第十章分式（期中知识清单）八年级数学上学期新教材北京版

第十章 分式　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 分式的概念 1.1 分式的定义 一般地，用 ， 表示两个整式，（）可以表示为 的形式。如果 中含有字母，那么式子 （）叫作分式。其中， 叫作分式的分子， 叫作分式的分母。 示例：、、 都是分式； 的分母是数 ，不含字母，是整式。 注意：判断一个式子是不是分式，只看分母中是否含有字母，与分子是否含字母无关。 1.2 有理式 整式和分式统称为有理式。 示例： 是整式， 是分式，它们都属于有理式。 1.3 分式有意义的条件 一般地，称一个式子为分式时，就隐含了使分母不等于零的条件。当分母不等于零时，分式有意义。 示例：分式 中，令 得 ，故当 时该分式有意义。 1.4 分式值为零的条件 在使得分式有意义的前提下，分子的值等于零，则分式的值等于零。即分式 的值为零，需要同时满足 且 。 示例：分式 的值为零时，先令 得 ，此时 ，故 。 2. 分式的基本性质 2.1 分式的基本性质 分式的分子、分母都乘同一个不等于零的整式，分式的值不变。用式子表示为 分式的分子、分母都除以同一个不等于零的整式，分式的值不变。用式子表示为 示例：（分子、分母同乘 ，其中 ）。 注意：乘（或除）的 必须是同一个不等于零的整式。 2.2 约分 运用分式的基本性质，可以把分式中分子和分母的公因式约去，使分式简化。把分式中分子与分母的公因式约去，叫作约分。 示例：。 注意：约分要先找出分子和分母的公因式，结果要化为最简分式。 2.3 最简分式 如果一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式就叫作最简分式。 示例： 的分子与分母没有公因式，是最简分式； 不是最简分式。 3. 分式的乘除法 3.1 分式的乘法法则 分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。用式子表示为 示例：。 3.2 分式的除法法则 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。用式子表示为 示例：。 3.3 分式的乘方法则 分式的乘方是把分式的分子、分母分别乘方。用式子表示为 （ 是正整数）。 示例：。 4. 分式的加减法 4.1 通分 在不改变分式值的情况下，把几个异分母的分式化为同分母的分式的变形，叫作通分。 示例：把 与 通分，公分母取 ，得 ，。 4.2 最简公分母 像上面 ，， 这样的公分母，叫作最简公分母。 示例： 与 的最简公分母是 。 4.3 分式的加减法法则 同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减。用式子表示为 异分母的分式相加减，先通分化为同分母分式，再进行加减运算。用式子表示为 示例：同分母：；异分母：。 4.4 分式的混合运算 与分数混合运算的运算顺序一样，分式的加、减、乘、除混合运算也是先进行乘除运算，再进行加减运算；遇有括号时，先进行括号内的运算。 示例：，先通分化为同分母，再相减。 5. 分式方程 5.1 分式方程的定义 分母里含有未知数的方程叫作分式方程。 示例： 的分母中含有未知数 ，是分式方程； 是整式方程。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 分式符号法则 分式的分子、分母与分式本身三者的符号中，同时改变其中任意两个，分式的值不变。如 ，。 1.2 互为相反数因式的转化 ，。约分或通分时，先把 型因式化为 再运算。如 。 1.3 分母恒正（负）型 若分母恒为正（如 、），则分式对任意实数都有意义。如 的分母 恒成立，故 取全体实数时分式都有意义。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 分式有意义、值为零的判断 有意义：令分母 求解。值为零：令分子 求解，再回代分母检验，使分母为 的根舍去。如 的值为零： 得 ，又 使分母为 ，舍去，故 。 【使用提醒】判断”分式的值为零”时”分子 “与”分母 “缺一不可，漏验分母会产生增根。 2.2 约分的步骤 先对分子、分母分解因式，找出公因式，再约去公因式，结果化为最简分式。如 。 2.3 通分的步骤 先确定最简公分母（取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积），再把每个分式的分子、分母同乘适当的整式。如 与 的最简公分母是 。 2.4 分式混合运算的步骤 先乘除后加减，有括号先算括号内；分子相减时先加括号再变号；结果化为最简分式。 2.5 解分式方程的步骤 去分母（方程两边同乘最简公分母）→ 解所得整式方程 → 检验（代入最简公分母，为 的根是增根，原方程无解）。如 解得 ，但 使最简公分母 ，是增根，原方程无解。 【使用提醒】去分母时方程两边所乘的最简公分母可能为 ，因此解分式方程必须检验。 2.6 列分式方程解应用题 审题找等量关系 → 设未知数 → 用代数式表示各量并列方程 → 解方程 → 检验（既要验根，又要检验是否符合实际意义）→ 作答。 2.7 公式的变形 把要表示的字母看作未知数，其余字母看作已知数，通过去分母、解方程将其解出。如 可变形为 、。 3. 运算小技巧 技巧 要点 示例 先分解因式再约分 约分前先把分子、分母分解因式，公因式一目了然 结果化为最简分式 分式四则运算的结果都要约成最简分式（或整式） 符号统一处理 遇 、 等先提负号化为 、，避免漏负号 乘除先约分再相乘 分式乘除中，先约去分子与分母的公因式再相乘 4. 常见考试模型 4.1 工程问题模型 公式：工作效率 工作总量 工作时间，工作总量常设为 ；效率提高 则新效率 原效率。 限定：时间、效率均为正，负根舍去。 示例：如 ，解得 。 4.2 行程问题模型 公式：路程 速度 时间，即 ；先后出发、同时到达时用时间差列方程。 限定：速度、时间均为正，负根舍去。 示例：如 ，解得 。 4.3 购买（经济）问题模型 公式：总价 单价 数量，即 数量 总价 单价；两种商品数量相同时用”总价 单价”相等列方程。 限定：单价、数量为正，负根舍去，且要符合单价差、数量相等这些实际条件。 示例：如 ，解得 。 4.4 公式变形模型 公式：把目标字母当未知数、其余字母当已知数，去分母后解出，如 ，。 限定：变形后分母不为零，需注明字母不为零的条件。 示例：由 得 （）。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：求分式值为零时只令分子为零，漏验分母 典例：若分式 的值为零，求 的值。 错解：由 ，得 。 正解：由 ，得 ；当 时分母 ，分式无意义，应舍去，所以 。 原因：概念遗漏。“分式的值为零”需要同时满足”分子等于零”和”分母不等于零”两个条件，学生只盯着分子等于零去求根，忘记回代分母检验，把使分母为零的增根也当成了解。凡求”分式值为零”，求完分子的根后都必须代回分母排查。 易错点 2：同分母分式相减，分子去括号漏变号 典例：计算：。 错解：原式 。 正解：原式 。 原因：符号处理失误。同分母分式相减时，分子是多项式，相减应写成”被减式减去整个减式”并加括号，去括号时括号内各项都要变号。学生习惯性地把 写成 ，漏掉了 变 这一步。凡分子相减，先整体加括号再逐项变号，是防错的关键。 易错点 3：约分时 与 转化漏负号 典例：约分：。 错解：把 当作 直接约去，得 。 正解：因为 ，所以 。 原因：概念与符号处理失误。 与 是互为相反数的两个因式，只有 才能约分，学生忽略了这个负号，把互为相反数的因式当成了相等因式。约分前先判断公因式前的符号，是处理这类题目的前提。 易错点 4：解分式方程漏检验，把增根当解 典例：解方程：。 错解：两边同乘 ，得 ，解得 ，所以原方程的解是 。 正解：解得 后检验：当 时，最简公分母 ，原方程中的分式无意义，所以 是增根，原方程无解。 原因：步骤遗漏。去分母时方程两边同乘的最简公分母可能为零，这样解出的根可能使原方程无意义（增根），必须检验。学生把”解整式方程”的步骤原样搬到分式方程上，缺了最后的验根环节。解分式方程”去分母、解方程、检验”三步缺一不可。 易错点 5：误把”有分数线”当成分式的标志 典例：下列式子中，是分式的是____。①；②；③；④。 错解：①②③④都是分式。 正解：②④是分式。①、③ 的分母是数 、，不含字母，是整式；只有②④的分母含字母，是分式。 原因：概念理解错误。分式的本质特征是”分母中含有字母”，分数线本身并不是分式的标志。学生把”形如分数”当成了判断标准，忽略了”分母含字母”这一关键条件。判断时只看分母：分母含字母是分式，分母是数（不含字母）是整式。 学科网（北京）股份有限公司 $