30.1 直线与圆（第1课时）教学设计2026-2027学年人教版九年级数学上册

30.1 直线与圆（第1课时）教案 课型：新授课　　　　课时：1课时　　　　授课年级：九年级 一、教学目标（核心素养目标） 1. 会用数学的眼光观察现实世界：从钥匙环移动等实际情境中抽象出直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交），理解切线、切点、割线等概念。 2. 会用数学的思维思考现实世界：类比点与圆的位置关系的研究方法，建立圆心到直线的距离d与半径r的数量关系和位置关系之间的对应（相离⇔d＞r，相切⇔d＝r，相交⇔d＜r），发展逻辑推理能力。 3. 会用数学的语言表达现实世界：能准确表述三种位置关系的定义与判定方法，规范书写运用d与r的数量关系判断位置关系的过程。 二、教学重点 直线与圆的三种位置关系及其判定（d与r的数量关系）。 三、教学难点 类比思想的运用；理解相切时恰好d＝r的理由；求圆心到直线的距离（如用面积法求斜边上的高）。 四、教学方法与教具准备 讲练结合法、类比探究法；多媒体课件、钥匙环、直尺、圆规。 五、教学过程 （一）课前复习（2分钟） 问题1：设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则点P与圆的位置关系如何判定？ 解：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r。 问题2：点到直线的距离是指什么？ 解：从直线外一点向这条直线所作的垂线段的长度。 （二）温故知新（1分钟） 引入：前面我们用"d与r比大小"研究了点与圆的位置关系。如果把"点"换成一条直线，直线与圆又会有哪些位置关系？还能用类似的方法判定吗？本节课就来研究这个问题。 （三）直线与圆的位置关系（8分钟） 实验：在纸上画一条直线l，把钥匙环看作一个圆，在纸上移动钥匙环，观察直线与圆的公共点个数的变化。 填空：直线与圆没有公共点，这时称直线与圆＿＿；直线与圆只有一个公共点，这时称直线与圆＿＿，这条直线叫作圆的＿＿＿，这个点叫作＿＿；直线与圆有两个公共点，这时称直线与圆＿＿，这条直线叫作圆的＿＿＿。 解：直线与圆没有公共点，称直线与圆相离；直线与圆只有一个公共点，称直线与圆相切，这条直线叫作圆的切线，这个点叫作切点；直线与圆有两个公共点，称直线与圆相交，这条直线叫作圆的割线。 填空：如图30.1-2，直线与圆的三种位置关系按公共点个数分为：＿＿个公共点、＿＿个公共点、＿＿个公共点。 解：按公共点个数分为0个公共点（相离）、1个公共点（相切）、2个公共点（相交）。 探究：如图30.1-3，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，类比点与圆的判定方法，直线l与⊙O的位置关系与d、r有什么对应关系？ 解：直线l与⊙O相离⇔d＞r；直线l与⊙O相切⇔d＝r；直线l与⊙O相交⇔d＜r。 想一想：为什么相切时恰好有d＝r？结合图30.1-3(2)中的直角三角形说明理由。 解：设垂线段的垂足为H，则OH＝d。当d＝r时，垂足H恰好落在圆上，直线l与⊙O只有这一个公共点，所以相切；若d＜r，垂足H在⊙O内部，直线l与⊙O必有两个公共点，相交；若d＞r，垂足H在⊙O外部，直线l与⊙O没有公共点，相离。因此只有d＝r时直线与圆有且只有一个公共点，即相切时恰好d＝r。 4.（口答）⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是什么？若距离为4，位置关系是什么？ 解：距离5＞半径4，直线l与⊙O相离；距离4＝半径4，直线l与⊙O相切。 5.（填空）已知⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为d。若直线l与⊙O相切，则d等于多少？若d＝3，直线l与⊙O的位置关系是什么？若d＝8呢？ 解：相切时d＝r＝6；若d＝3＜6，直线l与⊙O相交；若d＝8＞6，直线l与⊙O相离。 （四）例题精讲（9分钟） 例1 （课本P149）如图30.1-4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12。以斜边AB的中点D为圆心，以r为半径作⊙D。若r＝2.5，分别判断直线AC、BC与⊙D的位置关系。 解：在Rt△ABC中，由勾股定理得 。∵D是AB的中点，过点D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，则DE∥BC，DF∥AC，∴DE、DF分别是△ABC的中位线，∴，，即圆心D到直线AC的距离为6，到直线BC的距离为2.5。当r＝2.5时，6＞2.5，直线AC与⊙D相离；2.5＝2.5，直线BC与⊙D相切。 （五）课堂练习（17分钟） 1.（课本P150练习1）（填空）圆的直径是13，如果圆心与直线的距离分别是：（1）4.5；（2）6.5；（3）8。那么直线与圆的位置关系分别是什么？公共点个数分别是多少？ 解：圆的半径r＝6.5。（1）d＝4.5＜6.5，直线与圆相交，有2个公共点；（2）d＝6.5＝r，直线与圆相切，有1个公共点；（3）d＝8＞6.5，直线与圆相离，有0个公共点。 2.（课本P150练习2）如图，∠AOB＝30°，M为OB上一点，OM＝5。判断直线OA与以点M为圆心、下列r为半径的圆的位置关系：（1）r＝2；（2）r＝4；（3）r＝2.5。 解：过点M作MN⊥OA于N。∵∠AOB＝30°，OM＝5，且在含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，∴，即点M到直线OA的距离为2.5。(1)r＝2＜2.5，直线OA与⊙M相离；(2)r＝4＞2.5，直线OA与⊙M相交；(3)r＝2.5＝2.5，直线OA与⊙M相切。 3.（填空）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，则以C为圆心、2.4cm为半径的圆与斜边AB所在直线的位置关系是什么？ 解：由勾股定理得 。设斜边AB上的高为h，由面积法得 ，∴h＝3×4÷5＝2.4(cm)，即圆心C到斜边AB所在直线的距离为2.4cm。∵d＝2.4＝r＝2.4，∴⊙C与斜边AB所在直线相切。 4.（选择）已知⊙O的半径为5，点O到直线l的距离d是方程的一个根，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）A.相交　B.相切　C.相离　D.相交或相切 解：解方程，得 x₁＝2，x₂＝4，∴d＝2或d＝4。∵2＜5，4＜5，即d＜r，∴直线l与⊙O相交。故选A。 5.（填空）菱形ABCD的对角线AC＝6、BD＝8，以对角线交点O为圆心作⊙O。要使⊙O与AB所在直线相切，⊙O的半径应为多少？ 解：菱形的对角线互相垂直平分，∴，，且AC⊥BD。∴菱形的边长 。设O到AB的距离为h，由 ，又 ，∴h＝2×6÷5＝2.4。即O到直线AB的距离为2.4，要使⊙O与AB所在直线相切，⊙O的半径应为2.4。 6.（填空·综合）已知⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若d使关于x的方程有两个相等的实数根，则直线l与⊙O的位置关系是什么？ 解：由方程有两个相等的实数根，得判别式 Δ，∴d＝1。∵d＝1＜r＝3，∴直线l与⊙O相交。 （六）课堂小结（2分钟） （1）直线与圆的三种位置关系：没有公共点⇔相离；只有一个公共点⇔相切（直线叫切线，公共点叫切点）；有两个公共点⇔相交（直线叫割线）；（2）设⊙O的半径为r、圆心到直线的距离为d，则相离⇔d＞r，相切⇔d＝r，相交⇔d＜r；（3）本节课研究直线与圆的位置关系时，采用了"类比"点与圆位置关系的研究方法（都是把位置关系转化为d与r的数量关系）。 （七）作业布置（1分钟） 必做题：①在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，判断以点C为圆心、下列r为半径的⊙C与AB所在直线的位置关系：（1）r＝2；（2）r＝2.4；（3）r＝3；②⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由。 解：①，斜边AB上的高 h＝3×4÷5＝2.4。(1)r＝2＜2.4，⊙C与AB所在直线相离；(2)r＝2.4＝2.4，⊙C与AB所在直线相切；(3)r＝3＞2.4，⊙C与AB所在直线相交。②d＝3＜r＝5，∴直线l与⊙O相交（依据：d＜r⇔直线与圆相交）。 选做题：已知⊙O的半径为2，直线l与⊙O相切于点A，点P是直线l上一点，且OP＝4，求PA的长。 解：∵直线l与⊙O相切于点A，∴OA⊥l，OA＝2。在Rt△OAP中，∠OAP＝90°，OP＝4，OA＝2，∴。即PA的长为。 六、板书设计 课题：30.1 直线与圆（第1课时） 左栏：三种位置关系：相离（0个公共点）、相切（1个，切线/切点）、相交（2个，割线）→ 判定：相离⇔d＞r，相切⇔d＝r，相交⇔d＜r（类比点与圆） 右栏：方法：判断位置关系→先求圆心到直线的距离d→与r比大小 → 例1：中位线求距离（D到AC为6、到BC为2.5）→ 面积法求斜边上的高 七、教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $