专题02 二次函数（知识&考点&公式&12高频&3易错&3重难&7模型，期中知识清单）九年级数学上学期新教材人教版

专题02 二次函数 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(8类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(12类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(7类) 答题技巧清单 知识点01 二次函数的概念 1.二次函数的定义：一般地，形如 的函数叫做二次函数．其中x是自变量，a、b、c分别是 ． 2.二次函数必须同时满足的三个条件： ①是 函数； ②自变量x的最高次数是 ； ③二次项系数 ． 3.当b＝c＝0时，二次函数为 （最简形式）． 知识点02 二次函数y=ax²的图象与性质 1.二次函数y＝ax²（a≠0）的图象是一条 ，它的对称轴是 ，顶点是 ． 2.当a＞0时，抛物线的开口 ，顶点是最 点；当a＜0时，开口 ，顶点是最 点． 3.增减性： ①a＞0时，在对称轴左侧（x＜0），y随x的增大而 ；在对称轴右侧（x＞0），y随x的增大而 ； ②a＜0时，在对称轴左侧，y随x的增大而 ；在对称轴右侧，y随x的增大而 ． 4.|a|越大，抛物线开口越 ． 知识点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质 1.二次函数y＝a(x－h)²＋k的顶点是 ，对称轴是 ． 2.图象平移规律：抛物线y＝ax²平移得到y＝a(x－h)²＋k，h、k决定平移的方向与距离：沿x轴 ，沿y轴 ． 3.当h＞0时，抛物线向 平移h个单位；当h＜0时，向 平移|h|个单位；k＞0时向上平移k个单位，k＜0时向下平移|k|个单位． 知识点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 1.一般式y＝ax²＋bx＋c（a≠0）通过 可化为顶点式y＝a(x－h)²＋k，其中h＝ ，k＝ ． 2.对称轴： ；顶点： ． 3.最值：当x＝时，y取最值 ；a＞0时有 值，a＜0时有 值． 4.增减性：结合对称轴与开口方向判断（开口向上，对称轴左侧递减、右侧递增；开口向下相反）． 知识点05 二次函数与一元二次方程 1.二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴交点的 ，就是一元二次方程ax²＋bx＋c＝0的 ． 2.令y＝0，解方程ax²＋bx＋c＝0，根的个数由判别式 决定： ①Δ＞0时，抛物线与x轴有 交点； ②Δ＝0时，抛物线与x轴有 交点（顶点在x轴上）； ③Δ＜0时，抛物线与x轴 交点． 知识点06 实际问题与二次函数 1.用二次函数解决实际问题（利润、面积、距离等）的一般步骤： ． 2.求最值时，先确定自变量的 ，再求顶点坐标；当顶点在取值范围内时，顶点纵坐标即最值；否则要比较 处的函数值． 3.抛物线的顶点即二次函数的最值点：开口向上取 值，开口向下取 值． 考点01 二次函数的概念与识别 考点内容：二次函数的定义；判断一个函数是不是二次函数（整式、自变量最高次数为2、a≠0）；指出各项系数． ①判断给定的函数解析式是不是二次函数； ②指出二次函数解析式中的二次项系数、一次项系数、常数项； ③含参数的解析式，由“它是二次函数”确定参数的值（注意a≠0）． 考点02 二次函数y=ax²的图象与性质 考点内容：y＝ax²（a≠0）的图象（抛物线）、对称轴（y轴）、顶点（原点）；开口方向与增减性；|a|与开口大小的关系． ①根据a的符号判断开口方向、顶点位置、最值； ②判断二次函数在对称轴两侧的增减性； ③由图象信息判断a的符号或比较函数值大小． 考点03 二次函数图象的平移（y=a(x-h)²+k） 考点内容：平移规律“左加右减、上加下减”；由平移前后顶点求解析式；由解析式判断平移方式． ①说出抛物线y＝ax²经过怎样的平移得到y＝a(x－h)²＋k； ②已知平移，写出新的解析式； ③利用平移求顶点坐标或对称轴． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的性质 考点内容：一般式的配方与顶点式；对称轴、顶点坐标；开口方向、增减性、最值；系数符号的判断． ①用配方法或公式求对称轴、顶点、最值； ②判断二次函数在给定区间内的增减性或比较函数值大小； ③由图象（或性质）判断系数a、b、c及判别式Δ的符号． 考点05 二次函数与一元二次方程 考点内容：抛物线与x轴交点横坐标即方程根；判别式决定交点个数；利用交点求根或进行判断． ①求抛物线与x轴的交点坐标； ②由判别式判断交点个数（或由交点个数求参数）； ③利用抛物线与x轴的交点求一元二次方程的根或进行判断． 考点06 二次函数的最值与实际应用 考点内容：二次函数的最值；实际问题（利润、面积等）中的最值；自变量取值范围对最值的影响． ①求二次函数的最大（小）值； ②建立二次函数模型解决利润、面积、运动等实际问题； ③结合自变量取值范围求实际最值，检验结果是否符合题意． 1 二次函数的一般式、顶点式与图象性质 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 二次函数的一般形式 y＝ax²＋bx＋c（a≠0） a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项 2 顶点式 y＝a(x－h)²＋k 顶点为（h，k），对称轴为直线x＝h 3 对称轴 x＝－ 一般式y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的对称轴 4 顶点坐标 （，） 一般式顶点（通过配方可得） 5 图象平移规律 左加右减（看h），上加下减（看k） y＝ax²平移得到y＝a(x－h)²＋k 6 最值 当x＝－时，y最值＝ a＞0取最小值，a＜0取最大值 2 二次函数与一元二次方程、实际应用 序号 名称 公式（几何语言） 说明 7 抛物线与x轴交点 令y＝0，解ax²＋bx＋c＝0； Δ＝b²－4ac Δ＞0两个交点；Δ＝0一个交点； Δ＜0无交点 8 利润（最值）模型 设利润（面积）为y，列出二次函数后求顶点处最值 结合自变量取值范围求实际最值 辨析01 二次函数必须同时满足三个条件，缺一不可 判断一个函数是不是二次函数，必须满足：是整式函数、自变量的最高次数是2、二次项系数a≠0．三项缺一不可，不要只凭“含有x²项”就断定是二次函数． 辨析02 二次项系数a决定开口方向与开口大小 a＞0时开口向上，a＜0时开口向下；|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大．a的符号与大小直接影响图象的形状． 辨析03 对称轴与顶点：一般式与顶点式的关系 一般式y＝ax²＋bx＋c通过配方可化为顶点式y＝a(x－h)²＋k，对称轴为直线x＝h，顶点为（h，k）．求对称轴和顶点既可用配方法，也可直接套用公式x＝－． 辨析04 图象平移“左加右减、上加下减” 沿x轴平移看h（在x上左加右减），沿y轴平移看k（在式子末尾上加下减）．注意是对“x”整体加减，而非对“－h”本身加减，符号不要搞错． 辨析05 增减性因开口方向而异 开口向上时，对称轴左侧递减、右侧递增；开口向下时，对称轴左侧递增、右侧递减．判断增减性必须先确定开口方向，再以对称轴为界分侧讨论． 辨析06 抛物线与x轴交点和判别式的关系 抛物线与x轴交点的横坐标即方程ax²＋bx＋c＝0的根．Δ＞0有两个交点，Δ＝0有一个交点（顶点在x轴上），Δ＜0没有交点．不要误以为图象一定与x轴相交． 辨析07 最值：开口向上取最小值，开口向下取最大值 顶点纵坐标即函数的最值：a＞0时为最小值，a＜0时为最大值．二次函数没有“最小值与最大值同时存在”的情况． 辨析08 二次项系数a不能为0 只有a≠0时y＝ax²＋bx＋c才是二次函数；若a＝0，则变为一次函数y＝bx＋c．判断含参函数是否为二次函数时，a≠0是必要前提． 辨析09 顶点式与一般式的转化（配方法） 配方法把一般式化为顶点式：提出二次项系数、加上“一次项系数一半的平方”配成完全平方式．配出的h、k即为顶点坐标，可直接用于求对称轴和最值． 辨析10 实际应用中的自变量取值范围 建立二次函数模型解决实际问题时，自变量往往受实际意义限制（如件数、边长、价格为正等）．求最值时不能只取顶点，还要结合取值范围比较端点处的函数值． 【题型一】二次函数的概念 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（26-27九年级上·全国·单元复习）下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级下·云南昆明·阶段检测）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【题型二】二次函数的一般形式 【例2-1】（24-25九年级上·山西吕梁·阶段检测）将二次函数化为一般式，下列正确的 是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数的二次项系数为______，一次项系数为_______，常数项为______． 【变式2-2】已知二次函数 (1)将二次函数化为一般式； (2)当时，求y的值． 【题型三】由二次函数的定义求字母的值 【例3】（26-27九年级上·重庆渝北·阶段检测）如果函数是关于的二次函数，那么的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）若函数是二次函数，那么的值 为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-2】（2026九年级上·全国·专题练习）若 是关于 的二次函数，则 的取值范围是___________． 【题型四】二次函数的性质 【例4-1】关于二次函数的图像，下列结论不正确的是（    ） A．抛物线与轴交于点 B．抛物线的开口向上 C．时，随的增大而减小 D．对称轴是直线 【变式4-1】（2025·四川成都·模拟预测）关于x的二次函数，下列说法错误的是（   ） A．函数图象的对称轴是直线 B．当时，y的值随x值的增大而增大 C．函数图象一定经过点 D．当时，函数图象与x轴一定有两个交点 【变式4-2】（26-27九年级上·广西南宁·开学考试） … 1 2 3 … … 3 0 … 则下列关于二次函数的说法正确的是（     ） A．二次函数图象的开口向下 B．二次函数图象的对称轴为直线 C．若点在该函数图象上，则 D．当时，随的增大而增大 【题型五】二次函数的图象共存问题 【例5-1】（26-27九年级上·全国·单元复习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）抛物线与直线在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26九年级上·四川泸州·阶段检测）一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 题型六 利用二次函数的性质比较函数值的大小 【例6】已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】（26-27九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）已知点，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（      ） A． B． C． D． 【变式6-2】（26-27九年级上·浙江衢州·阶段检测）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 题型七 利用二次函数的对称性求值 【例7-1】（25-26九年级上·山东德州·期中）已知二次函数，当x分别取m，n（，，）时，函数值相等，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【变式7-1】如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，若点A的坐标为，则点B的坐标为　 　． 【变式7-2】（25-26九年级上·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，点，是抛物线上两个不同的点． (1)当时，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 题型八 待定系数法求二次函数的解析式 【例8】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过，两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若平移该二次函数的图象，使其经过点，且对称轴为直线，求平移后的二次函数的表达式． 【变式8-1】已知二次函数的图象经过点，． (1)求这个函数的解析式； (2)求这条抛物线的顶点坐标． 【变式8-2】已知二次函数的图象经过点和，顶点为． (1)求b，c的值； (2)求点坐标． 题型九 二次函数与一元二次方程 【例9】 已知抛物线与坐标轴有三个交点，则k的取值范围（    ） A． B． C．且 D．且 【变式9-1】二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴方程为x＝﹣1，图象与x轴相交于点（1，0），则方程cx2+bx+a＝0的根为（　　） A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2 D．x1＝﹣1，x2 【变式9-2】（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）已知抛物线与轴有两个交点． (1)求的取值范围； (2)如果是正整数，且该抛物线与轴的交点的横坐标都是整数，求该抛物线与轴的交点坐标． 【变式9-3】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）已知二次函数（为常数）的图像与轴有两个交点， (1)求的取值范围； (2)若此二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1，求的值． 题型十 二次函数与不等式 【例10】二次函数，当0≤x≤3时，y的取值范围为（　　） A．3≤y≤9 B．1≤y≤9 C．1≤y≤3 D．0≤y≤1 【变式10-1】（25-26九年级上·北京·期中）如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式10-1】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 【变式10-3】（2026九年级上·山东·专题练习）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． (1)写出方程的两个根：__________； (2)写出不等式的解集：__________； (3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围__________； (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围：__________． 题型十一 由实际问题列二次函数的解析式 【例11】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25九年级上·广东江门·期中）两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】如图1，发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线y＝a（x﹣30）2+k的一部分，若发射石块在空中飞行的最大高度为15米，则该抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D．y＝﹣2（x﹣15）2+30 【变式12-3】如下图所示，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则y与x之间的函数关系式是 ． 题型十二 次函数的实际应用 【例12】（26-27九年级上·全国·课后作业）某旅游纪念品每件进价为6元，当销售单价为8元时，每天可售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为W（元）． (1)求y与x的函数解析式； (2)求日销售利润W与销售单价x的函数解析式；当x为何值时，日销售利润最大？求最大利润． 【变式12-1】如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为，宽为，抛物线的最高点C离路面的距离为． (1)按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式； (2)一大型货运汽车装载某大型设备后高为，宽为．如果该隧道内设双向行车道，在两车道之间设置宽度为的隔离带，且要求货车与隧道内壁（）及隔离带水平方向都至少保持安全距离，那么这辆货车能否安全通过？请说明理由． 【变式12-2】（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）学校为了让学生观察植物的生长习性，打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用26米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为43米，设实验田的长为x米． (1)的长为_________米（用含x的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为150平方米，求x的值； (3)通过计算说明该实验田的面积最大是多少？ 【变式12-3】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，网前吊球这种击球的运动路线可以近似抽象成如下路线，如图1所示． 【数学建模】小明发现网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图2所示，从点击球，击球点是抛物线的最高点，点到地面的距离，球网的上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设击球路线经过点正上方处的点，网前吊球的落点为点． (1)请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求出击球路线的函数表达式． 【模型应用】 (2)网前吊球的落点到球网的距离 ； (3)甲在处网前吊球，乙站在球网右侧，只有当羽毛球离地高度不小于时，乙才能成功接球，求乙能接到球时拍面距离球网的水平距离的取值范围． 【题型一】忽视“二次项系数a≠0”而致错 【例1】（25-26九年级下·全国·单元测试）若是关于的二次函数，则的值是（ ） A． B． C． D．或 易错警示 判断含参函数是否为二次函数，必须满足a≠0；若题干只说“是函数”，还要分a≠0（二次函数）与a＝0（一次函数等）两种情况讨论，不要漏解． 【变式1-1】（2026·河南驻马店·三模）若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【变式1-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知函数（m为常数）． (1)当m满足什么条件时，该函数是二次函数？ (2)当m满足什么条件时，该函数是一次函数？ (3)该函数可能是正比例函数吗？ 【题型二】图象平移方向记反 【例2】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）若将抛物线图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为（     ） A． B． C． D． 易错警示 沿x轴平移看h（左加右减），沿y轴平移看k（上加下减）；对y＝ax²＋bx＋c先配方再平移，注意是对“x”整体加减，符号不要搞错． 【变式2-1】将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位后所得图象的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】把抛物线图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【题型三】最值问题忽视自变量取值范围 【例3】二次函数（a为常数）在自变量x的值满足时，其对应的函数值y有最小值2a，则a的值为（    ） A． B．1 C． D． 易错警示 实际应用（如利润、面积）中，最值未必在顶点取得，还要结合自变量取值范围的端点比较，不能直接把顶点纵坐标当作答案． 【变式3-1】（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（     ）． A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）抛物线的顶点坐标为，并经过点． (1)求抛物线的解析式． (2)当时，求函数值的取值范围． 【变式3-3】（26-27九年级上·浙江·期中）二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 2 7 … (1)二次函数的图象开口向__________，对称轴为直线__________． (2)求该二次函数的解析式． (3)直接写出当时，y的取值范围 ． 【题型一】二次函数的多结论问题 【例1】（25-26九年级上·广东东莞·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数），则正确结论的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数），其中正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-2】（24-25九年级上·贵州·期末）如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①，②，③y的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型二】利用二次函数的最值求参 【例2】点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C．12 D． 【变式2-1】（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数在时最小值为，则b的值为（    ） A．4 B．4或 C． D．或 【变式2-2】（2026九年级上·全国·专题练习）已知二次函数的图象经过点． (1)求这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)当时，函数的最大值为m，最小值为n，若，求t的取值范围． 【题型三】二次函数与新定义问题 【例3】新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）． (1)若点是该二次函数的一个不动点，求的值； (2)若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围． 【变式3-2】数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题． 同学们，请你结合所学的数学解决下列问题． 在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象． (1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点； (2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由． 【题型一】二次函数与线段问题 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为交于点D，当点D是的三等分点时，求点P的坐标． 【变式1-1】如图在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，求的最大值及此时P的坐标； (3)在（2）的条件下，过点P作，垂足为M．求的最大值． 【变式1-2】如图，抛物线与x轴交于点，和点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)点为抛物线位于第一象限上一个动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段的最大值； (3)点，，，，将抛物线向上平移个单位，若平移后的抛物线与线段只有一个公共点，直接写出的取值范围． 【题型二】二次函数与周长问题 【例2】如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 【变式2-1】（26-27九年级上·甘肃定西·阶段检测）如图，已知抛物线经过，，三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求周长的最小值． 【变式2-2】（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）已知抛物线（a，b为常数，且）． (1)若抛物线经过点，求该抛物线的对称轴； (2)若将抛物线上的点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，仍在该抛物线上，求该抛物线的解析式． 【题型三】二次函数与面积问题 【例3】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）如图，直线经过点，抛物线经过点，点在线段上，轴，交抛物线对称轴右侧部分于点，且． (1)设点，求点的纵坐标（用两种不同的含的代数式表示） (2)连接，求的面积． 【变式3-1】如图，已知抛物线过与且有最小值． (1)求此二次函数的解析式； (2)抛物线与轴交于点，在抛物线上存在一点使的面积为24，求出点的坐标． 【变式3-2】如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在点D，使的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； (3)若点P是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线下方，当点移动到什么位置时能使的面积最大？求出此时点坐标． 【题型四】二次函数与特殊三角形的存在性问题 【例4】如图，已知抛物线 与x轴相交于A、B两点，若已知A点的坐标为． (1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程； (2)连接，求线段所在直线的解析式，并直接写出当抛物线在直线下方时x的取值范围； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标，请说明理由． 【变式4-1】二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点和点． (1)试求a，b所满足的关系式； (2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当的面积为面积的倍时，求a的值； (3)是否存在实数a，使得为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 【变式4-2】如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【题型五】二次函数与特殊四边形的存在性问题 【例5】如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC． （1）求此抛物线的解析式； （2）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【变式5-2】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与y轴的交点为C，顶点为D． (1)求该抛物线的表达式及D点的坐标； (2)点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②点P在抛物线上，点Q在y轴上，是否存在以B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型六】二次函数与角度存在性问题 【例6】如图，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)P是抛物线上的一个点，连接，，直接写出点P的坐标． 【变式6-1】二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的解析式； 【变式6-2】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴交于B（﹣1，0），C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接AB，点P为抛物线上一点，且∠ABP＝45°，求点P的坐标； 【题型七】二次函数与其它综合问题 【例7】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别交x轴、y轴于，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的正半轴相交于点C． (1)求k、c的值； (2)求点C的坐标和抛物线的顶点坐标； (3)若点M为直线AB上一动点，将点M向右平移4个单位长度，得到点N．若线段MN与抛物线只有一个公共点，请直接写出点M的横坐标的取值范围． 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中有一个封闭的形框，其中点，，，，，，抛物线；与轴交于点，． (1)当抛物线G的顶点为点C时，求b，c的值； (2)若抛物线G的顶点总在L形框内或边上，求长的取值范围； (3)若抛物线G仅经过点F，A，B中的两个点，直接写出所有符合条件的c的值． 【变式7-2】如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式； (2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； (3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 技巧 一句话要点 判断是否为二次函数——“三条件检查法” 整式、自变量最高次数为2、二次项系数a≠0，缺一不可。 识别开口方向与大小——“看二次项系数” a＞0开口向上，a＜0开口向下；|a|越大开口越窄。 求对称轴与顶点——“配方法/公式法” 配方得顶点式，或直接用x＝－b/(2a)、顶点坐标公式。 图象平移——“左加右减，上加下减” x轴看h（左加右减），y轴看k（上加下减），对“x”整体加减。 判断增减性——“按开口分侧” 开口向上，对称轴左侧减、右侧增；开口向下相反。 抛物线与x轴交点——“令y=0看判别式” Δ＞0两个交点，Δ＝0一个交点，Δ＜0无交点。 求最值——“顶点法+端点法” 先求顶点纵坐标，再结合自变量范围比较端点。 顶点式求顶点——“直接读出(h,k)” y＝a(x－h)²＋k的顶点为（h，k），对称轴x＝h。 一般式求顶点——“配方或套公式” 配方成顶点式，或用顶点坐标公式（－b/(2a)，(4ac－b²)/4a）。 平移求解析式——“顶点平移法” 先找原顶点，平移后得新顶点，代入顶点式。 含参问题——“代回检验” 由图象/性质求参数后，代回检验是否满足a≠0及题意。 实际应用——“审设列求检验” 建立二次函数模型，求最值时结合自变量实际范围，检验结果是否符合题意。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(8类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(12类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(7类) 答题技巧清单 知识点01 二次函数的概念 1.二次函数的定义：一般地，形如y＝ax²＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中x是自变量，a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项． 2.二次函数必须同时满足的三个条件： ①是整式函数； ②自变量x的最高次数是2； ③二次项系数a≠0． 3.当b＝c＝0时，二次函数为y＝ax²（最简形式）． 知识点02 二次函数y=ax²的图象与性质 1.二次函数y＝ax²（a≠0）的图象是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点是原点（0，0）． 2.当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是最低点；当a＜0时，开口向下，顶点是最高点． 3.增减性： ①a＞0时，在对称轴左侧（x＜0），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（x＞0），y随x的增大而增大； ②a＜0时，在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减小． 4.|a|越大，抛物线开口越小． 知识点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质 1.二次函数y＝a(x－h)²＋k的顶点是（h，k），对称轴是直线x＝h． 2.图象平移规律：抛物线y＝ax²平移得到y＝a(x－h)²＋k，h、k决定平移的方向与距离：沿x轴左加右减，沿y轴上加下减． 3.当h＞0时，抛物线向右平移h个单位；当h＜0时，向左平移|h|个单位；k＞0时向上平移k个单位，k＜0时向下平移|k|个单位． 知识点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 1.一般式y＝ax²＋bx＋c（a≠0）通过配方可化为顶点式y＝a(x－h)²＋k，其中h＝，k＝ ． 2.对称轴：直线x＝；顶点： ． 3.最值：当x＝时，y取最值；a＞0时有最小值，a＜0时有最大值． 4.增减性：结合对称轴与开口方向判断（开口向上，对称轴左侧递减、右侧递增；开口向下相反）． 知识点05 二次函数与一元二次方程 1.二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程ax²＋bx＋c＝0的根． 2.令y＝0，解方程ax²＋bx＋c＝0，根的个数由判别式Δ＝b²－4ac决定： ①Δ＞0时，抛物线与x轴有两个交点； ②Δ＝0时，抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上）； ③Δ＜0时，抛物线与x轴没有交点． 知识点06 实际问题与二次函数 1.用二次函数解决实际问题（利润、面积、距离等）的一般步骤：审、设、列、求、验、答． 2.求最值时，先确定自变量的取值范围，再求顶点坐标；当顶点在取值范围内时，顶点纵坐标即最值；否则要比较端点处的函数值． 3.抛物线的顶点即二次函数的最值点：开口向上取最小值，开口向下取最大值． 考点01 二次函数的概念与识别 考点内容：二次函数的定义；判断一个函数是不是二次函数（整式、自变量最高次数为2、a≠0）；指出各项系数． 常见考法： ①判断给定的函数解析式是不是二次函数； ②指出二次函数解析式中的二次项系数、一次项系数、常数项； ③含参数的解析式，由“它是二次函数”确定参数的值（注意a≠0）． 考点02 二次函数y=ax²的图象与性质 考点内容：y＝ax²（a≠0）的图象（抛物线）、对称轴（y轴）、顶点（原点）；开口方向与增减性；|a|与开口大小的关系． 常见考法： ①根据a的符号判断开口方向、顶点位置、最值； ②判断二次函数在对称轴两侧的增减性； ③由图象信息判断a的符号或比较函数值大小． 考点03 二次函数图象的平移（y=a(x-h)²+k） 考点内容：平移规律“左加右减、上加下减”；由平移前后顶点求解析式；由解析式判断平移方式． 常见考法： ①说出抛物线y＝ax²经过怎样的平移得到y＝a(x－h)²＋k； ②已知平移，写出新的解析式； ③利用平移求顶点坐标或对称轴． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的性质 考点内容：一般式的配方与顶点式；对称轴、顶点坐标；开口方向、增减性、最值；系数符号的判断． 常见考法： ①用配方法或公式求对称轴、顶点、最值； ②判断二次函数在给定区间内的增减性或比较函数值大小； ③由图象（或性质）判断系数a、b、c及判别式Δ的符号． 考点05 二次函数与一元二次方程 考点内容：抛物线与x轴交点横坐标即方程根；判别式决定交点个数；利用交点求根或进行判断． 常见考法： ①求抛物线与x轴的交点坐标； ②由判别式判断交点个数（或由交点个数求参数）； ③利用抛物线与x轴的交点求一元二次方程的根或进行判断． 考点06 二次函数的最值与实际应用 考点内容：二次函数的最值；实际问题（利润、面积等）中的最值；自变量取值范围对最值的影响． 常见考法： ①求二次函数的最大（小）值； ②建立二次函数模型解决利润、面积、运动等实际问题； ③结合自变量取值范围求实际最值，检验结果是否符合题意． 1 二次函数的一般式、顶点式与图象性质 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 二次函数的一般形式 y＝ax²＋bx＋c（a≠0） a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项 2 顶点式 y＝a(x－h)²＋k 顶点为（h，k），对称轴为直线x＝h 3 对称轴 x＝－ 一般式y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的对称轴 4 顶点坐标 （，） 一般式顶点（通过配方可得） 5 图象平移规律 左加右减（看h），上加下减（看k） y＝ax²平移得到y＝a(x－h)²＋k 6 最值 当x＝－时，y最值＝ a＞0取最小值，a＜0取最大值 2 二次函数与一元二次方程、实际应用 序号 名称 公式（几何语言） 说明 7 抛物线与x轴交点 令y＝0，解ax²＋bx＋c＝0； Δ＝b²－4ac Δ＞0两个交点；Δ＝0一个交点； Δ＜0无交点 8 利润（最值）模型 设利润（面积）为y，列出二次函数后求顶点处最值 结合自变量取值范围求实际最值 辨析01 二次函数必须同时满足三个条件，缺一不可 判断一个函数是不是二次函数，必须满足：是整式函数、自变量的最高次数是2、二次项系数a≠0．三项缺一不可，不要只凭“含有x²项”就断定是二次函数． 辨析02 二次项系数a决定开口方向与开口大小 a＞0时开口向上，a＜0时开口向下；|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大．a的符号与大小直接影响图象的形状． 辨析03 对称轴与顶点：一般式与顶点式的关系 一般式y＝ax²＋bx＋c通过配方可化为顶点式y＝a(x－h)²＋k，对称轴为直线x＝h，顶点为（h，k）．求对称轴和顶点既可用配方法，也可直接套用公式x＝－． 辨析04 图象平移“左加右减、上加下减” 沿x轴平移看h（在x上左加右减），沿y轴平移看k（在式子末尾上加下减）．注意是对“x”整体加减，而非对“－h”本身加减，符号不要搞错． 辨析05 增减性因开口方向而异 开口向上时，对称轴左侧递减、右侧递增；开口向下时，对称轴左侧递增、右侧递减．判断增减性必须先确定开口方向，再以对称轴为界分侧讨论． 辨析06 抛物线与x轴交点和判别式的关系 抛物线与x轴交点的横坐标即方程ax²＋bx＋c＝0的根．Δ＞0有两个交点，Δ＝0有一个交点（顶点在x轴上），Δ＜0没有交点．不要误以为图象一定与x轴相交． 辨析07 最值：开口向上取最小值，开口向下取最大值 顶点纵坐标即函数的最值：a＞0时为最小值，a＜0时为最大值．二次函数没有“最小值与最大值同时存在”的情况． 辨析08 二次项系数a不能为0 只有a≠0时y＝ax²＋bx＋c才是二次函数；若a＝0，则变为一次函数y＝bx＋c．判断含参函数是否为二次函数时，a≠0是必要前提． 辨析09 顶点式与一般式的转化（配方法） 配方法把一般式化为顶点式：提出二次项系数、加上“一次项系数一半的平方”配成完全平方式．配出的h、k即为顶点坐标，可直接用于求对称轴和最值． 辨析10 实际应用中的自变量取值范围 建立二次函数模型解决实际问题时，自变量往往受实际意义限制（如件数、边长、价格为正等）．求最值时不能只取顶点，还要结合取值范围比较端点处的函数值． 【题型一】二次函数的概念 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的定义，分别对A、B、C、D各选项进行判断即可得答案. 【详解】解：A.是整式，自变量最高次数为2，二次项系数不为0，是二次函数，故A正确. B.中自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数，故B错误. C. 的函数表达式为分式，不是整式，不是二次函数，故C错误. D. 的函数表达式为分式，不是整式，不是二次函数，故D错误. 【变式1-1】（26-27九年级上·全国·单元复习）下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．是一次函数，不符合． B．的自变量最高次数为3，不符合． C．是二次函数，符合． D．含分式，不是整式函数，不符合． 【变式1-2】（25-26九年级下·云南昆明·阶段检测）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，一般的，形如（，，是常数，且）的函数叫做二次函数． 【详解】解：①符合定义，是二次函数． ②符合定义，是二次函数． ③，符合定义，是二次函数． ④不符合定义，不是二次函数． ⑤不符合定义，不是二次函数． ⑥，因为为常数，所以，符合定义，是二次函数． ⑦，符合定义，是二次函数． 综上所述，符合条件的二次函数共个，故选C． 【题型二】二次函数的一般形式 【例2-1】（24-25九年级上·山西吕梁·阶段检测）将二次函数化为一般式，下列正确的 是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的一般形式，通过去括号、合并同类项对等式的右边进行变形处理即可． 【详解】解： 故选：D 【变式2-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数的二次项系数为______，一次项系数为_______，常数项为______． 【答案】 1 0 【分析】将二次函数整理为一般形式，即可对应得到各项系数． 【详解】解：展开给定的二次函数，得， 对比二次函数一般形式， 可得二次项系数，一次项系数，常数项． 【变式2-2】已知二次函数 (1)将二次函数化为一般式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先按照完全平方公式计算函数右边的乘法运算，再合并同类项即可得到答案； （2）把代入函数解析式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）当时，． 【点睛】本题考查的是把抛物线化为一般式，计算函数的函数值，熟练地把二次函数化为一般式是解本题的关键． 【题型三】由二次函数的定义求字母的值 【例3】（26-27九年级上·重庆渝北·阶段检测）如果函数是关于的二次函数，那么的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数定义，二次项系数不为，列不等式求解． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴， 解得． 【变式3-1】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）若函数是二次函数，那么的值 为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，依据二次函数最高次项的次数为2这一性质列方程求解即可． 【详解】∵是二次函数， ∴ 解得 此时函数为，满足二次函数的定义． 故选：D． 【变式3-2】（2026九年级上·全国·专题练习）若 是关于 的二次函数，则 的取值范围是___________． 【答案】 【分析】因为函数是关于x的二次函数，所以二次项系数需满足不等于0的条件．求解不等式，即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵ 是关于 的二次函数， ∴， ∴． 【题型四】二次函数的性质 【例4-1】关于二次函数的图像，下列结论不正确的是（    ） A．抛物线与轴交于点 B．抛物线的开口向上 C．时，随的增大而减小 D．对称轴是直线 【答案】A 【分析】先把题目中的解析式化成一般式，再利用二次根式的性质即可判断各项． 【详解】 抛物线与轴交于点，抛物线的开口向上，对称轴是直线 时，随的增大而减小 故A选项错误，B、C、D选项正确； 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，抛物线与轴交点，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式4-1】（2025·四川成都·模拟预测）关于x的二次函数，下列说法错误的是（   ） A．函数图象的对称轴是直线 B．当时，y的值随x值的增大而增大 C．函数图象一定经过点 D．当时，函数图象与x轴一定有两个交点 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，由题意得，函数图象的对称轴是直线；若，则当时，y的值随x值的增大而增大，若，则当时，y的值随x值的增大而减小；由题意可知函数图象一定经过点，当时，根据，可知函数图象与x轴一定有两个交点，即可得出答案． 【详解】解：函数图象的对称轴是直线， 故A选项正确，不符合题意； 若，则当时，y的值随x值的增大而增大，若，则当时，y的值随x值的增大而减小， 故B选项不正确，符合题意； 将代入，得， ∴函数图象一定经过点， 故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴当时，， ∴此时函数图象与x轴一定有两个交点， 故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 【变式4-2】（26-27九年级上·广西南宁·开学考试） … 1 2 3 … … 3 0 … 则下列关于二次函数的说法正确的是（     ） A．二次函数图象的开口向下 B．二次函数图象的对称轴为直线 C．若点在该函数图象上，则 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】根据表格中所给数据，可利用待定系数法求出函数解析式，并化为顶点式，进而得到开口方向，增减性和对称轴，再对所给选项依次进行判断，据此可得答案． 【详解】解：将点、代入中， 得：， 解得， ∴二次函数解析式为， A、∵， ∴函数图象开口向上， 故A不符合题意； B、∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 故B不符合题意； C、当时，， 故C符合题意； D、∵二次函数解析式的对称轴为直线，函数图象开口向上， ∴当时，的值随值的增大而增大， 故D项不符合题意． 【题型五】二次函数的图象共存问题 【例5-1】（26-27九年级上·全国·单元复习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象分布，确定字母范围，相同字母范围一致的即可． 【详解】解：选项A. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得；一致，符合要求； 选项B. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得；不一致，不符合要求； 选项C. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得，不一致，不符合题意；     选项D. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得，不一致，不符合题意． 【变式5-1】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）抛物线与直线在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数和一次函数的性质逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、抛物线的图象开口向上，则，直线从左向右上升，则，且与轴交于负半轴，故符合题意； B、抛物线的图象开口向上，则，直线从左向右下降，则，故不符合题意； C、抛物线的图象开口向下，则，直线从左向右上升，则，且与轴交于负半轴，故不符合题意； D、抛物线的图象开口向下，则，直线从左向右下降，则，但与轴交于正半轴，故不符合题意． 【变式5-2】（25-26九年级上·四川泸州·阶段检测）一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，结合一次函数和二次函数的图象性质，从系数的符号，特殊点、对称轴等方面逐项分析即可． 【详解】解：A、选项一次函数从左到右下降，说明，二次函数：开口向上，说明，的符号矛盾，A选项错误； B、选项一次函数从左到右上升，说明，二次函数对称轴：因为，但图中抛物线对称轴在轴左侧，矛盾，B选项错误； C、选项一次函数从左到右上升，说明，与x轴交点为，符合一次函数的性质，二次函数开口向上，说明，对称轴，与图中抛物线对称轴在轴右侧一致，判别式：，若且抛物线与轴有两个交点，则，，即，是合理的，所有性质均一致，C选项正确； D、选项一次函数从左到右下降，说明，二次函数开口向下，说明，一次函数与轴交点应为，但图中直线与轴交点不是，矛盾，D选项错误． 故选：C． 题型六 利用二次函数的性质比较函数值的大小 【例6】已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的解析式确定开口方向和对称轴，然后根据离抛物线的对称轴的距离判断函数值大小即可． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ∵，，， 又，抛物线开口方向向上，离抛物线的对称轴越远的点，对应的函数值越大， ∴． 【变式6-1】（26-27九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）已知点，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算出、、，再比较大小即可． 【详解】解：将各点横坐标代入，得，，， ∴． 【变式6-2】（26-27九年级上·浙江衢州·阶段检测）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求抛物线的对称轴与开口方向，利用对称性将点转化到对称轴同侧，结合增减性比较函数值大小． 【详解】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线 点关于直线的对称点为 ∵当时，随的增大而减小，且， ∴． 题型七 利用二次函数的对称性求值 【例7-1】（25-26九年级上·山东德州·期中）已知二次函数，当x分别取m，n（，，）时，函数值相等，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数 的图象关于y轴对称，因此当函数值相等时，对应的自变量互为相反数． 【详解】∵ 二次函数 的对称轴为y轴， 又 ∵ 当 和 （，, ）时函数值相等， ∴ 和 互为相反数，即 ， ∴ ． 故选：A． 【变式7-1】如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，若点A的坐标为，则点B的坐标为　 　． 【答案】（2，）． 【分析】由于AB与x轴平行，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，根据抛物线的对称性得到点A与 点B关于直线x＝1对称，然后写出B点坐标． 【详解】解：∵AB与x轴平行，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1， ∴点A与点B关于直线x＝1对称， 而点A的坐标为， ∴B点坐标为（2，）． 故答案为（2，）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用纵坐标相等的点关于对称轴对称是解题关键． 【变式7-2】（25-26九年级上·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，点，是抛物线上两个不同的点． (1)当时，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）求出抛物线的对称轴为直线，再结合得出点，关于直线对称，即可得出结果； （2）分两种情况：若，则；若，则；结合二次函数的增减性，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为 ∴抛物线的对称轴为直线． ∵， ∴点，关于直线对称． ∴． （2）解：若，则． 当时，y随着x的增大而减小；当时，y随着x的增大而增大． ∵当，时，总成立，且是关于对称轴的对称点的横坐标， ∴或． ∴． 若，则． 当时，y随着x的增大而增大；当时，y随着x的增大而减小． ∵当，时，总成立，且是关于对称轴的对称点的横坐标， ∴或． ∴． 综上，的取值范围是或． 题型八 待定系数法求二次函数的解析式 【例8】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过，两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若平移该二次函数的图象，使其经过点，且对称轴为直线，求平移后的二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，熟知待定系数法和平移的规律是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）利用平移的规律求得平移后的二次函数的解析式． 【详解】（1）解：把，代入， 得：， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：由题意，设平移后的二次函数的解析式为， 将点代入，得， 解得． ∴将二次函数的图象平移后的二次函数的解析式为． 【变式8-1】已知二次函数的图象经过点，． (1)求这个函数的解析式； (2)求这条抛物线的顶点坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）利用配方法计算坐标即可． 【详解】（1） 根据题意得，解得， ∴二次函数解析式为； （2） ， ， ， ∴抛物线的顶点坐标为． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，求抛物线的顶点坐标，熟练掌握知识点且正确计算是解题的关键． 【变式8-2】已知二次函数的图象经过点和，顶点为． (1)求b，c的值； (2)求点坐标． 【答案】(1)b，c的值分别是， (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）将两点坐标代入二次函数解析式得到关于b与c的方程组，求出方程组的解即可； （2）将抛物线解析式转化为顶点式，由此求得P点的坐标． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点和， 解得： b，c的值分别是，； （2）由（1）可知，抛物线解析式为， 所以． 所以点P的坐标为． 题型九 二次函数与一元二次方程 【例9】 已知抛物线与坐标轴有三个交点，则k的取值范围（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】由-1≠0知，抛物线与y轴有一个非原点的交点（0，-1），故抛物线与x轴有两个不同的交点，即方程kx2+2x-1=0有两个不同的实根，再判断△即可． 【详解】解：由-1≠0知，抛物线与y轴有一个非原点的交点（0，-1），故抛物线与x轴有两个不同的交点，即方程kx2+2x-1=0有两个不同的实根 ∴△=4+4k＞0即k＞-1， 因为二次项的系数不能为0 ∴k＞-1且， 故选D． 【点睛】本题考查了抛物线与函数的关系，利用一元二次方程的判别式来判断抛物线与坐标轴的交点个数，做题时要认真分析，找到它们的关系． 【变式9-1】二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴方程为x＝﹣1，图象与x轴相交于点（1，0），则方程cx2+bx+a＝0的根为（　　） A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2 D．x1＝﹣1，x2 【答案】C 【分析】根据抛物线的对称性由抛物线与x轴的一个交点为（1，0）且对称轴为直线x＝﹣1，得抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），从得出答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点为（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1， 则抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0）， ∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x1＝1，x2＝﹣3，可得a+b（）+c（）2＝0， 设t，可得ct2+bt+a＝0， ∴t1＝1，t2， 由上可得，方程cx2+bx+a＝0的两个根为x1＝1，x2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点，掌握抛物线与x轴交点的横坐标即为方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是解题的关键． 【变式9-2】（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）已知抛物线与轴有两个交点． (1)求的取值范围； (2)如果是正整数，且该抛物线与轴的交点的横坐标都是整数，求该抛物线与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 抛物线与轴的交点坐标为和 【分析】（1）因为抛物线与轴有两个交点，所以方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式求出的取值范围； （2）由（1）可知，又因为是正整数，所以或，分情况求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴有两个交点， 方程有两个不相等的实数根， ， 整理可得：， 解得：； （2）解：由（1）可知， 又是正整数， 或， 当时，方程为， 解得：，， 抛物线与轴的交点坐标为和； 当时，方程为， 解得：，， 抛物线与轴的交点的横坐标都是整数， 不符合题意； 综上所述，该抛物线与轴交点坐标为和． 【变式9-3】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）已知二次函数（为常数）的图像与轴有两个交点， (1)求的取值范围； (2)若此二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1，求的值． 【答案】(1)且. (2)或. 【分析】（1）由是二次函数解析式可得，再由二次函数的图像与轴有两个交点可得，即可求出的取值范围； （2）设二次函数图像与轴的两个交点的横坐标为，（），由和根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）解：∵是二次函数， ∴， ∵二次函数的图像与轴有两个交点， ∴，解得：， 综上：且． （2）解：设二次函数图像与轴的两个交点的横坐标为，（）， ∴，为（）的两个根， ∴，， ∵二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即或， ∴或． 题型十 二次函数与不等式 【例10】二次函数，当0≤x≤3时，y的取值范围为（　　） A．3≤y≤9 B．1≤y≤9 C．1≤y≤3 D．0≤y≤1 【答案】B 【分析】根据函数得到函数有最小值1，画出函数的图像，运用数形结合思想解答即可． 【详解】解：二次函数的图像如图： 所以函数有最小值1，当x=0时，y=3，当x=3时，y=9， 当0≤x≤3时，x=1在范围内，故函数值能取到最小值，故1≤y≤9． 故选：B． 【点睛】 本题考查了抛物线的顶点坐标，最值，增减性，数形结合思想，熟练掌握抛物线的性质和数形结合思想是解题的关键． 【变式10-1】（25-26九年级上·北京·期中）如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，进而可得答案． 【详解】解：由函数图象得：二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于x的不等式的解集是 故选：C． 【变式10-1】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 【变式10-3】（2026九年级上·山东·专题练习）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． (1)写出方程的两个根：__________； (2)写出不等式的解集：__________； (3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围__________； (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围：__________． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】（1）根据函数图象与x轴的两个交点的横坐标进行解答即可； （2）根据函数图象找出在x轴下方的部分所对的x值即可； （3）根据抛物线的开口方向和对称轴进行解答即可； （4）根据函数图象进行解答即可． 【详解】（1）解：抛物线的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和， 一元二次方程的两个根分别是，； （2）解：由图象可知，当时，抛物线的图象在轴的下方， 不等式的解集为； （3）解：由图象可知，抛物线开口向上，对称轴为， 在对称轴的左侧随的增大而减小， 随的增大而减小的自变量的取值范围是； （4）解：由图象可知，当时， 抛物线与直线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根时，． 题型十一 由实际问题列二次函数的解析式 【例11】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据题意可得今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为，即可求解． 【详解】解：根据题意，今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为， ∴该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为， 故选：C． 由二次函数的定义可得，四个选项中，只有C选项中的函数是二次函数， 故选：C． 【变式11-1】（24-25九年级上·广东江门·期中）两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求二次函数关系式，求出另一个正方形的边长为，再由正方形面积公式计算即可得解，求出另一个正方形的边长为是解此题的关键． 【详解】解：∵其中一个正方形的边长为， ∴其中一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的边长为， ∵第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为， ∴面积之和为， 故选：C． 【变式11-2】如图1，发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线y＝a（x﹣30）2+k的一部分，若发射石块在空中飞行的最大高度为15米，则该抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D．y＝﹣2（x﹣15）2+30 【答案】A． 【分析】根据石块在空中飞行的最大高度为15米，得到抛物线解析式为y＝a（x﹣30）2+15，将点（0，0）代入，求得，即得抛物线解析式为． 【详解】解：由题意可得：抛物线解析式为：y＝a（x﹣30）2+15， 将点（0，0）代入y＝a（x﹣30）2+15， 得0＝900a+15， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质是解题的关键． 【变式12-3】如下图所示，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则y与x之间的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】由于整个挂画为长方形，用x分别表示新的长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式． 【详解】解：由题意可得： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是根据题意，找到所求量的等量关系，此题主要利用了长方形的面积公式解题． 题型十二 次函数的实际应用 【例12】（26-27九年级上·全国·课后作业）某旅游纪念品每件进价为6元，当销售单价为8元时，每天可售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为W（元）． (1)求y与x的函数解析式； (2)求日销售利润W与销售单价x的函数解析式；当x为何值时，日销售利润最大？求最大利润． 【答案】(1) (2)，当时，日销售利润最大，最大利润为元 【分析】（1）根据销售单价每提高1元，日销量将会减少10件列出对应的函数关系式即可； （2）根据总利润每件纪念品的利润销售量列出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 即． （2）解：由题意得， ， ，且当时，W随x的增大而增大， ∴当时，日销售利润最大，最大利润为960元． 【变式12-1】如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为，宽为，抛物线的最高点C离路面的距离为． (1)按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式； (2)一大型货运汽车装载某大型设备后高为，宽为．如果该隧道内设双向行车道，在两车道之间设置宽度为的隔离带，且要求货车与隧道内壁（）及隔离带水平方向都至少保持安全距离，那么这辆货车能否安全通过？请说明理由． 【答案】(1) (2) 根据题意，把代入解析式， 得， ∵， ∴这辆货车能安全通过． 【分析】本题考查了利用待定系数法确定二次函数解析式和二次函数在实际生活中的应用，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入求出函数值和车的高度作比较即可解题． 【详解】（1）解：由题意得：设该抛物线的表达式为，又知抛物线过点， 所以， 解得， ∴； （2）略 【变式12-2】（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）学校为了让学生观察植物的生长习性，打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用26米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为43米，设实验田的长为x米． (1)的长为_________米（用含x的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为150平方米，求x的值； (3)通过计算说明该实验田的面积最大是多少？ 【答案】(1) (2) (3)实验田的最大面积为平方米 【分析】（1）根据栅栏总长度3倍长度长度个门的宽，列式即可； （2）先确定的取值范围，再根据题意列方程求解即可； （3）设实验田面积为，则，再根据二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）解：∵米， 根据题意可得：， 整理后得米； （2）解：∵，侧墙最大可用15米， ∴， ∵米，侧墙最大可用26米，故，解得， ∴， ∵矩形面积为， ∴， 整理得：， 解得，（不符合要求，舍去）， ∴； （3）解：设实验田面积为， 则， 这是开口向下的二次函数，对称轴为直线， ∵， ∴时，取得最大值，此时，符合的要求， ∴代入，得， ∴实验田的最大面积为平方米． 【变式12-3】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，网前吊球这种击球的运动路线可以近似抽象成如下路线，如图1所示． 【数学建模】小明发现网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图2所示，从点击球，击球点是抛物线的最高点，点到地面的距离，球网的上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设击球路线经过点正上方处的点，网前吊球的落点为点． (1)请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求出击球路线的函数表达式． 【模型应用】 (2)网前吊球的落点到球网的距离 ； (3)甲在处网前吊球，乙站在球网右侧，只有当羽毛球离地高度不小于时，乙才能成功接球，求乙能接到球时拍面距离球网的水平距离的取值范围． 【答案】(1)直角坐标系如图所示： 击球路线的函数表达式为 (2) (3) 【详解】（1）解：以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系略； 连接， 设抛物线解析式为， ， ， ，， ， ， ， 把，代入函数解析式得， 解得， ； （2）解：把代入抛物线解析式得， 解得，， ， ； （3）解：把代入抛物线解析式得， 解得，， 乙站在球网右侧， ， 羽毛球离地高度不小于， ， ， ， 乙站在球网右侧， 的取值范围为． 【题型一】忽视“二次项系数a≠0”而致错 【例1】（25-26九年级下·全国·单元测试）若是关于的二次函数，则的值是（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义．需满足自变量最高次数为2且二次项系数不为0，据此列方程与不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数． ∴根据二次函数定义可得： 由，得， 即或 又∵， ∴ ∴． 故选：C 易错警示 判断含参函数是否为二次函数，必须满足a≠0；若题干只说“是函数”，还要分a≠0（二次函数）与a＝0（一次函数等）两种情况讨论，不要漏解． 【变式1-1】（2026·河南驻马店·三模）若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】分两种情况分析：①当时，②当时，分别利用一次函数与二次函数与坐标轴的交点问题求解即可． 【详解】解：①当时，直线与轴有交点， ∴符合题意． ②当时，抛物线与轴有交点，即关于的方程有实数根， ∴，解得． ∴当且时，符合题意． 综上所述，的取值范围是． 【变式1-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知函数（m为常数）． (1)当m满足什么条件时，该函数是二次函数？ (2)当m满足什么条件时，该函数是一次函数？ (3)该函数可能是正比例函数吗？ 【答案】(1) (2) (3)该函数不可能是正比例函数 【分析】（1）根据二次函数的定义，二次项的系数不能为0，列出不等式，求解得出m的取值范围即可； （2）根据一次函数的定义，一次项的系数不能为零，且二次项的系数应该为0，据此求解得出m的值即可； （3）根据正比例函数的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：∵函数是二次函数， ∴， 解得， 故当时，该函数是二次函数． （2）解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得， 故当时，该函数是一次函数． （3）解：该函数的常数项是，不可能为0， ∴该函数不可能是正比例函数． 【题型二】图象平移方向记反 【例2】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）若将抛物线图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】向右平移2个单位，将原解析式中的x替换为，得到第一次平移后的解析式．向下平移3个单位，在第一次平移后的解析式基础上减去3，整理后和选项对比即可． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，得． 再向下平移3个单位，得． 易错警示 沿x轴平移看h（左加右减），沿y轴平移看k（上加下减）；对y＝ax²＋bx＋c先配方再平移，注意是对“x”整体加减，符号不要搞错． 【变式2-1】将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位后所得图象的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，即可得出答案，熟练掌握二次函数的平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位后所得图象的函数解析式为，即， 故选：A． 【变式2-2】把抛物线图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的平移． 根据二次函数图象的平移规律，可得平移后的解析式，由代数式相等，可得对应项的系数相等，从而可得，，的值，代入计算即可． 【详解】解：把抛物线图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为， 化简整理得， 根据题意可得， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的值为， 故选：A． 【题型三】最值问题忽视自变量取值范围 【例3】二次函数（a为常数）在自变量x的值满足时，其对应的函数值y有最小值2a，则a的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由解析式可知该函数在x=a时取得最小值3-a2，x＞a时，y随x的增大而增大；当x＜a时，y随x的增大而减小；根据2≤x≤3时，函数的最小值为2a可分如下两种情况：①若a＜2≤x≤3，x=2时，y取得最小值2a；②若2≤x≤3＜a，当x=3时，y取得最小值2a，分别列出关于a的方程求解即可． 【详解】解：∵y=x2-2ax+3=（x-a）2+3-a2， ∴当x＞a时，y随x的增大而增大，当x＜a时，y随x的增大而减小， ∴①若a＜2≤x≤3，x=2时，y取得最小值2a， 可得：（2-a）2+3-a2=2a， 解得：a=； ②若2≤x≤3＜a，当x=3时，y取得最小值2a， 可得：（3-a）2+3-a2=2a， 解得：a=＜3（不合题意） ③若2＜a＜3时，当x=a时，y取得最小值为3-a2，即3-a2=2a 解得 a=-3＜2或a=1＜2（不合题意）． 综上，a的值为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键． 易错警示 实际应用（如利润、面积）中，最值未必在顶点取得，还要结合自变量取值范围的端点比较，不能直接把顶点纵坐标当作答案． 【变式3-1】（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象和性质，判断二次函数的开口方向，对称轴，以及顶点坐标，结合自变量的取值范围，得出对应的取值范围． 【详解】解：∵二次函数，对称轴为直线，顶点坐标为， 二次函数转化为一般式为，，二次函数开口向上， 又∵在的范围内， ∴当时，该函数在对称轴左侧随的增大而减小， 当时，，当时，取得最小值， ∴此时的取值范围是， 当时，该函数在对称轴右侧随的增大而增大， ∵， ∴， ∴此时的取值范围是， ∴当时，的取值范围是． 【变式3-2】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）抛物线的顶点坐标为，并经过点． (1)求抛物线的解析式． (2)当时，求函数值的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是能熟练掌握二次函数的图象和性质． （1）设二次函数的解析式为顶点式，将顶点坐标及任一点代入求出即可； （2）根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为, 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 即； （2）解：∵，且函数开口向下，抛物线顶点坐标为， ∴当时，函数值最大，此时； 当时，函数值最小，此时； ∴当时，函数值的取值范围是． 【变式3-3】（26-27九年级上·浙江·期中）二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 2 7 … (1)二次函数的图象开口向__________，对称轴为直线__________． (2)求该二次函数的解析式． (3)直接写出当时，y的取值范围 ． 【答案】(1)上， (2) (3) 【分析】（1）当时，；当时，，可得对称轴，由表中数据，利用待定系数法即可求得a的值，即可判断开口方向； （2）由表中数据，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当和时y的值，结合顶点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，；当时，， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∵对称轴为直线， ∴， ∴ ∴二次函数的图象开口向上． （2）解：由（1）知，二次函数图象的对称轴为直线，， 由表知 ，当时，， ∴顶点坐标为， ∴． ∴二次函数的表达式为． （3）解：当时，； 当时，． 又∵二次函数图象的顶点坐标为，抛物线开口向上， 当时，随增大而减小，当时，随增大而增大， ∴当时，． 【题型一】二次函数的多结论问题 【例1】（25-26九年级上·广东东莞·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数），则正确结论的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交点在正半轴；根据对称轴可得出②的结论；根据图象的对称性，可知和的值相同，代入可得出③的结论；图象与x轴有两个交点，则；图象开口向下有最大值． 【详解】解：由图象可得：开口向下，对称轴在y轴右侧，顶点在第一象限， ，，； ，故①错误，不符合题意； ∵对称轴为直线， ， ， ，故②正确，符合题意； 由图象可知，当时，， ，故③正确，符合题意； 图象与x轴有两个交点， ， ，故④正确，符合题意； 图象开口向下，对称轴为，顶点坐标为， 二次函数图象有最大值， （m为任意实数）， （m为任意实数）， 即（m为任意实数），故⑤正确，符合题意； 综上所述，正确结果有4个． 【变式1-1】（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数），其中正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点和点， ∴抛物线对称轴为直线，故②正确； ∴， ∴， ∴，故①错误； 由函数图象可知，当时，抛物线在x轴上方， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，抛物线有最大值， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有②③⑤，共个． 【变式1-2】（24-25九年级上·贵州·期末）如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①，②，③y的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与x轴的交点问题等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴可知，再由抛物线对称轴为直线得到，由此即可判断①；求出抛物线与x轴的另一个交点为即可判断②；根据抛物线与直线有两个不同的交点即可判断④，结合函数图象进行分析③即可作答． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵图象过点，且对称轴为直线 ∴， 即抛物线与x轴的另一个交点为， ∴，故②正确； ∵方程的根可以看作是抛物线与直线的交点的横坐标，而由函数图象可知抛物线与直线有两个不同的交点， ∴方程有实数根，故④正确； 无法知道y的最大值，故③不正确； ∴正确的有2个， 故选B． 【题型二】利用二次函数的最值求参 【例2】点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C．12 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．把点代入求出t的值，即可得到，然后根据m的取值范围得到最值求差解题即可． 【详解】解：， ， 解得：或 (舍去)， ， ， ∴抛物线的对称轴为直线：， ， ， 当时，有最大值，， 当时，有最小值， ， ∴函数的最大值与最小值的差为， 故选：D． 【变式2-1】（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数在时最小值为，则b的值为（    ） A．4 B．4或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据题意易得二次函数开口向上，其最小值可能在顶点或区间端点处，需分顶点在区间内、左侧、右侧三种情况讨论，结合最小值条件求解． 【详解】解：由二次函数， ∴二次函数图象的对称轴为直线，开口向上，且顶点坐标为， 当 即 时，顶点处取最小值，代入顶点坐标得： 则， 解得 ，即 ； ∴； 当 即 时，最小值在 处， 则 解得 ，满足 ； 当 即 时，最小值在 处， 则， 解得 ，但 不成立，舍去， 综上，或． 故选：B． 【变式2-2】（2026九年级上·全国·专题练习）已知二次函数的图象经过点． (1)求这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)当时，函数的最大值为m，最小值为n，若，求t的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2) 【分析】（1）先代入点求出函数解析式，再确定二次函数图象的对称轴与顶点坐标； （2）按t和对称轴的大小关系分情况讨论区间最值，利用列方程计算，最后舍去不符合条件的解，整合得到t的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ， 解得， ∴这个二次函数的解析式为， ， ∴这个二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． （2）解：当时，需分情况讨论： ①当时，y随x的增大而增大， 由题意可得，当时，y取最大值，即； 当时，y取最小值，． 又， ， ， 解得； ②当时， ∵抛物线开口向下， ∴距离抛物线对称轴越远，所对应的函数值越小． 若，即时， ∴当时，y取最大值， 此时； 当时，y取最小值，此时， ，符合题意； 若，即时， ∴当时，y取最大值，此时， 当时，y取最小值， ， 又， ， ， 解得或，不合题意． 综上所述，t的取值范围为． 【题型三】二次函数与新定义问题 【例3】新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解． 【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为， 将代入得， 将代入得， 设，，如图， 联立与，得方程， 即 抛物线与直线有两个交点， ， 解得， 当直线和直线与抛物线交点在点A，上方时，抛物线与线段有两个交点， 把代入，得， 把代入得， ， 解得， ． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数图象与正比例函数图象的交点问题，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解． 【变式3-1】定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）． (1)若点是该二次函数的一个不动点，求的值； (2)若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据“不动点”定义，建立方程求解即可； （2）根据不动点的定义求出函数，再根据判别式计算即可． 【详解】（1）解：依题意把点代入解析式， 得，化简得：，解得：； （2）解：设点是函数的一个不动点， 则有，化简得，， 关于的方程有实数解， ，解得：． 【点睛】本题考查了二次函数与新定义“不动点”应用，涉及解一元二次方程、一元二次方程根的情况与判别式等知识，解题的关键是理解并利用新定义解决问题． 【变式3-2】数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题． 同学们，请你结合所学的数学解决下列问题． 在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象． (1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点； (2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或或或 【分析】（1）分与两种情况讨论论证即可； （2）当时，不符合题意，当时，对于函数，令，得，从而有或，根据整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数，从而有或或或或或或或，解之即可． 【详解】（1）解：当时，，函数为一次函数，此时，令，则，解得， ∴一次函数与轴的交点为； 当时，，函数为二次函数， ∵， ∴ ， ∴当时，与轴总有交点， ∴无论取什么实数，图象与轴总有公共点； （2）解：当时，不符合题意， 当时，对于函数， 令，则， ∴， ∴或 ∴或， ∵，整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数， ∴或或或或或或或， 解得或或（舍去）或（舍去）或或或（舍去）或（舍去）， ∴或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系以及二次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质以及数形相结合的思想是解题的关键． 【题型一】二次函数与线段问题 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为交于点D，当点D是的三等分点时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，然后设，则，然后再分情况或，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 将分别代入， 得，解得， 直线的解析式为， 设，则， 为的三等分点， 或， 即或， 解得（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去） 当时，， 当时，， 点P的坐标为或． 【变式1-1】如图在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，求的最大值及此时P的坐标； (3)在（2）的条件下，过点P作，垂足为M．求的最大值． 【答案】(1) (2)的最大值是2，此时的P点坐标是 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）运用待定系数法解答即可； （2）求出直线l的解析式，设点P的坐标为，则，得，运用二次函数的性质可得结论； （3）证明，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ． 把A，B两点坐标代入解析式，得 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线l的解析式为， 把A，B两点的坐标代入解析式，得， 解得：， 直线l的解析式为； 轴， 设点P的坐标为，则， ． ∴当时，有最大值是2， 当时，， ， 的最大值是2，此时的P点坐标是． （3）解：，， ． ∵在中，， ． 轴，， ． 在中，，． ， ． 在中，，， ， ．此时最大， ， 的最大值是． 【变式1-2】如图，抛物线与x轴交于点，和点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)点为抛物线位于第一象限上一个动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段的最大值； (3)点，，，，将抛物线向上平移个单位，若平移后的抛物线与线段只有一个公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)的最大值是 (3)或 【分析】（1）将，，，分别代入抛物线，待定系数法求解析式即可求解； （2）由，当时，，则，，直线的解析式为．设，则，，求得，进而根据二次函数的性质即可求解； （3）抛物线向上平移个单位后解析式为，平移后的抛物线的顶点坐标为，①当抛物线顶点落在上时，②当抛物线经过点，时，分别代入即可求解． 【详解】（1）解:将，，，分别代入抛物线得， 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示:    由，当时，，则，， ，， 设直线的解析式为， ∴，解得， 直线的解析式为． 设，则，， ∴， 当时，的最大值是． （3）解：抛物线向上平移个单位后解析式为， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为， ①当抛物线顶点落在上时，则，解得． ②当抛物线经过点，时，，解得； 当抛物线经过点，时，，解得， ∴时，满足题意． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，直线和抛物线的交点问题，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【题型二】二次函数与周长问题 【例2】如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 【答案】(1) (2)当点的坐标为时，的周长最小 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，先求出抛物线的对称轴为直线，根据题意可得，关于抛物线的对称轴对称，则，得到的周长为，当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求，再求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）如图，连接， ，， ，， ， 抛物线的对称轴为直线， ，， ，关于抛物线的对称轴对称， ， 的周长为， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求， 设直线的解析式为，将、两点代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 当点的坐标为时，的周长最小． 【变式2-1】（26-27九年级上·甘肃定西·阶段检测）如图，已知抛物线经过，，三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求周长的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接交直线l于点P，连接，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，当点A、P、C共线时，周长最小，最小值为，求得即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，将，，代入中， 得，解得 ∴该抛物线的解析式为； （2）解：连接交直线l于点P，连接，，则， 由题意，，， ∵周长为， ∴当点A、P、C共线时，最小，最小值为，此时周长最小，最小值为． 【变式2-2】（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）已知抛物线（a，b为常数，且）． (1)若抛物线经过点，求该抛物线的对称轴； (2)若将抛物线上的点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，仍在该抛物线上，求该抛物线的解析式． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线 (2) 【分析】（1）将点代入求得，再求解对称轴即可； （2）先求出平移之后的点，再将点和平移之后的点代入函数解析式即可． 【详解】（1）解：将点代入得：， 则， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：将点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，所得点的坐标为， 将点，代入 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【题型三】二次函数与面积问题 【例3】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）如图，直线经过点，抛物线经过点，点在线段上，轴，交抛物线对称轴右侧部分于点，且． (1)设点，求点的纵坐标（用两种不同的含的代数式表示） (2)连接，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先通过直线的解析式求出点的坐标，进而求出抛物线的解析式，由轴得点，点的纵坐标相等；由的长可求出点的横坐标，代入抛物线的解析式中即可表示出点的纵坐标； （2）由即可得解． 【详解】（1）解：把代入，得，解得， 把代入，得，解得， ∴ ∵轴，点， ∴； ∵轴，点， ∴点的横坐标为， 又∵点在抛物线上， ∴； （2）解：由（1）得，解得，或（舍去）， ∴， ∴的面积． 【变式3-1】如图，已知抛物线过与且有最小值． (1)求此二次函数的解析式； (2)抛物线与轴交于点，在抛物线上存在一点使的面积为24，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式和二次函数的图象和性质 （1）根据与的坐标可得对称轴为直线，顶点坐标为，进而利用待定系数法把代入二次函数中，即可算出的值，进而得到函数解析式是； （2）首先求出、两点坐标，计算出的长，再设，，根据的面积为可以计算出的值，然后再利用二次函数解析式计算出的值即可得到点坐标． 【详解】（1）解：∵与在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线， 设函数的解析式为， 将代入得， ∴ 解得， ∴函数的解析式，即； （2）解：当时，， 解得：； ，， ． 设， 的面积为， ， 解得：， 当时，， 解得：或， 或； 当时，， 方程无解，舍去． 故或． 【变式3-2】如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在点D，使的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； (3)若点P是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线下方，当点移动到什么位置时能使的面积最大？求出此时点坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）求出抛物线的对称轴为直线，结合二次函数的性质可得点、关于对称轴对称，故对称轴上任意点满足，的周长，由为定值，只需要最小即可，由两点之间，线段最短可得，当点在直线上时，最小，即点为直线与对称轴的交点，求出直线的解析式为，代入，计算即可得出结果； （3）由（2）可得直线的解析式为，作轴，交于点，连接、，设，则，，根据，并结合二次函数的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将，代入抛物线得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 令，则， 解得，， ∴， ∵， ∴点、关于对称轴对称， 故对称轴上任意点满足， ∴的周长， ∵为定值， ∴只需要最小即可， 由两点之间，线段最短可得，当点在直线上时，最小，即点为直线与对称轴的交点， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； （3）解：由（2）可得直线的解析式为， 如图，作轴，交于点，连接、， 设，则， ∴， ∴ ， ∵，对称轴为直线， ∴当时，的面积最大，此时，即． 【题型四】二次函数与特殊三角形的存在性问题 【例4】如图，已知抛物线 与x轴相交于A、B两点，若已知A点的坐标为． (1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程； (2)连接，求线段所在直线的解析式，并直接写出当抛物线在直线下方时x的取值范围； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，或 (3)或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，对称轴公式求出对称轴即可； （2）先求出B、C的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）设，利用勾股定理得到，，，再根据等腰三角形的定义分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：把代入抛物线解析式中得， 解得， ∴抛物线解析式为； ∴对称轴为直线； （2）解：在中，令，则， ∴点C的坐标为； 在中，令，则， 解得或， ∴点B的坐标为； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 由图象可知：或； （3）解：存在， 设， ∴，，， 当时，则，此时方程无解，不符合题意； 当时，则， 解得或， ∴点Q的坐标为或； 当时，则， 解得， ∴点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或或． 【变式4-1】二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点和点． (1)试求a，b所满足的关系式； (2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当的面积为面积的倍时，求a的值； (3)是否存在实数a，使得为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在实数a，使得为直角三角形． 理由如下： ①由图可知，A为直角顶点，不可能； ②若C为直角顶点，此时与原点O重合，由题意可知，也不可能； ③若B为直角顶点，则， 令，可得， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，整理得， 解得， 由（2）可知，， ∴，不合题意，舍去； 综上所述，不存在实数a，使得为直角三角形． 【分析】（1）把点和点代入，即可求解； （2）先求出顶点M的坐标，再利用得到关于a的方程，即可求解； （3）分A为直角顶点，C为直角顶点，B为直角顶点，三种情况进行讨论，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入，得， ∴． （2）解：由（1）可知， ∴顶点M的纵坐标为， ∵， ∴ ∴， 整理得， 解得， 由图象可知， ∵顶点M在第二象限， ∴对称轴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． （3）略 【变式4-2】如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)的面积的最大值为8， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴，交于点E，先表示，，得出，故，再利用二次函数的性质求解即可； （3）因为，且是等腰直角三角形，得，由（2）知，所以，，则，再解出方程，即可作答． 【详解】（1）解：抛物线经过点、， ， 解得   抛物线的解析式为， （2）解：抛物线的解析式为与直线交于B、D两点． ， 解得，， 把代入，得， 点D的坐标为， 如图1，过点P作轴，交于点E， 则，， ， 点B的坐标是 ， 当时，的面积的最大值为8， 此时． （3）解：如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点H， 轴于H， ， 是等腰直角三角形， ， 由（2）知， 点H的坐标为， 由（1）可知， ，， ， 或， 即或， 当时， 解得或（舍去）， 此时； 当时， 解得或（舍去）， 此时， 综上，点P的坐标为或． 【题型五】二次函数与特殊四边形的存在性问题 【例5】如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC． （1）求此抛物线的解析式； （2）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3； （2）点F的坐标为（2，）或（2，）或（4，1）或（﹣2，1）． 【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线经过点B（3，0），可得A（﹣1，0），用待定系数法即可求解； （2）分两种情形讨论：①当BC为对角线时，②当BC为边时，先求出点E的坐标，再利用平行四边形的中心对称性求出点F的坐标即可． 【详解】解：（1）抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0）， ∴A（﹣1，0）， ∴，解得， ∴抛物线的解析式y＝﹣x2+2x+3； （2）设E（1，a），F（m，n）， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴BC＝3， ①以BC为对角线时，BC2＝CE2+BE2， ∴（3）2＝12+（a﹣3）2+a2+（3﹣1）2， 解得：a，或a， ∴E（1，）或（1，）， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴m+1＝0+3，n0+3或n0+3， ∴m＝2，n或n， ∴点F的坐标为（2，）或（2，）； ②以BC为边时，BE2＝CE2+BC2或CE2＝BE2+BC2， ∴a2+（3﹣1）2＝12+（a﹣3）2+（3）2或12+（a﹣3）2＝a2+（3﹣1）2+（3）2， 解得：a＝4或a＝﹣2， ∴E（1，4）或（1，﹣2）， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴m+0＝1+3，n+3＝0+4或m+3＝1+0，n+0＝3﹣2， ∴m＝4，n＝1或m＝﹣2，n＝1， ∴点F的坐标为（4，1）或（﹣2，1）， 综上所述：存在，点F的坐标为（2，）或（2，）或（4，1）或（﹣2，1）． 【点睛】本题是二次函数综合题，本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，二次函数的性质，勾股定理，矩形的判定和性质等，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论，属于中考压轴题． 