第十四章实数（期中知识清单）八年级数学上学期新教材冀教版

第十四章 实数　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 平方根 1.1 平方根的定义 一般地，如果一个数 的平方等于 ，即 ，那么这个数 就叫作 的平方根，也叫作 的二次方根。 示例： 的平方根是 和 ，因为 ； 的平方根是 。 1.2 平方根的性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 0 只有一个平方根，是 0 本身。 负数没有平方根。 示例： 的平方根是 和 ； 的平方根是 ； 没有平方根。 1.3 平方根的表示 一个非负数 的平方根可记为“”，读作“正负根号 ”。其中， 称为被开方数。 一个正数 有两个平方根：一个是正数 ，读作“根号 ”；一个是负数 ，读作“负根号 ”。 0 的平方根是 0。 由此，我们知道：，其中 。 示例： 的平方根为 ，被开方数是 ； 的平方根为 ，被开方数是 。 1.4 开平方 我们把求一个数的平方根的运算，叫作开平方。 对于正数来说，开平方与平方互为逆运算。 示例： 因为 ，所以 的平方根为 ，即 。 1.5 算术平方根的定义 一个正数的两个平方根互为相反数。我们把一个正数 的正的平方根 叫作 的算术平方根。 当求得一个正数的算术平方根后，它的负的平方根可相应求得。 0 的平方根只有一个，就是 0，我们也说 0 的算术平方根为 0，即 。 示例： 的算术平方根为 ，即 ；它的负的平方根是 ，即 。 注意： 对于正数 ， 表示其算术平方根。 2. 立方根 2.1 立方根的定义 一般地，如果一个数 的立方等于 ，即 ，那么这个数 就叫作 的立方根，也叫作 的三次方根。 示例： 的立方根为 ，因为 ； 的立方根为 ，因为 。 2.2 立方根的性质 一个正数有一个正的立方根。 一个负数有一个负的立方根。 0 的立方根是 0。 示例： 的立方根是 ； 的立方根是 ； 的立方根是 。 2.3 立方根的表示 我们把数 的立方根用符号“”来表示，读作“三次根号 ”。其中， 称为被开方数， 称为根指数。 示例： ，，，。 2.4 开立方 求一个数的立方根的运算，叫作开立方。 开立方和立方互为逆运算。 示例： 因为 ，所以 的立方根为 ，即 。 3. 实数 3.1 无理数的定义 我们把无限不循环小数叫作无理数。 无理数包括正无理数和负无理数。 一般地，如果 是一个正无理数，那么 是一个负无理数。 示例： 、、、、 等都是正无理数；、、、、 等都是负无理数。 3.2 实数的定义 我们把有理数和无理数统称为实数。 示例： 、、、、 都是实数。 3.3 实数的分类 实数 有理数 正有理数、0、负有理数 无理数 正无理数、负无理数 示例： 、、 是有理数；、、 是无理数。 3.4 实数与数轴 事实上，每个有理数或无理数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的点表示的数是有理数或无理数。 实数和数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。 示例： 可用数轴上表示边长为 的正方形的对角线长度的点来表示； 可用数轴上表示直径为 的圆滚动一周所得的点来表示。 3.5 实数的绝对值 在数轴上，表示一个实数的点到原点的距离称为这个实数的绝对值。实数 的绝对值记为 。 示例： 表示 的点到原点的距离是 ，所以 。 3.6 实数的相反数与倒数 对于符号不同而绝对值相等的两个实数，我们称其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。 的相反数可以表示为 。 如果两个实数的积为 ，则称这两个实数互为倒数。 示例： 与 互为相反数； 与 互为倒数。 3.7 实数大小的比较 一般地，已知两个正数 和 ，如果 ，那么 ；反过来，如果 ，那么 。 数轴上的两点，右边的点表示的数大于左边的点表示的数。 示例： 因为 ，所以 ；因为 ，所以 。 4. 近似数 4.1 近似数的定义 接近实际的数或在计算中按要求所取的与某个准确数接近的数，我们称它为近似数。 示例： 一般取 、 等作为它的近似值； 一般取 、、 等。 4.2 四舍五入与精确度 在很多情况下，常采用四舍五入法得到一个数的近似数。 一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪一位。 示例： 的十分位（即小数点后面第一位）上是“”，四舍五入到十分位得 ；四舍五入到百分位得 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 的化简 ：当 时，；当 时，。 【使用提醒】 当 时 不成立，须先判断 的符号。 1.2 立方根公式 （ 为任意实数），。 1.3 平方根、算术平方根、立方根等于本身的数 · 平方根等于本身的数：； · 算术平方根等于本身的数： 和 ； · 立方根等于本身的数：、 和 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 求一个数的平方根、立方根 借助乘方运算求根：先找出被开方数是哪个数的平方（或立方），再写出结果。求正数 的平方根写成 ，求算术平方根只写 。 示例： 求 的平方根：因 ，故平方根为 ，算术平方根为 。 2.2 解 或 型的方程 ：当 时 ；当 时 ；当 时无实数解。：（ 为任意实数）。 示例： 化为 ，故 ；，故 。 2.3 估算 的范围（夹逼法） 若 ，则 ；再取中间数逐步缩小范围，可得到更精确的近似值。 示例： 因 ，故 ；又 ，故 。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 平方法比较正数开方数 两个正数比较 与 ，只需比较被开方数 与 ，故 比较两个负数开方数 先比较绝对值，绝对值大的那个数反而小 ，故 判断无理数在哪两个整数间 把被开方数夹在两个平方数（立方数）之间 ，故 多重根号化简 从内向外逐层开方，注意先算内层 ， 求负数立方根 先求绝对值的立方根，再取相反数 4. 常见考试模型 4.1 用平方根、立方根求几何量（面积、体积模型） 公式： 正方形面积 求边长 ；正方体体积 求棱长 。 限定： 边长、棱长均为正数，负根舍去。 示例： 面积为 的长方形草坪，宽为 、长为 ，由 得 ，故 （ 舍去）。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：把“平方根”与“算术平方根”混为一谈 典例： 求 的平方根和算术平方根。 错解： 的平方根是 ，算术平方根是 。 正解： 的平方根是 ；算术平方根是 （即 ）。 原因： 没分清“平方根有两个、算术平方根只有一个（非负）”这一区别。正数 的平方根是 ，算术平方根只是其中非负的那个 。 易错点 2：忽略“负数没有平方根” 典例： 求 的值。 错解： （或 ）。 正解： 负数没有平方根，所以 无意义。 原因： 把平方根与立方根混为一谈。任何数的平方都是非负数，因此不存在平方后等于负数的数，负数没有平方根（但负数有立方根）。 易错点 3：化简 时忘记讨论符号 典例： 计算 。 错解： 。 正解： （即 ）。 原因： 误认为“开方与平方直接抵消”而照抄底数 ，忘了算术平方根必须非负。 表示 的非负平方根，结果为 ，须先判断 的符号。 易错点 4：认为“带根号的数都是无理数” 典例： 判断 、 是不是无理数。 错解： 因为带根号，所以 、 都是无理数。 正解： 、，它们都是有理数。无限不循环小数才是无理数，能开得尽的带根号数不是无理数。 原因： 把“带根号”当成判断无理数的依据。无理数是无限不循环小数；、 能化成整数，是有理数，只有 、 这类开方开不尽的才是无理数。 易错点 5：比较两个负数的大小，忽略“绝对值大的反而小” 典例： 比较 与 的大小。 错解： 因为 ，所以 。 正解： 因为 ，而两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以 。 原因： 把正数比较的规则直接套用到负数上。比较两个负数时，先比绝对值，再反过来写不等号，即“绝对值大的那个负数反而小”。 易错点 6：求负数立方根时符号处理错误 典例： 计算 。 错解： 无意义，或 。 正解： （因为 ）。 原因： 把立方根与平方根的性质混淆。负数没有平方根，但有立方根，且负数的立方根是负数。求负数立方根时，可先求绝对值的立方根，再取相反数。 学科网（北京）股份有限公司 $