第一章有理数（期中知识清单）七年级数学上学期新教材北京版

第一章 有理数　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 有理数的概念 1.1 正数和负数 表示具有相反意义的量的多少时，其中一种量可以用比 大的数来表示，例如，，，，…，像这样的数叫作正数。有时，为了进一步强调它们是正数，还可以在它们的前面加上一个”+“（正）号，如 ，，，…。与它们意义相反的量用”负数”来表示，也就是在正数的前面加上一个”-“（负）号，得到的数叫作负数，例如，，，，…。 示例：收入 元记作 元，支出 元记作 元；向东走 米记作 米，向西走 米记作 米。 注意：”+“号可以写，也可以不写。例如，，，，，…，就是 ，，，，…。 1.2 0 的意义 既不是正数，也不是负数。 在引入了负数以后， 还表示”+“与”-“之间的分界点。 示例：当仓库中最后一台洗衣机运出后，库存量记作”“，它表示”没有”；而在标准大气压下气温达到 时水结冰，这里的 并不表示”没有温度”，只表示温度恰好处于”正”“负”之间。 1.3 有理数 正整数、零、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。整数和分数统称为有理数。 注意：有限小数和无限循环小数都可以化为分数；反过来，分数可以化为有限小数或无限循环小数，所以可以把这样的小数看作分数。 示例：有理数按”整数、分数”分类： 有理数 整数 正整数、零、负整数 分数 正分数、负分数 示例：，，，， 中，，， 是整数，， 是分数，它们都是有理数。 2. 数轴 2.1 数轴的定义 像这样规定了正方向、原点和单位长度的直线叫作数轴。正方向、原点和单位长度是数轴缺一不可的三个要素。 示例：画一条水平直线，右端画指向右方的箭头（正方向），确定一个点表示 （原点），再取适当长度作单位长度，就得到一条数轴。 2.2 用数轴上的点表示有理数 所有的有理数都可以用一条直线上的点来表示。 注意：数轴上的点不仅可以表示有理数，还可以表示其他（非有理）的数，相关知识将在以后学习。 示例：在数轴上， 在原点右侧 个单位长度处， 在原点左侧 个单位长度处， 在原点处。 3. 相反数和绝对值 3.1 相反数 像 和 这样，只有符号不同的两个数叫作互为相反数。也就是， 是 的相反数， 是 的相反数。 另外还规定， 的相反数仍是 。这样，每一个有理数都有了它的相反数。 一个数前面放上一个”-“，得到的就是它的相反数。 示例：；； 和 ， 和 分别互为相反数。 3.2 绝对值 数轴上表示数 的点到原点的距离叫作数 的绝对值，记作 。 示例：数轴上表示 的点到原点的距离是 个单位长度，所以 的绝对值是 ，记作 ；数轴上表示 的点到原点的距离是 个单位长度，所以 的绝对值是 ，记作 。 注意：特别的， 的绝对值仍是 ，记作 。 3.3 求一个有理数的绝对值 正数的绝对值是它自身；负数的绝对值是它的相反数； 的绝对值仍是 。也就是：当 时，；当 时，；当 时，。 示例：，，，。 3.4 有理数的大小比较 大于一切负数，小于一切正数；数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 两个负数中，绝对值较大的数反而小。 示例： 与 ，因为 ，，，所以 。 4. 有理数的加法 4.1 加法法则 同号的两个数相加，符号不变，并把两个加数的绝对值相加。 异号的两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数的和为 。 和任何一个有理数相加，仍得这个有理数。 示例：；；。 4.2 加法运算律 加法交换律和结合律在有理数加法运算中依然成立： 加法交换律 ； 加法结合律 。 示例：。 5. 有理数的减法 5.1 减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为 。 示例：；。 6. 有理数的加减法混合运算 6.1 代数和 省略了加号的几个有理数的和的式子叫作这几个数的代数和。 示例： 统一为加法得 ，省略加号写成 。 6.2 去括号法则 当括号前面是”+“时，去掉括号和它前面的”+“，括号内各数的符号都不改变； 当括号前面是”-“时，去掉括号和它前面的”-“，括号内各数的符号都要改变。 即 ；。 示例：；。 6.3 添括号法则 添上前面带有”+“的括号时，括号内各数的符号都不改变； 添上前面带有”-“的括号时，括号内各数的符号都要改变。 即 ；。 示例： 放入前面带有”+“的括号内得 ，放入前面带有”-“的括号内得 。 7. 有理数的乘法 7.1 乘法法则 同号两数相乘得正，异号两数相乘得负，并把绝对值相乘； 任何有理数和 相乘都得 。 示例：；。 7.2 乘法运算律 乘法交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，在有理数的运算中也依然适用： 乘法交换律 ； 乘法结合律 ； 乘法对加法的分配律 。 示例：。 8. 有理数的除法 8.1 除法法则（一） 同号两数相除得正，异号两数相除得负，并把绝对值相除； 不能做除数， 除以任何不为零的数都得 。 示例：；。 8.2 倒数 有理数 （）的倒数为 。 示例：，，，， 的倒数分别是 ，，，，。 注意： 没有倒数。 8.3 除法法则（二） 除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数。 示例：；。 8.4 分数的符号变化规律 分数的分子、分母和分数本身的符号中同时有两个改变时，分数的值不变。 示例：；；。 9. 有理数的乘方 9.1 乘方的定义 几个相同的因数相乘的运算叫作乘方，乘方的结果叫作幂。如果有 个 相乘，可以写为 ，其中， 叫作 的 次方，也叫作 的 次幂。 叫作幂的底数， 可以取任何有理数； 叫作幂的指数， 可取任何正整数。 示例：；。 注意：特殊的， 可以看作 的一次幂，也就是说， 的指数是 。 9.2 幂的符号规律 表示 个 相乘，其结果随 的取值不同而不同：当 是正偶数时，；当 是正奇数时，。 表示 个 的乘积的相反数。 示例：；。 10. 有理数的混合运算 10.1 混合运算顺序 1. 同级运算中应按从左到右的顺序进行；不同级的运算，按”先乘方，再乘除，最后加减“的顺序进行。 1. 在有括号的情形下，先做括号内的运算，再做括号外的运算；如果有多层括号，那么由里到外依次进行。 示例：。 11. 近似数和科学记数法 11.1 近似值 把和精确值近似的数叫作这个精确值的一个近似值。 近似值的最后一位数字在哪一位，就说它是精确到哪一位的近似值（由四舍五入得到）。 示例：…，精确到 的近似值是 ，记作 。 11.2 科学记数法 一个大于 的数 可以表示成 的形式，即有 ，其中 ， 是比 的整数部分的位数少 的正整数。这种记数方法叫作科学记数法。 示例：；；。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 相反数的相关结论 一个数的相反数的相反数等于它本身，即 ；互为相反数的两个数的和为 ，即 ；互为相反数的两个数（均不为 ）的商为 ；在数轴上，互为相反数的两个点关于原点对称。 1.2 绝对值的相关结论 ，绝对值具有非负性；，互为相反数的两个数的绝对值相等；若 ，则 或 ；绝对值等于同一个正数的数有两个，它们互为相反数。 1.3 倒数的相关结论 积为 的两个数互为倒数； 没有倒数；倒数等于它本身的数是 和 。 1.4 幂的符号规律（推论） 负数的偶次幂为正，奇次幂为负；正数的任何次幂都为正； 的任何正整数次幂都是 。特别地，，（ 为正整数）。 1.5 平方、立方的特征结论 ，任何数的平方都是非负数；平方等于它本身的数是 和 ；立方等于它本身的数是 、 和 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 化简多重符号 数一个数前面负号的个数，奇数个负号结果为负，偶数个负号结果为正，即”奇负偶正”。如 ，。 2.2 有理数加减混合运算的步骤 先把减法统一成加法，再写成省略加号的代数和，最后运用运算律简便计算。如 。 2.3 有理数乘除运算的”两定法” 先定符号（同号得正、异号得负），再定绝对值（把绝对值相乘或相除）。如 。 2.4 比较有理数大小的步骤 正数 负数；两个正数直接比大小；两个负数先比绝对值，绝对值大的反而小。如比较 与 ：先比绝对值 ，故 。 2.5 化简绝对值的步骤 先判断绝对值内式子的符号，再按”正数的绝对值是它本身、负数的绝对值是它的相反数、 的绝对值是 “化简。如 ，。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 负号”奇负偶正” 化简多重符号时数负号个数 相反数相加凑 加法中先找相反数配对抵消 同号凑整、同分母凑整 加法中先凑整十整百或同分母 乘法分配律逆用 提公因数 小数化分数 带小数、无限循环小数先化成分数 用数轴比较大小 数轴上右边的点表示的数比左边的大 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：把 0 归为正数，非负数分类出错 典例：在 ，，， 中，属于非负数的有哪些？ 错解：只有 。 正解：非负数包括正数和 ，所以是 和 。 原因：概念混淆。学生把”非负数”等同于”正数”，忽略了 既不是正数也不是负数，它既是”非负数”又是”非正数”。凡遇到”非正数”“非负数”“非负整数”等带”非”字的概念，都要把 考虑进去。 易错点 2：负数的绝对值误算为负数 典例：求 的绝对值。 错解： 的绝对值是 。 正解：。负数的绝对值是它的相反数，所以是 。 原因：概念理解错误。学生把”绝对值”错误理解为”去掉符号”或机械地认为”绝对值就是它本身”，忽略了当 时 （此时 是正数）。要记住绝对值表示的是”距离”，一定是非负数。 易错点 3：两个负数比较大小时判断反了 典例：比较 和 的大小。 错解：因为 ，所以 。 正解：，，因为 ，所以 。 原因：把正数的大小比较规则直接搬到负数上，忽略了”两个负数，绝对值大的反而小”这条特有规则。负数离原点越远反而越小，比较时先比绝对值再取反。 易错点 4：去括号时括号前是”-“，忘记变号 典例：化简 。 错解：。 正解：。 原因：去括号法则记忆不清。当括号前面是”-“时，去掉括号和”-“，括号内各数的符号都要改变；只有括号前是”+“时才不变号。学生往往只记住”去括号”却漏掉”变号”。 易错点 5： 与 混淆 典例：计算 。 错解：。 正解：。 原因：对幂式中括号的意义理解不清。 表示 个 相乘的相反数，而 才表示 个 相乘。底数有没有括号决定了负号是否参与乘方，二者结果往往一正一负。 易错点 6：0 不能做除数、0 没有倒数 典例：判断”0 的倒数是 0”是否正确。 错解：正确。 正解：错误。 没有倒数，因为 不能做除数，也不存在与 相乘得 的数。 原因：概念迁移错误。学生把”0 的相反数是 0”错误迁移到倒数上，忽略了倒数与相反数是两个完全不同的概念：相反数是”和为 0”，倒数是”积为 1”，而任何数与 相乘都得 ，永远得不到 。 学科网（北京）股份有限公司 $