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2 【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴，解得：， ∴； （2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， ∵时，， ①当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：或，均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：； 故； （3）存在； 当时，解得：，当时，， ∴，， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设，则：， ∴，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则：，即， 解得：（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则：，即：， 解得：或（舍去） 此时菱形的边长为：； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2． 【变式5-2】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与y轴的交点为C，顶点为D． (1)求该抛物线的表达式及D点的坐标； (2)点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②点P在抛物线上，点Q在y轴上，是否存在以B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为：，点的坐标为 (2)①②点P的坐标为或或 【分析】（1）将A点和B点坐标代入表达式，解二元一次方程组即可得到抛物线的表达式，将表达式化为顶点式，就可以得到D点的坐标； （2）①先求出点C和点P的坐标，再求出所在直线的表达式，过点P向x轴作垂线交于点E，数形结合，写出面积的表达式即可得到结果； ②利用平行四边形的性质求解，进行分类讨论，为对角线时，点B和点D的中点坐标也是点P和点Q的中点坐标；为边时，且，设和所在直线的表达式为、，则，再分别求出和，联立求解即可 ． 【详解】（1）解：，两点在抛物线的图象上， 将，两点代入得：， 解得：， 抛物线的表达式为：； ∵， 点的坐标为； （2）解：①过点P向x轴作垂线，交于点E，如下图所示： 在中，当时，， 抛物线与y轴交于点C， 点的坐标为， 设所在直线的表达式为：， 将和代入得：， 解得：， 所在直线的表达式为， P点在抛物线的图象上，P点的横坐标为m， 点的坐标， ∵在中，当时，， ∴， ， ， 的最大面积是； ②设，， 点B、D、P、Q构成的四边形是平行四边形， 分为以下两种情况进行讨论： 第一种：以为对角线，根据平行四边形对角线互相平分的性质进行求解：中点的坐标为，则的中点坐标也为， ，， 解得：，， 的坐标为； 第二种：以为边，根据平行四边形对边平行且相等的性质进行求解，即，， 设所在直线的表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴所在直线的表达式为． 设所在直线的表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴所在直线的表达式为． ， ， 即， 得：， ∵，， 又， ， 解得：， 当时，点P的坐标为； 当时，点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 【题型六】二次函数与角度存在性问题 【例6】如图，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)P是抛物线上的一个点，连接，，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当点P在x轴上方时，取点，连接，可证明，推出，则点P在射线上，求出直线的解析式为，联立对应的函数解析式求出点P的坐标即可；当点P在x轴下方时，取点，连接，同理可证明点P在射线上，联立对应的函数解析式求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴分别交于，两点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，当点P在x轴上方时，取点，连接， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P在射线上； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在x轴下方时，取点，连接， 同理可证明， ∴， ∵， ∴， ∴点P在射线上； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【变式6-1】二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的解析式； 【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4； （2）； 【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案； （2）设BP与y轴交于点E，设OE＝a，则CE＝4﹣a，BE＝4﹣a，运用勾股定理可求得，得出E，再利用待定系数法即可求出答案； 【详解】解：（1）∵二次函数 y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0）， ， 解得：， ∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣3x+4； （2）如图，设BP与y轴交于点E， ∵PD∥y轴， ∴∠DPB＝∠OEB， ∵∠DPB＝2∠BCO， ∴∠OEB＝2∠BCO， ∴∠ECB＝∠EBC， ∴BE＝CE， 令x＝0，得y＝4， ∴C（0，4），OC＝4， 设OE＝a，则CE＝4﹣a， ∴BE＝4﹣a， 在Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2＝OE2+OB2， ∴（4﹣a）2＝a2+12， 解得 ， ∴， 设BE所在直线表达式为 y＝kx+e（k≠0）， ∴， 解得：， ∴直线BP的表达式为； 【点睛】本题是与二次函数有关的综合题，主要考查了待定系数法，一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，勾股定理等，属于中考数学压轴题，综合性强，难度较大，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识是解题关键． 【变式6-2】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴交于B（﹣1，0），C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接AB，点P为抛物线上一点，且∠ABP＝45°，求点P的坐标； 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3． （2）P点坐标为（，）． 【分析】（1）将点A（0，3）、B（﹣1，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中即可求得b、c的值，进而得到解析式； （2）过点A作AM⊥BP于点M，过点M作MN⊥y轴于点N，构造等腰直角三角形，利用“一线三垂直模型”证明△ABO≌△MAN．继而得到点M坐标，求出直线BM解析式，联立BM解析式与抛物线解析式即可得交点P的坐标； 【详解】解：（1）将点A（0，3）、B（﹣1，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，得： ，解得：． ∴该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3． （2）过点A作AM⊥AB交BP于点M，过点M作MN⊥y轴于点N． 又∠ABP＝45°， 则△ABM为等腰直角三角形，AM＝AB， ∵∠BAO+∠PAO＝∠BAM＝90°，∠PAO+∠APN＝90°， ∴∠BAO＝∠AMN． 在△ABO和△MAN中， ， ∴△ABO≌△MAN（AAS）． ∴AN＝BO＝1，ON＝OA﹣AN＝3﹣1＝2，MN＝AO＝3， ∴点M坐标为（3，2）． 设直线BM解析式为y＝kx+b，代入点B（﹣1，0）、M（3，2）得： ，解得：． 故直线BM解析式为y． 把BM解析式与抛物线解析式联立： ，解得， 故点P坐标为（，）． 【点睛】本题以二次函数为背景考查了待定系数法求解析式、全等三角形判定与性质、不等式等知识，根据题意作出合理辅助线以及数形结合思考问题是解题关键所在． 【题型七】二次函数与其它综合问题 【例7】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别交x轴、y轴于，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的正半轴相交于点C． (1)求k、c的值； (2)求点C的坐标和抛物线的顶点坐标； (3)若点M为直线AB上一动点，将点M向右平移4个单位长度，得到点N．若线段MN与抛物线只有一个公共点，请直接写出点M的横坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2)， (3)或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）令，代入求出点C的坐标，把化成顶点式即可得出顶点坐标； （3）数形结合，分情况讨论确定MN的位置，进而求出点M的横坐标的取值范围． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴， 解得∶． ∵抛物线经过点， ∴， 解得∶． （2）解：在中，令得 ， 解得：，； ∴点的坐标为． ∵， ∴抛物线的顶点坐标为． （3）解：分情况讨论： ①当点M在点A的左侧时，设点M（m，m+3），此时点N（m+4，m+3）恰好在抛物线上，即 -(m+4)2-2(m+4)+3= m+3 解得：m1=-3，m2=-8 结合图象得：时线段MN与抛物线有一个交点； ②当点M在A点时，点M（-3，0）向右移动4个单位得到的N点（1，0）恰好与C点重合，此时线段MN与抛物线有两个交点， ∴≠-3； ③当点M在线段AB上，且M不在A点时， ∵M，N的距离为4，而A、B的水平距离3，故此时线段MN与抛线只有一个公共点， ∴-3<≤0； ④当点M在点B的右侧时，线段MN与抛物线没有公共点； 综上所述，点的横坐标的取值范围为或． 【点睛】此题考查了二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、不等式的性质等，解题的关键是数形结合，第（3）问要注意分情况讨论，不重不漏． 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中有一个封闭的形框，其中点，，，，，，抛物线；与轴交于点，． (1)当抛物线G的顶点为点C时，求b，c的值； (2)若抛物线G的顶点总在L形框内或边上，求长的取值范围； (3)若抛物线G仅经过点F，A，B中的两个点，直接写出所有符合条件的c的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)的值为或 【分析】本题考查了二次函数的图形及性质，二次函数与轴的交点、顶点式的化简等知识点的应用是本题的解题关键． （1）设顶点式，代入顶点即可解答； （2）判断出当抛物线顶在时，最大，当抛物线顶在时，最小，分别求出顶点在和上的关系式，再求出相应的即可解答； （3）判断出抛物线可以经过和或和这两种情况，再分别代入求出关系式即可． 【详解】（1）解：设抛物线， ， ， ， ，； （2）解：由题得， 当抛物线顶在时，最大，当抛物线顶点为时， 设抛物线， 令，即， 解得，或5， ， 当抛物线顶在时，最小， 当抛物线顶点为时， 设抛物线， ， ， ， 令，即，解得，， ， ； （3）解：轴， 抛物线可以经过和或和， 把，代入抛物线， 得， ； 把，代入抛物线， 得， ， 的值为或． 【变式7-2】如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式； (2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； (3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是定值，． 【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、函数图象的交点问题、一元二次方程根与系数关系等知识，准确利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出，再根据平移规律即可求出抛物线的表达式； （2）设点P的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为，联立与得到，解得，即可求出答案； （3）由（1）可得，，与联立得到，求出点C的坐标为，又由点M的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式为，与联立得到，则，得到，即可得到，得到定值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴， 解得， ∴， ∵抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线， ∴ 即 （2）解：设点P的坐标为，设直线的解析式为，把点A和点P的坐标代入得到， 则 解得， ∴直线的解析式为， 联立与得到 ， 解得， 则 （3）解：由（1）可得，，与联立得到，， 解得， 此时 ∴点C的坐标为， ∵点M的横坐标为m，且在上， ∴ 即点M的坐标为 设直线的解析式为，把点C和点M的坐标代入得到， 则 解得， ∴直线的解析式为， 与联立得到， ， 整理得到， 则， 即， 即， 即为定值． 技巧 一句话要点 判断是否为二次函数——“三条件检查法” 整式、自变量最高次数为2、二次项系数a≠0，缺一不可。 识别开口方向与大小——“看二次项系数” a＞0开口向上，a＜0开口向下；|a|越大开口越窄。 求对称轴与顶点——“配方法/公式法” 配方得顶点式，或直接用x＝－b/(2a)、顶点坐标公式。 图象平移——“左加右减，上加下减” x轴看h（左加右减），y轴看k（上加下减），对“x”整体加减。 判断增减性——“按开口分侧” 开口向上，对称轴左侧减、右侧增；开口向下相反。 抛物线与x轴交点——“令y=0看判别式” Δ＞0两个交点，Δ＝0一个交点，Δ＜0无交点。 求最值——“顶点法+端点法” 先求顶点纵坐标，再结合自变量范围比较端点。 顶点式求顶点——“直接读出(h,k)” y＝a(x－h)²＋k的顶点为（h，k），对称轴x＝h。 一般式求顶点——“配方或套公式” 配方成顶点式，或用顶点坐标公式（－b/(2a)，(4ac－b²)/4a）。 平移求解析式——“顶点平移法” 先找原顶点，平移后得新顶点，代入顶点式。 含参问题——“代回检验” 由图象/性质求参数后，代回检验是否满足a≠0及题意。 实际应用——“审设列求检验” 建立二次函数模型，求最值时结合自变量实际范围，检验结果是否符合题意。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $