 说明 1 旋转的定义 图形绕某点O转动一个角度 点O为旋转中心，转动的角为旋转角 2 旋转三要素 旋转中心、旋转角、旋转方向 三者缺一不可 3 旋转的性质① 对应点到旋转中心距离相等 对应点都在以旋转中心为圆心的圆上 4 旋转的性质② 对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角 可用来求角度 5 旋转的性质③ 旋转前后图形全等 形状、大小不变，位置改变 6 中心对称 图形绕某点旋转180°后与另一图形重合 对称点连线过对称中心且被平分 2. 中心对称图形、坐标与图案 序号 名称 结论（几何语言） 说明 7 中心对称图形 图形绕对称中心旋转180°后与自身重合 对称中心在图形内部或边上 8 原点对称的坐标 点P（x，y）关于原点的对称点为P′（－x，－y） 横、纵坐标都变为相反数 辨析01 旋转必须明确三要素 图形的旋转由旋转中心、旋转角、旋转方向三个要素决定，三者缺一不可．只说明“旋转”而不指明旋转中心、旋转角与方向，不能确定旋转后的图形． 辨析02 对应点到旋转中心距离相等 旋转前后，任意一对对应点到旋转中心的距离都相等．据此可在旋转图形中找出相等线段，注意对应点与旋转中心的连线夹角等于旋转角． 辨析03 旋转不改变图形的形状与大小 旋转前后的两个图形全等，只是位置发生改变．旋转不是“对称”，也不能只改变图形的一部分，它是对整个图形的变换． 辨析04 旋转角是所有对应点连线夹角的统称 旋转角等于任意一对对应点与旋转中心连线所夹的角．不要误以为旋转角是某个具体线段的夹角，所有对应点的旋转角都相等． 辨析05 中心对称是特殊的旋转 中心对称就是旋转角为180°的旋转．两个图形关于某点中心对称，实际是绕该点旋转180°后重合，因此中心对称具备旋转的一切性质． 辨析06 对称点连线被对称中心平分 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分．据此可求对称中心的坐标（对应点连线的中点）． 辨析07 中心对称与中心对称图形不要混淆 中心对称是对两个图形而言，指两个图形关于某点对称；中心对称图形是对一个图形而言，指一个图形绕某点旋转180°后与自身重合． 辨析08 关于原点对称的坐标规律 点P（x，y）关于原点的对称点坐标为（－x，－y），横、纵坐标都变为相反数．注意与关于x轴、y轴对称的区别：关于x轴对称是纵坐标变号，关于y轴对称是横坐标变号． 辨析09 中心对称图形与轴对称图形不要混淆 轴对称图形是沿一条直线折叠后两部分重合，中心对称图形是绕一个点旋转180°后与自身重合．菱形、正方形、圆既是轴对称图形又是中心对称图形；等边三角形只是轴对称图形． 辨析10 旋转作图要按三要素进行 旋转作图必须先确定旋转中心、旋转角和旋转方向，再依次作出各关键点的对应点，最后按原图形顺序连接．找旋转中心可作对应点连线段的垂直平分线，其交点即旋转中心． 【题型一】判断生活中的旋转现象 【例1】（25-26七年级下·河南周口·期末）下列图形的运动，属于旋转的是（     ） A．电梯上下运行 B．推拉窗户 C．钟表指针转动 D．滑雪板直线滑行 【变式1-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列运动属于旋转的有（   ） A．钟表上的时针运动 B．国旗上升的过程 C．传输带运输的东西 D．飞驰的火车 【变式1-2】有以下现象： ①温度计中，液柱的上升或下降； ②打气筒打气时，活塞的运动； ③钟摆的摆动； ④风车轮的每个叶片在风的吹动下移动到新的位置． 其中不属于旋转的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【题型二】判断由一个图形旋转而成的图案 【例2】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）下列选项所示的图案中，可以看作由某个“基本图案”绕某个点旋转得到的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列选项中，不能由如图在同一平面内经过旋转得到的 是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】在下列绿色食品，回收，节能，节水四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的 是（    ） A． B． C． D． 【题型三】 确定旋转中心、旋转角、对应点 【例3】如图，图形F（     ）得到图形 A．先绕点O顺时针旋转，再向左平移5格 B．先绕点O逆时针旋转，再向右平移5格 C．先向左平移5格，再绕点O逆时针旋转 D．先向左平移5格，再绕点O顺时针旋转 【变式3-1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，顺时针旋转到的位置（点，，的对应点为点，，），则旋转中心及旋转角分别是（     ） A．点， B．点， C．点， D．点， 【变式3-2】（25-26八年级下·山东潍坊·期末）游乐园中“海盗”船（图1）围绕顶端横梁左右摇摆，给游客带来奇妙的运动体验．小莹同学绘制了“海盗”船在两个不同时刻摇摆状态的侧面示意图（图2），横梁可视为一点，那么在小莹的绘画中横梁应是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，的坐标为，点的坐标为，线段绕点旋转一定的角度后与线段重合均为格点，的对应点是点，则旋转中心点的坐标为（     ） A． B． C． D．或 【题型四】 求旋转图形中相关角度的大小 【例4】（25-26七年级下·湖南湘潭·期末）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，将绕点顺时针旋转一定度数得到，连接，若，，则的度数为______． 【变式4-2】（26-27九年级上·北京·开学考试）如图，在中，，将绕着点逆时针旋转得到，使点落在上．若，则的度数为________． 【题型五】求旋转图形中线段的长度 【例5】如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转度得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，则的长为（    ）    A．1.4 B．1.6 C．1.8 D．2 【变式5-1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，此时点A′恰好落在AB边上，则点B′与点B之间的距离为（　　） A． B． C．4 D．2 【变式5-2】如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，连接CC'，DC'，若∠CC'D＝90°，C'D＝2，则线段BC的长度为（　　） A．4 B．5 C． D． 题型六 在平面直角系中根据旋转求坐标 【例6-】如图，已知，将先向左平移4个单位，再绕原点O顺时针旋转得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图所示，在正方形网格中，格点的三个顶点坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转，得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，，点为坐标原点，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型七 中心对称的概念和性质 【例7-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图所示，下列四组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的是（　　） A．   B．   C．   D．   【变式7-2】（23-24九年级上·云南曲靖·阶段检测）下列各组图形中，不成中心对称的是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式7-3】（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（     ） ①点与点关于点对称；②；③；④ A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 题型八 中心对称图形的识别 【例8】（26-27九年级上·云南昆明·阶段检测）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的 是（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人艺术与智慧的结晶，下面纹样的示意图中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式8-3】（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 题型九 中心对称图形的性质 【例9】如图，与关于点成中心对称，连接、，以下结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【变式9-1】如图，在矩形中，，，是矩形的对称中心，点、分别在边、上，连接、，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26八年级下·湖南湘西·期中）在平行四边形中，、为对角线，、、都经过对角线的交点，若，边上的高为，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式9-3】（2026·江西上饶·三模）如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是5和3，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．4 D． 题型十 求关于原点对称的点的坐标 【例10】（26-27九年级上·湖北·期中）如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知点，那么点关于原点的对称点的坐标 是（     ） A． B． C． D． 【变式10-2】已知，，则点关 于原点对称的点的坐标是（  ） A． B． C． D． 题型十一 利用关于原点对称的点的坐标特征求字母的值 【例11】（26-27九年级上·全国·单元复习）若点与点关于原点对称，则的值为（     ） A． B．2 C．3 D．5 【变式11-1】平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是，则 ． 【变式11-2】已知、两点，若A、B两点关于原点对称，则______． 题型十二 综合利用平移、轴对称、旋转设计图案 【例12】认真观察图中阴影部分构成的图案，回答下列问题． (1)请你写出这四个图案都具有的三个共同特征； (2)请在下面所给的两个网格纸中分别设计出一个图案（用阴影表示），使它也具备你所写出的上述三个特征． 【变式11-1】在的方格内选5个小正方形，让它们组成一个轴对称图形，请在图中画出你的3种方 案．（每个的方格内限画一种） 要求：    （1）5个小正方形必须相连（有公共边或公共顶点视为相连）； （2）将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形（若两个方案的图形能够重合，视为一种方案） 【变式11-2】（24-25九年级上·吉林四平·期末）如图所示，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观 察图（1）中的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题： (1)图（1）中的三个图案都具有以下共同特征：都是 对称图形，都不是 对称图形．（选填“轴”或“中心”） (2)请在图（2）中设计出一个面积为4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图（1）中所给出的图案相同，并将所画图案涂上阴影． 【题型一】忽视旋转三要素而致错 【例1】如图，绕点逆时针旋转得到，下列结论正确的是（     ） A．与是对应点 B． C． D． 易错警示 判断图形变换是否为旋转时，必须确认旋转中心、旋转角、旋转方向三要素是否明确；旋转角不一定是图形转过的“总角度”，而是对应点连线夹角的度数． 【变式1-1】（25-26八年级下·河南平顶山·期末）将下列图形绕其中心旋转，当图形第一次与其自身重合时，旋转角最大的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，下列角中不是旋转角的是（     ） A． B． C． D． 【题型二】漏解中心对称与中心对称图形混淆 【例2】古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 易错警示 中心对称是对两个图形而言，中心对称图形是对一个图形而言；判断图形是否为中心对称图形，要看它绕某点旋转180°后能否与自身重合，而不是看两个图形的对称关系． 【变式2-1】下列图形中，成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，若与关于某个点对称，则这个点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【题型三】坐标变换时符号处理错误 【例3】在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，4），那么下列说法正确的是（　　） A．点A与点B（﹣3，﹣4）关于y轴对称 B．点A与点C（3，﹣4）关于x轴对称 C．点A与点E（﹣3，4）关于第二象限的平分线对称 D．点A与点F（3，﹣4）关于原点对称 易错警示 关于原点对称是横、纵坐标都变为相反数；关于x轴对称是纵坐标变号、横坐标不变；关于y轴对称是横坐标变号、纵坐标不变．三者不要混淆，求坐标时要先看清对称方式． 【变式3-1】在平面直角坐标系中有，，三个点，点的坐标是，点，点关于点中心对称，若将点往右平移个单位，再往上个单位，则与重合，则点的坐标是 ． 【变式3-2】【变式2】如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（a，b）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（　　） A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a+2，﹣b） C．（﹣a﹣1，﹣b+1） D．（﹣a+1，﹣b﹣1） 【题型一】旋转作图 【例1】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上． (1)将向上平移5个单位长度得到，请画出； (2)如图，可绕某一点逆时针旋转得到，旋转中心是图中的______点（填M或N）． 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，和的顶点坐标都是整数，已知点，． (1)将先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，其中点分别与点A，B，C对应，请在图中画出； (2)将绕D点逆时针旋转，得到，其中点分别与点E，F对应，请在图中画出； (3)与关于平面内某一点成中心对称，请在图中画出对称中心M，并写出点M的坐标． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． (1)将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，在图中画出； (2)将绕点C顺时针旋转后得到，在图中画出； (3)若可以看作绕某点旋转得到，则旋转中心的坐标是 ． 【题型二】 旋转中的规律性问题 【例2】（25-26七年级下·江苏镇江·期末）如图1，点在点正北方．一只机器狗从点按逆时针方向绕着点做匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如图2所示．那么经过2026分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形的边与轴正半轴重合，将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，…，按照此规律，先将三角形绕点逆时针旋转，再作关于原点的中心对称图形，则点的坐标是（     ）． A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形依此方式，将正方形绕点O连续旋转2026次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26九年级下·河南安阳·期中）李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型三】 利用中心对称探究规律问题 【例3】如图，平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形且，把绕点顺时针旋转得到，把绕点顺时针旋转得到，以此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 【变式3-2】已知点，点，点是线段的中点，则，．在平 面直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点（即，，三点 共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，…按此规律继续以，，三点 为对称点重复前面的操作．依次得到点，，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【题型四】 平面直角坐标系中的中心对称图形 【例4】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)画出关于点的中心对称图形； (2)画出关于轴对称的图形； (3)的面积为_________． 【变式4-1】如图，在网格中建立平面直角坐标系，每个小正方形边长都是1，其顶点叫做格点，的顶点都在格点上，，，三点的坐标分别为，，． (1)将向右平移3个单位长度，得到，画出； (2)以点为对称中心，画出的中心对称图形； (3)在（1）问的平移过程中，扫过的图形面积为 ． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，．（画图时字母应标注清楚哦） (1)将绕原点顺时针旋转，请画出旋转后的； (2)若与是中心对称图形，则对称中心的坐标为______． (3)请求出的面积． 【题型一】旋转综合题---线段问题 【例1】（2026八年级上·全国·专题练习）综合与探究 学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 如图1，在中，取的中点O，连接并延长，使得，连接、，四边形为平行四边形． 初步探究： (1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将保持固定，绕点A按逆时针方向旋转，其中，若，当点E落在AB边上时，连接并延长，使得，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图3，当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接、，取的中点P，连接交于点Q，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 【变式1-1】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，菱形纸片中，，将菱形沿剪开，不动，绕点逆时针旋转度（）得到，其中点与点对应． (1)如图1，当时，、的延长线交于点． ①用表示的度数； ②如图2，当时，求证：四边形是菱形； (2)如图3，连接、，当______时，． 【变式1-2】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）【探究发现】 (1)如图1，的顶点在正方形两条对角线、的交点处，，将绕点旋转，在旋转过程中，的两边分别与正方形的边和边交于点和点（点与点，不重合）．猜想线段，，之间满足什么数量关系，并说明理由； 【类比应用】 (2)如图2，若将（1）中的“正方形”改为“的菱形”，，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由． 【题型二】旋转综合题---角度问题 【例2】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）解决下列问题 (1)如图①，在中，，，P为上一点，连接，若．则的最小值是_____． (2)如图②，在中，，，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，求的度数． (3)如图③．在矩形中，连接，，，点为线段上一动点，连接．将线段绕点B顺时针旋转得线段，连接，取的中点记为F，连接，求的最小值． 【变式2-1】（25-26九年级上·全国·期末）（1）【特例感知】如图①，在中，，，D是边上一点（点D不与点B，C重合），连接，将绕着点D逆时针旋转得到，连接，过点D作交于点F，可知，则的度数为 ． （2）【探究证明】如图②，在中，，，D是边上一点（点D不与点B，C重合），连接，将绕着点D逆时针旋转得到，连接，求证：． （3）【拓展应用】设图②中的，，连接．当是直角三角形时， ． 【变式2-2】如图1，已知点是等边内一点，且，，． (1)求的度数； 以下是甲，乙，丙三位同学的谈话： 甲：我认为这道题的解决思路是借助旋转，我选择将绕点B逆时针旋转60°或绕点C顺时针旋转60°； 乙：我也赞成旋转，不过我是将进行旋转； 丙：我是将进行旋转． 请你借助甲，乙，丙三位同学的提示，选择适当的方法求的度数； (2)若改成，，，的度数＝______°，点到的距离为______； 类比迁移： (3)如图2，已知，，，，，，求的度数． 【题型三】旋转综合题--面积问题 【例3】（26-27九年级上·四川达州·开学考试）【问题背景】如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，． (1)【发现问题】猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； (2)【拓展应用】若，，，求四边形的面积． 【变式3-1】如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点． (1)观察猜想：图中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 【变式3-2】（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）如图，等腰直角和等腰直角，的延长线与直线交于点． (1)如图1，当点在线段上时，求证：，； (2)将等腰直角绕点旋转一周． ①如图2，当点在直线右侧时，判断，，的数量关系并证明； ②当时，若，，求． 【题型四】旋转综合题--其它问题 【例4】如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点． (1)线段与线段的数量关系是 _____，位置关系是 _____； (2)如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明； (3)将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围 _______． 【变式4-1】如图（1），在中，为锐角，点D为射线上一动点，连接，以为一边在的右侧作等腰直角，，，解答下列问题： (1)如果． ①当点D在线段上时（与点B不重合），请直接写出线段与之间的数量关系为 ；位置关系为 ；（不用证明） ②当点D在线段的延长线上时，如图（3），①中的结论是否仍然成立，请写出结论并说明理由． (2)如果 ，，点D在线段上运动． 试探究：当满足一个什么条件时，（点C、E重合除外）？请写出条件，并借助图（4）简述成立的理由． 【变式4-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）似曾相识 （1）如图①，正方形的边长等于4，中心为，正方形的边长也等于4，在正方形绕着点O旋转的过程中，若将这两个正方形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请直接写出它的变化范围． 类比探索 （2）如图②，等边的边长等于4，中心为，等边的边长也等于4，在等边绕着点O旋转的过程中，若将这两个等边三角形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请求出它的变化范围．    技巧 一句话要点 判断是否为旋转——“看三要素” 确认旋转中心、旋转角、旋转方向是否明确。 找旋转角——“看对应点连线夹角” 旋转角等于任意一对对应点与旋转中心连线所夹的角。 求线段——“对应点到旋转中心距离相等” 利用旋转性质找相等线段，再结合条件求解。 证明全等——“旋转前后图形全等” 旋转不改变形状大小，前后图形全等，可证边角相等。 作旋转图形——“先定三要素再作对应点” 确定旋转中心、角、方向，依次作出关键点对应点并连接。 找旋转中心——“垂直平分线交点法” 作两对对应点连线的垂直平分线，交点即为旋转中心。 判断中心对称——“绕点旋转180°” 看两图形能否绕某点旋转180°后重合。 求对称中心——“取连线中点” 对称中心是对应点连线的中点，可由两点坐标求得。 判断中心对称图形——“旋转后与自身重合” 一个图形绕对称中心旋转180°后与自身重合即是中心对称图形。 坐标变换——“原点对称都变号” P(x,y)关于原点对称的点是(－x,－y)，注意与关于坐标轴对称区分。 网格题——“先找旋转中心再逐个变换” 在网格中先确定旋转中心，再依次变换各点，注意方向。 图案设计——“组合变换法” 用平移、旋转、轴对称或其组合设计图案，理解旋转对称图形。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $